LANDASAN TEORI
2.4 Logika Fuzzy
2.4.3 Metode Mamdani
Metode Mamdani sering dikenal sebagai metode Max-Min. Metode ini diperkenalkan oleh Ebrahim Mamdani pada tahun 1975. Untuk mendapatkan output, diperlukan 4 tahapan:
1. Pembentukan himpunan fuzzy
Pada metode Fuzzy – Mamdani, baik variabel input maupun variabel output dibagi menjadi satu atau lebih himpunan fuzzy.
2. Aplikasi fungsi implikasi (aturan)
Pada metode Fuzzy – Mamdani, fungsi implikasi yang digunakan adalah Min.
(� ,� ) 3. Komposisi aturan
Ada 3 metode yang digunakan dalam melakukan inferensi sistem fuzzy, yaitu max, additive dan probabilistik OR.
a. Metode Max (maximum). Secara umum dapat dituliskan:
Pada metode ini, solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara mengambil nilai maksimal aturan, kemudian menggunakannya untuk memodifikasi daerah fuzzy, dan mengaplikasikannya ke output dengan menggunakan operator OR (union). Jika semua proposisi telah dievaluasi, maka output akan berisi suatu himpunan fuzzy yang merefleksi konstribusi dari tiap-tiap proposisi. Secara umum dapat dituliskan:
� = � ,�
Dengan:
� = nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai aturan ke i.
� = nilai keanggotaan konsekuan fuzzy aturan ke i. Misalkan ada 3 aturan (proposisi) sebagai berikut:
[R2] JIKA Biaya produksi STANDAR MAKA Produksi barang NORMAL; [R3] JIKA Biaya produksi TINGGI DAN Permintaan TURUN MAKA
Produksi barang BERKURANG;
RENDAH NAIK BERTAMBAH
STANDAR tak ada input NORMAL
TINGGI TURUN BERKURANG
Gambar 2.8 Komposisi Aturan Fuzzy Metode MAX (Sumber: Sri Kusumadewi, 2002)
b. Metode Additive (Sum)
Pada metode ini, solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara melakukan bounded-sum terhadap semua output daerah fuzzy. Secara umum dituliskan:
� = (1,� +� )
2. Aplikasi operasi fuzzy (And = Min)
3. Aplikasi metode implikasi
(min)
JIKA Biaya produksi RENDAH DAN Permintaan NAIK MAKA Produksi Barang BERTAMBAH
1.Input fuzzy
JIKA Biaya produksi STANDAR MAKA Produksi barang NORMAL
Dengan:
� = nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai autan ke-i
� = nilai keanggotaan konsekuen fuzzy aturan ke-i
c. Metode Probabilistik OR
Pada metode ini, solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara melakukan produk terhadap semua output daerah fuzzy. Secara umum dituliskan:
� = � +� −(� x � ) Dengan:
� = nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai aturan ke-i
� = nilai keanggotaan konsekuen fuzzy aturan ke-i. 4. Penegasan (defuzzyfication)
Input dari proses defuzzyfication adalah suatu himpunan fuzzy yang diperoleh dari komposisi aturan – aturan fuzzy, sedangkan output yang dihasilkan merupakan suatu bilangan pada domain himpunan fuzzy tersebut. Sehingga jika diberikan suatu himpunan fuzzy dalam range tertentu, maka harus dapat diambil suatu nilai crisp tertentu sebagai output seperti terlihat pada gambar 2.9.
Daerah fuzzy`A’
Daerah fuzzy`B’ Daerah fuzzy`C’ Nilai yang diharapkan Output: Daerah Fuzzy 'D’
Ada beberapa metode defuzzyfication pada komposisi aturan MAMDANI, antara lain:
a. Metode Centroid (Composite Moment)
Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil titik pusat (z*) daerah fuzzy. Secara umum dirumuskan:
Untuk variabel kontinu
∗ = �
� (2.1)
Untuk variabel diskrit
∗ = =1 � � =1 (2.2) Di mana: ∗ = Nilai domain ke - � = Derajat keanggotaan b. Metode Bisektor
Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai pada domain fuzzy yang memiliki nilai keanggotaan setengah dari jumlah total nilai keanggotaan pada daerah fuzzy.
Secara umum dituliskan:
sedemikian hingga � ℜ1 = �ℜ ( ) c. Metode Mean of Maximum (MOM)
Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai rata – rata domain yang memiliki nilai keanggotaan maksimum.
d. Metode Largest of Maximum (LOM)
Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai terbesar dari domain yang memiliki nilai keanggotaan maksimum.
e. Metode Smallest of Maximum (SOM)
Pada metode ini, solusi crisp diperoleh dengan cara mengambil nilai terkecil dari domain yang memiliki nilai keanggotaan maksimum.
2.4.4 Metode Sugeno
Penalaran metode Sugeno ini hampir sama dengan penalaran Mamdani, hanya saja output sistem pada metode Sugeno tidak berupa himpunan fuzzy, melainkan berupa konstanta atau persamaan linier. Metode ini diperkenalkan oleh Takagi-Sugeno Kang pada tahun 1985. Perbedaan antara Metode Mamdani dan Metode Sugeno ada pada konsekuen. Metode Sugeno menggunakan konstanta atau fungsi matematika dari pariable input:
JIKA x adalah A DAN y adalah B MAKA z = f(x,y)
Di mana A dan B adalah himpunan fuzzy pada antiseden, dan z = f(x,y) merupakan fungsi crisp konsekuen.
Untuk memperoleh output diperlukan 4 tahapan, diantaranya:
1. Pembentukan himpunan fuzzy
Pada metode Fuzzy-Sugeno, baik variabel input maupun variabel output dibagi menjadi satu atau lebih himpunan fuzzy.
2. Aplikasi fungsi implikasi (aturan)
Menurut Cox (1994) metode Fuzzy-Sugeno terdiri dari dua jenis, yaitu: a. Model Fuzzy-Sugeno orde nol
Secara umum bentuknya adalah:
JIKA (x1 adalah A1) ◦ (x2 adalah A2) ◦ (x3 adalah A3) ◦ ... ◦ (xi adalah Ai) THEN z = k
b. Model Fuzzy-Sugeno orde satu Secara umum bentuknya adalah:
JIKA (x1 adalah A1) ◦ (x2 adalah A2) ◦ ... ◦ (xi adalah Ai) MAKA z =
1∗ 1+⋯+ ∗ +
Dengan A1 adalah himpunan Fuzzy ke-i sebagai antiseden, konstanta tegas ke-i dan q konstanta pada konsekuen.
3. Komposisi aturan
Apabila sistem terdiri dari beberapa aturan, maka inferensi diperoleh dari kumpulan dan korelasi antar aturan. Metode yang digunakan dalam melakukan inferensi sistem fuzzy ini adalah Metode Max (Maximum) yaitu menghitung hasil dari =1� dengan R banyaknya rule, � fire strength ke-r.
Metode Max (Maximum)
Pada metode ini, solusi himpunan fuzzy diperoleh dengan cara mengambil nilai maksimum aturan, kemudian menggunakan nilai tersebut untuk memodifikasi daerah fuzzy dan mengaplikasikannya ke output dengan menggunakan operator OR (gabungan). Jika semua proporsi telah dievaluasi, maka output akan berisi himpunan fuzzy yang merefleksikan kontribusi dari tiap-tiap proporsi. Secara umum dapat dituliskan:
� = � ,�
Dengan:
� = nilai keanggotaan solusi fuzzy sampai aturan ke-i
� = nilai keanggotaan konsekuen fuzzy aturan ke-i 4. Penegasan (defuzzyfication)
Masukan dari proses penegasan adalah suatu himpunan fuzzy yang diperoleh dari komposisi aturan-aturan fuzzy, sedangkan output yang dihasilkan merupakan suatu bilangan real yang tegas. Jika diberikan suatu
himpunan fuzzy dalam range tertentu, maka dapat diambil suatu nilai tegas tertentu sebagai output.
Menurut Sri Kusumadewi (2010) pada proses ini output berupa bilangan crisp. Penegasan dilakukan dengan cara mencari nilai rata-ratanya yaitu:
= =1�
�
=1
(2.3)
Dengan � adalah derajat keanggotaan nilai keluaran pada aturan ke-r dan adalah nilai keluaran pada aturan ke-r sedangkan R adalah banyaknya aturan yang digunakan.
BAB 1
PENDAHULUAN