BILANGAN BULAT DAN OPERASINYA
2. Perkalian dan Pembagian
Secara konsep, mengali adalah menghitung anggota seluruh kelompok benda bila masing-masing kelompoknya beranggota sama banyak. Karena secara konsep banyaknya kelompok juga harus berupa bilangan positip, maka secara konsep mengali juga harus berupa bilangan positip. Sebagai pemahaman makna dari konsep tersebut berikut diberikan peragaan-peragaannya.
a. Peragaan untuk 3 2 = 6 b. Peragaan untuk 3 (–2) = –6
Jika 1 kelompok berisi + 2 (positip 2), Jika 1 kelompok berisi –2 (negatip 2), berapakah isi dari 3 kelompok? berapakah isi dari 3 kelompok?
Jawab: Jawab:
Isi dari Isi dari:
3 kelompok = 3 (+2) 3 kelompok = 3 (–2)
= 3 2 = (–2) + (–2) + (–2) = 2 + 2 + 2 = 6 = –6
Untuk operasi pembagian demikian pula halnya. Secara konsep membagi adalah menjadikan sekelompok benda menjadi beberapa kumpulan benda sama banyak. Dengan demikian secara konsep bilangan pembagi juga harus berupa bilangan positip. Gambaran konsepnya adalah seperti berikut.
a. Peragaan untuk (+6) : 3 = +2 atau 6 : 3 = 2
Cara membacanya
Ada satu kelompok berisi positip 6, dijadikan 3 kelompok sama banyak. Berapakah isi masing-masing kelompok yang baru itu?
Jawab:
Dari hasil peragaan berarti secara konsep: (+6) : 3 = +2 atau cukup ditulis 6 : 3 = 2.
44 b. Peragaan untuk (–6) : 3 = (–2) atau –6 : 3 = 2.
Cara membacanya:
Ada 1 kelompok berisi negatip 6, dijadikan 3 kelompok sama banyak. Berapakah isi dari masing-masing kelompok yang baru itu?
Jawab:
Dari hasil peragaan berarti secara konsep: (–6) : 3 = (–2) atau cukup ditulis –6 : 3 = –2.
Mengingat matematika bukanlah ilmu yang bersifat diam, tetapi merupakan ilmu yang terus berkembang, para ahli kemudian mengembangkannya ke arah bentuk yang lebih umum walaupun tampaknya tidak sesuai dengan konsep yang semula. Pertimbangan mereka adalah asal kaidahnya dapat bersifat konsisten. Sebab sifat dasar matematika adalah deduktif dan konsisten (GBPP Matematika SD 1994 : bagian pembukaan). Bentuk yang lebih umum yang dimaksud adalah pengali maupun pembagi yang seharusnya berupa bilangan positip diusahakan dapat berlaku pula untuk bilangan negatip. Untuk maksud tersebut, ide pengembangannya didasarkan atas pola bilangan. Dari pola bilangan itu, jawaban-jawaban yang dihasilkan kemudian diamati pola kecenderungannya. Nah dari pola kecenderungan yang diamati itulah kemudian pengembangan (yang sebenarnya berada di luar konsep) dapat ditentukan/dicari jawabannya hingga sampai pada tujuan yang dimaksud. Terakhir dari terjawabnya tujuan yang dimaksud itu kemudian diadakan generalisasi.
Dalam matematika, pola bilangan digunakan untuk menjelaskan pengembangan pemikiran karena kaidah yang diperoleh dari pola itu memiliki azas konsisten sesuai dengan sifat matematika yang hakiki yakni bersifat deduktif dan konsisten. Seperti telah diketahui bahwa secara konsep dapat dikemukakan bahwa bilangan positip dikalikan dengan bilangan negatip hasilnya adalah bilangan negatip. Sedangkan bilangan negatip dibagi dengan bilangan positip hasilnya adalah bilangan negatip. Kini dengan pola bilangan akan dijelaskan mengapa bilangan negatip dikalikan bilangan positip hasilnya berupa bilangan negatip.
1. Bilangan
negatip positip = bilangan negatip
Pola yang dikembangkan Pola isian 4 baris yang pertama Isian selengkapnya 4 2 = … 3 x 2 = … 2 2 = … 1 2 = … 0 x 2 = … -1 2 = … -2 2 = … -3 2 = … 4 2 = 8 3 2 = 6 2 2 = 4 1 2 = 2 0 2 = … -1 2 = … -2 2 = … -3 2 = … 4 2 = 8 3 2 = 6 2 2 = 4 1 2 = 2 0 2 = 0 -1 2 = -2 -2 2 = -4 -3 2 = -6
Kesimpulan : Bilangan negatif bilangan positif = bilangan negatif
2. Bilangan
negatip negatip = bilangan positip.
Dengan mengadopsi hasil sebelumnya yakni bilangan positip negatip = negatip. Pola yang dikembangkan Pola isian 4 baris yang
pertama Isian selengkapnya 4 (-2) = … 3 (-2) = … 2 (-2) = … 1 (-2) = … 0 x (-2) = … -1 2 = … -2 2 = … -3 2 = … 4 (-2) = -8 3 (-2) = -6 2 (-2) = -4 1 (-2) = -2 0 (-2) = … -1 (-2) = … -2 (-2) = … -3 (-2) = … 4 (-2) = -8 3 (-2) = -6 2 (-2) = -4 1 (-2) = -2 0 (-2) = 0 -1 (-2) = 2 -2 (-2) = 4 -3 (-2) = 6
Kesimpulan : Bilangan negatif bilangan negatif = bilangan positif.
Pembagian Bilangan Bulat
Seperti yang pernah dikemukakan sebelumnya bahwa secara konsep bilangan pembagi adalah bilangan positip. Bagaimana pengembangannya untuk pembagi yang berupa bilangan negatip, apakah juga dapat dilakukan menggunakan pola seperti perkalian? Jawabnya adalah tidak. Sebab untuk membuat pola akan berhadapan dengan bilangan
Stop amati pola hasil isiannya turun 2 turun 2 turun 2 Stop amati pola hasil isiannya naik 2 naik 2 naik 2
46 nol. Padahal pembagian dengan bilangan nol hasilnya tak ada (does not exist). Oleh karena itu akan lebih baik bila ditanyakan ke siswa “apa hubungannya antara bilangan yang dibagi dengan pembagi dan hasil bagi” seperti misalnya apa hubungan antara:
a. 15 dengan 3 dan 5 pada pembagian 15 : 3 = 5 b. 12 dengan 4 dan 3 pada pembagian 12 : 4 = 3
c. –6 dengan 3 dan –2 pada pembagian –6 : 3 = -2 dan lain-lain.
Setelah siswa menjawab “dikalikan” atau lebih lengkapnya “bilangan yang dibagi = pembagi kali hasil bagi” guru kemudian mengarahkan siswa pada bentuk umum:
a : b = c bila dan hanya bila a = b c
Pernyataan itu dapat pula ditulis dengan notasi lainnya seperti:
a : b = c a = b c atau c b a
a = b c
Dari bentuk umum itu guru dapat menjelaskan kasus-kasus seperti bilangan (yang dimaksud adalah bilangan tidak nol) dibagi nol, nol dibagi bilangan, dan nol dibagi nol. Hasil yang dimaksud masing-masing adalah:
(1)
nol bilangan
tak ada (does not exist) Sebab dari bentuk seperti n
0 5
5 = 0 n ternyata tak ada nilai n yang memenuhi.
(2)
bilangan nol
= nol
Sebab dari bentuk seperti n 5 0
0 = 5 n maka n yang memenuhi agar 0 = 5 n adalah n = 0.
(3)
nol nol
= tak tentu (semua bilangan memenuhi) Sebab dari bentuk seperti n
0 0
0 = 0 n maka berapapun nilai n yang dimasukkan akan selalu memenuhi bentuk 0 = 0 n.
1. Uraikan jawabannya dengan kata-kata seperti maju sekian, mundur sekian, terus, balik arah, dan hasilnya berapa.
a. –2 + 2 = …, 2 disebut lawan dari –2 b. –3 + 3 = …, 3 disebut lawan dari –3 c. 4 + (–6) = … d. 5 + (–3) = … e. 4 – (–3) = … f. 3 – (–5) = … g. –2 – (–5) = … h. –3 × (–7) = … 2. Hitunglah a. 5 × (– 4) = … e. 10 – 4 × (– 2) = … b. – 4 × (– 20) = … f. 15 + 4 ×(2 – 5) = … c. – 20 : (– 4) = … g. 25 – 2 ×(10 – 5) = … d. 100 : (– 4) = … h. – 5 ×10 + 75 = … 3. Hitunglah a. 10 : (– 2) × 4 + 30 – 3 ×(– 4) = … b. 16 ×( – 4) : 2 – 40 : ( – 4) × 2 = …
48 BAB VI
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Bilangan asli, cacah, dan bulat yang kita kenal sebagai bilangan ACB pada matematika Sekolah Dasar meliputi konsep bilangan dihubungkan dengan banyaknya satuan (unit) benda dalam suatu kumpulan. Operasi (penjumlahan, pengu-rangan, perkalian, dan pembagian) adalah operasi biner (operasi yang menghubungkan antara 2 unsur/bilangan sehingga menghasilkan unsur tunggal) yang diterapkan pada bilangan. Sajian materi berikutnya adalah kelipatan persekutuan terkecil (KPK), faktor persekutuan terbesr (FPB), penguadratan, pemangkatan tiga, dan penarikan akar (pangkat dua dan tiga), serta bilangan bulat (positip, nol, negatip) dan operasinya. Suatu lingkup bahasan yang cukup luas untuk dibahas dalam diklat guru Sekolah Dasar. Namun semuanya ternyata dapat dilalui secara menarik dan menyenangkan. Resep apa sebenarnya sehingga yang membuat matematika yang dibahas pada kegiatan diklat dapat menarik dan menyenangkan? Jawabnya tidak lain adalah karena sajian materinya diawali secara kontekstual (berangkat dari konteks kehidupan siswa sehari-hari) dan mengikuti teori Bruner, yakni pembelajaran berangkat dari kongkrit, ditindaklanjuti dengan gambar-gambar (semi kongkrit), dan diakhiri dengan lambang yang sifatnya abstrak. Menurut Bruner, jika pembelajaran berjalan seperti itu, maka siswa akan mampu mengembangkan pengetahuannya jauh lebih luas dari apa yang pernah mereka terima dari gurunya. Apabila itu semua dialami oleh peserta diklat (guru), mengapa siswa tidak mengalaminya?. Semuanya tentu tergantung kepada komitmen (niat baik) dan realisasi (pelaksanaan riil/ sesungguhnya) saat kembali ke tempat tugas masing-masing.
B. SARAN
Bagi para alumni diklat yang berkomitmen untuk merealisasikan komitmennya pada anak didik agar mereka menjadi senang dengan pelajaran matematika diberikan saran-saran sebagai berikut.
1. Laporkan kepada atasan langsung tentang pengalaman apa saja yang menarik selama menerima sajian akademik dalam kegiatan pelatihan
2. Pikirkan perangkat kerja apa saja yang mendesak untuk dibuat dan segera dite-rapkan/diimplementasikan di lapangan, jika sebagai guru pertama adalah yang untuk diterapkan di kelas yang diampunya, selanjutnya kepada sesama guru di sekolahnya, kemudian pada kegiatan KKG
3. Susunlah perangkat tersebut dengan niat baik, tulus, dan iklas demi anak bangsa di masa depan
4. Diskusikan rencana tindak lanjut Anda pasca pelatihan kepada kepala sekolah dan kepada pengawas
5. Bersemboyanlah “ Apa yang terbaik yang saya miliki dan dapat saya perbuat untuk kemajuan bangsa ini sebagai andil dalam rangka mencerdaskan bangsa”. Tuhan maha mengetahui dan pasti akan memberikan ganjaran yang patut disyukuri berupa sesuatu yang tak terduga di masa depan.
Amin.