Penentuan Energi Gap

– Efek Hall dapat digunakan u/ penentuan energi gap

E_g secara tidak langsung, yaitu dgn mengukur koe-fisien Hall sebagai fungsi dari temperatur

– Prinsip kerjanya:

(i) Andai digunakan SK tipe-n. Jika bahan ini diberi temp. yg tinggi, maka eksitasi termal akan

mengahsilkan elektron bebas yang berjumlah besar dari pita valensi, dan pembawa-2 intrinsik berperan dominan pada temp. tinggi tsb.

> Daerah suhu tinggi ini disebut daerah intrinsik. (ii) Jika temp. diturunkan, konsentrasi elektron

bebas akan menurun, dan pada titik tertentu hanya elektron donor yang masih tertinggal dalam pita konduksi. Selama temperatur tidak cukup tinggi sehingga semua elektron donor masih tereksitasi ke dalam pita konduksi, maka konsentrasi pembawa akan bertahan konstan terhadap perubahan temperatur.

> Daerah ini disebut daerah aus (Exhausion) (iii) Penurunan lebih lanjut akan menyebabkan

peralihan kembali dari sebagian elektron ke tingkat energi donor

> Daerah ini disebut daerah tak-murnian (ekstrin-sik)

(iv) Konsentrasi pembawa menurun dgn cepat bila temp. diturunkan.

– Khusus penentuan E_g perlu ditinjau hubungan yang berlaku dalam daerah tak-murnian.

∗ Untuk daerah ini, n = p

∗ Dan berdasarkan uraian sebelumnya

n = ^pN_cN_ve^−Eg^/kB^T

dgn mengambil logaritma dari kedua sisi

ln(n) = − µ E_g 2k_B ¶ 1 T ⁺ 1 2 ^ln(NcNv)

∗ Jadi jelas bhw E_g dapat diperoleh dari kemiringan (slope) kurva ln(n) vs 1/T di atas di dalam daerah tak-murnian

2 Resume Kuliah II dan Tambahan

Gejala transport pembawa terkait dgn gejala peng-hantaran listrik

• Gejala penghantaran listrik berwujud → arus listrik

• Arus listrik timbul baik dalam logam maupun semi-konduktor, karena tersedianya pembawa-pembawa listrik yang bebas:

– Logam: elektron bebas pada pita konduksi

– Semikonduktor: elektron dan hole, yang diciptakan melalui proses eksitasi.

• Catatan: mekanisme hantaran u/ kedua bahan berbeda • Berdasarkan mekanisme aliran pembawa bebas dua

jenis aliran:

(a) Arus hanyut (drift current) (b) Arus difusi

• Dalam Logam, mekanisme pertama yang berperan dgn elektron sebagai pembawanya.

• Dalam SK, kedua-duanya berperan, dan masing-masing jenis arus akan melibatkan elektron maupun hole

2.1 Arus Hanyut

• Andaikan elektron mengalir dgn kecepatan rata-rata atau kecepatan hanyut v_n mempunyai konsentrasi atau kerapatan n dalam arah alirannya → maka dari gambar jelas bhw rapat arus per satuan luas penam-pang

j_n = −env_n (A/m²)

Ini berarti sama dengan jumlah muatan negatif yang mengalir per detik melalui penampang A.

• U/ arus hole, analog,

j_p = epv_p (A/m²)

• Jika gerak ini diakibat oleh medan listrik ξ, maka re-spon pembawa terhadap ξ:

v_n = −µ_nξ; u/ elektron

v_p = µ_pξ; u/ hole

• Besaran-besaran pembanding µ_ndan µ_p disebut mo-bilitas elektron dan hole, dinyatakan dalam m²/(Volt detik).

– Mobilitas pembawa: ukuran ketanggapannya ter-hadap pengaruh medan listrik luar ξ (nilainya ter-gantung jenis bahan SK yg bersangkutan)

• Dari persamaan-2 diatas, maka rapat arus:

j_n = enµ_nξ j_p = epµ_pξ

– Catatan: Jika n, p, µ_n, µ_p tidak bergantung pada medan listrikξ, maka arus yang bersangkutan dise-but arus Ohmik dan memenuhi ’’hukum Ohm’’

j = σξ

dengan konstanta pembanding σ → dikenal seba-gai konduktivitas bahan.

∗ U/ elektron berlaku σ_n = eµ_nn

∗ U/ hole berlaku σ_p = eµ_pp

∗ dan konduktivitas total:

σ = σ_n + σ_p = e(µ_nn + µ_pp)

2.1.1 Konduktivitas dan Mobilitas

Konduktivitas dan mobilitas →parameter fenomenologi (yg berkaitan dgn pengukuran langsung.

Besaran ini dapat juga dikaitkan dgn → mekanisme penghantaran yg lebih terinci, dalam hal ini perlu tin-jauan model klasik Drude-Lorentz (yg lebih mendekati kedaan konduksi elektron dalam logam)

• Model klasik Drude-Lorentz

– Menurut model ini:

(i) Elektron-2 bebas yg bergerak akibat pengaruh medan listrik luar ξ akan mengalami tumbukan acak dgn ion positif dari kisi kristal logam dalam frekuensi tinggi sepanjang jalan.

(ii) Akibatnya, kecepatan gerak elektron mempun-yai harga rata-2 konstan.

(iii) Karena proses tumbukan tsb bersifat acak, dan keadaan elektron sebelum dan sesudah tumbukan bersifat bebas satu dgn lainnya, maka proses gerak elektron secara rata-rata dapat ditinjau dalam kurun waktu antara dua tumbukan yang berturut-turut.

(iv) Andaikan selang waktu rata-rata antara dua tumbukan adalah t, maka percepatan yang dialami elektron dalam selang waktu itu secara rata-rata dapat dihubungkan dgn kecepatan rata-rata yang dicapai pada akhir selang waktu

t:

v_n = ¹ 2^at

dgn v_n = 0 ketika t = 0,yaitu pada akhir tumbukan sebelumnya. Tetapi percepatan a

ditentukan oleh ξ menurut pers.: a = ^F m_e ⁼ −eξ m_e Jadi, v_n = −₂^eξ_m^t e

(v) Dengan demikian, rapat arus yg terjadi:

j = −env_n

= −^ne

2_t

2m_e^ξ

konduktivitas dan mobilitas

σ = ^ne

2_t

2m_e

µ = ^et

2m_e

(vi) Dengan τ = t/2 sebagai waktu relaksasi

proses tumbukan, kita peroleh rumus DRUDE-LORENTZ: σ = ^ne 2_τ m_e µ = ^eτ m_e

(vii) Berdasarkan rumus ini, karena n, e, m_e

besaran-2 konstan, maka σ hanya bergan-tung pada τ.

(viii) Jika l jarak rata-2 antara dua ion yang

elek-tron, maka τ dianggap kurang lebih sebanding dgn l/v_thn.

(ix) Menurut model gas elektron bebas

v_thn = r 3k_BT m₂ (x) Ini berarti: τ ≈ 1/^√T dan σ ≈ 1/^√T

dengan kata lain, konduktivitas logam akan menurun nilai temperaturnya menurun.

– Ramalan model ini sesuai dgn hasil eksperimen, terutama u/ temperatur yg tidak terlalu rendah ter-hadap suhu kamar. Pada suhu yang lebih rendah ternyata σ ≈ 1/T. (model gagal u/ suhu sangat rendah)

∗ Perbaikan teori:

(A) perlu penafsiran m_e sebagai massa efektif dan

(B) perumusan mekanika kuantum untuk proses tumbukan !!

• Untuk Semikonduktor

– Bentuk umum rumus konduktivitas tetap diperta-hankan:

σ_n = ^ne

2_τ

σ_p = ^pe 2_τ m∗ p atau σ_p = peµ_p dengan µ_n = ^eσn m∗ e , µ_p = ^eσp m∗ p

Harga mobilitas tergantung pada jenis kristal SK. – Perbedaan pokok dgn logam:

(i) konsentrasi pembawa pada logam konstan, sedangkan pada SK bergantung pada suhu secara eksponensial, yaitu

n = N_c exp((E_F − E_c)/k_BT) = N_c exp(−|E_F − E_c|/k_BT)

p = N_v exp((E_v − E_F)/k_BT) = N_v exp(−|E_v − E_F|/k_BT)

(ii) Waktu relaksasi dan tentunya mobilitasnya, hanya bergantung pada temperatur menurut ’’hukum pangkat’’

µ ≈ T^−α

dgn α > 0, tetapi tidak jauh dari 1.

> Dengan demikian pertambahan hambatan disebabkan oleh meningkatnya hamburan dgn phonon akibat kenaikan temp. akan dikalahkan dgn peningkatan σ yang disebabkan oleh

pertambahan konsentrasi pembawa.

kenaikan temp., maka hal sebaliknya yang terjadi pada SK.

2.2 Arus Difusi

• Karena elektron di pita konduksi dan hole di pita valensi bergerak bebas, maka dlaam keadaan setimbang pembawa-pembawa ini akan tersebar secara mer-ata.

• Jika pada daerah tertentu terjadi konsentrasi yang lebih tinggi, maka pembawa daerag tersebut ’’dengan sendirinya’’ akan mengalir ke daerah dgn berkon-sentrasi lebih rendah. (Proses ini akan terus berlang-sung sampai terjadi kembali konsentrasi yang mer-ata u/ seluruh daerah !!)

• Arus listrik yg terjadi karena aliran pembawa ini dise-but arus difusi.

pada gambar di atas.

(Gbr. kiri) Distribusi elektron dan arus difusi elektron (Gbr. kanan) Distribusi hole dan arus difusi hole.

• Secara matematis: hubungan antara rapat arus dan gradient konsentrasi:

j_n = eD_n^dn dx j_p = −eD_p^dp

dx

Besaran-besaran D_n dan D_p → koefisien difusi

dari e dan hole (satuan m²/dtk)

• Prinsip: Arus Total = ^P seluruh arus diatas

– Namun u/ SK tipe-n dan tipe -p hanya ditekankan arus berikut:

j_n = eµ_nnξ + eD_n^dn dx j_p = eµ_ppξ − eD_p^dp

dx

Harga D tidak hanya berbeda u/ e dan hole, tetapi juga bergantung pada jenis bahan !!. Hal ini dapat dilihat dalam Hubungan Einstein:

D_n µ_n ⁼ D_p µ_p ⁼ k_BT e sehingga j_n = eµ_n · nξ + ^kBT e dn dx ¸ ;j_p = eµ_p · pξ − ^kB_e^T _dx^dp ¸

Kuliah III

3 Generasi dan Rekombinasi Pembawa

3.1 Konsep Quasi-Fermi

• Berdasarkan kuliah sebelumnya:

– Diasumsikan: konsentrasi elektron dan hole dalam keadaan kesetimbangan termal jika distribusi pen-dudukan keadaan elektronik dinyatakan dgn fungsi distribusi Fermi-Dirac

• Fungsi distribusi akan berubah secara dramatis, jika medah listrik tinggi (high electric field) diberikan ke sampel SK

>pada kondisi ini, yaitu kondisi tidak setimbang (non-equilibrium):

(i) konsentrasi elektron dan hole tidak lagi diny-atakan dgn np = n²_i

(ii) dan konsep Fermi-level yang ada tidak lagi dapat digunakan

• Kondisi non-equlibrium juga dapat dibentuk melalui

generasi pasangan e & p ekstra dalam SK dgn ab-sorbsi cahaya.

Foton dgn energi lebih besar dari energi gap, akan mengeksitasi elektron di pita valensi ke pita konduksi

→ menggenerasi pasangan e & h.

• Dalam kondisi non-eq., penting merepresentasikan fungsi distribusi u/ elektron dan hole sbb:

f_n = ¹

1 + exp((E − E_{F n})/k_BT)^{; (3.1)}

f_p = ¹

1 + exp((E_{F p} − E)/k_BT)^{; (3.2)}

> Dari pers. diatas, didefinisikan E_{F n} & E_{F p} dan disebut Tingkat quasi-Fermielektron dan hole (kadang disebur IMREF, kebalikan penyebutan fermi)

> Pada kondisi equilibrium: E_{F n} = E_{F p} = E_F

> Pada kondisn non-eq: E_{F n} 6= E_{F p} dan keduanya dapat merupakan fungsi koordinat

Realita: perbedaan E_{F n} - E_{F p} dapat digunakan u/ mengukur deviasi (penyimpangan) dari keadaan se-timbang.

• Pada kasus SK nondegenerate, pers. (3.1) dan (3.2):

f_n ' exp((E_{F n} − E)/k_BT)

f_p ' exp((E − E_{F p})/k_BT)

Substitusi persamaan-2 ini ke persamann danp (ku-liah II)

n = N_c exp((E_{F n} − E)/k_BT); (3.5)

p = N_v exp((E − E_{F p})/k_BT); (3.6) 3.2 Perluasan Konsep quasi-Fermi

– yaitu u/ kondisi dimana medan yang diberikan menye-babkan peningkatan yang substansial dalam en-ergi rata-2 gerak random elektron atau hole dgn memperkenalkan konsep temperatur elektornatau

hole efektif, T_e & T_p

– Temperatur efektif elektron

T_e = ²

3^E/kBT

dimana E adalah energi elektron – Persamaan (3.1) dan (3.2) menjadi

f_n = ¹

1 + exp((E − E_{F n})/k_BT_e)

f_p = ¹

1 + exp((E_{F p} − E)/k_BT)

catatan: hasil perhitungan dan simulasi konsep temp efektif sangat tidak akurat (detail M. Schur section 1.14)

• Konsep quasi-Fermi sangat bermanfaat, karena kon-sentrasi pembawa pada devais SK dapat bervariasi sebagai fungsi dari posisi atau bias dgn orde besar yang banyak, sedangkan quasi-Fermi berubah di-dalam energi gap atau dekat ke dasar pita konduksi atau ke puncak pita valensi. Variasi ini mudah divi-sualisasikan !!

• Andaikan:

(a) Cahaya menyinari GaAs tipe-n dgn rapat doping

N_d

(b) Cahaya secar uniform terabsorbsi dan mempro-duksi pasangan e & p dgn kerapatan P

(c) Kerapatan elektron menjadi

n ' P + N_d;(3.9) (d) Kerapatan hole menjadi

p ' P + n²_i/N_d; (3.10)

(e) Tingkat quasi-Fermi elektron dan hole dihitung melalui pers. (3.5), (3.6), (3.9) dan (3.10)

• Pasangan elektron-hole yang tergenerasi dalam SK → merekombinasi

• Proses rekombinasi akan lebih intensif apabila kon-sentras ipasangan elektron-hole bertambah

laju generasi G diimbangi laju rekombinasi R

G = R

3.3 Mekanisme Rekombinasi

Terdapat 4 tipe mekanisme:

1. Rekombinasi radiatif langsung (pita-ke pita)

2. Rekombinasi pita-ke impuriti radiatif

3. Rekombinasi non-radiatif melalui tingkat impu-rity (trap)

4. Rekombinasi Permukaan

3.3.1 Rekombinasi radiatif langsung (pita-ke pita)

• Laju rekombinasi sebanding dgn perkalian np

• U/ SK non-degenerate

R = G_thnp/n²_i; (3.12) dimana G_th laju generasi termal

• Ungkapan u/ G_th (Roosbroeck & Schockley (1954))

G_th = 32π²(k_BT /h)⁴

Z

ξ(v)n³_rx^{3 dx}

[exp(x) − 1]^{; (3.13)}

dimana v frekuensi, n_r indeks refraksi, x = hv/k_BT, ξ(x) = hcα(x)/(4πk_BT n_rx), c kecepatan cahaya dalam vakum dan α koefisien absorbsi.

• Persamaan (3.12) menjadi:

R = C_rnp

• Pada steady state,

G = C_rnp = C_r(n₀ + 4n)(p₀ + 4p)

dimana 4n & 4p konsentrasi elektron dan hole ek-stra dan n₀ & p₀ konsentrasi elktron dan hole setim-bang (n₀p₀ = n²_i)

• Jika generasi pasangan e & h disebabkan cahaya, laju generasi G sebanding dgn intensitas cahaya I

Contoh:

Andaikan sebuah SK tipe-n dalam keadaan setim-bang: n₀ = N_d dan p₀ = n²_i/N_d

Pada intensitas cahaya yang rendah jika 4n ¿ N_d,tetapi 4p ' 4n À n²_i/N_d, diperoleh

4n = Gτ_r

dimana τ_r = 1/(C_rN_d) disebut radiative band-to-band recombination lifetime

Jika intensitas cahaya kecil, 4n sebanding dgn G, dan tentunya juga dgn I.

Pada intensitas tinggi, jika4n À n₀, p₀, 4p ' 4n, G ≈

C_r4n4p = C_r4n², dan 4n sebanding dgn ^√G,

3.3.2 Rekombinasi pita-ke impuriti radiatif

• Rekombinasi ini secara praktis lebih penting ketim-bang mekanisme sebelumnya, terumta u/ devais SK pengemisi cahaya (light-emiting)

• Radiative bandto-impurity recombination lifetime:

τ_r = 1/(B_rN_A)

dimanaB_r koefisien rekombinasi radiatif danN_A kon-sentrasi impurity yang terkait dalam proses rekom-binasi ini

3.3.3 Rekombinasi non-radiatif via trap

• Dalam banyak hal, mekanisme ini dominan.

• Teori dari mekanisme dikembangkan oleh Schock-ley & Read (1952)

rekom-binasi ini

• Keterangan:

(a) Ketika e ditangkap oleh trap yang kosong dan kemudian hole ditangkap oelh trap yang terisi oleh elektron → rekombinasi pasangan e & h (b) Proses sebaliknya: elektron diemisi oleh trap

terisi ke pita konduksi, dan emisi hole dari trap yang kosong ke pita valensi

• Laju penangkapan elektron, R_nc, sebanding dgn jum-lah elektron dan jumjum-lah trap yang kosong

R_nc = C_nn(1 − f_t)N_t

dimana f_t fungsi pendudukan tingkat trap. – Koefisien

C_n = σ_nv_thn

elek-tron,

v_thn = (3k_BT /m^∗_n)^1/2

adalah kecepatan termal elektron dan m^∗_n massa efektif elektron.

• Laju emisi elektron dari trap, R_ne, R_ne = e_nf_tN_t

• Dalam kondisi setimbang

R_nc = R_ne

sehingga,

C_nn₀ = e_nf_t0/(1 − f_t0); (3.23) dimana

n₀ = N_c exp((E_F − E_c)/k_BT)

adalah konstrasi elektron setimbang, f_t0 pendudukan tingkat trap setimbang.

Ratiof_t0/(1−f_t0) diperoleh dgn menggunakan fungsi pendudukan Fermi-Dirac:

f_t0/(1 − f_t0) = exp [−(E_t − E_F)/k_BT]

E_t energi tingkat trap

Sehingga darri pers.(3.23), diperoleh bhw

e_n = n_tC_n

dimana

n_t = N_c exp [−(E_t − E_c)/k_BT]

elektron

R_n = R_nc − R_ne = C_nN_t[(1 − f_t)n − f_tn_t] ; (3.28) • Penurunan yang sama u/ perbedaan laju

panangka-pan dan pengemisian hole

R_p = R_pc − R_pe = C_pN_t [f_tp − (1 − f_t)p_t]

dimana

C_p = σ_pv_thp

• Pada kondisi setimbang: tidak terdapat akumulasi netto muatan, sehingga e & h harus merekombinasi dalam pasangan. Jadi,

R_p = R_n = R

dimana R laju rekombinasi

• Fungsi pendudukan f_t dapat diperoleh dari kondisi

R_p = R_n,

f_t = ^{nCn + ptCp}

C_n(n + n_t) + C_p(p + p_t)

• Substitusi pers. ini ke pers.(3.28):

R = ^{pn − n}

2

i

τ_pl(n + n_i) + τ_nl(p + p_i)^{; (3.34)}

n_i konsentrasi intrinsik, τ_pl dan τ_nl lifetiem elektron dan hole

τ_nl = 1/(v_thnσ_nN_t)

τ_pl = 1/(v_thpσ_pN_t)

(n ¿ p ≈ N_A, p À p_t, p À n_t), pers.(3.34) tere-duksi menjadi

R = ^{n − n0}

τ_nl

dimana n₀ = n²_i/N_D.

– Jika hole minoritas (p ¿ n ≈ N_D, n À p_t, n À n_t)

R = ^{p − p0}

τ_pl

dimana p₀ = n²_i/N_A.

– Konsentrasi pembawa ditentukan oleh doping. Penu-runan lifetime thp doping pada tingkat doping yang rendah dapt dijelaskan melalui konsentrasi trap di sampel terdoped.

∗ Jika konsentrasi trap sebanding dgn konsentrasi dopant, diharapkan

τ ' 1/N_D

∗ Hasil eksperimen (M.S Tyagi & R. van Overstraaten) menunjukan lain: pada tingkat doping yang re-latif tinggi, τ_pl menurun thp konsentrasi doping lebih cepat daripada 1/N_D.

∗ Alasan: mekanisme rekombinasi yang berbeda (disebut rekombinasi Auger) menjadi penting un-tuk tingkat doping yang tinggi

∗ Pada mekanisme ini:

(B) dan energi yang dikeluarkan (dlm orde energi gap) ditransfer ke pembawa yang lain ( hole pada tipe-n dan elektron pada tipe-p)

(C) Proses demikian adalah kebalikan dari proses mekanisme impact ionization yang dgnnya pembawa energetik menyebabkan generasi pasangan e & h

(D) Karena terdapat dua elektron dan dua hole dalam rekombinasi Auger, lifetime rekombi-nasinya adalah berbanding terbalik kuadrat konsentrasi mayoritas

τ_nl = 1/(G_pN_A²); tipe-p

τ_pl = 1/(G_nN_D²); tipe-n

Untuk Si G_p = 9, 9 × 10⁻³² cm⁶/s dan

G_n = 2,28 × 10⁻³¹ cm⁶/s

3.3.4 Rekombinasi Permukaan (surface)

• Pada kebanyak devais SK, laju rekombinasi sangat tinggi dekat permukaan, dimana defects dan trap tambahan meningkatan laju rekombinasi

• Konsekuensinya: fluks difusi pembawa minoritas pad permukaan ditentukan oleh proses rekombinasi per-mukaan.

rekom-inasi permukaan dapat dideskripsikan sbb:

D_p∂p/∂x|_x=0 = −S_p[p_n(x = 0) − p_n0]

dimanaD_p koefisien difusi hole, p_n konsentrasi hole,

p_n0 = n²_i/N_D konsentrasi hole setimbang, x = 0

menyatakan permukaan sampel,

S_p = σ_pv_thpN_st

merupaka laju rekombinasi permukaan, dan N_st