III. METODOLOGI PENELITIAN
3.4 Metode Penelitian
Dalam penelitian ini akan dilakukan penghitungan premi pada periode berikutnya berdasarkan banyaknya klaim pada periode sebelumnya dengan menggunakan analisis bayes. Adapun langkah - langkah yang akan dilakukan yaitu sebagai berikut :
1. Menentukan distribusi peluang dari banyaknya klaim
Berdasarkan fenomena dari terjadinya klaim, banyaknya klaim dapat dipandang sebagai peubah acak yang mengikuti distribusi poisson (Meyers dan Schenker, 1984).Hal itu karena distribusi poisson biasanya digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya peristiwa pada selang periode waktu tertentu dan juga salah satu sifat distribusi poisson adalah banyaknya sukses terjadi dalam suatu selang waktu tertentu tidak terpengaruh oleh apa yang terjadi di selang waktu yang lain (bebas). Pada asuransi, klaim pada periode berikutnya tidak terpengaruh dari banyaknya klaim pada periode - periode sebelumnya.
Misal kan X adalah banyaknya klaim maka X merupakan suatu peubah acak.
X~ Poisson (λ)
λλ
! ; x = 0, 1, 2, ... dan λ > 0 (3.3.1.1) p(X=x, λ) =
0 ; x lainnya
25
dengan parameterλ menyatakan rata-rata banyaknya klaim pemegang polis dan x adalah banyaknya klaim.
2. Menentukan distribusi atau sebaran prior
Distribusi poisson dengan peubah acak X yang menyatakan banyaknya klaim dari pemegang polis memiliki parameter λ yang menyatakan rata-rata banyaknya klaim pemegang polis dimana artinya nilai λ sama atau konstan. Tetapi pada kenyataannya setiap pemegang polis memiliki karakteristik mengemudi yang berbeda. Ini biasanya dipengaruhi olehjenis kelamin pemegang polis, usia, jenis kendaraan dan tempat domisili dari pemegang polisyang berbeda-beda. Oleh karena itu, karakteristik mengemudi menjadi suatu informasi tambahan dalam mempengaruhi banyaknya klaim pemegang polis sehingga λ menjadi suatu peubah acak yang memiliki distribusi peluang. Distribusi dari λ merupakan distribusi prior pada penelitian ini.
Nilai rata-rata merupakan suatu nilai yang bersifat kontinu sehingga peubah acak λ yang merupakan rata-rata banyaknya klaim akan memiliki distribusi peluang yang kontinu. Pada penelitian ini, distribusi kontinu yang akan digunakan oleh peneliti adalah distribusi gamma sebagai distribusi priornya.
26
λadalah rata-rata banyaknya klaim danλadalah peubah acak kontinu,
λ~ Gamma (α, )
α
(α)
λ
α ;λ > 0 danα, > 0 (3.3.2.1) f (λ) =0 ; selainnya
ket:α= parameter bentuk yang menyatakan bentuk sebaran dari banyaknya klaim
= parameter skala yang menyatakan besar keragaman dari banyaknya klaim
Fungsi campuran dari kedua peubah acak X dan λ yang menyatakan banyaknya klaim dan rata-rata banyaknya klaim adalah sebagai berikut :
f (x ,λ) =
p (x) ∙ f (λ)
=
λλ
!
∙
(α)αλ
α−1 − λ (3.3.2.2)Sehingga banyaknya klaim memiliki fungsi marginal yang berdistribusi Binomial Negatif dari fungsi campuran pada persamaan (3.3.2.2) yang telah dibuktikan pada tinjauan pustaka.
3. Mencari Ekspektasi dari Distribusi Prior
Pada penghitungan premi akan dibutuhkannilai harapan atau rata-rata banyaknya klaim yang dipengaruhi oleh karakteristik mengemudi pemegang polis sehingga akan dicari ekspektasi dari distribusi priornya.
27
E(λ) = ∫ λf(λ) dλ
=∫ λ ( ) dλ
= α
(α)∫0∞ − λλαdλ
misal : y = λ→ λ = yτ batas : λ> 0 → y > 0
dλ=
= (α)α ∫0∞ − α
= ( ) ∫ y
= ( ) (α + 1)
= ( )( )=α (3.3.3.1)
Diperoleh E(λ) = yang artinyanilai harapan atau rata-rata banyaknya klaim yang dipengaruhi oleh karakteristik mengemudi pemegang polis adalah sebesar
4. Mencari Distribusi Posterior dengan Analisis Bayes
Selanjutnya akan dicari distribusi posterior pada penelitian ini dengan prior yang telah ditentukan pada langkah sebelumnya dan akan diperoleh dengan
menggunakan analisis bayes.
28
Jika sampai periode t seorang pemegang polis mempunyai sejarah frekuensi klaim x1, x2, ... , xt, maka fungsi densitas bersamanya adalah :
Dengan menggunakan teorema bayes, distribusi posterior untuk peubah acakλ adalah :
29
30
Persamaan (3.3.4.1)merupakan fungsi kepekatan peluang dari distribusi gamma dengan parameter (α+K , + ).
Jadi, distribusi posterior pada penelitian ini adalah distribusi gammadengan parameter (α+K , + ) dengan fungsi kepekatan peluang sebagai berikut :
( )
( ) λ λ( ) ; λ > 0 dan α , > 0 (3.3.4.2) F(λ| , … , ) =
0 ; selainnya
dengan K=∑ yaitu total jumlah klaim sampai tahun t dan t adalah periode/waktu.
5. Mencari ekspektasi dari sebaran posterior
Untuk menghitung premi bonus malus dibutuhkan nilai ekspektasi dari sebaran posterior pada penelitian ini. Fungsi kepekatan peluang dari sebaran prior pada persamaan (3.3.4.2) akan dicari ekspektasinya yaitu sebagai berikut :
31
E(λ| , … , )= ∫ λf(λ| , … , ) dλ
=∫ λ (t+τ)(α+K)+ −λ(t+τ)λ + −1dλ
=( )
( ) ∫0∞ λ( )λ dλ
misal : y =λ(t + τ) → λ = batas : λ> 0 → y > 0
dλ=
=( ( ) ) ∫0∞ y
= ( ) ( ) (α + K + 1)
=(( ) ( )
) ( )
E(λ| , … , ) = (3.3.5.1)
DiperolehE(λ) = yang artinya nilai harapan atau rata-rata banyaknya klaim
pada periode sebelumnya dapat dirumuskan sebagai
6. Merumuskan Rumus Penghitungan Premi
Untuk menghitung premi pada periode berikutnya yang berdasarkan banyaknya klaim pada periode sebelumnyayaitu adalah premi awal (saat t = 0) dikalikan dengan rata-rata banyaknya klaim pada periode sebelumnya yang telah diperoleh pada langkah sebelumnya (3.2.5.1) yang dirumuskan sebagai berikut:
32
Pt= P0∙α + K+ (3.3.6.1)
Dalam kasus asuransi kendaraan banyaknya klaim pemegang polis dapat
dipengaruhi dari karakteristik mengemudi pemegang polis tersebut. Karakteristik mengemudi ini seperti halnya jenis kelamin, usia, jenis kendaraan, domisili dan sebagainya. Pemegang polis laki-laki dan perempuan tentunya memiliki keahlian mengemudi berbeda dan begitu juga jika pemegang polis tersebut tua atau muda.
Hal ini membuat karakteristik mengemudi menjadi suatu faktor yang dapat mempengaruhi banyaknya klaim pemegang polis sehingga nilai rata-rata banyaknya klaim yang dipengaruhi oleh karakteristik mengemudi yang telah diperoleh pada langkah sebelumnya (3.3.3.1) menjadi suatu pembobot untuk menghitung premi. Sehingga diperoleh :
Pt= P0. = P0. ( )
( ) (3.3.6.2)
ket : P0= premi awal
K = jumlah seluruh klaim pada periode sebelumnya
t = periode
α= parameter pada distribusi binomial negatif
= , dimana p parameter dari distribusi binomial negatif
33
7. Melakukan pendugaan parameterα dan
Pada rumus penghitungan premi terdapat parameter α dan dimana :
α = parameter pada distribusi binomial negatif
= , dengan p parameter dari distribusi binomial negatif
Sehingga untuk dapat melakukan penghitungan premi maka kedua parameter tersebut akan diduga dan pendugaan akan dilakukan dengan metode momen.
8. Melakukan Uji Kecocokan Data denganChi-Square Goodness of Fit Test
Untuk melakukan penghitungan premi dengan rumus yang telah diperoleh pada langkah sebelumnya maka data yang akan digunakan harus berdistribusi binomial negatif. Oleh karena itu, akan dilakukan uji kecocokan data pada data banyaknya klaim pemegang polis pada tahun 2006 apakah data tersebut berdistribusi
binomial negatif atau tidak denganChi-Square Goodness of Fit Test dan menggunakan software minitab 17.
9. Melakukan Penghitungan Premi
Jika penduga parameter α dan telah diperoleh dan data yang akan digunakan berdistribusi binomial negatif maka penghitungan premi dapat dilakukan dengan menggunakan rumus yang telah diperoleh pada langkah sebelumnya,
Pt= P0. ( )
( ) (3.3.9.1)
34
ket : P0= premi awal
K = jumlah seluruh klaim pada periode sebelumnya
t = periode
= penduga parameter α
̂ = penduga parameter
Selain menghitung premi pada data banyaknya klaim pemegang polis pada tahun 2006, penghitungan premi juga akan dilakukan pada sebuah data bangkitan yang berjumlah 1500 dengan nilai parameter yang sama pada data banyaknya klaim pemegang polis pada tahun 2006.
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut :
1. Menentukan premi berdasarkan banyaknya klaim pemegang polis pada periode sebelumnya dapat dilakukan dengan menggunakan analisis bayes.
2. Penghitungan premi dengan menggunakan analisis bayes dapat diperoleh dengan premi awal yang dikalikan dengan ekspektasi dari distribusi posterior lalu dibagi dengan ekspektasi dari distribusi priornya.
3. Premi akan berkurang jika pemegang polis tidak melakukan klaim pada periode sebelumnya dan premi akan bertambah jika pemegang polis melakukan klaim sebanyak satu atau lebih pada periode sebelumnya.
4. Semakin banyak klaim yang dilakukan pada periode sebelumnya maka akan semakin besar premi yang harus dibayar pada periode berikutnya.
DAFTAR PUSTAKA
Aceng dan Komarudin. 2008. Penghitungan Premi Untuk Asuransi Kendaraan Bermotor Berdasarkan Sejarah Frekuensi Klaim Pemegang Polis Menggunakan Analisis Bayes. Pythagoras. 1 (4) : 47-55.
Arnold SF. 1990. Mathematical Statistics. Prentice Hall, Inc. New Jersey.
Bain LJ dan Engelhardt M. 1991. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Duxbury Press. Belmont, California.
Bain LJ dan Engelhardt M. 1992. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Ed. ke-2. PWS-KENT publishing Company. Boston.
Casella dan Berger. 1990. Statistical Inference. Wadsworth & Brooks/Cole.
California.
Hogg and Craig. 1986. Introduction to Mathematical Statistics. Fifth Edition. Prentice-Hall International Inc. New Jersey.
Hogg dan Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Academic Press.
New York.
Hogg RV, McKean J, Craig AT. 2012. Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-7. Prentice Hall, Inc. New Jersey.
Hosmer dan Lemeshow. 1989. Applied Logistic Regression. John Wiley and Sons. New York.
Meyers, G dan Schenker, N. 1984. Parameter Urcentainty in the Collective Risk Model. www.casact.org.
Walpole, RE. 1995. Pengantar Statistika. PT. Gramedia Pustaka Utama. Jakarta.
Wikipedia Contributors. 2017. “Negative Binomial Distribution”.
https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Negative_binomial_distributio n&oldid=816463769. Diakses pada 28 Desember 2017 pukul 12:35 WIB.