BAB 2 PROGRAM STOKASTIK
2.7 Pengertian pembentukan pohon skenario
Sejauh ini, definisi penyelesaian aturan optimal pada tahap ke-i dari per-soalan stokastik tahap ganda direduksi untuk menyelesaikan perper-soalan program matematika berikut
inf
Xi∈Xi
Qi(Xi) (2.6.15)
Aturan sesudahnya untuk penyelesaian adalah: Xi = Xi(ωi), yi+s = yi+s(ωi+s);
s= 1,2, ..., n−i, dan aturan sebelumnya untuk penyelesaian adalah:
Xi =Xi(ωi−1);yi+s =yi+s(ωi+s−1);s= 1,2, ..., n−i.
Jika fungsi tujuan dapat dipisahkan, yaitu ϕ0(ωn, Xn) =
n X j=1 ϕ0j(ωj, Xj) kita mempunyai Qi(Xi) =Eωi |ωi−1{ϕ0(ωi, Xi) +Q∗i+1(ωi, Xi)}. dimana Q∗ i(ωi−1, Xi−1) = inf Xi∈Ki Eωi |ωi−1{ϕ0(ωi, Xi) +Q∗ i+1(ωi, Xi)}, i= 1,2, ..., n−1, dengan i=n Q∗n(ωn−1, Xn−1) = inf Xi∈Ki Eωi |ωi−1ϕ0n(ωn, Xn).
Analog dengan persoalan pemisahan tahapan untuk persoalan stokastik tahap ganda dengan strategi campuran yang dikonstruksikan.
2.7 Pengertian pembentukan pohon skenario
alam banyak aplikasi, sebaran peubah acak tidak diketahui atau walaupun diketahui, terlalu mahal untuk memperhatikan sebaran diskrit dengan banyak hasil yang mungkin atau menangani sebaran kontinu dengan integrasi numerik. Merupakan hal yang umum untuk memilih himpunan hasil representatif yang relatif kecil yang disebut skenario untuk menyajikan kejadian acak. Skenario dapat merupakan kuartil dari sebaran yang diketahui atau data historis, prediksi dan beberapa pohon atau dibangun dengan simulasi. Setiap skenario diberikan nilai probabilitas untuk merefleksikan kemungkinan kejadiannya. Untuk model tahap ganda, informasi skenario dapat diorganisasikan kedalam struktur pohon. Gambar 1, memberikan contoh pohon skenario untuk persoalan 4 tahap. Buhul AKAR menyatakan waktu sekarang atau bagian dari data yang diketahui. Pada
24
Gambar 2.1 : Gambar.1 Pohon Skenario
tahap 2, terdapat 4 kemungkinan berbeda dan setiap daripadanya mempunyai berbagai hasil berbeda yang mungkin di tahap 3 dan seterusnya. Suatu skenario terdiri dari lintasan lengkap dari buhul akar ke satu buhul daun, mendefinisikan realisasi tunggal dari himpunan peubah acak.
Ambil jumlah tahap T dan jumlah hasil yang mungkin dalam setiap tahap dapat dilabel secara berurutan oleh Kt, untuk t = 1, ...T. Buhul disetiap tahap dapat dilabel secara berurutan dengan kt = 1, ..., Kt untuk semua t. Dt(k) me-nyatakan turunan langsung dalam waktu t dari buhul k. Misalnya dalam pohon skenario di Gambar 2.1 . D3(1) memperlihatkan turunan langsung dari buhul 1 yang merupakan dua buhul paling kiri dalam waktu 3. Untuk setiap buhul daun
k dalam tahap T, andaikan Pk
t merupakan probabilitas terkait dari keterjadian skenario. Untuk t =T−1,− − − −1, pk t diberikan oleh pkt+1 = X lǫDt+1 plt+1 dengan pl = 1
Pohon keputusan memberikan kelenturan kepada pemodel untuk memilih skenario yang diperlukan untuk diperhatikan dan kepentingannya. Begitupun tidaklah praktis untuk memperhatikan terlalu banyak skenario. Ini terutama terjadi untuk persoalan dimana banyak mengandung faktor acak.
Untuk mengoperasikan model program stokastik, pembentukan skenario dan pohon kejadian sangatlah penting. Dibawah ini diuraikan secara singkat metode pembentukan tersebut.
25 a. Bootstrap Data Historis
b. Pemodelan statistika dengan pendekatan ”value at risk” c. Model vektor Autoregressi
a. Bootstrap Data Historis
Pendekatan paling sederhana untuk membangun skenario hanya memakai data yang ada tanpa pemodelan matematika. Setiap skenario merupakan sampel dari perolehan aset yang diperoleh dengan mensampling perolehan yang diamati di masa lalu. Waktu dari catatan historis yang tersedia dipilih secara acak dan untuk setiap waktu dalam sampel dibawa perolehan dari semua kelas tersebut. Ini merupakan skenario perolehan bulanan. Jika ingin dibangun skenario perolehan untuk horizon waktu panjang misalnya 1 tahun, disampel perolehan 12 bulan dari titik waktu yang berbeda. Susunan perolehan dari deretan yang disampel merupakan perolehan 1 tahun. Dengan pendekatan ini korelasi diantara kelas aset dipertahankan.
b. Model Statistika dari Konsep Value-at-Risk
Analisis deret waktu dari data historis dapat dipakai untuk mengestimasi perubahan dari matriks korelasi antara kelas aset. Matriks korelasi ini dipakai untuk mengukur resiko dengan metode Value-at-Risk (VaR).
Nyatakan peubah acak dengan vektor acak k−dimensi w. Dimensi w sama dengan jumlah faktor resiko yang ingin dimodelkan. Dengan mengandaikan bah-wa peubah acak secara gabungan bersebaran normal dapat didefinisikan fungsi kepadatan peluang dari w sebagai.
f(w) = (2π)−p/2|Q|−1/2exp
− 1
2(w−w¯)′Q−1(w−w¯)
disiniwadalah ekspektasi dariwdanY matriks kovarian dan dapat dihitung dari data historis.
Setelah parameter dari sebaran normal multivariat diestimasi kita dapat me-makainya dalam simulasi Monte Carlo dengan menggunakan pendekatan faktori-sasi Cholesky atau prosedur pembentukan skenario yang didasarkan pada analisis komponen utama yang diajukan oleh Jamshidian dan Zhu (1997).
26 Simulasi dapat diterapkan secara berulang pada status berbeda dari pohon kejadian. Segitupun, mungkin saja ingin dipersyaratkan nilai acak yang dibangun pada nilai-nilai yang diperoleh oleh beberapa peubah acak.
Sampling bersyarat dari peubah normal multivariat dilakukan seperti beri-kut. Peubahwdipartisi menjadi 2 subvektorw1 danw2denganw1 vektor dimensi
K, dari peubah acak untuk nama beberapa informasi tambahan tersedia dan w2
adalah vektor dimensiK2−K−K1 dari peubah sisa. Vektor nilai ekspektasi dan matriks kovarian dipartisi secara analog sebagai
¯ w=h w¯1 ¯ w2 i dan Q=h Q11 Q12 Q21 Q22 i
Fungsi kepadatan peluang marginal dari w2 dengan diketahui w1 = w∗
1 di-berikan oleh f(w|w1 =w∗ 1) = (2π)−P2/2|Q22.1|−1/2exp − 1 2(w2−w¯2.1)′Q−1 22.1(w2−w¯2.1)
dimana nilai ekspektasi bersyarat dan matriks kovarian diberikan oleh ¯
w2.1(w1∗) = ( ¯w2−Q21Q11−1µ1) +Q21Q−111w∗1
dan
Q22.1 =Q22−Q21Q−111Q12
Skenariow2 untuk periode t dipersyaratkan pada nilaiw1 diberikan oleh wt
1
dapat dibangun dari peubah normal multivariat melalui pernyataan
w2ti =w02iexp[σi
√
tw2i] denganwt
2i nilai hari ini danσi adalah perubahan periode tunggal dari komponen ke ipeubah acak w2.
c. Model Vektor Autoregressi
Model vektor Autoregressi dapat dipakai untuk membentuk skenario. Da-lam hal ini diambil ilustrasi tentang sistem simulasi Asset Liahlity Management (ALM) untuk dana pensiun. Karena cakupan dari sistem ini selalu dibatasi pada keputusan strategis jangka panjang model investasi hanya mempraktekkan kum-pulan kecil dari kelas aset yang besar yaitu deposito, bond, real estate dan saham.
27 Terpisah dari perolehan atas aset-aset ini, setiap skenario harus mengandung in-formasi tentang pertumbuhan gaji masa datang untuk menghitung nilai masa datang pensiun.
Model vektor autoregressi untuk membentuk skenario perolehan aset dan pertumbuhan gaji adalah
Rt=c+V ht−1+ǫt, ǫt∈N(0, Q), t= 1,2, ..., T Rit = ln(1 +πit), i= 1,2, ..., T
Denganmjumlah deret waktu aset,πit laju perubahan diskrit dari peubahi
ditahun t, Rt vektor dimensi-m dari laju majemuk, cvektor koefisien berdimensi
m, V adalah matriks koefisien m×m, ǫt vektor dimensi m dari pencilan dan Q
matriks kovariansi m×m.
Spesifikasi model vektor autoregressi harus dipilih secara hati-hati, wala-upun beberapa hubungan inter-temporal diantara perolehan mungkin signifikan lemah yang didasarkan pada data historis, tidak berakibat bahwa hubungan ini juga bermanfaat untuk membentuk skenario.
BAB 3