Alam memperlihatkan kebe-
radaan pola-pola matematik yang luar biasa. Gambar di samping memperlihatkan penampakan “close-up” se- potong bunga salju. Bunga salju di samping memiliki simetri yang terkait dengan objek matematik yang di- kenal sebagai grup dihedral D3. (Gambar ini diambil dari www.demilked.com/macro- snow akes-diy-camera- alexey-kljatov) 3.1 Berapa besarnya? Ke mana arahnya? 3.2 Kesamaan Dua Vektor 3.3 Aljabar Vektor 3.4 Penguraian Vektor 3.5 Hasilkali Skalar 3.6 Hasilkali Silang
3.7 Medan Skalar dan Medan Vektor
3.1
Berapa besarnya? Ke mana arahnya?
Anda sedang bersantai sambil memancing di pinggir sebuah telaga. Tiba-tiba sese- orang menghubungi Anda dari kampus. Ia menanyakan tentang keberadaan Anda sekarang. Anda katakan bahwa Anda berada 100 kilometer dari kota Sragen. Cu- kupkah data yang Anda sampaikan itu bagi kolega Anda itu sehingga ia benar-benar mengetahui keberadaan anda saat ini? Tentu saja data yang Anda sampaikan itu jauh dari mencukupi, sebab kolega Anda harus memilih satu dari sekian tempat yang me- miliki jarak 100 kilometer dari kota Sragen untuk memastikan tempat keberadaan Anda. Satu data lagi yang diperlukan oleh teman Anda, agar ia segera menemukan tempat keberadaan Anda. Arah. Seratus kilometer dari kota Sragen itu ke arah ma- na? Kisah yang baru saja ini menunjukkan bahwa dalam berbicara masalah posisi terdapat dua data yang penting dan secara pasti menentukan posisi sebuah tempat. Kedua data itu adalah jarak dan arah. Karenanya posisi dikelompokkan ke dalam besaran vektor.
Posisi, kecepatan, dan dorongan atau gaya adalah besaran-besaran yang bukan saja ditentukan oleh besarnya (atau magnitude-nya), namun juga ditentukan oleh arahnya. Ketiganya termasuk besaran vektor. Ada dua pertanyaan yang selalu ter- kait dengan besaran vektor, yakni “Berapa besarnya?“ dan “Ke mana arahnya?“ Jika kedua pertanyaan itu semuanya telah berhasil Anda jawab, maka Anda telah mem- berikan gambaran yang lengkap tentang besaran vektor yang anda sebutkan. Akan tetapi perlu disadari bahwa tidak semua yang memiliki besar dan arah merupakan besaran vektor. Masih ada sebuah syarat lagi bagi sebuah besaran yang memiliki besar dan arah untuk disebut sebuah vektor. Satu syarat itu menyangkut perilaku besaran itu terhadap rotasi kerangka koordinat. Akan tetapi, tampaknya kita tidak akan membicarakannya secara rinci di dalam bagian ini.
𝐕
𝐖
Gambar 3.1: Dua anak panah yang menggambarkan besaran vektor 𝐖 dan besaran vektor𝐕
Sebuah besaran vektor hendak dituliskan dengan huruf te- bal. Besaran vektor posisi, misalnya, dituliskan denganr, kece- patan denganv, gaya denganF, dan lain sebagainya. ApabilaA suatu besaran vektor, maka besar atau panjang dariAditulis se- bagai𝐴 atau |A|. Besar sebuah vektor bukan bilangan negatif. Untuk memudahkan dalam pembicaraan, sebuah besaran vek- tor digambarkan (divisualisasikan) dengan sebuah anak panah. Panjang anak panah menunjukkan besar (magnitude) besaran vektor itu dan arah yang ditunjukkan oleh anak panah menun- jukkan arah besaran vektor itu (lihat Gambar 3.1). Dua anak panah yang terlihat dalam Gambar 3.1 menggambarkan besar- an vektorVdan dan besaran vektorW. Apabila dimensi dariV danWsama, maka kedua vektor itu dapat dibandingkan. Dalam Gambar 3.1 anak panah yang mewakiliWterlihat dua kali lebih panjang dibanding- kan dengan anak panah yang mewakiliV. Hal ini menunjukkan bahwa besar vektor Wdua kali besar vektor V. Arah kedua anak panah itu sama, menandakan bahwa arah besaran vektorVsama dengan arah besaran vektorW.
3.2
Kesamaan Dua Vektor
Jarak dari kota Muntilan ke kota Yogya sama jauhnya dengan jarak kota Klaten ke kota Yogya. Namun kedua tempat itu memiliki posisi yang berbeda apabila diukur
3.3
Aljabar Vektor
73
dari kota Yogya karena kota Klaten berada di sebelah timur laut kota Yogya, sedang-kan Muntilan berada di sebelah barat daya. Kota Kalasan pun berada di sebelah timur laut kota Yogya. Tetapi, karena jarak kota Kalasan ke kota Yogya kurang lebih hanya 10 km, maka posisi kota Kalasan berbeda dari posisi kota Klaten.
Dua buah besaran dikatakan sematra apabila keduanya memiliki dimensi yang sama. Dua buah besaran yang sematra dapat dibandingkan satu dengan yang lain. Dari kedua contoh tersebut, dapat disimpulkan bahwa dua buah besaran vektor yang sematra dikatakan sama apabila baik besar (magnitude) maupun arahnya sama. De- ngan kata lain, dua buah besaran vektor yang sematra dikatakan sama apabila kedua pertanyaan “Berapa besarnya?“ dan “Ke mana arahnya?“ memiliki jawaban yang sa- ma kalau diterapkan untuk kedua besaran itu.
𝐫 𝐫 𝐫 𝐯 𝐯 𝐯
Gambar 3.2:Vektor kecepatan pada gerak melingkar bera- turan
Sebuah besaran (entah itu skalar maupun vektor) dikatakan konstan atau tetap apabila besaran itu tidak berubah meskipun waktu te- rus berjalan. Jadi, suatu besaran skalar dika- takan tetap jika besarnya tidak berubah de- ngan berjalannya waktu. Cukup itu saja. Ba- gaimana dengan besaran vektor? Karena be- saran vektor menyangkut dua hal, yakni be- sar dan arah, maka suatu besaran vektor di- katakan tetap apabila baik besar maupun arah besaran vektor itu tidak berubah. Posisi ko- ta Klaten merupakan besaran vektor yang te- tap jika diukur dari kota Sragen. Tetapi posisi bus jurusan Yogya-Surabaya yang sedang me- lintas di jalan Surabaya-Yogya merupakan be- saran vektor yang tidak konstan. Sebuah ben- da yang bergerak melingkar beraturan memi- liki kelajuan yang sama, tetapi arahnya sela- lu berubah (lihat Gambar 3.2). Oleh karena itu, benda itu memiliki kecepatan yang tidak tetap, meskipun besarnya kecepatan yang di- miliki oleh benda itu sama sepanjang waktu. Pada saat benda berada pada posisi yang di- tunjukkan oleh vektor posisi𝐫 benda memi-
liki kecepatan𝐯 . Pada saat di posisi𝐫 benda memiliki kecepatan𝐯 . Di posisi𝐫 benda memiliki kecepatan𝐯 . Laju atau besarnya kecepatan benda pada masing- masing posisi itu sama, yakni |𝐯 | = |𝐯 | = |𝐯 |. Tetapi karena arah kecepatan pada ketiga posisi itu berbeda, maka harus dikatakan bahwa kecepatan benda pada ketiga posisi di atas berbeda, yakni secara matematis ditulis sebagai𝐯 ≠ 𝐯 ≠ 𝐯 .
3.3
Aljabar Vektor
Dua vektor dapat dijumlahkan sehingga diperoleh sebuah vektor lain, tetapi cara penjumlahannya berbeda dari penjumlahan skalar. Vektor dapat pula dikalikan de- ngan skalar, hasilnya adalah sebuah vektor lain. Dalam subbab ini kita akan mempe- lajari penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan skalar dan beberapa sifatnya.
