Abad kesembilan belas bagian teratas dari sejarah perkembangan matematika terus menerus mengalami peningkatan, namun umumnya peningkatan itu hanyalah terjadi pada kedalaman dasarnya saja. Evaluasi dari intuisi yang kuat dalam matematika mengalami kemajuan. Matematika secara berangsur-angsur mendapatkan kebebasan dari ikatan tradisional. Generalisasi dan abstraksi mulai menjadi susunan yang terbiasa. Tanggung jawab pengajaran matematika profesional lebih meningkat. Penelitian semakin lebih berpusat di universitas-universitas daripada di sekeliling istana raja. Bahasa-bahasa nasional berangsur-angsur diganti dengan bahasa Latin ilmiah. Para matematikawan mulai bekerja dalam bidang yang lebih khusus. Sejumlah filsafat penting dari matematika bermunculan.
Ada tiga peristiwa penting yang terjadi dalam sejarah perkembangan matematika di abad ke-19. Tiga peristiwa itu diantaranya adalah satu dalam bidang geometri, satu dalam bidang aljabar, dan satu lagi dalam bidang analisis.
Peristiwa penting yang pertama terjadi dalam bidang geometri, yaitu di sekitar tahun 1824 diketemukannya cabang geometri baru yang berbeda dengan geometri dari Euclid. Sejarah perkembangan dari peristiwa itu telah kita ceritakan dalam pasal 5-7.
Beberapa pahlawan dalam geometri non Euclid itu diantaranya Nicolai Ivanivitch Lobachevsky (1793-1856), Jenus Bolyai (1802-1860), dan Carl Fiedrich Gauss (1777-1855) (Gambar 12.14 terlampir).
Penemuan pertama dari geometri non Euclid adalah sebagai akibat dari penyelesaian akhir terhadap masalah postulat paralel. Postulat paralel ini diperlihatkan sebagai sesuatu hal yang bebas dari asumsi-asumsi geometri Euclid. Namun sebagai akibatnya yang lebih jauh telah membebaskan diri dari acuan geometri tradisional.
Adanya anggapan yang sudah berakar selama berabad-abad tentang adanya satu sistem geometri telah memungkinkan terciptanya beberapa sistem geometri yang baru.
Dengan memungkinkan terciptanya geometri “artificial” murni, maka menjadi jelas bahwa geometri tidaklah terikat pada ruang fisik yang nyata. Postulat-postulat dalam geometri bagi para matematikawan dapat dijadikan hipotesa yang mempunyai kebebasan fisik yang
sebenarnya. Para matematikawan dapat mengambil postulatnya sesuai dengan kesenangannya selama mereka tetap konsisten antara yang satu terhadap yang lainnya.
Kejadian yang kedua dari tiga peristiwa penting dalam matematika, terjadi dalam bidang aljabar. Peristiwa ini berlangsung tidak berapa lama sesudah peristiwa yang pertama, yaitu dalam tahun 1843 timbulah aljabar yang tidak komutatif. Pada awal abad ke-19, aljabar dipandang sebagai penggeneralisasian yang sederhana dari aritmatika. Aljabar dipandang sebagai pengganti pekerjaan yang berhubungan dengan bilangan-bilangan yang mempunyai sifat-sifat yang khusus. Dan sebagaimana halnya yang dilakukan dalam aritmatika, maka pada aljabarpun kita menggunakan huruf-huruf sebagai simbol untuk menyatakan bilangan-bilangan yang sembarang.
Pada awal abad ke-19, sekelompok orang yang berkecimpung di lingkungan sekolah-sekolah di Inggris seperti George Peacock (1791-1858), Duncan Farquharson Gregory (1813-1844), Augustus De Morgan (1806-1871) dan beberapa orang lainnya merupakan orang-orang pertama yang memperhatikan struktur dalam aljabar. Mereka telah mengemukakan beberapa hukum yang berlaku dalam susunan aljabar, diantaranya hukum komutatif dan hukum asosiatif yang berlaku dalam operasi tambah dan operasi kali, kemudian hukum distributif dari perkalian terhadap penjumlahan dan sebagainya.
Pada awal abad ke-19, telah menampakkan adanya pemikiran tentang struktur dalam aljabar yang berbeda dengan struktur dalam aljabar dari aritmatika. Seperti halnya pemikiran tentang aljabar pada tahun 1843 dari seorang ahli matematika Irlandia William Rowan Hamilton (1805-1865). Ia telah menemukan aljabar yang berdasarkan pemikirannya selama bertahun-tahun terhadap sebuah soal khusus. Dalam aljabarnya itu diperlihatkan bahwa hukum komutatif dari perkalian tidaklah dijadikan sebagai pegangan dari suatu struktur.
Pada tahun berikutnya yaitu tahun 1844, matematikawan Jerman yang bernama Hermann Grassmann (1809-1877) telah menerbitkan edisi pertama dari tulisannya
“Ausdehnungslehre”. Dalam karyanya yang terbaik ini, ia telah mengembangkan seluruh kelas-kelas dalam aljabar dengan suatu struktur yang berbeda dengan aljabar yang dikenal dari aritmatika.
Dalam tahun 1857, seorang matematikawan Inggris Arthur Cayley (1821-1895) telah merancang aljabar matriks. Dalam aljabar matriks ini, Cayley telah memperlihatkan suatu contoh yang berbeda dengan aljabar yang biasa, yaitu tidak dipenuhinya hukum komutatif untuk operasi kali.
Dengan adanya perkembangan baru dalam aljabar yang memenuhi struktur hukum-hukum yang berbeda dari kepatuhan dalam aljabar biasa, telah membukakan jalan ke arah aljabar abstrak modern (modern abstract algebra).
Akhirnya terjadilah kelemahan bahwa terhapusnya bermacam-macam postulat dari aljabar biasa. Dan kadang-kadang pula kita dapat menggantikan satu postulat atau lebih dari aljabar biasa oleh postulat-postulat lainnya yang konsisten dengan postulat-postulat sisa.
Keadaan yang demikian telah mengakibatkan timbulnya berbagai sistem yang bervariasi yang dapat kita pelajari. Beberapa sistem yang baru itu, yang kita miliki itu, diantaranya group,
ring, integral domain, groupoids, quasigroups, loop, semi group, monoid, lattices, division ring, bool ring, aljabar bool, field, ruang vektor, aljabar Jordan, dan aljabar Lie. Dua contoh yang terakhir dalam aljabar yang baru adalah aljabar-aljabar yang tidak asosiatif.
Dapatlah kita katakan bahwa para matematikawan telah mempelajari aljabar dengan lebih baik lagi. Mereka telah mampu membentuk 200 struktur aljabar modern yang berbeda dengan aljabar yang biasa. Banyak diantara karya-karya ini yang dimiliki oleh para matematikawan di abad ke-20. Keadaan demikian telah mencerminkan adanya semangat dari generalisasi dan abstraksi dari matematika yang sekarang. Aljabar abstrak telah menjadi perbendaharaan dalam matematika yang sekarang.
Peristiwa yang ketiga dari pendalaman matematika pada abad ke-19 terjadi dalam bidang analisa yang pelaksanaannya berjalan secara lambat. Peristiwa evolusi dalam analisa ini sering disebut sebagai “arithmetigation of analysis”.
Kita telah melihat bahwa pada abad ke-18 telah terjadi kekhawatiran dari beberapa matematikawan sebagai akibat adanya kemelut dalam pondasi untuk analisis. Menurut hasil observasi D’Alembert, yang dilakukan pada tahun 1754 menyimpulkan, bahwa sebuah teori tentang limit dalam analisa sangatlah diperlukan. Lain lagi dengan teori yang diberikan oleh Lagrange yang dipublikasikan pada tahun 1797. Lagrange telah menolak ide limit yang diberikan oleh D’Alembert. Lagrange telah mencoba memberikan dasar-dasar analisa dengan konsep yang sama seperti yang pernah dikembangkan oleh Taylor yaitu dengan pendekatan konsep deretnya yang terkenal.
Sebuah kemajuan yang luar biasa dalam analisa telah terjadi pada tahun 1821.
Seorang matematikawan Perancis yang bernama Augustin Louis Cauchy (1789-1857) pada tahun 1821 telah berhasil mendukung usaha-usaha yang dilaksanakan oleh d’Alembert. Ia telah mengembangkan sebuah teori tentang limit yang secara umum dapat diterima kebenarannya. Melalui konsep limit inilah Cauchy telah mampu memberikan definisi-definisi konvergensi, kontinuitas, differensiabilitas, dan integral terbatas (definite integral). Secara khusus definisi-definisi ini sekarang dapat kita jumpai pada teksbuk-teksbuk dasar yang membahas kalkulus.
Namun untuk keperluan suatu pengertian yang lebih mendalam lagi tentang dasar-dasar analisa, secara menyolok idenya datang pada tahun 1847. Idenya datang dari seorang matematikawan Jerman Karl Weierstrass (1815-1897). Ia telah membahas fungsi kontinu yang tidak mempunyai turunan, atau, apakah yang sama berlaku untuk sebuah kurva yang kontinu tetapi tidak mempunyai garis singgung untuk beberapa titiknya.
George Bernhard Riemann (1826-1866) telah memberikan suatu fungsi yang kontinu untuk nilai-nilai irasional dari variabelnya, tetapi diskontinu untuk semua nilai yang rasional.
Beberapa contoh di atas merupakan hal yang berlawanan dengan intuisi kita.
Keadaan seperti ini menunjukkan suatu kenyataan bahwa Cauchy belum dapat membangun dasar-dasar untuk analisis yang benar-benar terlepas dari kesulitan.
Teori limit yang telah dibangun oleh Cauchy merupakan sebuah pemikiran yang sederhana dari sistem bilangan real. Tentu saja dalam pengambilan sistem bilangan realnya
tidaklah terikat oleh jumlah, dan hal seperti ini telah nampak dalam beberapa teksbuk kalkulus dasar. Jelaslah bahwa teori limit, kontinuitas, dan differensiabilitas tergantung pada sistem bilangan real yang diusulkannya. Hal ini sesuai pula dengan program yang dikemukakan oleh Weierstrass, bahwa konsep dalam sistem bilangan real haruslah kuat sebab semua konsep dasar dari analisis berasal dari sistem bilangan real. Programnya yang baik ini dikenal sebagai arithmetization of analysis yang dalam pembuktiannya sangatlah sulit dan berbelit-belit. Namun demikian Weierstrass dan para pengikutnya telah dapat membuktikannya, sehingga sekarang semua analisa secara logika berasal dari sekumpulan postulat karakteristik sistem bilangan real.
Para matematikawan telah berjalan di dalam analisa dasar dengan dasar sistem bilangan real. Geometri Euclid dengan interpretasi secara analitis dapat pula didasarkan pada sistem bilangan real. Banyak matematikawan yang telah memperlihatkan bahwa sangat banyak cabang geometri yang konsisten jika geometri Euclid-nya konsisten.
Sekali lagi, karena sistem bilangan real atau beberapa bagiannya dapat digunakan untuk menafsirkan beberapa cabang dari aljabar, maka bermunculanlah berbagai usaha dalam aljabar yang berdasarkan sistem bilangan real. Memang, bahwa sekarang ini dapatlah diterangkan secara khusus bahwa semua matematika yang ada adalah konsisten, jika sistem bilangan realnya konsisten. Dalam hal ini kebebasannya terletak pada sistem bilangan real sebagai dasar dari matematika.
Karena sebagian besar matematika yang ada dikembangkan berdasarkan sistem bilangan real, maka sesuatu yang sangat menakjubkan sebagai pendalamannya telah terjadi.
Pada akhir abad ke-19 beberapa karya dari Richard Dedekind (1831-1916), George Cantor (1845-1918), dan Giuseppi Peano (1858-1932), telah membuat beberapa penyederhanaan, yaitu dengan menjadikan bilangan asli sebagai dasarnya. Orang-orang inilah yang telah menunjukkan bagaimana sistem bilangan real sebagai tema pokok dalam sebagian besar matematika dapat pula berasal dari sekumpulan postulat sistem bilangan asli.
Kemudian dalam awal abad ke-20, telah pula diperlihatkan bahwa bilangan asli dapat didefinisikan dari konsep-konsep teori himpunan, dan sebagian besar dari materi matematika dapat pula dikembangkan berdasarkan teori himpunan.
Logikawan yang dipelopori oleh Bertrand Russell (1872-1970) dan Alfred North Whitehead (1861-1947), telah memberikan dorongan yang lebih dalam lagi tentang peran dari teori himpunan sebagai dasar kalkulus dan logika. Namun demikian tidaklah semua matematikawan merasakan langkah-langkah ini sebagai hal yang telah berhasil dilaksanakan.
Sebagian besar materi matematika dapat dikembangkan berdasarkan teori himpunan. Namun disisi lain, sebagai akibat dari teori himpunan dijadikan dasar dalam matematika telah menimbulkan beberapa kemelut lain. Beberapa matematikawan di abad ke-20 telah memperhatikan kemelut yang terjadi pada waktu tersebut, dan mereka telah berusaha untuk mencari pemecahannya.
Ada tiga buah sekolah yang muncul dan berperan dalam filsafat matematika.
Sekolah Logistik (logistic school) yang memeriksa pernyataan putusan dalam karya
monumental Principia Mathematica dari Whitehead dan Russell. Yang kedua adalah Sekolah intuisi (intuitionist school) yang dimulai oleh matematikawan Belanda yang bernama L.E.J Brouwer (1881- ). Kemudian yang ketiga adalah Sekolah Formal (Formalist school) yang didirikan oleh matematikawan Jerman David Hilbert (1862-1943) (gambar 12.18 terlampir).
Karena kelayakan dari logistik adalah sebuah cabang dari matematika yang merupakan perpaduan dari sekumpulan postulat dan logika, maka timbulah pembahasan logika simbul (Symbolic logic). Banyak para matematikawan sekarang yang telah mengembangkan Logika Simbul. Selain itu, telah ada pula sejumlah jurnal yang secara khusus telah ikut mempublikasikan karya-karya para matematikawan tersebut.