BAB II TEORI BILANGAN
7. Bilangan Bulat, Rasional dan Prima
Secara umum bilangan dibagi menj adi dua yait u bilangan real dan bilangan t idak real. Bilangan real dibagi menj adi dua yait u bilangan rasional dan bilangan t ak rasional.
Bilangan rasional adalah bilangan real yang dapat diubah ke dalam bent uk ba dengan a dan b keduanya bilangan bulat dan b ≠ 0 sedangkan bilangan t ak rasional adalah bilangan real yang t idak dapat diubah ke dalam bent uk ba dengan a dan b keduanya bilangan bulat dan b ≠ 0.
Cont oh bilangan t ak rasional adalah √2, π, e, 2log 3 dan sebagainya.
Bilangan rasional dapat dibagi menj adi dua yait u bilangan bulat dan bilangan pecahan.
Sebuah bilangan bulat posit if dapat diuraikan menj adi dalam bent uk angka-angkanya. Misalkan
N
ABCDEL
adalah suat u bilangan yang t erdiri dari n digit , maka dapat diuraikan menj adi A⋅10n-1 + B⋅10n-2 + C⋅10n-3 + D⋅10n-4 + ⋅⋅⋅ + N.Sebuah bilangan bulat selalu dapat diubah menj adi bent uk pq + r dengan 0 ≤ r < p. Sehingga j ika sebuah bilangan bulat dibagi oleh p maka kemungkinan sisanya ada p yait u 0, 1, 2, ⋅⋅⋅, p − 1.
Sebagai cont oh j ika sebuah bilangan bulat dibagi ol eh 3 maka kemungkinan sisanya adalah 0, 1 at au 2. Maka set iap bilangan bulat dapat diubah menj adi salah sat u bent uk 3k, 3k + 1 at au 3k + 2 unt uk suat u bilangan bulat k.
Bilangan bulat posit if p > 1 merupakan bilangan prima j ika hanya memiliki t epat dua f akt or posit if yait u 1 dan p it u sendiri sedangkan bilangan bulat n merupakan bilangan komposit j ika n memiliki lebih dari dua f akt or posit if .
Bilangan prima genap hanya ada sat u yait u 2. Beberapa sif at bilangan prima :
(1) Jika p prima maka unt uk sebarang bilangan asli n berlaku p⏐n at au FPB(p, n) = 1. (2) Bilangan prima hanya memiliki dua f akt or posit if yait u 1 dan p
(3) Jika p prima membagi n2 unt uk suat u bilangan asli n maka p⏐n. (4) Jika p⏐ab unt uk a dan b bilangan asli maka p⏐a at au p⏐b. (5) Semua bilangan prima p > 3 memiliki bent uk 6k ± 1.
(6) Fakt or prima t erkecil dari n yang bukan bilangan prima ≤√n.
Cont oh 21 :
(OSP 2002) Bilangan real 2, 525252⋅⋅⋅ adalah bilangan rasional, sehingga dapat dit ulis dalam bent uk mn , dimana m, n bilangan-bilangan bulat , n ≠ 0. Jika dipilih m dan n yang relat if prima, berapakah m + n ? Solusi :
Misal X = 2, 525252⋅⋅⋅ maka 100X = 252, 525252⋅⋅⋅ 100X − X = 252, 525252⋅⋅⋅− 2, 525252⋅⋅⋅
99 250
=
X
Karena 250 dan 99 relat if prima, maka m = 250 dan n = 99 m + n = 349.
Cont oh 22 :
Tent ukan semua kemungkinan sisa j ika bilangan kuadrat dibagi oleh 5. Solusi :
Sebuah bilangan bulat past i t ermasuk ke dalam salah sat u bent uk 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3 at au 5k + 4 unt uk suat u bilangan bulat k.
Jika n = 5k maka n2 = (5k)2≡ 0 (mod 5)
Jika n = 5k + 1 maka n2 = (5k + 1)2≡ 12 (mod 5) ≡ 1 (mod 5) Jika n = 5k + 2 maka n2 = (5k + 2)2≡ 22 (mod 5) ≡ 4 (mod 5) Jika n = 5k + 3 maka n2 = (5k + 3)2≡ 32 (mod 5) ≡ 4 (mod 5) Jika n = 5k + 4 maka n2 = (5k + 4)2≡ 42 (mod 5) ≡ 1 (mod 5)
Jadi, j ika bilangan kuadrat dibagi oleh 5 maka kemungkinan sisanya adalah 0, 1 at au 4.
Cont oh 23 :
Carilah bilangan bulat yang t erdiri dari 6 angka dengan angka t erakhir 7 yang menj adi 5 kali bilangan semula j ika angka t erakhir t ersebut t empat nya dipindahkan menj adi angka pert ama.
Solusi :
Misal bilangan t ersebut adalah N = ABCDE7, maka
700000 + 10000A + 1000B + 100C + 10D + E = 5 (100000A + 10000B + 1000C + 100D + 10E + 7) 490000A + 49000B + 4900C + 490D + 49E = 699965
10000A + 1000B + 100C + 10D + E = 14285 Maka : A = 1 ; B = 4 ; C = 2 ; D = 8 ; E = 5
Jadi, bilangan t ersebut adalah 142857
Cont oh 24 :
Suat u bilangan t erdiri dari 2 angka. Bilangan t ersebut sama dengan 4 kali j umlah kedua angka t ersebut . Jika angka kedua dikurangi angka pert ama sama dengan 2, t ent ukan bilangan t ersebut .
Solusi :
Misal bilangan it u adalah ab maka 10a + b = 4(a + b) sehingga 2a = b Karena b − a = 2 maka 2a − a = 2.
a = 2 dan b = 4
Jadi bilangan t ersebut adalah 24.
Cont oh 25 :
Berapakah banyaknya bilangan 3 angka abc (dengan a > 0) sehingga nilai a2 + b2 + c2 membagi 26 ?
Solusi :
Karena a2 + b2 + c2 membagi 26 maka a2 + b2 + c2 memiliki 4 kemungkinan nilai. • Jika a2 + b2 + c2 = 1
Tripel (a, b, c) yang memenuhi adal ah (1, 0, 0) sebanyak 1 bilangan. • Jika a2 + b2 + c2 = 2
dari 2 bilangan, yait u 110, 101. • Jika a2 + b2 + c2 = 13
Tripel (a, b, c) yang memenuhi adalah (2, 3, 0) besert a permut asinya kecuali unt uk a = 0 yang t erdiri dari 4 bilangan, yait u 203, 230, 302, 320.
• Jika a2 + b2 + c2 = 26
Tripel (a, b, c) yang memenuhi adalah (1, 5, 0) dan (1, 3, 4) besert a permut asinya kecuali unt uk a = 0 yang t ot alnya t erdiri dari 10 bilangan, yait u 105, 150, 501, 510, 134, 143, 314, 341, 413, 431.
Jadi, banyaknya bilangan = 1 + 2 + 4 + 10 = 17.
LAT IHAN 7 :
1. Suat u bilangan t erdiri dari 3 angka. Bilangan t ersebut sama dengan 12 kali j umlah ket iga angkanya. Tent ukan bilangan t ersebut .
2. (OSK 2006) Nanang mencari semua bilangan empat -angka yang selisihnya dengan j umlah keempat angkanya adalah 2007. Banyaknya bilangan yang dit emukan Nanang t idak akan lebih dari ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. (OSK 2010) Pasangan bilangan asli (x, y) yang memenuhi 2x + 5y = 2010 sebanyak ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
4. Jika j umlah digit -digit dari bilangan asli m adal ah 30, maka penj umlahan semua kemungkinan j umlah dari digit -digit m + 3 sama dengan ….
5. (OSK 2002) Berapa banyak bilangan posit if yang kurang dari 10. 000 yang berbent uk x8 + y8 unt uk suat u bilangan bulat x > 0 dan y > 0 ?
6. (AIME 1986) abc adalah bilangan asli t iga angka. Jika acb + bca + bac + cab + cba = 3194, t ent ukan nilai dari abc.
7. Unt uk n bilangan asli, s(n) adalah penj umlahan angka-angka n dalam desimal. Tent ukan nilai n maksimal yang memenuhi n = 7 s(n).
8. (QAMT 2001) Tent ukan semua bilangan t iga angka yang merupakan penj umlahan dari f akt orial digit - digit nya.
9. (AIME 1997) M adalah bilangan asli dua angka ab sedangkan N adalah bilangan asli t iga angka cde. Jika 9 ⋅ M ⋅ N = abcde, maka t ent ukan semua pasangan (M, N) yang memenuhi.
10. (AIME 1992) Ada berapa banyak pasangan bilangan asli berurut an yang diambil dari himpunan {1000, 1001, 1002, 1003, ⋅⋅⋅, 2000} sehingga j ika dij umlahkan maka t idak ada ’ simpanan’ ? (Sebagai cont oh j ika 1004 dij umlahkan dengan 1005 maka t idak ada ’ simpanan’ , t et api j ika 1005 dij umlahkan dengan 1006 maka saat menj umlahkan 5 dengan 6 maka hasilnya adalah 1 dan ’ simpanan’ 1).
11. (AIME 1989) Unt uk suat u digit d, maka 0, d25d25d25⋅⋅⋅ = 810
n dimana n ∈ N. Tent ukan n.
12. (OSP 2003) Tent ukan semua bilangan bulat a dan b sehingga bilangan b a + + 3 2
merupakan bilangan rasional.
13. (AIME 1992) Tent ukan penj umlahan semua bilangan rasional posit if 30a yang merupakan bent uk paling sederhana sert a nilainya < 10.
14. (AIME 1992) Misalkan S adalah himpunan semua bilangan rasional yang dapat dit ulis ke dalam bent uk 0, abcabcabcabc ⋅⋅⋅ dimana bilangan asli a, b dan c t idak harus berbeda. Jika semua anggot a S dit ulis ke dalam bent uk sr dalam bent uk yang paling sederhana, maka ada berapa banyaknya nilai r berbeda yang muncul.
15. (Canadian MO 1971) Misalkan n adalah bilangan l ima angka dan m adalah bilangan empat angka yang didapat dengan menghapus angka yang ada di t engah dari bilangan n. Tent ukan semua nilai n yang memenuhi bahwa mn adalah bilangan bulat .
16. a. Diket ahui bahwa x + y dan x + y2 keduanya bilangan rasional. Apakah dapat dipast ikan x dan y keduanya rasional ? Jelaskan.
b. Diket ahui bahwa x + y, x + y2 dan x + y3 ket iganya bilangan rasional . Apakah dapat dipast ikan x dan y keduanya rasional ? Jelaskan.
17. (OSP 2009) Diberikan n adalah bilangan asli. Misalkan
x=6+2009
n
. Jika 1 3 2009 − − x x x merupakan bilangan rasional, t unj ukkan bahwa n merupakan kuadrat dari suat u bilangan asli.18. (OSK 2006) Jumlah t iga bilangan prima pert ama yang lebih dari 50 adalah
19. (OSP 2006) Bilangan prima dua angka t erbesar yang merupakan j umlah dua bilangan prima lainnya adalah ⋅⋅⋅⋅
20. (OSK 2009) Banyaknya pasangan bilangan asli (x, y) sehingga x4 + 4y4 merupakan bilangan prima adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
21. (AIME 1999) Tent ukan bilangan t erkecil a5 sehingga a1, a2, a3, a4, a5 membent uk barisan arit mat ika
dengan a1, a2, a3, a4, a5 semuanya bilangan prima.
22. (OSK 2002) Bilangan bulat posit if p ≥ 2 disebut bilangan prima j ika ia hanya mempunyai f akt or 1 dan p. Tent ukan nilai penj umlahan semua bilangan prima diant ara 1 dan 100 yang sekaligus bersif at : sat u lebihnya dari suat u bilangan kelipat an 5 dan sat u kurangnya dari suat u bilangan kelipat an 6.
23. (OSP 2010) Bilangan prima p sehingga p2 + 73 merupakan bilangan kubik sebanyak ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 24. (OSP 2009) Bilangan prima p yang memenuhi (2p − 1)3 + (3p)2 = 6p ada sebanyak ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 25. Tent ukan semua bilangan prima n sehingga n, n + 10 dan n + 14 ket iganya bilangan prima. 26. Unt uk n bilangan bulat berapakah sehingga 11 ⋅ 14n + 1 adalah bilangan prima ?
27. (AIME 1983) Tent ukan bilangan prima dua angka t erbesar yang membagi 200C100. Cat at an : nCr
didef inisikan ( !)! ! r r n n ⋅ − dengan n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ n. Cont oh 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120.
28. (OSK 2010) Diket ahui p adalah bilangan prima sehingga t erdapat pasangan bilangan bulat posit if (x, y) yang memenuhi x2 + xy = 2y2 + 30p. Banyaknya pasangan bilangan bulat posit if (x, y) yang memenuhi ada sebanyak ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
29. (Balt ic Way 1999 Mat hemat ical Team Cont est ) a, b, c dan d bilangan prima yang memenuhi a > 3b > 6c > 12d dan a2− b2 + c2− d2 = 1749. Tent ukan semua kemungkinan nilai dari a2 + b2 + c2 + d2.
30. (Brit ish MO 2006/ 2007 Round 1) Tent ukan 4 bilangan prima kurang dari 100 yang merupakan f akt or dari 332− 232.
31. (OSP 2010) Diket ahui k adalah bi langan bulat posit if t erbesar, sehingga dapat dit emukan bilangan bulat posit if n, bilangan prima (t idak harus berbeda) q1, q2, q3, ⋅⋅⋅, qk, dan bilangan prima berbeda p1,
p2, p3, ⋅⋅⋅⋅⋅, pk yang memenuhi 2010 7 1 1 1 12 2 1 k k q q nq p p p L
L+
=
++
+
Tent ukan banyaknya n yang memenuhi.
32. (OSP 2009) Diket ahui p adalah bilangan prima sehingga persamaan 7p = 8x2 − 1 dan p2 = 2y2 − 1 mempunyai solusi x dan y berupa bilangan bulat . Tent ukan semua nilai p yang memenuhi.