BAB V PENUTUP
B. Saran
Saran yang dapat peneliti berikan berdasarkan hasil penelitian adalah sebagai berikut
1. Bagi dosen, dosen diharapkan memberikan perhatian dan melatih mahasiswa untuk memahami ciri-ciri dari setiap jenis persamaan diferensial orde satu dan penerapannya ke soal pemecahan masalah. Selain itu dosen diharapkan memberikan penguatan pada materi prasyarat yaitu turunan dan integral sehingga mahasiswa dapat memahami materi persamaan diferensial dengan baik.
2. Bagi mahasiswa, mahasiswa diharapkan lebih meningkatkan kemampuan pemahaman konsep persamaan diferensial orde satu khususnya penerapan persamaan diferensial orde satu ke pemecahan masalah karena materi ini juga
akan digunakan pada mata kuliah tingkat selanjutnya yaitu Pemodelan Matematika.
3. Bagi pembaca yang ingin melakukan penelitian lebih lanjut untuk:
a. melakukan penelitian tentang metode pembelajaran yang mampu memfasilitasi agar bisa meningkatkan kemampuan pemahaman konsep mahasiswa pada materi persamaaan diferensial orde satu.
b. melakukan penelitian untuk melihat hubungan atau seberapa besar pengaruh materi prasyarat yaitu turunan dan integral terhadap kemampuan pemahaman konsep persamaan diferensial.
160
DAFTAR PUSTAKA
Ali, M. dan Asrori, M. 2018. Metodologi dan Aplikasi Riset Pendidikan. Jakarta: PT Bumi Aksara.
Arikunto, S. 2012. Dasar-Dasar Evaluasi Pendidikan. Edisi 2. Jakarta : PT Bumi Aksara.
Hamalik. 2002. Perencanaan Pengajaran Berdasarkan Pendekatan Sistem. Jakarta: PT. Bumi Aksara.
Hendriana, H.H dan Soemarmo. 2014. Penilaian Pembelajaran Matematika. Bandung: PT Refika Aditama
Hudojo. 2001. Pengembangan Kurikulum dan Pembelajaran Matematika. Malang: Universitas Negeri Malang.
Lestari, I. 2015. Pengaruh Waktu Belajar dan Minat Belajar Terhadap Hasil Belajar Matematika. Jurnal Online Formatif, Vol 3. No 2. Hal 115 – 125. https://journal.lppmunindra.ac.id/index.php/Formatif/article/view/118/115 [ 9 Juli 2019]
Lestari, K.E dan Yudhanegra, M.R. 2015. Penelitian Pendidikan Matematika. Bandung: PT Refika Aditama.
Moleong, L.J. 2008. Metodologi Penelitian Kualitatif. Edisi revisi. Bandung: PT Remaja Rosdakarya.
Naisunis, Y.P., Taneo, P.N.L., dan Daniel, F. 2018. Analisis Kesalahan Mahasiswa dalam Pemecahan Masalah pada Mata Kuliah Persamaan Diferensial. Dalam
Jurnal Online Edumatica, Vol 08. No. 02. Hal 107 – 119.
https://www.online-journal.unja.ac.id/edumatica/article/view/5548 [25 Ferbruari 2019]
Ningsih, Y.L. 2016. Pemahaman Mahasiswa Pendidikan Matematika Tentang Konsep Turunan Berdasarkan Teori Apos. Dalam Prosiding Seminar Internasional dan
Rapat Tahunan Badan Kerja Sama Perguruan Tinggi Negeri Wilayah Barat,
Mei. Hal 877 – 885. Palembang: Universitas Sriwijaya.
https://jurnal.univpgri-palembang.ac.id/index.php/prosiding/article/viewFile/822/683 [24 Februari 2019]
Ningsih, Y.L dan Rohana. 2018. Pemahaman Mahasiswa Terhadap Persamaan Diferensial Biasa Berdasarkan Teori APOS. Dalam Jurnal Online Penelitian dan
Pembelajaran Matematika, Vol. 11. No 1. Hal 168 – 176. http://jurnal.untirta.ac.id/index.php/JPPM/article/download/2995/2326 [17 Desember 2018]
NCTM. 2000. Principles and Standards for School Mathematics. Reston: VA.
Oktavia, A dan Khotimah, R.P. 2016. Analisis Kesulitan Mahasiswa Dalam Menyelesaikan Persamaan Diferensial Tingkat Satu. Dalam Prosiding Koferensi
Nasional Pendidikan Matematika dan Pembelajarannya (KNPMP I). Hal 99 –
108
https://publikasiilmiah.ums.ac.id/bitstream/handle/11617/6946/10_71_Makalah %20Rev%20Ayu%20Oktavia.pdf?sequence=1&isAllowed=y [22 Februari 2019]
Ross, S.L. 1984. Differential Equations : Third Edition. New York : John Wiley & Sons, Inc.
Soedjadi. 2000. Kiat Pendidikan Matematika di Indonesia. Jakarta: Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Departemen Pendidikan Nasional.
Suharnan. 2005. Psikologi Kognitif. Surabaya: Srikandi.
Suradi. 2002. Teori Pembentukan Konsep dan Hubungannya dengan Pembelajaran Matematika. Dalam Jurnal Matematika. Edisi khusus. Juli. Hal 587 - 591. Susanto. 2013. Teori Belajar & Pembelajaran di Sekolah Dasar. Jakarta:
Prenadamedia Group.
Van De Walle, J.A. 2008. Matematika Sekolah Dasar dan Menengah. Edisi 6. Jakarta: Erlangga.
162
Lampiran 2. Soal Tes Esai
Soal (120 Menit) Petunjuk:
Kerjakan soal-soal berikut dengan jelas dan teliti! Sifat close book
1. a. Tunjukkan bahwa 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥+ 𝑐2𝑒−2𝑥 dimana 𝑐1 dan 𝑐2 konstan, merupakan solusi dari
persamaan diferensial
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2− 2𝑑𝑦𝑑𝑥− 8𝑦 = 0
b. Tentukan nilai m agar 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥 merupakan solusi dari persamaan diferensial
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2− 5𝑑𝑦𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0 (Skor 25)
2. Tentukan jenis persamaan diferensial di bawah ini ! (separabel/ homogen/ eksak / linear / Bernoulli). Berikan penjelasan secukupnya.
a. [(𝑥 + 1)𝑒𝑥− 𝑒𝑦]𝑑𝑥 − 𝑥𝑒𝑦𝑑𝑦 = 0 b. (4𝑥2𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥4+ 1)𝑑𝑦 = 0 c. (3𝑥2− 2𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 d. 𝑥4𝑑𝑦 + (2𝑥3𝑦 − 1)𝑑𝑥 = 0 (Skor 25)
3. Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial linear berikut (1 − 𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)2
(Skor 25)
4. Laju perubahan suhu sebuah benda yang dicelupkan ke dalam air dinyatakan dalam bentuk
𝑑𝑇
𝑑𝑡 = −5(𝑇 − 30)
dengan 𝑇 = 𝑇(𝑡) merupakan suhu benda pada saat t menit. Jika pada saat 𝑡 = 0 , suhu benda 100°𝐶, tentukan persamaan 𝑇(𝑡).
Lampiran 3. Kunci Jawaban
Kunci Jawaban
1a. Diketahui 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥+ 𝑐2𝑒−2𝑥 dimana 𝑐1 dan 𝑐2 konstan
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 4𝑐1𝑒4𝑥− 2𝑐2𝑒−2𝑥
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 = 16𝑐1𝑒4𝑥+ 4𝑐2𝑒−2𝑥
Substitusikan fungsi dan turunannya ke persamaan diferensial
𝑑2𝑦 𝑑𝑥 − 2𝑑𝑦𝑑𝑥− 8𝑦 = (16𝑐1𝑒4𝑥+ 4𝑐2𝑒−2𝑥) − 2(4𝑐1𝑒4𝑥− 2𝑐2𝑒−2𝑥) − 8(𝑐1𝑒4𝑥+ 𝑐2𝑒−2𝑥) = 16𝑐1𝑒4𝑥+ 4𝑐2𝑒−2𝑥 − 8𝑐1𝑒4𝑥+ 4𝑐2𝑒−2𝑥 − 8𝑐1𝑒4𝑥− 8𝑐2𝑒−2𝑥 = 0
Karena menghasilkan kesamaan identitas (0) atau memenuhi persamaan diferensial tersebut, maka dapat disimpulkan 𝑓(𝑥) = 𝑐1𝑒4𝑥+ 𝑐2𝑒−2𝑥 merupakan solusi dari persamaan diferensial 𝑑
2𝑦 𝑑𝑥 − 2𝑑𝑦𝑑𝑥− 8𝑦 = 0 1b. Diketahui 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑚𝑒𝑚𝑥 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 = 𝑚2𝑒𝑚𝑥
Substitusikan fungsi dan turunannya ke persamaan diferensial
𝑑2𝑦 𝑑𝑥 − 5𝑑𝑦𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0 𝑚2𝑒𝑚𝑥 − 5𝑚𝑒𝑚𝑥 + 4𝑒𝑚𝑥 = 0 (𝑚2− 5𝑚 + 4)𝑒𝑚𝑥 = 0 𝑚2− 5𝑚 + 4 = 0 Skor 6 Skor 6 Skor 6 Skor 7
(𝑚 − 1)(𝑚 − 4) = 0 𝑚 = 1 atau 𝑚 = 4
Jadi, nilai m agar 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑚𝑥 merupakan solusi dari persamaan diferensial
𝑑2𝑦
𝑑𝑥 − 5𝑑𝑦𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0 yaitu 1 atau 4.
2a. Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial eksak. Alasannya
[(𝑥 + 1)𝑒𝑥− 𝑒𝑦]𝑑𝑥 − 𝑥𝑒𝑦𝑑𝑦 = 0 dari persamaan diferensial tersebut diperoleh
𝑀(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 1)𝑒𝑥− 𝑒𝑦 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)𝜕𝑦 = −𝑒𝑦 𝑁(𝑥, 𝑦) = −𝑥𝑒𝑦 𝜕𝑁(𝑥,𝑦)𝜕𝑥 = −𝑒𝑦
Karena 𝜕𝑀(𝑥,𝑦)𝜕𝑦 =𝜕𝑁(𝑥,𝑦)𝜕𝑥 , maka persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial eksak
2b. Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial separabel. Alasannya
(4𝑥2𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥4 + 1)𝑑𝑦 = 0
Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut (4𝑥2+ 3)𝑦𝑑𝑥 + (𝑥4+ 1)𝑑𝑦 = 0
dengan mengalikan kedua ruas dengan (𝑥4+ 1) dan (1𝑦), diperoleh
4𝑥2+3
𝑥4+1 𝑑𝑥 +1𝑦𝑑𝑦 = 0
Bentuk tersebut merupakan bentuk persamaan diferensial separabel 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 0
dimana
𝑓(𝑥) =4𝑥𝑥42+1+3 dan 𝑔(𝑦) =𝑦1
Persamaan nomor 2b dapat juga diklasifikasikan ke persamaan diferensial linear.
Skor 6
Alasannya
(4𝑥2𝑦 + 3𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥4 + 1)𝑑𝑦 = 0
Persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut (4𝑥2+ 3)𝑦𝑑𝑥 + (𝑥4+ 1)𝑑𝑦 = 0
dengan membagi kedua ruas dengan (𝑥4+ 1) dan 𝑑𝑥 diperoleh ( 4𝑥𝑥42+1+3) 𝑦 +𝑑𝑦𝑑𝑥 = 0
Bentuk tersebut merupakan bentuk persamaan diferensial linear
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) dimana
𝑃(𝑥) =4𝑥𝑥42+1+3 dan 𝑄(𝑥) = 0
2c. Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial homogen. Alasannya
Cara I
(3𝑥2− 2𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0
dengan membagi kedua ruas dengan 𝑥2 diperoleh (3 −2𝑦𝑥22) 𝑑𝑥 + (𝑦𝑥) 𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −(3−2( 𝑦 𝑥)2) (𝑦𝑥)
Bentuk tersebut merupakan bentuk persamaan diferensial homogen
𝑑𝑦 𝑑𝑥= 𝑔 (𝑦𝑥) dimana 𝑔 (𝑦𝑥) = −(3−2( 𝑦 𝑥)2) (𝑦𝑥) Cara II 𝑀(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 − 2𝑦2 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 3(𝜆𝑥)2− 2(𝜆𝑦)2 Skor 6
= 3𝜆2𝑥2− 2𝜆2𝑦2 = 𝜆2(3𝑥2− 2𝑦2) = 𝜆2𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = (𝜆𝑥)(𝜆𝑦) = 𝜆2𝑥𝑦 = 𝜆2𝑁(𝑥, 𝑦)
Karena 𝑀(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆2𝑀(𝑥, 𝑦) dan 𝑁(𝜆𝑥, 𝜆𝑦) = 𝜆2𝑁(𝑥, 𝑦) memiliki pangkat 𝜆 yang sama yaitu 2, maka 𝑀(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 − 2𝑦2 dan 𝑁(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 merupakan fungsi homogen berderajat dua. Jadi, (3𝑥2− 2𝑦2)𝑑𝑥 + (𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 merupakan persamaan diferensial homogen.
2d. Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial linear Alasannya
𝑥4𝑑𝑦 + (2𝑥3𝑦 − 1)𝑑𝑥 = 0
Bentuk persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi 𝑥4 𝑑𝑦
𝑑𝑥+ (2𝑥3𝑦 − 1) = 0 𝑥4 𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑥3𝑦 = 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥+2𝑥 𝑦 =𝑥14 (kedua ruas dibagi 𝑥4)
Bentuk persamaan tersebut merupakan bentuk persamaan diferensial linear orde satu.
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)
dimana 𝑃(𝑥) =2𝑥 dan 𝑄(𝑥) =𝑥14
3. Diketahui persamaan diferensial linear (1 − 𝑥)𝑑𝑦𝑑𝑥+ 𝑦 = 𝑥(𝑥 − 1)2
dengan membagi kedua ruas dengan (1 − 𝑥) diperloeh
𝑑𝑦
𝑑𝑥+1−𝑥1 𝑦 = 𝑥(1 − 𝑥) Mencari faktor integral
𝑃(𝑥) =1−𝑥1
𝜇(𝑥) = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒∫1−𝑥1 𝑑𝑥= 𝑒− ln|1−𝑥| =1−𝑥1 Cara I
Kemudian dengan mengalikan faktor integral dan persamaan diferensialnya diperoleh 1 1−𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥+(1−𝑥)1 2𝑦 =𝑥(1−𝑥)1−𝑥 1 1−𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥+(1−𝑥)1 2𝑦 = 𝑥 𝑑 𝑑𝑥(1−𝑥1 𝑦) = 𝑥
dengan pengintegralan diperoleh ∫ 𝑑 (1−𝑥1 𝑦) = ∫ 𝑥 𝑑𝑥
1
1−𝑥 𝑦 =12𝑥2 + 𝑐
𝑦 =12𝑥2(1 − 𝑥) + 𝑐(1 − 𝑥) Cara II
Karena dengan mengalikan persamaan tersebut faktor integral akan menjadi persamaan eksak maka dapat diselesaikan dengan cara berikut
1 1−𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥+(1−𝑥)1 2𝑦 =𝑥(1−𝑥)1−𝑥 1 1−𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥+(1−𝑥)1 2𝑦 = 𝑥 Skor 2 Skor 8 Skor 15
1 1−𝑥𝑑𝑦 +(1−𝑥)1 2𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥 1 1−𝑥𝑑𝑦 +(1−𝑥)1 2𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑥 = 0 1 1−𝑥𝑑𝑦 + ((1−𝑥)1 2𝑦 − 𝑥) 𝑑𝑥 = 0 𝑀(𝑥, 𝑦) = 1 (1−𝑥)2𝑦 − 𝑥 dan 𝑁(𝑥, 𝑦) =1−𝑥1 𝜕𝐹(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 = 𝑀(𝑥, 𝑦) =(1−𝑥)1 2𝑦 − 𝑥 𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫(1−𝑥)1 2𝑦 − 𝑥 𝑑𝑥 =1−𝑥1 𝑦 −12𝑥2+ 𝑔(𝑦) Mencari nilai 𝑔(𝑦) 𝜕𝐹(𝑥,𝑦)𝜕𝑦 = 𝑁(𝑥, 𝑦) 1 1−𝑥+ 𝑔′(𝑦) =1−𝑥1 Sehingga 𝑔′(𝑦) = 0 ∫ 𝑔′(𝑦)𝑑𝑦 = ∫ 0 𝑑𝑦 𝑔(𝑦) = 𝑐0
Penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑐1
1 1−𝑥𝑦 −12𝑥2+ 𝑐0 = 𝑐1 1 1−𝑥𝑦 =12𝑥2 + 𝑐1 − 𝑐0 𝑦 =12𝑥2(1 − 𝑥) + (𝑐1− 𝑐0)(1 − 𝑥) 𝑦 =12𝑥2(1 − 𝑥) + 𝑐(1 − 𝑥)
Jadi penyelesaian umum dari persamaan diferensial linear tersebut adalah 𝑦 =12𝑥2(1 − 𝑥) + 𝑐(1 − 𝑥)
4. Diketahui : laju perubahan suhu sebuah benda yang dicelupkan ke dalam air dinyatakan dalam bentuk 𝑑𝑇𝑑𝑡 = −5(𝑇 − 30) dengan 𝑇 = 𝑇(𝑡) merupakan suhu benda (°𝐶) pada saat t menit dan 𝑘 adalah konstanta.
Suhu benda pada saat 𝑡 = 0 adalah 100℃
Ditanya : Berapakah suhu benda pada saat tertentu? Penyelesaian :
𝑑𝑇
𝑑𝑡 = −5(𝑇 − 30)
𝑑𝑇
(𝑇−30)= −5 𝑑𝑡
Bentuk persamaan tersebut merupakan persamaan separabel, dengan pengintegralan diperoleh ∫(𝑇−30)𝑑𝑇 = ∫ −5𝑑𝑡 ln|𝑇 − 30| = −5𝑡 + 𝑐 𝑇 − 30 = 𝑒−5𝑡+𝑐 𝑇 − 30 = 𝑐𝑒−5𝑡 𝑇 = 30 + 𝑐𝑒−5𝑡 Ketika 𝑡 = 0, 𝑇(0) = 100 maka 𝑇 = 30 + 𝑐𝑒−5𝑡 100 = 30 + 𝑐𝑒−5(0) 100 = 30 + 𝑐𝑒0 100 = 30 + 𝑐 𝑐 = 70 sehingga 𝑇 = 30 + 70𝑒−5𝑡
Jadi suhu benda pada saat tertentu adalah 𝑇 = 30 + 70𝑒−5𝑡 dimana 𝑇(°𝐶) dipengarui t (menit).
Skor 5
Skor 10
Lampiran 5. Nilai Tes Mahasiswa
No Kode Nilai No Kode Nilai
1 M1 6 23 M23 7 2 M2 32 24 M24 32 3 M3 19 25 M25 62 4 M4 34 26 M26 15 5 M5 8 27 M27 11 6 M6 18 28 M28 8 7 M7 27 29 M29 65 8 M8 47 30 M30 61 9 M9 38 31 M31 24 10 M10 12 32 M32 76 11 M11 10 33 M33 91 12 M12 39 34 M34 27 13 M13 15 35 M35 18 14 M14 8 36 M36 33 15 M15 11 37 M37 49 16 M16 58 38 M38 44 17 M17 17 39 M39 68 18 M18 11 40 M40 71 19 M19 49 41 M41 74 20 M20 69 42 M42 21 21 M21 36 43 M43 65 22 M22 15
