Indriati Nurul Hidayah Purwanto
Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Malang
Abstrak
Sudah diketahui bahwa terdapat grup dengan operasi perkalian modulo, dan grup tersebut sudah banyak dipelajari. Pada awal mempelajari teori grup, kita belajar contoh-contoh grup. Terdapat grup perkalian modulo n dengan unsur identitas tidak harus 1, misalnya {4,16, 28,52} adalah grup perkalian modulo 60 dengan unsur identitas 16. Pada makalah ini disampaikan beberapa contoh grup tersebut dan cara mengkonstruksinya.
Kata Kunci: grup perkalian modulo n, unsur identitas
1. Pendahuluan
Pada awal mempelajari teori grup, kita belajar contoh-contoh grup. Terdapat grup perkalian modulo n dengan unsur identitas tidak harus 1, misalnya {5,15,25,35} adalah grup perkalian modulo 40 dengan unsur identitas 25 [3, hal.52]. Timbul pertanyaan bagaimana cara mengkonstruksi grup seperti itu. Pada makalah ini disampaikan beberapa contoh lain grup seperti itu dengan cara mengkonstruksinya. Sebagai contoh {4,16,28,52} adalah grup perkalian modulo 60 dengan unsur identitas 16.
Sebelum pembahasan lebih lanjut akan disampaikan dulu istilah dan definisi yang akan kita gunakan. Sebagian besar istilah dan definisi yang kita gunakan mengikuti yang ada pada Gallian [3]. Misalkan n adalah bilangan bulat positif tertentu, serta a and b adalah bilangan bulat. Kita nyatakan dengan ≡ jika
n membagi − . Juga dapat kita nyatakan modulo n sebagai . Operasi
penjumlahan dan perkalian modulo n didefinisikan sebagai berikut. Bilangan + ≡ jika n membagi + − . Demikian juga, × ≡ jika
n membagi × − . Perkalian × dinyatakan dengan ab.
Himpunan {0, 1, 2, . . . , − 1}, ≥ 1 dinyatakan dengan ℤ . Himpunan ℤ adalah grup dengan operasi penjumlahan modulo n. Himpunan semua bilangan bulat positif kurang dari n yang relatif prima terhadap n, = { ∈ ℤ |( , ) = 1} , adalah grup terhadap operasi perkalian modulo n, dengan unsur identitas 1 [3].
Beberapa penulis sudah mempelajari grup perkalian modulo n, misalnya Brakes [1], Dennis [2], McLean [5], dan Hidayah dan Purwanto [4]. Teorema 1 berikut adalah dari Denniss [2].
Teorema 1 (Dennis). Misalkan n dan q adalah bilangan bulat positif, > 1, dan ≡ (1 + + + ⋯ + ) untuk suatu bilangan bulat ≥ 0. Maka
himpunan { , , , … , } membentuk grup dengan operasi perkalian
Pada Teorema 1, sebutlah ( + + + … + ), Hidayah dan Purwanto [4] menemukan kemungkinan nilai lain m pada Teorema 1 dengan { , , , … , } tetap membentuk grup dengan operasi perkalian modulo m, seperti pada Teorema 2 berikut ini.
Teorema 2. Misalkan n, d, dan q adalah bilangan bulat positif, > 1, > 1, d
membagi − 1, dan = . Jika ≡ untuk suatu ≥ 0, maka
himpunan { , , , … , } membentuk grup dengan operasi kali modulo .
Unsur identitasnya adalah e dengan ≡ 1
Hasil lain dari Hidayah dan Purwanto [4] adalah Teorema 3 dan 4 berikut ini. Teorema 3. Misalkan n, d, dan q adalah bilangan bulat positif, > 1, > 1, ,
dengan d membagi − 1, dan = . Jika ≡ atau ≡ −
untuk suatu bilangan bulat ≥ 0, maka himpunan {ℎ| ℎ = atau ℎ = − ,
= 0,1, … , − 1} membentuk grup dengan operasi kali modulo . Unsur
identitasnya adalah e dengan ≡ 1
Teorema 4. Misalkan n, d, dan q adalah bilangan bulat positif, > 1, > 1, dengan
d membagi + 1, dan = ( ) . Jika k adalah bilangan bulat positif dan
≡ (− ) mod s, untuk suatu bilangan bulat ≥ 0, maka himpunan ℎ ℎ = (− ) , = 0,1, … , − 1 membentuk grup dengan operasi kali modulo .
Unsur identitasnya adalah e dengan ≡ 1 .
Teorema 1 – 4 akan digunakan untuk mengkonstruksi contoh-contoh grup modulo n dengan unsur satuan tidak harus 1.
2. Pembahasan
Contoh-contoh grup modulo n dengan unsur satuan tidak harus 1 yang akan kita konstruksi sesuai dengan Teorema 1, 2, 3, atau 4.
Contoh 1.
Pada Teorema 2 (atau Teorema 1) jika diambil = 5, = 4, maka akan didapat nilai = 1 atau = 2 atau = 4 sehingga =624 atau =312 atau = 156. Ketika = 2, = 312, jika = 1 ≡ 1 (312) maka akan diperoleh himpunan
{1, 5, 25, 125}
yang merupakan grup terhadap perkalian modulo 312 dengan elemen identitas 1. Juga diperoleh jika = 625 ≡ 1 (312) maka akan diperoleh himpunan
{625, 3125, 15625, 78125}
yang merupakan grup terhadap perkalian modulo 195000 dengan elemen identitas 625.
Contoh 2
Pada teorema 3, jika diambil = 5, = 4, maka akan didapat nilai = 1 atau = 2 atau = 3 sehingga =624 atau =312 atau = 156.
Sehingga ketika = 2, = 312, jika = 1 ≡ 1 (312) maka akan diperoleh himpunan
yang merupakan grup terhadap perkalian modulo 312 dengan elemen identitas 1. Juga diperoleh jika = 625 ≡ 1 (312) maka akan diperoleh himpunan
{625, 3125, 15625, 78125,116875, 179375, 191875, 194375 }
yang merupakan grup terhadap perkalian modulo 195000 dengan elemen identitas 625.
Contoh 3
Pada teorema 4, jika diambil = 5, = 4, maka akan didapat nilai = 1 atau = 2 atau = 3 atau = 6 sehingga = 624 atau = 312 atau = 208 atau = 104. Ketika = 2, = 312, jika = 1 ≡ 1 (312) maka akan diperoleh himpunan
{1, 25, 187, 307}
yang merupakan grup terhadap perkalian modulo 312 dengan elemen identitas 1. Juga diperoleh jika = 625 ≡ 1 (312) maka akan diperoleh himpunan
{625,15625, 116875, 191875}
yang merupakan grup terhadap perkalian modulo 195000 dengan elemen identitas 625.
Pada bagian ini diberikan beberapa fakta dari pengamatan berdasarkan Teorema 1 - 4. Pada Teorema 2 jika diganti − 1 diperoleh {1, − 1} adalah grup dengan operasi perkalian modulo , bilangan bulat positif yang membagi − 1 sehingga diperoleh Fakta 1 berikut ini
Fakta 1
Untuk setiap bilangan asli , ≥ 3 terdapat grup {1, − 1} dengan perkalian modulo , bilangan bulat positif yang membagi − 1, khususnya untuk setiap bilangan asli , ≥ 5 terdapat grup {1, − 1} ≠ dengan perkalian modulo
Karena ≡ 1 (1 + ) untuk genap positif dan ≡ 1( 1 + ) untuk ganjil, ≥ 3 maka dari Teorema 2 diperoleh fakta 2 berikut
Fakta 2
Untuk setiap bilangan asli , ≥ 2, { , } adalah grup dengan perkalian modulo ( + ), bilangan bulat positif membagi − 1 dengan elemen identitas , dengan = ,
,
Pada Teorema 2, jika diganti − 1 dan − 2 = , bilangan asli yang lebih dari 1 maka diperoleh fakta 3 berikut ini
Fakta 3
Misalkan bilangan asli dan = + 2 untuk dan bilangan asli, ≥ 2 maka {1, − 1, − + 1, − 1} adalah grup dengan perkalian modulo
Catatan
Pada Fakta 3, jika setiap anggota dikalikan bilangan bulat positif dengan ekuivalen dengan anggota grup maka akan tetap diperoleh grup dengan perkalian modulo yang juga dikalikan .
Fakta 4
Misalkan bilangan genap yang lebih dari 1 maka {1, 2 − 1, 2 + 1, 4 − 1} adalah grup dengan operasi perkalian modulo 4n
Contoh
Untuk 4 = 2016, 2 = 1008 maka {1,1007, 2009, 2015} adalah grup dengan perkalian modulo 2016
Untuk Fakta 3, jika = 3 sehingga = 3 + 2 maka akan diperoleh Fakta 5 berikut Fakta 5
Misalkan n bilangan asli maka {1,3 + 1, 6 + 5, 9 + 5} adalah grup dengan operasi perkalian modulo (9n + 6)
Contoh
Untuk = 16, diperoleh himpunan {1,49,101,149} yang merupakan grup perkalian modulo 150.
Untuk = 5, diperoleh himpunan {1,16, 35, 50} yang merupakan grup perkalian modulo 51
Daftar Pustaka
[1] Brakes, W. R. 1995. Unexpected Grups. Math. Gaz. 79, No.486, pp.513-520. [2] Denniss, John. 1979. Modular Grup Revisited. Math. Gaz. 63, No.424,
pp.121-123.
[3] Gallian, Joseph A. 2010. Contemporary Abstract Algebra, 7th. Ed. Brooks/ Cole, Bellmont.
[4] Hidayah, Indriati Nurul, and Purwanto. 2016. Constructing Multiplicative Grups In Modular Arithmetic. Far East Journal of Mathematical Sciences, Vol.99, No.4, pp.569-576.
[5] McLean, K. Robin. 1978. Grups in Modular Arithmetic. Math. Gaz. 62, No.420, 94-104.