BAB II TINJAUAN PUSTAKA 7
2.2 Fluida
2.2.1 Fluida Non-Newtonian
Fluida non-Newtonian adalah fluida yang tidak tahan terhadap tegangan geser (shear stress), gradient kecepatan (shear rate) dan temperatur. Dengan kata lain kekentalan (viscosity) merupakan fungsi daripada waktu. Fluida non-Newtonian tidak mengikuti hukum Newton tentang aliran.
Jika terdapat gaya didalamnya maka fluida tidak terus mengalir sehingga viskositas fluida akan berubah (tidak konstan). Sebagai contoh dari fluida non-Newtonian antara lain : cat, minyak pelumas, lumpur, darah, obat-obatan cair, bubur kertas, dsb. Rumus untuk tengangan geser pada fluida non-Newtonian adalah sebagai berikut[9] :
σ = 2(λ + µ)∂ui
∂xi (2.2.2)
τ = (µ + κ) ∂uj
∂xi
+ ∂ui
∂xj
(2.2.3)
dengan :
σ = tegangan normal µ = viskositas dinamik τ = tegangan geser κ = vortex
∂u
∂x = gradien kecepatan fluida 2.2.2 Fluida Micropolar
Fluida micropolar merupakan fluida non-Newtonian.
Fluida micropolar adalah fluida dengan stuktur mikro.
Fluida micropolar bersifat kaku, partikel berorientasi acak dengan dirinya sendiri dan microrotation, tergantung pada medium viskositas. Dalam fluida micropolar, partikel yang kaku termuat didalam elemen kecil volume yang dapat berotasi dipusat elemen volume, hal ini dideskripsikan sebagai vektor microrotation. Dalam teori fluida micropolar, hukum mekanika kuantum klasik ditingkatkan dengan persamaan tambahan yang menjelaskan konversi saat mikro rotasi dan keseimbangan stress moment pertama yang timbul karena pertimbangan struktur mikro dalam suatu material. Dengan demikian variabel kinematika, misalnya gyration tensor dan mikro inersia tensor dan konsep body momen, stress momen dan micro stress yang dikombinasikan dengan mekanika kontinum klasik[9].
2.3 Aliran Tak Mampu Mampat Satu Fasa
Aliran satu fasa hanya mengandung satu jenis fluida, misalnya cair atau gas tanpa ada partikel lain. Aliran air, minyak, gas alami, udara, dan lain-lain merupakan contoh aliran satu fasa. Sebuah aliran dikatakan incompressible (tak mampu mampat) jika pada suatu sistem aliran memiliki massa jenis tetap. Sebuah aliran dikatakan homogen jika densitasnya konstan sepanjang aliran. Sebuah aliran incompressible satu
fasa merupakan aliran homogen, sedangkan aliran mampu mampat (compressible) merupakan aliran non homogen.
Secara normal, cairan dan gas diperlakukan sebagai aliran incompressible. Namun, aliran tidak dapat dikatakan incompressible jika kecepatan gas mendekati, sama atau melebihi kecepatan suara [13].
2.4 Tipe Aliran Fluida Berdasarkan Kriteria Waktu Tipe aliran fluida yang memiliki pengaruh terhadap perubahan waktu pada umumnya dibagi menjadi dua[4], yaitu:
Aliran Tunak (Steady Flow) Aliran tunak yaitu kecepatan aliran fluida tidak dipengaruhi oleh perubahan waktu. Pada aliran tunak berlaku:
∂u
∂t = 0
Aliran Tak Tunak (Unsteady Flow) Aliran tak tunak yaitu kecepatan aliran fluida yang dipengaruhi oleh perubahan waktu. Pada aliran tak tunak berlaku:
∂u
∂t 6= 0 2.5 Konveksi Paksa
Konveksi dilakukan untuk menunjukkan perpindahan panas yang akan terjadi antara permukaan dan fluida yang bergerak ketika mereka berada pada perbedaan temperatur.
Perpindahan panas konveksi dapat diklasifikasikan dalam tiga kategori yaitu konveksi bebas (free convection), konveksi paksa (forced convection), dan konveksi campuran (mixture convection). Bila gerakan mencampur berlangsung semata-mata sebagai akibat dari perbedaan kerapatan yang disebabkan gradien temperatur, maka dikatakan sebagai konveksi bebas/alamiah (natural), sedangkan bila gerakan
mencampur disebabkan oleh suatu alat tertentu dari luar dikatakan sebagai konveksi paksa dan gerakan mencampur berlangsung disebabkan akibat dari perbedaan kerapatan dan alat dari luar dikatakan sebagai konveksi campuran[14].
Konveksi paksa adalah perpindahan panas yang mana alirannya tersebut berasal dari luar, seperti dari blower atau kran dan pompa. Konveksi paksa dalam pipa merupakan persoalan perpindahan konveksi untuk aliran dalam atau yang disebut dengan internal flow. Adapun aliran yang terjadi dalam pipa adalah fluida yang dibatasi oleh suatu permukaan.
Sehingga lapisan batas tidak dapat berkembang secara bebas seperti halnya pada aliran luar[14].
2.6 Aliran Lapisan Batas
Konsep lapisan batas pertama kali dikemukakan oleh ilmuan Jerman, Prandtl, pada tahun 1940. Lapisan batas merupakan suatu lapisan tipis pada permukaan padat yang dilewati oleh fluida saat mengalir. Lapisan batas dipengaruhi oleh viskositas dan gaya inersia beda tersebut. Pada dasarnya lapisan batas membagi daerah aliran sekitar benda ke dalam dua domain, yaitu 1) lapisan tipis yang meliputi permukaan benda tersebut dimana gradien kecepatan dan gaya viskosnya besar dan 2) daerah di luar lapisan batas tersebut yang mana kecepatan hampir sama dengan nilai aliran bebas (free-stream) serta efek viskositas dapat diabaikan.
Dengan memakai konsep lapisan batas, persamaan gerak yang biasanya disebut Navier-Stokes, dapat diturunkan ke bentuk yang dapat diselesaikan. Pengaruh viskositas terhadap aliran batas ditentukan dan koefisien gesekan sepanjang permukaan benda dapat dihitung[15].
Bilangan Reynold untuk suatu aliran fluida dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:
Re = U∞a
ν (2.6.1)
dengan :
Re = Bilangan Reynolds
U∞ = Kecepatan pada aliran bebas (ms) a = Panjang karakteristik
ν = Viskositas kinematik
Proses transfer yang berlangsung pada fluida dan benda padat adalah momentum massa dan perpindahan panas. Pada saat memformulasikan hukum kekekalan massa, momentum, dan energi, hukum termodinamik dan gas dinamik juga harus diperhatikan. Sehingga dapat disimpulkan bahwa bersama dengan aliran boundary layer, ada juga thermal boundary layer dan pengaruh timbal balik dari lapisan-lapisan batas lain juga harus diperhitungkan. Teori mengenai lapisan batas digunakan pada berbagai ilmu teknik sains, seperti hidrodinamik, aerodinamik, automobile, dan teknik[16].
2.7 Magnetohidrodinamik
Magnetohidrodinamik (MHD) adalah studi mengenai pergerakan aliran fluida yang dapat menghantarkan listrik (konduksi listrik) yang dipengaruhi oleh medan magnet[3].
Contoh fluida yang dapat menghantarkan listrik adalah plasma, logam cair, dan air garam atau elektrolit. MHD diperkenalkan dan dikembangkan oleh Hannes Alfven seorang fisikawan yang pernah mendapatkan nobel dalam fisika pada tahun 1970[3]. MHD berperan penting dalam fisika solar, astrofisika, fisika plasma, dan eksperimen plasma laboratorium. Himpunan persamaan yang menggambarkan MHD adalah kombinasi dari persamaan Navier-Stokes pada dinamika fluida dan persamaan Maxwell pada elektromagnetik[3]. Persamaan diferensial MHD harus
diselesaikan secara simultan, baik analitik maupun numerik.
Bentuk persamaan MHD terdiri dari persamaan fluida yakni persamaan kontinuitas, persamaan momentum, dan untuk persamaan pada medan magnetnya menggunakan persamaan Maxwell. Berikut ini adalah persamaan-persamaan dasar untuk membuat persamaan-persamaan MHD yang ideal:
Persamaan momentum:
ρdu
dt = −∇p + J × B Persamaan konservasi massa:
∂ρ
∂t + ρ(∇ · u) = 0 Persamaan konservasi energi:
d dt
p ργ
= 0 Persamaan Maxwell:
∇ · E = 1
0
p (2.7.1)
∇ · B = 0 (2.7.2)
∇ × E = −∂B
∂t
∇ × B = µ0J + 0µ0
∂E
∂t dengan:
B = Medan magnet E = Medan listrik
u = Kecepatan massa fluida J = Kerapatan arus
ρ = Massa jenis
p = Tekanan fluida t = Waktu
µ0 = Permeabilitas ruang hampa 4π × 10−7 NA2
dimana
∇ = ∂
∂xi + ∂
∂yj + ∂
∂zk
Pada persamaan MHD di atas, persamaan (2.7.2) pada persamaan Maxwell tidak digunakan. Persamaan (2.7.2) hanya dipakai saat kondisi awal saja. Selain itu, untuk kecepatan rendah, perpindahan arusnya bisa diabaikan atau dianggap nol[17]. Sehingga persamaan umum dari MHD menjadi:
−∇ × E = ∂B
∂t (2.7.3)
∂ρ
∂t + ρ(∇ · u) = 0 (2.7.4)
−∇p + J × B = ρ du dt
(2.7.5)
∇ × B = µ0J (2.7.6)
untuk mencari besar medan listrik, digunakan formulasi berikut :
E + u × B = ηJ (2.7.7)
jika η = 0 maka persamaan MHD dikatakan ideal.
2.8 Porositas dan Permeabilitas
Porositas adalah kemampuan suatu benda/media berpori (misalnya batuan atau tanah) untuk menyerap dan menahan suatu fluida di dalamnya. Porositas suatu benda erat
kaitannya dengan permeabilitas. Permeabilitas pada mekanika fluida (biasanya dilambangkan dengan (K∗)) adalah suatu parameter yang menunjukkan kemampuan suatu benda/media berpori (misalnya batuan, tanah, atau benda tidak terkonsolidasi) untuk memungkinkan suatu fluida mengalir melewatinya. Dalam mekanika fluida media berpori, persamaan momentum atau keseimbangan kekuatan memenuhi pengamatan eksperimen yang secara matematis sebagai hukum Darcy. Observasi ini pertama kali dilakukan oleh Darcy, yang menemukan bahwa daerah rata-rata kecepatan fluida melalui suatu kolom bahan berpori sebanding dengan tekanan gradien dibentuk sepanjang kolom.
Percobaan selanjutnya membuktikan bahwa daerah-rata-rata kecepatan berbanding terbalik dengan viskositas µ dari cairan yang merembes melalui bahan berpori. Dengan mengacu pada pengamatan Darcy diterapkan [11]:
u = K∗ µ
−dP dx
dan φ = aµ ρU∞K∗
dimana K∗ merupakan permeabilitas dan φ merupakan parameter porositas.
2.9 Skema Keller-Box
Metode Keller-Box adalah salah satu teknik untuk menyelesaikan persamaan parabolik, terutama persamaan lapisan batas. Skema ini merupakan bentuk implisit dengan keakurasiannya orde kedua baik terhadap ruang maupun waktu yang mana step size untuk waktu dan ruang tidak harus sama (non-uniform). Persamaan yang mempunyai bentuk persamaan diferensial parsial parabolik dapat diselesaikan dengan lebih efisien dan tepat dengan menggunakan metode ini. Berikut merupakan langkah-langkah penyelesaian dengan menggunakan metode Keller-box :
1. Persamaan orde dua atau orde tinggi diubah menjadi
persamaan diferensial orde satu.
2. Dilakukan diskritisasi dengan menggunakan beda hingga pusat.
3. Dilakukan linierisasi persamaan yang telah didiskritkan kemudian dijadikan dalam bentuk vektor matrik.
4. Hasil linierisasi diselesaikan dengan teknik eliminasi matriks blok tridiagonal.
Pada langkah diskritisasi dilakukan dengan menggunakan beda hingga pusat dengan skema seperti berikut
Gambar 2.1: Skema Keller-Box
dengan pemisalahan bahwa u = f0 maka
u = ∂f
∂η uni−1
2
= fin− fi−1n
∇x
sedangkan untuk
u = ∂f
∂t un−
1 2
i = fin− fin−1
∇t
METODE PENELITIAN
Pada bab ini dijelaskan mengenai langkah-langkah yang digunakan dalam penyelesaian masalah Tugas Akhir. Selain itu, dijelaskan prosedur dan proses tiap-tiap langkah yang dilakukan dalam penyelesaian Tugas Akhir.
3.1 Tahapan Penelitian
Penelitian Tugas Akhir ini dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :
a. Studi Literatur
Pada tahap ini akan dilakukan identifikasi masalah mengenai model matematika magnetohidrodinamik tak tunak dengan konveksi paksa pada fluida micropolar yang melalui bola berpori berdasarkan referensi yang didapat seperti referensi dari jurnal, buku, penelitian tesis, dan media-media lain yang dapat menunjang penelitian.
b. Mengkaji Model
Pada tahap ini akan dilakukan kajian mengenai model matematika dari referensi dengan mempertimbangkan karakteristik model untuk dihubungkan dengan model matematika magnetohidrodinamik tak tunak dengan konveksi paksa pada fluida micropolar yang melalui bola berpori yang akan dibentuk.
c. Analisis studi terkait
Pada tahap ini dilakukan analisis terhadap studi ilmu yang berkaitan dengan model matematika
21
magnetohidrodinamik tak tunak dengan konveksi paksa pada fluida micropolar yang melalui bola berpori.
Analisis mengenai hukum-hukum fisika atau studi lain yang berkaitan.
d. Mengembangkan model
Pada tahap ini akan dilakukan pengembangan model magnetohidrodinamik tak tunak dengan konveksi paksa pada fluida micropolar yang melalui bola berpori menggunakan continuum principle dan hukum-hukum fisika.
e. Metode Keller-Box
Pada tahap ini dilakukan pengembangan metode beda hingga implisit dengan skema Keller-Box untuk menyelesaikan model magnetohidrodinamik tak tunak dengan konveksi paksa pada fluida micropolar yang melalui bola berpori secara numerik.
f. Membuat Algoritma Program
Pada tahap ini, akan dibuat algoritma program dari pengelesaian beda hingga implisit dengan skema Keller-Box untuk menyelesaikan model matematika magnetohidrodinamik tak tunak dengan konveksi paksa pada fluida micropolar yang melalui bola berpori.
g. Membuat Program
Pada tahap ini dilakukan pembuatan program dengan menggunakan MATLAB R2013a.
h. Running (Verifikasi Model)
Program yang telah dibuat dijalankan dengan cara memasukkan inputan dan dianalisa hasil dari penyelesaian numeriknya. Pada tahap ini akan diverifikasi kembali tahap pembangunan model
matematik dari magnetohidrodinamik tak tunak dengan konveksi paksa pada fluida micropolar yang melalui bola berpori sampai pada hasil output.
i. Validasi model
Validasi model dilakukan untuk mengevaluasi keakuratan dan keandalan model yang telah dikembangkan. Pada tahap validasi akan dibandingkan hasil dari pengembangan model matematik magnetohidrodinamik tak tunak dengan konveksi paksa pada fluida micropolar yang melalui bola berpori dengan penelitian yang dilakukan oleh Rizky[8].
j. Simulasi Program
Dengan menggunakan program yang telah dibuat akan dilakukan simulasi dengan menggunakan beberapa nilai parameter inputan.
k. Analisis Hasil dan Pembahasan
Dengan menggunakan hasil dari simulasi akan dilakukan analiasis dan dibahas, untuk dicari solusi numerik terbaik dari model matematika magnetohidrodinamik tak tunak dengan konveksi paksa pada fluida micropolar yang melalui bola berpori.
l. Penarikan Kesimpulan dan Pemberian Saran
Pada tahap ini, akan dilakukan penarikan kesimpulan berdasarkan hasil akhir yang telah didapat serta pemberian saran untuk penelitian selanjutnya.
m. Penyusunan Laporan Hasil Penelitian
Pada tahap ini dilakukan penyususan hasil penelitian berdasarkan hasil analisis dan penelitian yang telah dilakukan.
3.2 Diagram Alir Metodologi Penelitian
Gambar 3.1: Diagram Alir Metodologi Penelitian
MODEL MATEMATIKA
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai pembentukan model matematika dari sistem magnetohidrodinamik tak tunak dengan konveksi paksa pada fluida micropolar yang melalui bola berpori. Berikut merupakan gambaran dari permasalahan yang akan di teliti pada tugas akhir ini
Gambar 4.1: (a) Model dari Keadaan Fisik Fluida Micropolar yang Melewati Bola Berpori Mengandung Magnet, (b) Sketsa Aliran dari Fluida yang Melewati Bola Berpori Bermagnet, (c) Bentuk dari Volume Kendali
25
Permasalahan pada penelitian ini adalah fluida micropolar yang tidak memuat medan magnet mengalir dari bawah ke atas dengan suhu tertentu dan kemudian bergerak melewati bola berpori yang mengandung magnet, sehingga terjadi tumbukan antara fluida dengan bola berpori yang mengakibatkan adanya gesekan antara kedua benda tersebut.
Gesekan antara fluida micropolar dan bola berpori akan membentuk suatu lapisan disepanjang permukaan bola yang disebut dengan lapisan batas [4]. Persamaan lapisan batas dapat dicari dengan menggunakan pendekatan volume kendali yang berbentuk kubus. Pada lapisan batas akan diambil elemen kecil yang kemudian disebut dengan volume kendali.
Pada gambar diketahui bahwa sebelum melewati bola berpori, fluida micropolar memiliki kecepatan sebesar U∞ dan suhu sebesar T∞. Ketika fluida micropolar melewati bola berpori dengan konveksi paksa terjadi perbedaan suhu pada fluida dan permukaan bola, dimana dalam penelitian ini suhu pada permukaan bola menjadi sebesar Tw. Berikut merupakan koordinat bola 3 dimensi
Gambar 4.2: Koordinat Bola 3 Dimensi
Pada penelitian ini konveksi yang digunakan adalah
konveksi paksa yang diberikan dari pematik api sehingga menyebar ke segala arah. Berdasarkan permasalahan tersebut pada bab ini akan dijelaskan mengenai pembentukan model matematika yang dimensional, kemudian ditransformasikan kedalam bentuk non-dimensional dan dilanjutkan dengan membentuk model similaritas. Kemudian persamaan similaritas yang telah didapat akan diselesaikan secara numerik dengan menggunakan skema Keller-Box.
4.1 Persamaan Pembangun
Persamaan pembangun yang digunakan pada sistem model matematika magnetohidrodinamik tak tunak dengan konveksi paksa pada fluida micropolar yang melewati bola berpori diperoleh dari persamaan Kontinuitas, persamaan Momentum, persamaan Momentum Angular, dan persamaan Energi. Berikut merupakan penjelasan dari penurunan persamaan pembangun.
4.1.1 Persamaan Kontinuitas
Persamaan Kontinuitas didapat dari prinsip fisika yaitu Hukum Konservasi Massa [19]. Adapun isi dari Hukum Konservasi Massa adalah total massa dalam suatu sistem bernilai konstan, dimana aliran massa yang melalui permukaan volume kontrol bernilai sama dengan laju perubahan massa terhadap waktu didalam volume kontrol, atau dengan kata lain laju perubahan massa terhadap waktu dalam sistem sama dengan nol [19]. Secara matematis hukum kekekalan massa dapat ditulis sebagai berikut :
DM∀
Dt = 0 (4.1.1)
dengan DtD merupakan substantial derivative yang menunjukkan laju perubahan suatu material terhadap waktu, dimana M∀ adalah massa sistem yang diamati dan
∀ sebagai volume dari fluida. Definisi substantial derivative apabila ditulis dalam bentuk koordinat cartesian adalah [19]
D Dt ≡ ∂
∂t+ u ∂
∂x + v ∂
∂y+ w ∂
∂z
Massa sistem didefinisikan sebagai jumlahan dari perkalian antara densitas fluida dengan volume fluida [20], sehingga secara matematis M∀ dapat ditulis sebagai berikut :
M∀ = Z Z Z
∀
ρ d∀ (4.1.2)
dari definisi diatas dapat diketahui bahwa densitas dari fluida adalah ρ, dan d∀ menunjukkan elemen volume dari volume kendali. Karena sistem adalah tak tunak dimana u, v, w merupakan fungsi dari waktu, maka besaran skalar dari densitas didefinisikan dengan
ρ = ρ(x, y, z, t)
Berdasarkan definisi yang ditunjukkan pada Persamaan (4.1.2) dan dilanjutkan dengan mensubstitusikan Persamaan yang didapat kedalam Persamaan (4.1.1) maka laju perubahan massa sistem terhadap waktu dapat didefinisikan dengan
DM∀
Dt = D
Dt Z Z Z
∀
ρ d∀
⇐⇒ 0 = D
Dt Z Z Z
∀
ρ d∀ (4.1.3)
untuk menyelesaikan Persamaan (4.1.3) akan digunakan sebuah teorema untuk menurunkan laju perubahan
massa terhadap waktu. Teorema yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan ini adalah Teorema Pengangkutan Reynolds dimana laju perubahan massa sistem dapat ditulis dengan persamaan sebagai berikut :
D Dt
Z Z Z
∀
ρ d∀ = ∂
∂t Z Z Z
∀
ρ d∀ + Z Z
A
ρ (u · ˆn) dA (4.1.4)
∂
∂t merupakan turunan parsial terhadap waktu, u adalah kecepatan fluida yang tegak lurus terhadap volume kendali yang memiliki komponen kecepatan yaitu u = (u, v, w), ˆn adalah vektor normal terhadap elemen luas (dA) dengan A yaitu luas permukaan volume kendali. Kemudian dengan mensubstitusi Persamaan (4.1.4) ke Persamaan (4.1.3) akan diperoleh Persamaan sebagai berikut :
0 = ∂
∂t Z Z Z
∀
ρ d∀ + Z Z
A
ρ (u · ˆn) dA (4.1.5)
Untuk menyelesaikan Persamaan (4.1.5) integral permukaan akan dirubah kedalam integral volume dengan menggunakan Teorema Divergensi Gauss. Integral permukaan didefinisikan sebagai :
Z Z
A
ρ (u · ˆn) dA = Z Z Z
∀
ρ∇ · u d∀ (4.1.6)
Kemudian dengan mensubstitusikan Persamaan (4.1.6) kedalam Persamaan (4.1.5) akan didapat persamaan sebagai berikut
∂
∂t Z Z Z
∀
ρ d∀ + Z Z Z
∀
ρ∇ · u d∀ = 0 (4.1.7)
Misalkan diambil elemen kecil yang berbentuk kubus untuk menggambarkan volume kendali, maka akan didapat suatu kondisi seperti yang terlihat pada gambar berikut :
Gambar 4.3: Volume kendali berbentuk kubus
Pada bagian pusat elemen volume kendali terdapat densitas (ρ) dan vektor kecepatan dengan komponen u, v, w.
Sehingga untuk menggambarkan laju aliran dari massa sistem akan diuraikan berdasarkan aliran massa yang keluar masuk pada masing-masing sumbu koordinat yang terdapat pada volume kendali. Berdasaran Hukum Konservasi Massa aliran massa yang masuk pada volume kendali bernilai sama dengan aliran massa yang keluar dari volume kendali. Sehingga jika aliran yang diambil adalah sumbu x maka aliran yang keluar masuk elemen adalah
Aliran massa sistem yang masuk pada sumbu-x adalah ρu = ρu|x−1
2δx
dengan menggunakan deret Taylor maka didapat penyelesaian sebagai berikut :
ρu(x−1
2δx) = ρu − ∂ρu
∂x 1 2δx + 0
= ρu −∂ρu
∂x 1 2δx
dengan cara yang sama pada aliran yang masuk pada sumbu-x maka aliran massa sistem yang keluar pada sumbu-x adalah
ρu = ρu|x+1
2δx
ρux+1
2δx = ρu +∂ρu
∂x 1 2δx
berikut merupakan aliran keluar masuk pada sumbu x
Gambar 4.4: Aliran keluar masuk massa pada sumbu x
Volume kendali memiliki koordinat sumbu 3 dimensi yaitu x, y, dan z. Gambar (4.4) menunjukkan bahwa jumlah aliran massa yang keluar pada arah-x didefinisikan sebagai :
Z Z Z
∀
ρu d∀ =
ρu +∂ρu
∂x 1 2δx
δyδz − h
ρu
−∂ρu
∂x 1 2δx
δyδz Z Z Z
∀
ρu d∀ = ∂ρu
∂x δxδyδz (4.1.8)
Berdasarkan pada Gambar (4.4) mengenai aliran keluar masuk massa pada sumbu x maka hal yang sama berlaku pada
sumbu y dan z. Berikut merupakan alur keluar-masuk aliran massa dalam elemen kubus :
Gambar 4.5: Aliran Massa Sistem pada Volume Kendali
sehingga jumlah aliran massa yang keluar pada arah-y didefinisikan sebagai :
Z Z Z
∀
ρv d∀ =
ρv + ∂ρv
∂y 1 2δy
δxδz −h ρv
−∂ρv
∂y 1 2δy
δxδz Z Z Z
∀
ρv d∀ = ∂ρv
∂y δxδyδz (4.1.9)
Jumlah aliran massa yang keluar pada arah-z didefinisikan sebagai :
Z Z Z
∀
ρw d∀ =
ρw + ∂ρw
∂z 1 2δz
δxδy−
dari Persamaan (4.1.8), (4.1.9), dan (4.1.10) akan didapat Persamaan sebagai berikut :
Z Z Z sehingga total dari aliran massa adalah
Z Z Z
δxδyδz (4.1.11)
sedangkan laju perubahan massa terhadap waktu dari jumlahan massa sistem dalam volume kendali yaitu :
∂ kemudian dengan mensubstitusikan Persamaan (4.1.11) dan (4.1.12) ke Persamaan (4.1.7) didapat penyelesaian sebagai berikut :
∂ρ
dengan merubah penulisan diatas menjadi notasi vektor untuk komponen kecepatan massa maka Persamaan (4.1.13) dapat ditulis menjadi :
∂ρ
∂t + ρ(∇ · u) = 0 (4.1.14) Karena fluida diasumsikan bersifat incompressible yang menunjukkan bahwa laju perubahan densitas fluida tidak bergantung terhadap waktu, oleh karena itu ∂ρ∂t = 0 , sehingga Persamaan (4.1.14) menjadi :
ρ(∇ · u) = 0
∇ · u = 0 (4.1.15)
Berdasarkan persamaan kontinuitas dari fluida micropolar yang melewati bola berpori seperti yang ditunjukkan oleh Persamaan (4.1.15) maka secara dimensional aliran fluida yang melewati bola dapat ditulis sebagai berikut
∂ ¯r ¯u
∂ ¯x +∂ ¯r¯v
∂ ¯y +∂ ¯r ¯w
∂ ¯z = 0 (4.1.16) dengan ¯r adalah dimensional jari-jari.
4.1.2 Persamaan Momentum
Persamaan momentum didapatkan dari prinsip fisika yaitu Hukum II Newton. Adapun isi dari Hukum II Newton adalah jumlah gaya yang bekerja pada suatu sistem merupakan hasil perkalian dari massa sistem dengan percepatan. Momentum didefinisikan sebagai perkalian antara massa dengan kecepatan. Jumlah gaya yang bekerja pada sistem bernilai sama dengan laju perubahan momentum linier. Sehingga apabila digunakan Hukum II Newton maka persamaan momentum dapat ditulis sebagai berikut
M a = ΣF
dengan a merupakan laju perubahan kecepatan terhadap waktu yang didefinisikan sebagai berikut
a = du dt dan
M∀= konstan
sehingga secara matematis Hukum II Newton dapat ditulis dengan [21]
M∀
dengan F adalah gaya yang bekerja pada sistem.
Persamaan Momentum pada Persamaan (4.1.17) dapat diturunkan dengan menggunakan Teorema Pengangkutan Reynolds sehingga menjadi Persamaan sebagai berikut
d
d dt
Z Z Z
∀
ρu d∀ = Z Z Z
∀
ρ ∂
∂t+ ∇ · u
ud∀
d dt
Z Z Z
∀
ρu d∀ = Z Z Z
∀
ρ ∂u
∂t + ∇ · (uu)
d∀(4.1.18)
dengan menggunakan sifat divergensi akan didapat :
∇ · (uu) = ((u · ∇)u) + (u(∇ · u))
Pada persamaan kontinuitas diketahui bahwa ∇ · u = 0 sehingga
∇ · (uu) = (u · ∇)u (4.1.19) substitusi Persamaan (4.1.19) ke Persamaan (4.1.18) maka didapat
d dt
Z Z Z
∀
ρu d∀ = Z Z Z
∀
ρ ∂u
∂t + (u · ∇)u
d∀
d dt
Z Z Z
∀
ρu d∀ = ρ ∂u
∂t + (u · ∇)u
δxδyδz (4.1.20)
kemudian dengan mensubstitusikan Persamaan (4.1.20) ke Persamaan (4.1.17) maka didapat Persamaan
ρ ∂u
∂t + (u · ∇)u
δxδyδz = ΣF (4.1.21) Gaya-gaya yang bekerja pada permukaan bola berpori meliputi gaya permukaan Fs, Gaya Apung Fbuo, gaya yang terjadi pada bola Fmag, dan gaya yang diakibatkan karena adanya pori pada bola Fpori sehingga dapat ditulis sebagai berikut
ΣF = Fs+ Fbuo− Fmag− Fpori (4.1.22)
Pada penelitian sebelumnya telah dibahas aliran fluida dengan menggunakan fluida bermagnet, sedangkan dalam Tugas Akhir ini diteliti mengenai fluida tidak bermagnet sedangkan bola berpori mengandung magnet. Hal ini mengakibatkan Fmag dan Fpori bernilai negatif, karena bola berpori mengeluarkan medan magnet. Oleh karena itu gaya yang bekerja pada sistem dinyatakan sebagai berikut
ρ ∂u
∂t + (u · ∇)u
= Fs
δxδyδz + Fbuo
δxδyδz − Fmag δxδyδz
− Fpori
δxδyδz (4.1.23)
4.1.2.1 Gaya Permukaan
Gaya permukaan (Fs) terjadi karena adanya interaksi antara gaya yang bekerja pada elemen dengan sekitarnya, dimana gaya ini dinyatakan dalam bentuk tegangan-tegangan.
Terdapat dua jenis tegangan yang bekerja pada volume kendali atara lain :
1. normal stress (σ) yaitu tegangan yang arahnya tegak lurus volume kendali.
2. shear stress (τ ) yaitu tegangan yang sejajar dengan volume kendali.
dimana tegangan permukaan untuk fluida micropolar didefinisikan dengan [3]:
σxx = 2(λ + µ)∂u
∂x σyy = 2(λ + µ)∂v
∂y σzz = 2(λ + µ)∂w
∂z τxy = τyx= (µ + κ) ∂v
∂x +∂u
∂y
Dengan menggunakan definisi diatas maka gaya permukaan yang terjadi pada volume kendali berbentuk 3 dimensi dan digambarkan oleh Gambar 4.6 dan 4.7 sebagai berikut
Gambar 4.6: Gambaran fisik gaya permukaan
Gambar 4.7: Komponen tegangan permukaan elemen fluida searah sumbu x, y, dan z
dengan memperhatikan Gambar (4.7) didapat dari arah-x
tegangan yang masuk adalah
dari arah-x tegangan yang keluar adalah
Fsx =
jumlah aliran gaya yang keluar pada arah-x didefinisikan sebagai :
Fsx=
dengan cara yang sama maka untuk jumlah aliran gaya yang keluar pada arah-y didefinisikan sebagai :
Fsy =
Sedangkan jumlah aliran gaya yang keluar pada arah-z didefinisikan sebagai :
Sedangkan jumlah aliran gaya yang keluar pada arah-z didefinisikan sebagai :