himpunan himpunan buka, buka, maka maka

,, (( ((aa bb)) ((aa bb )) d

d _p_p_q_q

   

adalah jarak titik adalah jarak titik p p((aa₁₁,,aa₂₂))

dan

dan qq((bb₁₁,,bb₂₂)) di dalamdi dalam 22

R R ..

Himpunan D tersebut ditunjukkan gambar berikut : Himpunan D tersebut ditunjukkan gambar berikut :

q q



D D . . p p = = (a(a11,a,a22)) Gambar 5.6. Gambar 5.6. Daerah buka dalam

Daerah buka dalam 22

R mempunyai peran penting dalammempunyai peran penting dalam topologi di

topologi di 22

R seperti pentingnya interval terbuka dalam topologiseperti pentingnya interval terbuka dalam topologi garis dari

garis dari 11 R

R atau R. Topologi dalamatau R. Topologi dalam 22

R tersebut dinamakantersebut dinamakan

Topologi Bidang Datar

Topologi Bidang Datar . Topologi ini juga termasuk topologi biasa. Topologi ini juga termasuk topologi biasa atau

atauusual topologyusual topology..

Beberapa pengertian juga didefinisikan sama dalam topologi bidang Beberapa pengertian juga didefinisikan sama dalam topologi bidang datar dari

datar dari 22

R , seperti titik interior, titik limit, himpunan buka,, seperti titik interior, titik limit, himpunan buka, himpunan tutup dan sebagainya.

himpunan tutup dan sebagainya.

7.7. Titik Interior dan Himpunan Buka pada R

7.7. Titik Interior dan Himpunan Buka pada R²²..

Misalkan A merupakan himpunan bagian dari Misalkan A merupakan himpunan bagian dari 22

R . Suatu titik . Suatu titik

A A p

p _{adalah titik interior dari A jika dan hanya jika p termuat di}_{adalah titik interior dari A jika dan hanya jika p termuat di} dalam cakram buka

dalam cakram buka D D_p_p yang termuat di dalam A, yaituyang termuat di dalam A, yaitu p p D D_p_p  A A

Demikian juga suatu himpunan A merupakan himpunan buka atau Demikian juga suatu himpunan A merupakan himpunan buka atau open set jika dan hanya jika setiap titik

open set jika dan hanya jika setiap titik dari A adalah titik interior.dari A adalah titik interior. Cakram buka pada bidang di

Cakram buka pada bidang di 22

R dan himpunan kosongdan himpunan kosong



adalahadalah himpunan bagian buka dalam

himpunan bagian buka dalam R R22..

Teorema-teorema dalam topologi garis berlaku juga secara analogik Teorema-teorema dalam topologi garis berlaku juga secara analogik dalam topologi bidang datar

dalam topologi bidang datar 22 R R ..

Teorema 5.4. Teorema 5.4. ::

Irisan sebarang dua cakaram buka juga merupakan cakram Irisan sebarang dua cakaram buka juga merupakan cakram buka. buka. Bukti : Bukti : Misalkan Misalkan 22 ₍₍ _,, ₎₎ ₁₁ 1 1



{{qq



R R / / d d _a_a_q_q



  D D dandan D D₂₂



{{qq



R R²² / / d d ₍₍_b_b_,,_q_q₎₎



  ₂₂}} Misalkan

Misalkan p p D D₁₁DD₂₂, maka, maka d d ₍₍_a_a_,,_p_p₎₎   ₁₁ dandan d d ₍₍_b_b_,,_p_p₎₎



  ₂₂ Himpunan

Himpunan r r mminin.{.{  11d d ((_a_a,,_p_p)),,  22 d d ((_b_b,,_p_p))}}00

Tentu ada cakram buka Tentu ada cakram buka

} } )) (( )) /( /( )) ,, {( {( )} )} / / { { 22 11₂₂ 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 )) ,, (( 2 2 r r p p y y p p x x y y x x r r d d R R q q D D_p_p

 

_p_p_q_q

     

Dimana

Dimana qq(( x x,,yy)) dandan p p(( p p₁₁,,pp₂₂))

Gambar 5.7. Gambar 5.7. Maka

Maka p p D D_p_p  D D11DD22_{, ini}_{, ini berarti bahwa p adalah titik interior.}_{berarti bahwa p adalah titik interior.}

Jadi

Jadi D D11DD22 buka.buka.

7.8.

7.8. Titik Limit atTitik Limit atau Titik Kumau Titik Kumpul dalampul dalam R R²²

Suatu titik

Suatu titik p p R R²² adalah titik limit atau titik kumpul dariadalah titik limit atau titik kumpul dari

2 2 R R A



jika dan hanya jika setiap himpunan buka yang memuat p,jika dan hanya jika setiap himpunan buka yang memuat p, yaitu

yaitu GG_p_p, memuat suatu titik dari A yang berbeda dengan titik p., memuat suatu titik dari A yang berbeda dengan titik p. Secara simbolik dapat didefinisikan sebagai berikut :

Secara simbolik dapat didefinisikan sebagai berikut :

Definisi 7.2 Definisi 7.2. :. :

Titik

Titik p p R R²² adalah titik limit atau titik kumpul dari A jika dan hanyaadalah titik limit atau titik kumpul dari A jika dan hanya jika

jika p pGG_p_p_dan_dan (( 22)) R R G G_p_p





_himpunan_himpunan _buka,_buka, _maka_maka

       (( {{ })}) (( A A GG_p_p pp Contoh 7.6. Contoh 7.6.:: . p . p D D22 . b . b  22 D D11 a . a .  11

Perhtikan himpunan A bagian dari Perhtikan himpunan A bagian dari 22

R R , , yaituyaitu } } 0 0 ,, sin sin / / )) ,, {( {(   

 _x_x_y_y _y_y _x_x _x_x

A ..

Himpunan A tersebut digambarkan sebagai berikut : Himpunan A tersebut digambarkan sebagai berikut :

1 1 p . p . A A X X B B -1 -1 Y Y Gambar Gambar 5.8.5.8.

Grafik A dari kiri ke kanan turun-naik dan memotong sumbu X Grafik A dari kiri ke kanan turun-naik dan memotong sumbu X menjadi penutup-penutup. Titik

menjadi penutup-penutup. Titik p p((00,,11₂₂)) adalah titik limit dari A,adalah titik limit dari A, karena himpunan A akan melalui cakram buka yan memuat p. karena himpunan A akan melalui cakram buka yan memuat p. Ternyata setiap titik pada sumbu Y yang terletak antara -1 dan 1, Ternyata setiap titik pada sumbu Y yang terletak antara -1 dan 1, yaitu titik-titik dalam himpunan

yaitu titik-titik dalam himpunan _B_B((_x_x,,_y_y)) / / _x_x00,,11 _y_y11}}

merupak

merupakan an titik limit dari titik limit dari AA 7.9.

7.9. Himpunan TutupHimpunan Tutup..

Himpunan bagian A dari Himpunan bagian A dari 22

R adalah himpunan tutup atauadalah himpunan tutup atau

closed set

closed set jika jika dan dan hanya hanya jika jika komplemenkomplemennya, nya, yaituyaitu cc

A , adalah, adalah himpunan buka dari

himpunan buka dari 22

R R .. Teorema-teorema pada bidang Teorema-teorema pada bidang 22

R analog dengan teorema-teoremaanalog dengan teorema-teorema pada gris R, seperti diuraiakan berikut :

pada gris R, seperti diuraiakan berikut :

Teorema 7.5. Teorema 7.5. ::

1. Gabungan dari himpunan bagian buka dariGabungan dari himpunan bagian buka dari 22 R

R adalahadalah himpunan buka.

himpunan buka.

2. Irisan sebanyak berhingga dari himpunan bagian buka dariIrisan sebanyak berhingga dari himpunan bagian buka dari

2 2

R adalah buka.adalah buka.

Teorema 7.6. Teorema 7.6. ::

Sebarang himpunan bagian Sebarang himpunan bagian 22

R merupakan himpunan tutupmerupakan himpunan tutup jika dan ha

jika dan hanya jika A memnya jika A memuat semua titik uat semua titik limit dari Alimit dari A

BAB VIII BAB VIII BASIS TOPOLOGI BASIS TOPOLOGI 8.1.

8.1. Basis TopologiBasis Topologi

Misalkan (X,T) merupakan ruang topologi. Suatu kelas B dari Misalkan (X,T) merupakan ruang topologi. Suatu kelas B dari himpunan bagian buka dari X dengan B

himpunan bagian buka dari X dengan B



T adalah adalahT adalah adalah basisbasis

untuk topologi T jika dan hanya jika setiap himpunan buka G untuk topologi T jika dan hanya jika setiap himpunan buka G



TT adalah gabungan dari anggota-anggota B .

adalah gabungan dari anggota-anggota B .

Atau didefinisikan lain dengan pernyataan yang ekivalen, yaitu Atau didefinisikan lain dengan pernyataan yang ekivalen, yaitu

Definisi 8.1. Definisi 8.1. ::



T adalahT adalah basisbasis untuk topologi T jika dan hanya jikauntuk topologi T jika dan hanya jika

))

(( p pGG _..



_B_B



B denganB dengan p p B BGG_..

Contoh 8.1.

Contoh 8.1.::

1. Setiap interval buka membentuk basis untuk topologi garis riilSetiap interval buka membentuk basis untuk topologi garis riil R. Hal ini disebabkan jika G

R. Hal ini disebabkan jika G



R merupakan himpunan bukaR merupakan himpunan buka dan

dan p



G , maka berdasarkan definisi ada interval buka (a,b)G , maka berdasarkan definisi ada interval buka (a,b) dengan p

dengan p



(a,b)(a,b)



G.G.

Demikian juga setiap cakram buka membentuk basis untuk Demikian juga setiap cakram buka membentuk basis untuk topologi pada

topologi pada 22

R R .. 2.

2. Persegi panjang buka di dalam bidangPersegi panjang buka di dalam bidang 22

R yang dibatasi olehyang dibatasi oleh sisi-sisi sejajar dengan sumbu X dan sumbu Y juga sisi-sisi sejajar dengan sumbu X dan sumbu Y juga membentuk basis

membentuk basis untuk topologi untuk topologi padapada 22

R R ..



p p BB

Sebab jika G Sebab jika G



R dan pdan p



G, maka cakram bukaG, maka cakram buka D D_p_p yangyang pusatnya p dengan

pusatnya p dengan p p D D_p_p GG. Maka sebarang persegi. Maka sebarang persegi panjang B

panjang B



B yang titik titik sudutnya terletak pada batasB yang titik titik sudutnya terletak pada batas

p p

D memenuhi sifat :memenuhi sifat : p p D D_p_p GG _atau_atau p p B BGG_{, seperti}_{, seperti}

ditunjukkan pada gambar di atas. ditunjukkan pada gambar di atas. 3.

3. Diketahui ruang diskrit (X,D), maka kelas = {{p}/pDiketahui ruang diskrit (X,D), maka kelas = {{p}/p



X} dariX} dari semua himpunan bagian singelton dari X adalah basis untuk semua himpunan bagian singelton dari X adalah basis untuk topologi diskrit D pada X . Untuk setiap himpunan singelton topologi diskrit D pada X . Untuk setiap himpunan singelton {p} adalah himpunan buka karena setiap A

{p} adalah himpunan buka karena setiap A



X merupakanX merupakan himpunan buka. Demikian juga setiap himpunan merupakan himpunan buka. Demikian juga setiap himpunan merupakan gabungan dari himpunan singelton.

gabungan dari himpunan singelton. Sehingga

Sehingga kelas dari kelas dari himpunan himpunan bagian bagian dari dari X X merupakanmerupakan basis untuk D jika dan hanya jika B* superkelas dari B, yaitu basis untuk D jika dan hanya jika B* superkelas dari B, yaitu B*



B.B.

Jika B kelas dari himpunan bagian X , maka kelas B merupakan basis Jika B kelas dari himpunan bagian X , maka kelas B merupakan basis untuk sebarang

untuk sebarang topologi pada X, topologi pada X, jika antara B jika antara B dan X dan X terdapatterdapat hubungan

hubungan X X {{ B B_ii/ / BB_ii B }. Hubungan ini hanya merupakan syaratB }. Hubungan ini hanya merupakan syarat cukup untuk dapat merupakan basis.

cukup untuk dapat merupakan basis.

Contoh 8.2.

Contoh 8.2.::

Misalkan X = {a,b,c}. Kita tunjukkan bahwa kelas yang Misalkan X = {a,b,c}. Kita tunjukkan bahwa kelas yang anggota-anggotan

anggota-anggotanya ya {a,b} {a,b} dan {b,c} dan {b,c} yaitu B yaitu B = {{a,b}, {b,c}}= {{a,b}, {b,c}} tidak merupakan basis dari sebarang topologi X karena {a,b} tidak merupakan basis dari sebarang topologi X karena {a,b} dan {b,c} adalah himpunan buka dan irisan {a,b} dan {b,c} dan {b,c} adalah himpunan buka dan irisan {a,b} dan {b,c} yaitu {b} juga merupakan himpunan buka, tetapi {b} bukan yaitu {b} juga merupakan himpunan buka, tetapi {b} bukan anggota dari gabungan anggota-anggota dari B.

anggota dari gabungan anggota-anggota dari B.

Teorema berikut merupakan syarat perlu dan cukup untuk kelas dari Teorema berikut merupakan syarat perlu dan cukup untuk kelas dari himpunan-himpunan yang merupakan basis untuk suatu topologi. himpunan-himpunan yang merupakan basis untuk suatu topologi.

Teorema 8.1. Teorema 8.1. ::

Misalkan B adalah kelas himpunan bagian dari sebarang Misalkan B adalah kelas himpunan bagian dari sebarang himpunan tidak kosong X. Maka B adalah basis untuk suatu himpunan tidak kosong X. Maka B adalah basis untuk suatu topologi pada X

topologi pada X jika dan hanya jika dan hanya jika memenuhi dua sifat jika memenuhi dua sifat sebagaisebagai berikut :

berikut : 1.

1. _X_X



_{_{_B_B_ii_/_/_B_B_ii



_{B }.}_{B }.}

2. Untuk sebarang himpunan B, ada himpunan B*Untuk sebarang himpunan B, ada himpunan B*



B B ,, B



B* B* merupakan merupakan gabungan gabungan dari anggota dari anggota anggota B,anggota B, atau, jika

atau, jika p p B B B B** makamaka  B B_p_p B B sedemikiansedemikian hingga

hingga p p B B_p_p  B B B B**_..

Misalkan B adalah kelas dari interval buka-tutup di dalam garis Misalkan B adalah kelas dari interval buka-tutup di dalam garis bilangan riil R yaitu :

bilangan riil R yaitu :

B = {(a,b]/a,b



R, a < b}R, a < b}

Ternyata R adalah gabungan dari anggota-anggota B karena setiap Ternyata R adalah gabungan dari anggota-anggota B karena setiap bilangan riil termasuk pada suatu interval buka-tutup.

bilangan riil termasuk pada suatu interval buka-tutup. Demikian juga irisan (a,b]

Demikian juga irisan (a,b]



(c,d] dari sebarang dua interval tutup-(c,d] dari sebarang dua interval tutup-buka adalah kosong atau interval tutup-buka-tutup.

buka adalah kosong atau interval buka-tutup. Misalnya, jika a < c < b < d , maka (a,b]

Misalnya, jika a < c < b < d , maka (a,b]



(c,d] = (c,b] yang(c,d] = (c,b] yang ditunjukkan diagram berikut :

ditunjukkan diagram berikut : o o oo

a c c b b dd

Jadi kelas yang memuat gabungan interval buka-tutup merupakan Jadi kelas yang memuat gabungan interval buka-tutup merupakan topologi pada R, yaitu B merupakan basis untuk topologi T pada R. topologi pada R, yaitu B merupakan basis untuk topologi T pada R. Topologi T tersebut disebut

Topologi T tersebut disebut batas atasbatas atasatauatau upper bounded upper bounded topologitopologi pada

pada R. Di sinR. Di sini i TT



U, dimana U topologi biasa.U, dimana U topologi biasa. Demikian juga kelas interval tutup-buka berikut : Demikian juga kelas interval tutup-buka berikut :

B = {[a,b)/a,b R, a < b} B = {[a,b)/a,b R, a < b} juga

juga merupakamerupakann basisbasis untuk topologi T pada R dan disebutuntuk topologi T pada R dan disebut batasbatas bawah

bawahatauataulower bounded lower bounded topologi pada R.topologi pada R.

8.2.

Misalkan (X,

Misalkan (X, T) T) ruang ruang topologi. Kelas topologi. Kelas S dari S dari himpunanhimpunan bagian buka dari X, yaitu S

bagian buka dari X, yaitu S



T adalahT adalah basis bagianbasis bagian atauatau subbasicsubbasic

untuk topologi T pada X jika dan hanya jika irisan berhingga dari untuk topologi T pada X jika dan hanya jika irisan berhingga dari anggota S membentuk basis dari T.

anggota S membentuk basis dari T.

Contoh 8.3.

Contoh 8.3.::

1. Perhatikan bahwa setiap interval buka (a,b) dalam garisPerhatikan bahwa setiap interval buka (a,b) dalam garis bilangan riil R adalah irisan dari dua interval buka tak hingga bilangan riil R adalah irisan dari dua interval buka tak hingga (a,

(a,



) ) dan dan (-(-



,b), yaitu ,b), yaitu : (a,b) : (a,b) = = (a,(a,



))



(-(-



,b),b)

Tetapi interval bukanya membentuk basis untuk topologi Tetapi interval bukanya membentuk basis untuk topologi pada R. Jadi kelas dari semua interval buka tak hingga adalah pada R. Jadi kelas dari semua interval buka tak hingga adalah basis bagian untuk R.

basis bagian untuk R. 2.

2. Irisan dari sebarangIrisan dari sebarang pita pita bukabuka vertikal dan horizontal tak vertikal dan horizontal tak hingga pada bidang

hingga pada bidang 22

R R

adalah persegi panjang buka seperti ditunjukkan pada gambar adalah persegi panjang buka seperti ditunjukkan pada gambar berikut : berikut : Y Y X X

Dari keterangan tersebut persegi panjang buka membentuk Dari keterangan tersebut persegi panjang buka membentuk basis untuk topologi

basis untuk topologi 22

R . Oleh karena itu kelas S dari semua. Oleh karena itu kelas S dari semua pita buka tak hingga adalah basis bagian untuk

pita buka tak hingga adalah basis bagian untuk 22 R R ..

8.3. Generator atau Pembentuk Topologi 8.3. Generator atau Pembentuk Topologi

Misalkan A adalah kelas himpunan bagian dari himpunan Misalkan A adalah kelas himpunan bagian dari himpunan yang tidak kosong X. Kelas tersebut kemungkinannya bisa yang tidak kosong X. Kelas tersebut kemungkinannya bisa membentuk basis dari topologi pada X bisa bukan basis. Tetapi selalu membentuk basis dari topologi pada X bisa bukan basis. Tetapi selalu merupakan generator atau pembentuk dari topologi pada X jika merupakan generator atau pembentuk dari topologi pada X jika memenuhi teorema sebagai berikut :

memenuhi teorema sebagai berikut :

Teorema 8.2. Teorema 8.2. ::

Suatu kelas A dari himpunan bagian dari himpunan tidak Suatu kelas A dari himpunan bagian dari himpunan tidak kosong

kosong X X dan dan A A merupakan basis merupakan basis bagian untuk bagian untuk suatusuatu topologi T yang unik pada X . Dikatakan A pembentuk atau topologi T yang unik pada X . Dikatakan A pembentuk atau pembangun atau generator suatu topologi pada X jika irisan pembangun atau generator suatu topologi pada X jika irisan tak hingga dari anggotanya membentuk basis untuk topologi tak hingga dari anggotanya membentuk basis untuk topologi T pada X.

T pada X.

Contoh 8.4.

Contoh 8.4.::

1. A = {{a,b},{b,c},{d}} adalah kelas dari himpunan-himpunanA = {{a,b},{b,c},{d}} adalah kelas dari himpunan-himpunan bagian dari X = {a,b,c,d}

bagian dari X = {a,b,c,d} Irisan terhingga

Irisan terhingga dari anggota-anggota A dari anggota-anggota A adalah kelasadalah kelas B = {{a,b},{b,c},{d},{b},Ø,X}. X

B = {{a,b},{b,c},{d},{b},Ø,X}. X  _B_{B karena}_{karena menurut}_menurut definisi X

definisi X adalah irisan kosong adalah irisan kosong dari anggota- anggota dari anggota- anggota A A .. Gabungan

Gabungan dari dari anggota-anggota anggota-anggota B B adalahadalah T =

T = {{a,b,c},{b,c,d},{a{{a,b,c},{b,c,d},{a,b,c}{a,b},{b,c},{b,b,c}{a,b},{b,c},{b,d}, {d},{b}, ,d}, {d},{b}, Ø, X,Ø, X, }}

dimana T merupakan topologi pada X yang dibentuk oleh dimana T merupakan topologi pada X yang dibentuk oleh kelas A.

kelas A. 2.

2. Misalkan (X,Misalkan (X,



) adalah TOSET yang tidak kosong. Topologi) adalah TOSET yang tidak kosong. Topologi pada X yang dibentuk oleh himpunan-himpunan bagian dari pada X yang dibentuk oleh himpunan-himpunan bagian dari X berbentuk : X berbentuk : } } ,, / / { { x x X X x x p p p pX X atauatau{{ x x X X / / p p x x,, p pX X }}

disebut topologi terurut pada X. disebut topologi terurut pada X.

Topologi yang dibentuk oleh kelas dari himpunan-himpunan dapat Topologi yang dibentuk oleh kelas dari himpunan-himpunan dapat juga diny

juga dinyatakan sepeatakan seperti proposisi sebrti proposisi sebagai berikuagai berikut :t :

Proposisi 8.1. Proposisi 8.1. ::

A adalah kelas himpunan bagian dari himpunan tidak kosong A adalah kelas himpunan bagian dari himpunan tidak kosong X. Suatu topologi T pada X, dikatakan dibentuk atau X. Suatu topologi T pada X, dikatakan dibentuk atau dibangun atau g

dibangun atau generated enerated oleh A oleh A yang yang merupakan merupakan irisan dariirisan dari semua topologi pada X memuat A .

semua topologi pada X memuat A .

8.4.

8.4. Basis Lokal.Basis Lokal.

Misalkan p adalah sebarang titik di dalam ruang topologi (X, Misalkan p adalah sebarang titik di dalam ruang topologi (X, T). Kelas B

T). Kelas Bpp dari himpunan bagian buka yang memuat p disebutdari himpunan bagian buka yang memuat p disebut

basis lokal

basis lokalpada p jika dan hanya jika untuk setiap himpunan buka Gpada p jika dan hanya jika untuk setiap himpunan buka G yang memuat p tentu ada G

Contoh 8.5.

Contoh 8.5.::

Pada topologi biasa pada bidang Pada topologi biasa pada bidang 22

R diketahui pdiketahui p



R . Maka. Maka kelas B

kelas Bpp yang anggotanya semua bola buka yang pusatnya pyang anggotanya semua bola buka yang pusatnya p adalah basis lokal pada p. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa adalah basis lokal pada p. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa setiap himpunan buka G yang memuat p juga memuat cakram setiap himpunan buka G yang memuat p juga memuat cakram buka

buka D D_p_p yang pusatnya di p seperti ditunjukkan pada gambaryang pusatnya di p seperti ditunjukkan pada gambar berikut berikut p p D D ..pp G G

Demikian juga kelas dari semua interval buka

(a-Demikian juga kelas dari semua interval buka (a-



, , a+a+



)) dalam garis riil R dengan pusat a

dalam garis riil R dengan pusat a



R adalah basis lokal padaR adalah basis lokal pada titik a.

titik a. Proposisi berikut

Proposisi berikut menggambarkan menggambarkan hubungan hubungan antara antara basis basis untuk untuk topologi dan basis lokal pada suatu titik.

topologi dan basis lokal pada suatu titik.

Proposisi 8.2. Proposisi 8.2. ::

Jika

Jika basis untuk topologi pada basis untuk topologi pada X dan X dan p X, p X, maka anggota-maka anggota-anggota dari basis yg memuat p membentuk basis lokal di p. anggota dari basis yg memuat p membentuk basis lokal di p.

Proposisi 8.3. Proposisi 8.3. ::

Titik p di dalam ruang topologi X adalah titik limit dari A Titik p di dalam ruang topologi X adalah titik limit dari A



X jika dan hanya jika setiap anggota suatu basis lokal B X jika dan hanya jika setiap anggota suatu basis lokal Bpppadapada p memuat suatu titik dari A yang berbeda dengan p.

p memuat suatu titik dari A yang berbeda dengan p.

Proposisi 8.4. : Proposisi 8.4. :

Barisan

 

aa₁₁,,aa₂₂,,aa₂₂,...,...



dari titik-titik dalam ruang topologi Xdari titik-titik dalam ruang topologi X konvergen ke

konvergen ke p p X X _{jika dan hanya jika setiap anggota dari}_{jika dan hanya jika setiap anggota dari}

sebarang basis lokal B

sebarang basis lokal Bpppada p memuat suku2 dari barisan itu.pada p memuat suku2 dari barisan itu. Dari proposisi tersebut diperoleh

Dari proposisi tersebut diperoleh kesimpulan bahwa, jika kesimpulan bahwa, jika suatu basissuatu basis B untuk topologi T pada X, maka

B untuk topologi T pada X, maka

a. pp



X adalah titik limit dari AX adalah titik limit dari A



X jika dan hanya jika setiapX jika dan hanya jika setiap himpunan buka B

himpunan buka B_B_{B yang}_{yang memuat p,}_{memuat p, memuat suatu}_{memuat suatu titik}_titik dari A yang berbeda dengan p.

dari A yang berbeda dengan p. b.

b. BarisanBarisan

 

aa₁₁,,aa₂₂,,aa₂₂,...,...



dari titik-titik dalam X dari titik-titik dalam X konvergekonvergen ke pn ke p



X jika dan hanya jika setiap himpunan basis buka BX jika dan hanya jika setiap himpunan basis buka BBB yang memuat p, memuat semua suku-suku dari barisan itu. yang memuat p, memuat semua suku-suku dari barisan itu.

Contoh 8.6.

Contoh 8.6.::

Misal T topologi pada garis riil R yang basisnya kelas interval Misal T topologi pada garis riil R yang basisnya kelas interval tutup-buka [a,b). Jika A = (0,1) dan G = [1,2) merupakan tutup-buka [a,b). Jika A = (0,1) dan G = [1,2) merupakan suatu topologi T dari himpunan buka yang memuat 1 suatu topologi T dari himpunan buka yang memuat 1



RR yang

yang mana mana GG



A =A =



, jadi 1 adalah bukan titik limit dari, jadi 1 adalah bukan titik limit dari A.

A. Tetapi 0

Tetapi 0



R adalah titik limit dari A, karena suatu himpunanR adalah titik limit dari A, karena suatu himpunan basis buka [a,b) memuat 0, yaitu untuk

basis buka [a,b) memuat 0, yaitu untuk aa





bbmemuatmemuat titik-titik dari A selain 0

titik-titik dari A selain 0 SOAL :

SOAL : 1.

1. Buktikan bahwa :Buktikan bahwa : a.

a. Jika B kelas bagian dari topologi T, maka setiap GJika B kelas bagian dari topologi T, maka setiap GTT adalah g

adalah gabungan dari abungan dari anggota-anggota anggota-anggota B.B. b.

b. Jika B kelas bagian dari topologi T, maka untuk pJika B kelas bagian dari topologi T, maka untuk p anggota himpunan buka G, ada

anggota himpunan buka G, ada _B_B_p_p _{B sedemikian}_{B sedemikian} hingga

hingga p p B B_p_p GG

2. Misalkan B adalah basis untuk topologi T pada X dan B*Misalkan B adalah basis untuk topologi T pada X dan B* adalah kelas dari himpunan-himpunan buka yang memuat B, adalah kelas dari himpunan-himpunan buka yang memuat B, yaitu B

yaitu BB*B*  T . Buktikan bahwa B* adalah basis untuk T.T . Buktikan bahwa B* adalah basis untuk T. 3.

3. Misalkan X = {a,b,c,d,e} dan A = {{a,b,c},{c,d},{d,e}}.Misalkan X = {a,b,c,d,e} dan A = {{a,b,c},{c,d},{d,e}}. Carilah topologi pada X yang dibentuk oleh A.

Carilah topologi pada X yang dibentuk oleh A. 4.

4. Misalkan Misalkan adalah adalah kelas kelas dari dari semua semua setengah setengah bidang bidang buka buka HH dalam bidang

dalam bidang 22

R yang berbentuk yang berbentuk

H = {(x,y)/x<a atau x>a atau y<a atau y>a} H = {(x,y)/x<a atau x>a atau y<a atau y>a} Carilah topologi pada

Carilah topologi pada 22

R yang dibentuk oleh A.yang dibentuk oleh A.

BAB IX BAB IX KONTINUITAS KONTINUITAS

. x . x . y . y . z . z . w . w a . a . b . b . c . c . d . d . . x . x . y . y . z . z . w . w a . a . b . b . c . c . d . d . 9.1.

9.1. Fungsi Kontinu.Fungsi Kontinu.

Diketahui ruang

Diketahui ruang topologi (X,T) topologi (X,T) dan dan (Y,T*) . (Y,T*) . SuatuSuatu fungsi f dari X ke Y dikatakan

fungsi f dari X ke Y dikatakan kontinukontinu (relatif) terhadap T(relatif) terhadap T dan T*

dan T* atau atau kontinu T-T* atau kontinu jika kontinu T-T* atau kontinu jika dan hanya dan hanya jikajika bayangan invers

bayangan invers f f ^^¹¹((GG))dari setiap T* dengan G himpunandari setiap T* dengan G himpunan buka dari

buka dari Y adalah Y adalah anggota T anggota T yang yang merupakan himpunanmerupakan himpunan buka dari X, atau secara simbolik didefinisikan sebagai buka dari X, atau secara simbolik didefinisikan sebagai berikut berikut Definisi 9.1. Definisi 9.1. ::    GG (( T *) .T *) . f f ^^¹¹((GG)) T.T.

Fungsi f tersebut sering kali juga kita tulis f : (X, T)



(Y, T*) yang(Y, T*) yang menunjukkan fungsi di dalam ruang topologi.

menunjukkan fungsi di dalam ruang topologi.

Contoh 9.1.

Contoh 9.1.::

1. Diberikan Diberikan X = X = {a,b,c,d} dan T = {a,b,c,d} dan T = {{



,X,{a},{a,b},{a,b,c}},X,{a},{a,b},{a,b,c}} Y = {x,y,z,w} dan T* = {

Y = {x,y,z,w} dan T* = {



,Y,{x},{y},{x,y},{y,z,w}},Y,{x},{y},{x,y},{y,z,w}}

Dalam dokumen Rangkum topologi (Halaman 38-47)