Bab II. BARISAN DAN DERET
2.6. Sifat Barisan Divergen
Pada subbab ini diberikan beberapa sifat dari suatu barisan bilangan real ( xn ) yang
mendekati atau menuju ke ±¥ , yaitu lim ( xn) = +¥ dan lim ( xn) = -¥ . Ingat bahwa barisan divergen adalah barisan yang tidak konvergen.
Definisi 2.6.1. Diberikan barisan bilangan real ( xn ) . (i)
Barisan ( xn ) dikatakan mendekati +¥ , ditulis lim ( x ) = +¥ , jika untuk n
setiap aÎ R
terdapat K (a )Î N
sedemikian hingga jika n ³ K (a ) , maka xn>a .
(ii)
Barisan ( xn ) dikatakan mendekati -¥ , ditulis lim ( xn) = -¥ , jika untuk setiap bÎ R
terdapat K (b )Î N
sedemikian hingga jika n ³ K (b ) , maka xn<b .
Barisan ( xn ) dikatakan divergen proper (tepat/tegas) jika lim ( x ) = +¥ atau n
2
2
Contoh 2.6.2. lim (n ) = +¥ . Jika K()eÎ N sedemikian hingga K()a >a , dan jika
n ³ K(a ) , maka diperoleh n2 ³ n >a .
Teorema 2.6.3. Barisan bilangan real monoton merupakan barisan divergen proper jika dan hanya jika barisannya tidak terbatas.
(a) Jika ( xn ) barisan naik tak terbatas, maka lim ( xn) = +¥ . (b) Jika ( xn ) barisan turun tak terbatas, maka lim ( xn) = -¥ . Bukti.
(a) Misalkan
( xn ) barisan naik. Jika ( xn ) terbatas, maka ( xn ) konvergen. Jika ( xn ) tidak terbatas, maka untuk sebarang aÎ R
terdapat n()aÎ N sedemikian hingga
a< xn(a ) . Tetapi karena ( xn ) naik, diperoleh a< xnuntuk semua n ³ n a . Karena ()
a
sebarang, maka diperoleh bahwa lim ( xn) = +¥ . (b) Bukti hampir sama dengan (a).
Teorema 2.6.4. Diberikan barisan bilangan real ( xn ) dan ( yn ) , dengan xn £ yn untuk semua n Î N
.
(a) Jika lim ( xn) = +¥ , maka lim ( yn ) = +¥ . (b) Jika lim ( yn ) = -¥ , maka lim ( xn) = -¥ . Bukti.
(a) Jika lim ( xn) = +¥ dan jika diberikan aÎ R , maka terdapat K()aÎ N
sedemikian
hingga jika n ³ K(a ) , maka a< xn. Karena diketahui xn £ yn untuk semua n Î N ,
maka a< yn untuk semua n ³ K(a ) . Karena a sebarang, maka lim ( y ) = +¥ . n
Pengantar Analisis Real I
Teorema 2.6.5. Diberikan barisan bilangan real ( xn ) dan ( yn ) , dan untuk sua tu L Î R ,L > 0 diperoleh . x . lim n = L. .. y . n .
Maka lim ( xn) = +¥ jika dan hanya jika lim ( yn ) = +¥ . .
x .
Bukti. Diketahui lim n.. = L , artinya terdapat K Î N sedemikian hingga untuk setiap y . n . n ³ K berlaku 1 xn 3 L < < L . 2 yn 2 . 1 .. 3 .
Oleh karena itu, diperoleh L . yn < xn < .
L .
menggunakan Teorema 2.6.4, teorema terbukti.
SOAL LATIHAN SUBBAB 2.6 1.
Tunjukkan bahwa jika ( xn ) barisan tak terbatas, maka ( xn ) memuat barisan bagian yang divergen proper.
2.
Tunjukkan bahwa jika x > 0 untuk semua n Î N , maka lim ( x )= 0 jika dan
n n . 1 .
hanya jika lim ..
= +¥ . . xn.
3.
Tentukan apakah barisan berikut ini divergen proper. (a) ( n ) . (b) ( . n . (c) ( n -1) . (d) . . . . n +1 . 4.
Diberikan ( xn ) barisan divergen proper dan diberikan ( yn ) sedemikian hingga lim ( xy n n )Î R
. Tunjukkan bahwa ( yn ) konvergen ke 0. )1n + .
Pengantar Analisis Real I
5. Tentukan apakah barisan berikut ini konvergen atau divergen. . 2 (a) ( n + 2 ) . (b) . . n . . 2 . (n +1) . .. . 2 (n +1) . (c) .. . (d) (sin n ) . . n . .. . an.
6. Tunjukkan bahwa jika lim ..
= L , dengan L > 0 , maka lim (an) = +¥ . .
n .
2.7. Deret Tak Berhingga
Berikut ini diberikan pengantar singkat mengenai suatu deret tak berhingga dari bilangan real.
Definisi 2.7.1. Jika X :=( xn ) barisan di R , maka deret tak berhingga (cukup disebut
deret) yang dibentuk oleh X adalah barisan S :=(s ) yang didefinisikan dengan k
s = s + x = x + x + ... + x
k : k -12 ( 12 k ) ...
xndisebut dengan terms dari deret, dan sk disebut jumlahan parsial (partial sum) .
Jika lim S ada, maka deret S dikatakan konvergen dan nilai limitnya adalah hasil dar
jumlahan deret. Jika limitnya tidak ada, maka dikatakan deret S divergen. Deret tak berhingga S yang dibangun oleh barisan X :=( x ) disimbolkan n dengan ¥ S( xn ) atau . xn atau . xn . n=1
Pengantar Analisis Real I Contoh 2.7.2. n Diberikan barisan X :=(r )¥ dengan r Î R
yang membangun deret: n=0
Akan ditunjukkan bahwa jika Misalkan sn:= 1+ r + r2 + ... + ¥ n 2 n Sr = 1+ r + r + ... + r + ... . n=0 1
r < 1, maka deret ini konvergen ke . (1- r)
rn + ... untuk n ³ 0 , dan jika sndikalikan dengan r dan mengurangkan hasilnya dari ns , maka diperoleh
( ) 11 1 n ns r r +- = - .
Oleh karena itu, diperoleh 11 1 1 n n r s r r + - = - - - . Sehingga 1 1 1 1 n n r s r r +
¥ n 1
Sr konvergen ke saat (1- r)
n=0
Selanjutnya, diberikan kondisi-kondisi yang dapat memberikan jaminan bahwa suatu deret itu konvergen.
Teorema 2.7.3. (The nth Term Test) Jika deret . x konvergen, maka lim ( x )= 0 .
nn
Bukti. Menggunakan Definisi 2.7.1, . x konvergen apabila lim (sk ) ada. Karena n
x = s - s - , maka lim ( x )= lim (s )- lim (s -1 )= 0. n nn 1 n nn
Pengantar Analisis Real I
Teorema 2.7.4. (Kriteria Cauchy) Deret . xn konvergen jika dan hanya jika untuk setiap e> 0 terdapat M ()eÎ N
sedemikian hingga jika m > n ³ () M e , maka
sm - sn = x + x + ... + x <e .
n+1 n+2 m
Teorema 2.7.5. Diberikan ( xn ) barisan bilangan real nonnegatif. Maka deret . x
n
konvergen jika dan hanya jika barisan S =(sk ) dari jumlahan parsialnya terbatas .
Dalam hal ini, ¥
.
xn = lim (sk )= sup {sk : k Î N}. n=1
Bukti. Karena xn> 0 , maka barisan jumlahan parsial S naik monoton, yaitu s1 £ s2 £ ... £ sk £ ... .
Menggunakan Teorema 2.3.4, barisan S =(sk ) konvergen jika dan hanya jika barisannya terbatas, dalam hal ini limitnya sama dengan sup { sk } .
¥ Contoh 2.7.6. Deret konvergen. . 12 n=1 n
Karena jumlahan parsialnya monoton, maka cukup ditunjukkan bahwa barisan bagian (sk ) terbatas. Jika k1:= 21 -1 = 1, maka sk1 = 1. Jika k2:= 22 -1 = 3 , maka 1 .
11 . 21
23 . 22
dan jika k3:= 23 -1 = 7 , maka diperoleh . 1111 . 4 11 s = s + +++ < s +< 1++ . k3 k2 . 222 2 . k22 2 . 4567 . 4 22
Menggunakan induksi matematik, diperoleh bahwa jika kj := 2 j -1, maka 2 j-1 1 . 1 .. 1 . 0 << 1++ + ... + . sk j .. .. 2 . 2 .. 2 .
Pengantar Analisis Real I
1
Karena ruas kanan merupakan jumlahan parsial dari deret geometri dengan r = , ma ka
2 1 ¥ 1
lim (sk )= = 2 . Jadi, deret . 2 konvergen. . 1 . n=1 n 1-. . . 2 .
2.7.7. Tes Perbandingan (Comparison Tests) Diberikan barisan bilangan real X :=( x ) dan Y :=( y ) , dan misalkan untuk suatu K Î N
berlaku nn 0 £ xn £ yn untuk n ³ K. (a) Jika . yn konvergen, maka . xn konvergen. (b) Jika . xn divergen, maka . yn divergen. Bukti. (a) Misalkan .
yn konvergen. Diberikan e> 0 dan M ()eÎ N sedemikian hingga jika
m > n ³ () M e , maka y + ... + y <e .
n+1 mn+1 m
yang berakibat bahwa . xn konvergen.
(b) Menggunakan kontraposisi dari (a), maka teorema terbukti.
2.7.8. Tes Perbandingan Limit Misalkan X :=( xn ) barisan positif naik tegas dan misalkan limit berikut ada dalam R
, yaitu . xn . r := lim .. . . yn .
(a) Jika r ¹ 0 , maka .
xn konvergen jika dan hanya jika . yn konvergen.
(b) Jika r = 0 , maka .
yn konvergen jika dan hanya jika . xn konvergen.
Pengantar Analisis Real I Bukti. . xn . (a) Diketahui r := lim ..
dan dari soal latihan 2.1.10, maka terdapat K Î N .
yn . 1 x
sedemikian hingga untuk n ³ K berlaku r £ n £ 2r , sehingga diperoleh 2 yn . 1 . . r . yn £ xn £(2r) yn . . 2 .
Menggunakan Tes Perbandingan 2.7.7 dua kali, maka pernyataan (a) terbukti. (b) Jika
r = 0 , maka terdapat K Î N
sedemikian hingga untuk n ³ K berlaku 0 < xn £ yn .
Menggunakan Teorema 2.7.7 (a), maka pernyataan (b) terbukti.
¥ 1
Contoh 2.7.9. Deret konvergen. .
2
n=1 n + n
Diketahui ketaksamaan berikut benar 11
Karena
telah diketahui bahwa deret . 2 konvergen, maka menggunakan Tes n=1 n
¥
Perbandingan 2.7.7 diperoleh bahwa deret konvergen. .
21
n=1 n + n
SOAL LATIHAN SUBBAB 2.7 1. Tunjukkan bahwa ¥ 1 (a) . = 1. =0 (n +1)( n + 2) ¥ 11 n (b) . = > 0 , jika a> 0. n=0 (a + n)( a + n +1)a ¥ 11 (c) . = . n=1 n(n +1)( n + 2) 4
Pengantar Analisis Real I 2. Jika . xn dan .
yn konvergen, tunjukkan bahwa S( xn + yn ) konvergen. 3.
Berikan contoh deret konvergen . xn dan deret divergen .
yn sedemikian
hingga S( xn + yn ) konvergen. Jelaskan. ¥
4.
(a) Tunjukkan bahwa deret Scos n divergen. n=1
¥ cos n
(b) Tunjukkan bahwa deret konvergen. .
n2 n=1
5. Jika Sa dengan a > 0 konvergen, maka apakah aa + juga konvergen? nn
. nn1
Tunjukkan atau beri contoh penyangkalnya jika tidak terbukti. (a + ... + a )
6.
Jika deret San , dengan an> 0 konvergen, dan jika bn := 1 n untuk n
n Î N
, maka tunjukkan bahwa Sbn divergen.
7.
Tunjukkan bahwa jika c > 0 , maka deret berikut ini konvergen. . 1 c . 1 c (a) . (b) . n(ln n) n(ln n)( ln ln n)
DAFTAR PUSTAKA
Apostol, T.M, 1974, Mathematical Analysis, Second Edition, Addison-Wiley, Massacheusetts USA.
Bartle, R.G and Sherbert, D.R, 2000, Introduction to Real Analysis, Third Editio n, John