Meskipun secara lokal semua ruang - waktu mempunyai struktur kausalitas yang sama dengan ruang Minkowski, hal ini tidak selalu terjamin berlaku secara glo–
bal. Ruang waktu S1× R3yang dibentuk dengan membuat pemetaan identitas antara x0 = 0 dan x0 = 1 pada hyperplane ruang Minkowski akan mempunyai kurva bak-waktu tertutup yang dibangkitkan oleh medan vektor ∂x∂0, padahal ruang Minkows-ki sendiri tidak mempunyai struktur seperti ini. Secara umum, ruang - waktu yang mengijinkan kurva kausal tertutup tidak dapat dianggap sebagai ruang - waktu yang realistis secara fisis. Seseorang yang kembali ke masa lalu dan membunuh dirinya yang lain dimasa itu akan mempunyai masalah dengan eksistensi dirinya. Paradok
inilah yang menyebabkan ruang - waktu yang mengijinkan kurva kausal tertutup di-anggap tidak realistis, tetapi secara matematis tidak ada argumentasi untuk menolak eksistensinya.
Gambar V.2: Bidang ruang Minkowski (R2, −dx0⊗ dx0+ dx1⊗ dx1) yang dibatasi oleh batas-batas x0 = 1 dan x0 = 0 dapat mempunyai kurva bak-waktu tertutup ketika batas - batasnya saling disambung membentuk ruang-waktu S1× R
Definisi V.5
Himpunan kesalahan kronologi (chronology violating set) adalah himpunan titik - titik p ∈ M yang padanya dapat ditemukan kurva bak-waktu tertutup yang melaluinya. Sedangkan himpunan kesalahan kausalitas (causality violating set) dibe–
rikan oleh himpunan titik - titik p ∈ M yang padanya dapat ditemukan kurva kausal tertutup yang melaluinya.
Kondisi kronologis (atau kondisi kausalitas) terpenuhi pada (M, g) jika him-punan kesalahan kronologi (atau himhim-punan kesalahan kausalitas) kosong. Ruang-waktu yang memenuhi kondisi kronologis (atau kausalitas) disebut ruang-Ruang-waktu yang kronologis (atau ruang-waktu kausal).
Lemma V.5 Setiap unsur p dalam himpunan kesalahan kronologis (atau kesalahan kausalitas) dapat dinyatakan sebagai p ∈ I+(p) ∩ I−(p) (atau J+(p) ∩ J−(p)).
Bukti: Jika p unsur dalam himpunan kesalahan kronologis, tentulah p ∈ I+(p) dan terdapat kurva γ yang menghubungkan p dan q. Tetapi karena γ kompak, akan ter-dapat ri ∈ γ sedemikian rupa ri+1 ∈ I+(ri) dan lingkungan - lingkungan I+(ri) mengkover seluruh γ. Dengan demikian terdapat kurva bak-waktu dari p ke q. argu-mentasi yang sama diterapkan untuk memperoleh kurva bak-waktu dari q ke p. Oleh karena itu p ∈ I+(p) ∩ I−(p). Hal yang sama dapat diterapkan pada himpunan
kesalahan kausalitas.
Ruang waktu yang memenuhi kondisi kausalitas tetapi mengijinkan keber-adaan kurva kausal yang "hampir" berpotongan juga tidak dapat dikatakan realis-tis. Sedikit gangguan pada medan metriknya akan menyebabkan terjadinya kesala-han kausalitas. Sifat ini untuk mengungkapkan stabilitas ruang-waktu dalam mem-pertahankan bentuknya di bawah gangguan kecil. Dengan demikian, ruang-waktu yang "berdekatan" mempunyai sifat - sifat yang sama dengan ruang-waktu terse-but. "Kedekatan" ruang-waktu tersebut terungkap dalam tingkat deferensiablitas him-punan medan metrik pada ruang-waktu. Medan metrik g dikatakan medan metrik-Cr dengan r ≥ 0 jika dapat didifferensialkan hingga derajat ke-r. Katakanlah Lorr(M) menyatakan himpunan semua medan metrik Lorentzian yang differensiabel hingga derajat ke-r. g, ˜g ∈ Lorr(M) dikatakan saling "berdekatan" apabila mempunyai nilai yang berdekatan hingga derajat differensial ke-r. Untuk lebih mudahnya, stabil-itas ruang-waktu berikut hanya akan diungkapkan dalam tingkat kedekatan terendah yaitu kedekatan nilainya saja. Dengan demikian pada Lor0(M) dapat disusun suatu lingkungan tebuka pada g ∈ Lor0(M) sebagai Uδ(g) := {ˆg ∈ Lor0(M) ||ˆg − g| < δ }
; dengan δ: M → (0, ∞). Dalam Lor0(M) secara alamiah dapat didefinisikan relasi partial ordering < yang dinyatakan sebagai berikut: g < ˆg jika dan hanya jika setiap vektor kausal menurut g adalah vektor bak-waktu menurut ˆg.
Definisi V.6
Ruang waktu (M, g) dikatakan kausal kuat (strongly causal) jika pada setiap p ∈ M, dapat ditemukan suatu lingkungan U dari p sedemikian rupa sehingga tidak terdapat kurva kausal yang melewati U lebih dari sekali.
Ruang waktu (M, g) dikatakan kausal stabil (stably causal) jika terdapat ˆg ∈ Lor0(M) sedemikian rupa sehingga g < ˆg dan (M, ˆg) memenuhi kondisi kausal.
Dengan demikian, pada ruang-waktu yang kausal stabil dengan g < ˆg dapat disusun gλ ∈ Lor0(M) yang dinyatakan dengan gλ = g + λ2(ˆg − g) untuk λ ∈ [0, 2]
yang masing- masing mengijinkan ruang waktu kausal.
Lemma V.6 Sembarang ruang-waktu yang kausal stabil mengijinkan "fungsi waktu"
(fungsi kontinyu yang mempunyai nilai makin besar sepanjang kurva kausal berarah ke masa depan).
Bukti: Menggunakan ukuran volume µ pada M menurut g sedemikian rupa sehingga µ[M] = (µM) < ∞, dapat didefinisikan suatu fungsi t−λ(p) := µ[Iλ−(p)] dengan Iλ−(p) menyatakan masa lalu kronologis titik p menurut gλ. Jelas t−λ(p) merupakan fungsi yang naik sepanjang kurva kausal berarah ke masa depan, akan tetapi tidak selalu berubah secara kontinyu. Salah satu upaya agar didapat suatu fungsi kontinyu adalah dengan membuat rerata t−λ(p) pada suatu interval nilai λ. Sebelumnya ukuran volume dinormalkan menjadi µ[M] = 1 sehingga 0 < t−λ(p) < 1, ∀p ∈ M. Rerata fungsi diberikan oleh
t(p) = Z 1
0
t−λ(p)dλ.
Karena setiap t−λ(p) naik sepanjang kurva kausal berarah ke masa depan, maka begitu juga t(p). Diambil suatu lingkungan konveks B dari p dengan µ[B] < /2, ∈ (0, 1).
Akan dapat ditemukan suatu lingkungan V dari p sehingga
Iλ−(V, B) ∩ ∂B ⊂ Iλ+/2− (p, B) ∩ ∂B, λ ∈ [0, 1]
yang berakibat
Iλ−(q, M) − B ⊂ Iλ+/2− (p, M) − B, ∀q ∈ V, λ ∈ [0, 1]
Sehingga
t−λ(q) ≤ t−λ+/2(p) + /2, ∀q ∈ V.
yang memberikan rerata t(q) ≤ t(p) + ∀q ∈ V. Ini menunjukkan t(p) memenuhi sifat upper semi-continous. Lingkungan V dapat ditentukan karena beberapa alasan berikut: a) untuk 0 ≤ λ < λ0 ≤ 2 akan terdapat suatu lingkungan V[λ, λ0] dari p sedemikian rupa sehingga
Iλ−(V[λ, λ0], B) ∩ ∂B ⊂ Iλ−0(p, B) ∩ ∂B (V.1)
Tentu saja V[λ, λ0] tidak tunggal, dan setiap lingkungan dari p yang berada didalam-nya juga akan memenuhi persamaan V.1. b) Jika λ < λ1 < λ01 < λ0 maka V[λ1, λ01] juga memenuhi persamaan V.1. c) Bila diambil n ≥ 2/, maka lingkungan terbuka dari p yang didefinisikan dengan V :=T2n
i=0V[2ni ,i+12n] dapat diambil sebagai V[λ, λ0] untuk setiap λ, λ0 dengan n1 ≤ λ0 − λ, λ ∈ [0, 1], khususnya λ0 = λ + /2. Sifat lower semi-continous pada t(p) yaitu t(q) > t(p)+, ∀q ∈ V dapat dipenuhi karena keberadaan lingkungan V yang memenuhi
Iλ−(p, B) ∩ ∂B ⊂ Iλ+/2− (q, B) ∩ ∂B, ∀q ∈ V, λ ∈ [0, 1]
Karena mempunyai limit batas atas dan batas bawah yang sama, maka telah dapat
dibuktikan kekontinyuan t(p).
Lemma V.7 Ruang-waktu yang mengijinkan suatu "fungsi temporal" (yaitu fungsi yang gradiennya bak-waktu di mana-mana dan berarah ke masa lalu) merupakan
ruang-waktu yang kausal stabil.
Bukti: Katakanlah f adalah suatu fungsi temporal, dan γ kurva bak-waktu berarah ke masa depan. Gradf = ∇f akan memenuhi g( ˙γ, ∇f ) > 0 atau ˙γ(f ) > 0. Dengan demikian f mempunyai nilai yang terus naik sepanjang γ, sehingga tidak mungkin nilai f kembali ke nilai awalnya. Ini berarti (M, g) bersifat kronologis. Penormalan terhadap ∇f yaitu g(∇f, ∇f ) = −1 akan menyebabkan g dapat dinyatakan sebagai g = −df ⊗df +h, dengan h merupakan pembatasan g pada bundel ortogonal terhadap
∇f dan df = (∇f )[. Kemudian didefinisikan gλ = −λdf ⊗ df + h, λ > 0. Oleh karena itu f masih merupakan fungsi temporal menurut gλdan gλmengijinkan ruang-waktu yang bersifat kausal karena g = g1 < gα, untuk α > 1. Berpatokan pada lemma V.6 dan lemma V.7 diperoleh kesimpulan berikut ini.
Simpulan V.4 Ruang-waktu (M, g) kausal stabil jika dan hanya jika mengijinkan fungsi waktu.
Hubungan antara kausal stabil dan kausal kuat dinyatakan dalam simpulan di bawah ini.
Simpulan V.5 Kausal stabil berakibat kausal kuat.
Bukti: Apabila kausal stabil dipenuhi, maka ruang - waktu dengan medan metrik yang pada setiap titiknya mempunyai kerucut cahaya lebih lebar dari medan metrik awal tetap tidak mengijinkan kurva bak-waktu tertutup. Oleh karena itu ruang - waktu dengan medan metrik awal tentulah juga tidak mengijinkan kurva bak-waktu tertutup.