HOMOMORFISMA RING
DAERAH INTEGRAL
A. DAERAH INTEGRAL
1. Elemen Pembagi Nol dan Sifatnya
Definisi.1.A:
Misalkan R suatu ring dan a R, a 0 maka:
1. a disebut elemen pembagi nol kiri jika b R, b 0 sehingga a.b = 0 2. Jika b R, b 0, b.a = 0 maka a disebut elemen pembagi nol kanan. 3. Jika b R, b 0, sehingga a.b = b.a = 0 maka a disebut elemen pembagi
nol.
4. a disebut elemen bukan pembagi nol jika (b R, b 0, ab 0) atau (ab = 0 b = 0)
5. Elemen netral terhadap penjumlahan, yaitu 0, merupakan pembagi nol karena 0.a = a.0 = 0 dengan a 0. Tetapi apabila R mempunyai elemen satuan e, maka e bukan pembagi nol, karena b R, e.b = b.e = b.
Definisi 2.A:
Suatu pembagi nol a disebut pembagi nol sejati (proper divisor of zero), bila dan hanya bila a 0. Tetapi jika a = 0, maka elemen 0 ini sering kali disebut
elemen pembagi nol tak sejati.
Dalam himpunan bilangan bulat telah diketahui bahwa jika a,b Z dan a.b = 0 maka pasti a = 0 atau b = 0.
Sehingga ring dari bilangan bulat tidak memuat pembagi nol sejati. Sebaliknya terdapat juga ring-ring yang memuat pembagi nol sejati
Definisi 3.A:
Suatu ring R tidak memuat pembagi nol sejati bila dan hanya bila untuk setiap a,b R, jika a.b = 0 maka a = 0 atau b = 0.
Atau dengan kontraposisi: a ≠ 0 dan b ≠ 0 ⇒ a.b ≠ 0. 2. Integral Domain (Daerah Integral)
Definisi 2.B:
Sebuah ring komutatif dengan elemen kesatuan/elemen identitas (unity) dan tidak memuat pembagi nol disebut integral domain.
Jadi suatu ring R disebut daerah integral jika: 1. R merupakan ring komutatif.
3. R tidak mempunyai pembagi nol.
Contoh:
1. Buktikan bahwa R = {Bilangan genap} dengan operasi + dan * adalah daerah integral!
Bukti:
a) (R, +, *) merupakan ring komutatif a. a, b R, a + b R
Misal: b = 2m, a = 2n
a + b = 2m + 2n = 2(m + n) R
Terbukti bersifat tertutup terhadap operasi + b. ( a, b R) a + b = b + a
Misal: a = 2m, b = 2n
a + b = 2m + 2n = 2n + 2m = a + b
Terbukti bersifat komutatif terhadap operasi + c. ( a, b, c R) (a + b) + c = a + (b + c) Misal: a = 2m, b = 2n, c = 2p (a + b) + c = (2m + 2n) + 2p = 2 (m + n) + 2p = 2 (m + n + p) = 2 (m + (n + p) = 2m + 2 (n + p) = 2m + (2n + 2p) = a + (b + c)
Terbukti bersifat asosiatif terhadap operasi + d. e R, a + e = e + a = a Misalnya: a = 2m a + e = a dan e + a = a 2m + e = 2m dan e + 2m = 2m 2m + e – 2m = 2m – 2m e + 2m – 2m = 2m – 2m e + 0 = 0 e + 0 = 0 e = 0 e = 0
Terbukti memiliki elemen identitas terhadap operasi +, yaitu e = 0 e. a R, a-1 R, a + a-1 = a-1 + a = e
Misal: a = 2m, e = 0
a + a-1 = e dan a-1 + a = e 2m + a-1 = 0 a-1 + 2m = 0
a-1 + 0 = -2m a-1 + 0 = -2m a-1 = -2m a-1 = -2m
Terbukti memiliki elemen invers terhadap operasi +, dengan a-1 = -2m
f. a, b R, a.b R Misal: a = 2m, b = 2n a.b = 2m.2n
= 4mn R.
Terbukti bersifat tertutup terhadap operasi . g. a, b, c R (a.b).c = a.(b.c) Misal: a = 2m, b = 2n, c = 2p (a.b).c = ( 2m.2n).2p = 2m.2n.2p = 2m.(2n.2p) = a.(b.c)
Terbukti bersifat asosiatif terhadap operasi . h. a, b R, a.b = b.a
Misal: a = 2m, b = 2n a.b = 2m.2n
= 2n.2m = b.a
Terbukti bersifat komutatif terhadap operasi . i. a, b, c R a.(b + c) = a.b + a.c dan
a, b, c R (b + c).a = b.a + c.a Misal: a = 2m, b = 2n, c = 2p c.(a + b) = 2p(2m + 2n)
= (2p.2m) + (2p.2n) = (c.a) + (c.b)
Terbukti bersifat distributif kiri terhadap operasi + dan . (a + b).c = (2m + 2n) .2p
= (2m.2p) + (2n.2p) = (a.c) + (b.c)
Terbukti bersifat distributif kanan terhadap operasi + dan . b) R mempunyai elemen identitas e terhadap operasi .
Misalnya: a = 2m
a.e = a dan e.a = a
2m.e : 2m = 2m : 2m e.2m : 2m = 2m : 2m e.1 = 1 e.1 = 1
e = 1 e = 1
Terbukti memiliki elemen identitas terhadap operasi . yaitu e = 1 c) R tidak punya pembagi nol
Akan dibuktikan bahwa R tidak memuat pembagi nol.
Ambil sebarang a ≠ 0 R. Kemudian untuk a.b = 0, dengan a ≠ 0 maka haruslah b = 0. Misal: a = 2m a.b = 0 (2m).b = 0 (2m).b : (2m) = 0 : 2m b.1 = 0 b = 0
Ini berarti tidak ada b ≠ 0 R yang memenuhi persamaan a.b = 0, maka terbukti bahwa R tidak punya pembagi nol.
Jadi, karena semua syarat a, b dan c terpenuhi maka (R, +, .) merupakan daerah integral.
Teorema 1
Sifat kanselasi terhadap perkalian terhadap D suatu daerah integral, a,b,c, dan c z dengan z elemen nol dari D
i. Jika maka ii. Jika maka Bukti:
i.
sifat distribusi
c dan D tidak memuat pembagi nol
ii.
sifat distribusi
c dan D tidak memuat pembagi nol
Teorema 2
Misalkan D suatu daerah integral dan U suatu ideal dalam D. maka D/U suatu daerah integral bila dan hanya bila U suatu ideal prima dalam D
Bukti :
Jika U=D, maka diambil U<D
I. Dibuktikan bahwa U suatu ideal prima dalam D. D/U suatu daerah integral. Diambil a,b D dengan a ≠ z sedemikian sehingga a.b ϵ U. maka (a+u) . (b+u) = a . b + U = U. ini berarti a + U = U atau b + U = U, karena D/U tidak memuat pembagi nol. Jadi a.b U akibatnya a U atau b U. U adalah suatu ideal prima dalam D
II. Dibuktikan bahwa D/U suatu daerah integral. D suatu daerah integral maka D suatu ring komutatif dengan elemen satuan. Sehingga D/U merupakan suatu ring komutatif dengan elemen satuan pula. Ambil a+U, b+U D/U dengan a.b D sedemikian hingga ( a + U ) . ( b + U ) = a . b +U = U
a.b U dan a.b = Z atau b = Z. dan karena U suatu ideal prima dalam D maka a = Z atau b = Z. sehingga a + U atau b + U merupakan elemen nol dalam D/U. D/U tidak memuat pembagi nol. D/U suatu ring komutatif dengan elemen satuan dan tanpa pembagi nol berarti D/U suatu daerah integral
misalkan D suatu daerah integral dan c D, apabila c mempunyai invers terhadap perkalian yang berada dalam D maka c disebut unit dari D. misalkan c suatu unit dari daerah integral D dan a,b D sedemikian hingga b = c.a , maka b disebut kawan (associate) dari a
(i) B suatu ring bilangan bulat maka B merupakan daerah integral, maka unit-unit dari B hanyalah 1 dan -1.
Jika a B maka kawan dari a dalam b adalah a dan –a, sebab a = 1.a dan a = (-1) . (-a)
(ii) Pada contoh 6.1 D = { a + b√ │a,b bilangan bulat } adalah suatu daerah integral. Tentukan unit-unit dari D dan elemen dari D yang merupakan kawan dari 2 - √ ?
Penyelesaian :
Misalkan a + b√ adalah suatu unit dalam D maka ada x + y √ ϵ D sedemikian hingga ( a + b√ ) . ( x + y√ ) = 1, yaitu a + b√ mempunyai invers terhadap perkalian
( ax + 17 by ) + ( ay + bx )√ = 1 + 0√ . Maka diperoleh system persamaan dalam x,y yaitu
ax + 17 by = 1 bx + ay = 0
dengan menyelesaikan system persamaan diperoleh
x =
dan y =
……….(1)
x + y√ D maka x dan y bilangan-bilangan bulat. Dari (1) dan x,y bilangan-bilangan bulat maka - 17 = dengan a, b bilangan bulat jadi a + b√ merupakan unit dalam D apabila -17 =
jika a = 1 dan b = 0, yaitu 1 + 0√ = 1 adalah unit dari D jika a = -1 dan b = 0, yaitu -1 + 0√ = -1 adalah unit dari D jika a = 4 dan b = 1, yaitu 4 + √ adalah unit dari D
selanjutnya karena ( 2 - √ ) ( 4 + √ ) = -9 - 2√ -9 - 2√ adalah kawan dari 2 - √
FIELD
Definisi 1
Misalkan R ring dengan elemen satuan dan a R. elemen a dikatakan unit di R jika terdapat b R sehingga ab = ba = 1 dimana b disebut juga invers dari a terhadap perkalian.
Himpunan semua unit dalam ring yang mempunyai elemen satuan membentuk suatu grup terhadap operasi perkaliannya.
Teorema 1
Karakteristik dari suatu field adalah nol atau suatu bilangan prima
Bukti :
Field yang mempunyai karakteristik nol jelas ada. Sehingga kita hanya membuktikan jika karakteristik field D adalah berhingga maka bilangan itu suatu bilangan prima.
Misalkan karakteristik field D adalah m, dan m bukan bilangan prima. Maka dengan bilangan-bilangan bulat dan
.
Jika u elemen satuan dalam D, dan m karakteristik dari D maka (elemen nol dalam D).
Jadi sehingga atau . Hal ini bertentangan dengan m adalah karakteristik dari D yaitu m bilangan bulat
terkecil sedemikian untuk setiap D sebab dan . Oleh karena itu pengandaian bahwa m bukan bilangan prima tidak benar, jadi m adalah bilangan prima.
Definisi 2
Misalkan R adalah suatu ring dengan elemen satuan
a. R dikatakan ring divisi ( division ring ) jika setiap elemen tak nol di R adalah unit
b. R dikatakan field, jika R adalah ring divisi komutatif. Ring divisi tak komutatif disebut skewfield
Jadi suatu field F memenuhi :
1. ( F, +, . ) merupakan ring dengan elemen satuan 2. ( F - {0}, . ) merupakan grup abelian
Teorema
Teorema 2
Setiap field merupakan daerah integral.
Bukti :
misalkan F adalah field dan sebarang elemen taknol di F. Misalkan berlaku untuk suatu Karena maka adalah suatu unit di . Sehingga diperoleh:
Karena itu setiap elemen tak nol di tidak mungkin merupakan pembagi nol. Jadi adalah daerah integral
Teorema 3
Setiap daerah integral hingga merupakan field
Bukti:
D = { }
Misalkan a sebarang elemen tak nol di D. akan ditunjukkan bahwa a suatu unit di D. untuk indek I , tidak mungkin a = a karena pada D berlaku hokum kansellasi
Jadi D = { a ,a ,…,a }
Karena itu terdapat suatu indeks k, hingga a = 1. Jadi a unit di D. karena itu
LAMPIRAN
1. Mengapa grup dinotasikan dengan (G, )?
Karena grup merupakan sebuah himpunan yang tak kosong dan himpunan tersebut dinyatakan dengan huruf kapital yaitu G, dan merupakan operasi binernya.
Karena grup merupakan suatu himpunan, dimana himpunannya adalah himpunan tak kosong, untuk memudahkan penotasiaannya maka diambil huruf awalnya yaitu huruf kapital G, karena dalam grup tersebut juga terdapat operasi biner, maka dinotasikan dengan . Sebenarnya grup tersebut boleh saja dinotasikan dengan notasi lain, misalnya (Z, +) yang menyatakan grup, dimana Z adalah himpunan bilangan bulat, dan + merupakan operasi biner penjumlahan. Jadi (Z, +) merupakan notasi untuk grup pada bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan. Grup tersebut boleh dinotasikan dengan notasi lain, tergantung operasi dan himpunannya.
2. Mengapa elemen identitas dilambangkan dengan u? Dan bagaimana menjelaskannya kepada siswa?
Elemen identitas boleh saja dilambangkan dengan notasi lain, seperti “i” atau “u”. asalkan dicantumkan keterangan yang menyatakan kalau notasi tersebut adalah elemen identitas. Apabila digunakan “i” menimbulkan keraguan karena menyerupai angka 1.
Elemen identitas itu ialah apabila beberapa bilangan dioperasikan dengan suatu bilangan (identitas) menghasilkan bilangan itu sendiri atau tidak menghasilkan bilangan lain. Suatu bilangan tersebut dinamakan elemen identitas. Contoh : himpunan bilangan bulat positif terhadap operasi perkalian, elemen identitasnya yaitu 1, karena
1 x 1 = 1 2 x 1 = 2
3. Mengapa elemen identitas pada contoh 3 halaman 3 adalah 8?
Karena setiap anggota himpunan G = {2,4,8} terhadap perkalian modulo 14 apabila dioperasikan dengan 8 menghasilkan dirinya juga, sesuai dengan pengertian elemen identitas.
(mod 14) (mod 14) (mod 14)
4. Kenapa elemen invers pada contoh 3 halaman 3 tidak 1, karena apabila dioperasikan dengan 1 akan menghasilkan identitas?
Karena 1 bukan anggota dari himpunan G. Sesuai dengan definisi, elemen invers merupakan anggota dari himpunan tersebut.
5. Pada teorema 5, m dan n adalah bilangan-bilangan bulat positif maka berlaku Tetapi pada contoh soal n merupakan bilangan bulat negatif? Bertentangan dengan teorema?
Berdasarkan teorema nilai m, n adalah bilangan bulat positif. Pada contoh soal n merupakan bilangan bulat negatif, tetapi ada ketentuan atau syaratnya yaitu | | | |. Terlihat disini bahwa nilai n akan selalu positif karena n dimutlakkan. Apabila tidak ada tanda mutlak maka bertentangan dengan teorema.
Dalam matematika operasi bilangan pada bilangan real hanya ada dua, yaitu perkalian dan penjumlahan. Jika terdapat bilangan negatif maka digunakan sifat invers. Begitu juga dengan bilangan berpangkat, tidak memuat bilangan negatif sebenarnya, hanya boleh menggunakan sifat invers.
6. Pada teorema 2.14, dimana letak ketunggalannya untuk 13 = 2 . 6 + 1
13 = 3 . 4 + 1 Penjelasan:
Berdasarkan teorema pada teori bilangan bahwa b = qa + r untuk 0 < r < a
untuk sebuah pasangan bilangan bulat (a,b) terdapat tunggal pasangan bilangan (q, r)
(a,b) = (q,r) (13,6) = (2,1) (13,4) = (3,1)
Nah, disini terlihat untuk setiap pasangan (13,6) hanya mempunyai pasangan penyelesaian tunggal yaitu (2,1).
Untuk (13,4) hanya mempunyai pasangan penyelesaian tunggal (3,1).
7. Berdasarkan definisi 2.6, jelaskan maksud dari am = u Penjelasan:
m disini merupakan generator atau perulangan berapa kali dia berulang sampai menemukan identitasnya
8. Apa perbedaan antara koset kanan dan koset kiri?
Penjelasan:
Koset kanan dan koset kiri hampir sama, hanya saja pada defenisi koset kanan didefenisikan sebagai Ha = {h ah H}dan koset kiri didefenisikan sebagai aH = {a hhH}. tetapi pada pengerjaannya sama saja.
9. Jelaskan definisi homomorfisma dengan bahasa yang mudah di mengerti?
Penjelasan:
Dalam makalah sudah di jelaskan bahwasanya homomorfisma adalah: Diketahui dan ( ∗
Merupakan grup. Pemetaan disebut homomorfisma dari G ke G’ jika dan hanya jika untuk
Setiap a, b berlaku ( a ∗ dari definisi ini sudah dapat di ambil Kesimpulan bahwasanya homomorfisma adalah hubungan dua buah grup yang operasinya Tidak diketahui dengan menghasilkan ruas kiri dan ruas kanannya sama.
Agar mudah dalam memahami definisi homomorfisma dapat dilihat dari contoh sebagai berikut:
Telah diketahui G={ 0,1,2,3} dengan operasi penjumlahan modulo 4, dan G’={1,2,3,4} dengan operasi perkalian modulo 5, (G,+) dan ( G, masing-masing merupakan grup. Dari tabel dapat kita lihat operasi biner G dan G’.
Di bentuk persamaan hasil nya
Dapat kita buktikan sesuai definisi homomorfisma adalah dua buah grup yang memiliki Operasi yang berbeda tetapi menghasilakan hasil yang sama.
Disini dapat kita periksa bahwa untu x,y G berlaku bahwa ∗
Misalkan: (pada mod empat ) )
( adalah 2) jadi, 2= 2 terbukti bahwasanya homorfisma adalah hubungan dua buah grup yang berbeda operasinya yang menghasilkan nilai yang sama.
10. Apakah homomorfisma itu hanya berfungsi satu-satu saja atau bagaimana, jelaskan?
Berdasarkan defenisi homomorfisma bahwasanya homomorfisma memiliki hubungan antara grup yang satu dengan grup yang lainya. Pada contoh yang ada pada makalah mungkin memang yang terlihat fungsi satu-satu saja. Berdasarkan definisi yang ada ,isomorfisma pasti homomorfisma, tetapi homomorfisma belum tentu isomorfisma, berdasarkan hal ini homomorfisma memiliki peluang selain berfungsi satu-satu juga memiliki hubungan yang lainnya, hal yang pasti adalah setiap homomorfisma memiliki hubungan dari grup ke grup liainya.
11. Ada definisi isomorfisma, monomorfisma dan epimorfisma. Berdasarkan definisi isomorfisma bahwa dalam hal ini sudah terdapat monomorfisma dan epimorfisma kenapa harus dibahas kembali mengenai epimorfisma dan ontomorfisma?
Dilihat dari definisi isomorfisma: isomorfisma adalah diketahu G, G’ grup dan merupakan homomorfisma grup. Pemetaan disebut isomorfisma grup jika dan hanya jika merupakan pemetaan injektif. Sebenarnya mempelajari monomorfisma dan epimorfisam adalah jembatan untuk menyebrangi
isomorfisma, karna kalau belum paham apa itu monomorfisma dan epimorfisma maka isomorfisama juga tidak akan paham, dilihat dari definisi isomorfisma adalah grup yang memiliki fungsi satu-satu dan pada. Jadi bagai mana kita akan mempelajari isomorfima jika tidak menguasai monomorfisma dan epimorfisama (sangat penting untuk dipelajari).
12. Pada sifat yang poin e, dikatakan bahwa himpunan itu memenuhi sifat komutatif terhadap operasi +, apakah harus komutatif juga terhadap perkalian?
Berdasarkan definisi, suatu himpunan dikatakan Ring jika memenuhi ke 8 syarat yang telah di cantumkan, yang dikelompokkan menjadi 3 kelompok , salah satunya adalah komutatif terhadap +. Jika suatu himpunan sudah komutatif saja dan memenuhi ke 7 syarat yang lain, maka himpunan itu sudah bisa dikatakan sebuah Ring. Namun jika himpunan tersebut juga komutatif terhadap perkalian, maka ia disebut dengan Ring Komutatif.