jika ganjil 2
Definisi 2.22. Invers K anan, Invers K iri, Invers
A. Pengertian Simetri
Apakah yang dimaksud simet ri? Bayangkan beberapa benda yang dimet ris dan beberapa benda yang t idak simet ris. Apa yang menyebabkan benda simet ris menjadi simet ris? Apakah benda simet ris yang berbeda, simet ris dengan cara berbeda? Luangkan wakt u unt uk memikirkan hal ini. Mulailah dengan membuat daft ar dari benda-benda yang simet ris misalnya bola, lingkaran, kubus, persegi, persegi panjang, dan sebagainya. Apa sebenarnya yang kit a pikirkan ket ika mengat akan bahwa benda-benda t ersebut simet ris? Bagaimana sifat umum simet ri dari benda-benda t ersebut ? Adakah perbedaan simet ri ant ara benda yang satu dengan benda lainnya?
Misalkan kit a memilih suat u benda yang simet ris, misalnya selembar kart u berbentuk persegi panjang yang polos dan t idak bergambar. Apa yang menyebabkan kartu t ersebut simet ri? Ada jawaban sederhana yang digunakan oleh ahli mat emat ika. K art u t adi dikat akan simet ri bila kart u t elah mengalami perpindahan, t et api perubahan posisinya t idak t erlihat . Misalkan seorang mahasiswa melet akkan kart u di at as meja kemudian keluar meninggalkan ruangan. Jika seseorang t emannya memut ar at au membalikkan kart u t ersebut dapat kan mahasiswa t adi menget ahui bahwa kart unya t elah t erput ar at au t erbalik?
Untuk memahami masalah simet ri, lakukanlah percobaan berikut ini: 1. Buatlah daft ar semua simet ri dari suat u kart u yang berbentuk persegi
panjang. Perhat ikan kart u t ersebut dan put ar sejauh 180o. T andai bagian-bagian yang anda anggap perlu. Cat atlah hasil pengamat an dan kesimpulan anda.
2. Lakukan hal yang sama dengan nomor (1) untuk kart u yang berbentuk persegi.
3. Lakukan juga hal yang sama dengan nomor (1) untuk benda berbentuk balok, misalnya batu bat a. Apakah simet ri (3) sama dengan simet ri pada nomor (1) dan (2)?
Berapa simet ri yang anda ident ifikasi pada suat u kart u berbentuk persegi? Misalkan anda mendapat kan t epat t iga gerak yait u dua rot asi 180o
pada sumbu yang searah bidang permukaan kart u, dan sat u rot asi 180o
pada sumbu yang t egak lurus dengan permukaan dan melalui t itik pusat kart u.
Gambar 3.2.Simet ri persegi panjang
Selain perpindahan melalui cara rot asi pada sumbu simet ri, penting juga dipert imbangkan rot asi sebesar 0o pada masing-masing sumbu t ersebut . Dalam hal ini t idak dilakukan put aran sama sekali pada kartu t ersebut , dan kart u t et ap berada pada posisinya. Dengan demikian, dapat diket ahui ada empat simet ri pada kart u persegi panjang. Meskipun demikian, pert anyaan lain yang perlu dijawab adalah apakah simet ri pada kart u t ersebut ada empat , at au sebenarnya t ak berhingga banyaknya? Mengapa pert anyaan ini muncul? Jika kart u dapat dibalik sejauh at au −π , maka posisi yang sama juga diperoleh dengan membalikkannya sejauh ± 2 , ± 3 , ± 4 , dan set erusnya.
alam semest a dicipt akan dan tidak disert ai dengan buku manual unt uk menyelesaikan semua masalah yang akan muncul, maka manusia harus memilih sendiri menyelesaikannya kemudian menunggu apa yang akan t erjadi sebagai konsekuensi pilihannya itu.
Jadi untuk menjelaskan adanya empat at au t ak berhingga banyaknya simet ri pada kart u persegi panjang, manusia memilih untuk menganggap bahwa rot asi sejauh 2 pada salah satu sumbu simet ri, akan menempati posisi yang sama dengan rot asi sejauh 0 derajat . Demikian juga rot asi sejauh -3 akan menempat i posisi yang sama dengan rot asi sejauh . Rot asi dengan cara bagaimanapun, posisi akhir akan memperlihat kan bahwa semua bagian at au sisi-sisi kart u akan menempat i t empat yang t epat sama sebelum dilakukan rot asi.
Dengan melakukan pilihan yang sama pada kart u yang berbent uk persegi (unt uk simet ri yang meliput i rot asi 0 derajat , dengan simet ri berhingga, dan t idak memperhitungkan simet ri pencerminan), akan diperoleh adanya delapan simet ri. K edelapan simet ri t ersebut t erdiri at as rot asi 0 derajat (at au 0 ), rot asi / 2, , dan 3 / 2 pada sumbu-sumbu yang t egak lurus t erhadap permukaan kart u dan melalui t it ik pusat bidang kart u, sert a t erdapat dua simet ri lipat yang melalui garis diagonal dan t itik pusat bidang kart u t ersebut .
Gambar 3.3: Simet ri persegi.
Simet ri pada bidang (dalam hal ini kartu) persegi, dapat dijelaskan sebagai berikut : Seorang mahasiswa meletakkan sehelai kartu persegi di atas meja kemudian meniggalkan ruang kelas. Kemudian mahasiswa lainnya
membalikkan dua kartu tersebut sebanyak dua kali, berdasarkan rotasi pada gambar di atas. Ketika mahasiswa yang meletakkan kartu tadi kembali ke dalam ruang kelas, maka ia tidak dapat mengetahui bahwa kartu tersebut telah berubah posisi sebanyak dua kali, karena setiap bagian dan sisi-sisinya berada pada posisi yang sama. Hasil dari dua kali simetri adalah juga simetri.
Untuk mempert egas t iga rot asi pada kart u persegi panjang, masing-masing rot asi diberi label sebagai penanda, yaitu r1, , dan ,r2 r3 dan posisi t anpa rot asi dit andai dengan simbol e. Jika seseorang melakukan rot asi r1kemudian rot asi r2 bert urut -t urut , maka hasil rot asi t ersebut adalah r1, , , at au ,r2 r3 e
yait u salah sat u rot asi t erdapat pada kart u. Rot asi yang mana? Rot asi r1
kemudian dilanjut kan dengan rot asi r2 akan menghasilkan r3. Demikian pula, pada bidang yang sama, jika rot asi r2 dit eruskan dengan rot asi r3 maka akan menghasilkan rot asi r .1 Mahasiswa dapat mebuat kart u sendiri untuk menguji rot asi apa yang akan dihasilkan dari dua rot asi bert urut -t urut , misalnyar1
kemudian r3. 1 r 3 r 2 r
Gambar 3.4: Label simet ri rot asi pada bidang persegi
Berdasarkan posisi akhir yang diperoleh dari dua rot asi bert urut -turut , diperoleh suat u bentuk perkalian simet ri komposisi yang dapat dinyat akan sebagai berikut : Hasil kali xy dari simet ri-simet ri x dan simet ri y adalah hasil dari rot asi pada simet ri y kemudian dilanjut kan dengan rot asi pada simet ri x.
Cara yang paling baik unt uk menguji semua hasilkali rot asi simet ri pada bidang persegi maupun persegi panjang adalah dengan mengisi t abel perkalian sepert i yang diberikan pada Gambar 3.5. Banyak baris dan kolom disesuaikan dengan banyak simet ri pada masing-masing bidang. Unt uk bidang persegi panjang, diperlukan empat baris dan empat kolom sedangkan untuk
bidang persegi diperlukan delapan baris dan delapan kolom. Mahasiswa dapat mencoba juga unt uk berbagai bentuk lain yang memungkinkan misalnya segi t iga sama sisi, segi t iga sama kaki, at au bentuk lainnya. Set iap sel diisi dengan hasil perkalian ssimet ri pada baris dan kolom yang bersesuaian. Misalnya pada baris dan kolom r2 diisi dengan hasilkali kedua rotasi t ersebut jika dilakukan bert urut -t urut . Tabel ini akan memudahkan mahasiswa memahami T abel Cayley yang akan dibahas pada bagian selanjutnya.
e r1 r2 r3 e 1 r r3 2 r 3 r
Gambar 3.5. T abel perkalian simet ri persegi panjang
Set elah selesai mengisi t abel perkalian untuk bidang persegi panjang, lanjut kan dengan t abel perkalian untuk bidang persegi. Label pada masing-masing simet ri dapat dit ent ukan sendiri, t et api unt uk t ujuan keseragaman, di sini digunakan label sepert i yang diperlihat kan pada Gambar 3.6. dan 3.7.
r
b
c
a d
Label pada gambar di at as dipilih dengan kesepakat an sebagai berikut :
Rot asi sebesar / 2 melalui sumbu yang t egak lurus pada t it ik t engah bidang kartu diberi label r.
Rot asi sebesar / 2 lainnya pada sumbu yang sama masing-masing diberi label r2
dan r3
(ada t iga rot asi pada sumbu yang t egak lurus permukaan bidang kart u).
Posisi kart u sebelum dilakukan rot asi adalahe.
Simet ri lipat sebesar melalui garis yang menghubungkan t it ik t engah dua sisi berhadapan diberi label a, danb.
Sedangkan simet ri lipat sebesar melalui garisgaris diagonal berturut -t uru-t diberi label c dand.
Hasilkali dari dua rot asi yang dilakukan berturut -turut , dapat dipahami set elah mahasiswa mengisi t abel perkalian simet ri rot asi unt uk bidang persegi yang diberikan pada Gambar 3.7.
e r 2 r 3 r a b c d e 3 r r 2 r 3 r a b c e d