Demam Berdarah Dengue (DBD) adalah penyakit yang disebabkan oleh virus Dengue
dari genus Flavivirus, famili Flaviviridae
melalui gigitan nyamuk Aedes aegypti dan
Aedes albopictus. Adapun nyamuk Aedes aegypti memiliki kemampuan terbang mencapai radius 100-200 meter. Oleh karena itu, jika di suatu lingkungan terkena kasus DBD, maka masyarakat yang berada pada radius tersebut harus waspada.
Virus ini muncul akibat pengaruh musim atau alam serta perilaku manusia. Penyakit DBD pertama kali di Indonesia ditemukan di Surabaya (Jawa Timur) pada tahun 1968 dan menyebar ke berbagai daerah. Pada tahun 1980 telah diketahui bahwa seluruh provinsi di Indonesia telah terjangkit penyakit DBD, kecuali Timor-Timur. Peningkatan jumlah kasus dan wilayah yang terjangkit disebabkan oleh semakin baiknya sarana transportasi penduduk, adanya pemukiman baru, kurangnya kesadaran manusia terhadap pembersihan sarang nyamuk, terdapatnya vektor nyamuk hampir di seluruh pelosok tanah air dan adanya sel tipe virus yang bersikulasi sepanjang tahun. Penyakit ini juga dapat diderita oleh orang yang sebagian besar tinggal di lingkungan lembab dan pinggiran kumuh (Kristina et al. 2004, diacu dalam Tobing TMDNL 2011).
Nyamuk Aedes aegypti lebih menyukai tempat yang gelap, berbau, dan lembab. Tempat perindukan yang sering dipilih oleh
Aedes aegypti adalah kawasan yang padat dengan sanitasi yang kurang memadai, terutama digenangan air dalam rumah, seperti pot, vas bunga, bak mandi atau tempat penyimpanan air lainnya seperti tempayan, drum, atau ember plastik.
Sebaran Binomial
Suatu percobaan sering kali terdiri atas ulangan-ulangan dan masing-masing mempunyai dua kemungkinan hasil yaitu berhasil atau gagal. Jika ulangan-ulangan tersebut bersifat saling bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama yaitu sebesar 0.5 maka percobaan ini dinamakan percobaan Binomial.
Percobaan Binomial memiliki ciri-ciri sebagai berikut :
1.Percobaan terdiri atas n ulangan.
2.Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal. 3.Peluang berhasil yang dilambangkan
dengan p untuk setiap ulangan adalah sama dan tidak berubah-ubah.
4.Ulangan-ulangan itu bersifat bebas satu sama lainnya.
Sebaran peluang bagi peubah acak ini disebut sebaran Binomial. Sebaran Binomial bergantung pada banyaknya ulangan dan peluang keberhasilan pada suatu ulangan. Sehingga sebaran Binomial memiliki fungsi peluang sebagai berikut (Walpole 1974) :
2
dengan nilai tengah, E(X)=np dan ragamnya,
V(X)= npq.
Keterangan :
x = Banyaknya keberhasilan dalam n ulangan
p = Peluang keberhasilan
q = Peluang kegagalan; q=1-p
n = Banyaknya ulangan bebas yang dilakukan.
Sebaran Poisson
Percobaan yang menghasilkan nilai-nilai bagi suatu peubah acak X, yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu sering disebut percobaan Poisson.
Percobaan Poisson memiliki ciri-ciri sebagai berikut :
1.Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah. 2.Peluang terjadinya satu hasil percobaan
selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tersebut atau besarnya daerah tersebut dan tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah tersebut.
3.Peluang bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat tersebut atau dalam daerah yang kecil tersebut dapat diabaikan.
Sebaran peluang bagi peubah acak ini disebut sebaran Poisson. Sebaran Poison hanya bergantung pada rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau daerah yang diberikan. Sehingga sebaran Poisson memiliki fungsi peluang sebagai berikut (Walpole 1974) :
dengan nilai tengah dan ragamnya sama,
E(X)=V(X)=µ.
Keterangan :
x = Banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu
µ = Rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau dalam daerah yang diberikan
e = 2.71828…
Sebaran Poisson dan Binomial memiliki bentuk histogram yang bentuknya hampir sama bila n besar dan p kecil (dekat dengan
nol). Oleh karena itu, bila kedua kondisi itu dipenuhi, sebaran Poisson dengan µ=np dapat digunakan untuk menghampiri peluang Binomial.
Sebaran Binomial Negatif Sebaran Binomial Negatif merupakan sebaran peubah acak yang mirip dengan sebaran Binomial, kecuali bahwa ulangan diulang terus sampai terjadi sejumlah keberhasilan tertentu. Jadi, jika pada sebaran Binomial ingin ditentukan x keberhasilan dalam n ulangan, dengan n telah ditetapkan terlebih dahulu, namun pada sebaran Binomial Negatif ingin diketahui peluang keberhasilan ke-k terjadi pada ulangan ke-x.
Sebaran Binomial Negatif memiliki ciri- ciri yang sama dengan sebaran Binomial. Sebaran peluangnya disebut sebaran Binomial Negatif. Karena nilai peluang dalam sebaran tersebut bergantung pada banyaknya keberhasilan yang diinginkan dan peluang keberhasilan pada suatu ulangan, maka fungsi peluang bagi sebaran Binomial Negatif adalah sebagai berikut (Walpole 1974) :
( )
dengan nilai tengah, dan ragamnya, .
Keterangan :
x = Banyaknya ulangan yang dilakukan sampai diperoleh r keberhasilan
k = Banyaknya keberhasilan
p = Peluang keberhasilan
q = Peluang kegagalan; q=1-p.
Sebaran Binomial Negatif merupakan sebaran campuran Poisson-Gamma. Misalkan bahwa peubah acak Y~Poisson (λ) dan diasumsikan λ~Gamma (α,β). Sebaran Gamma (α,β) memiliki nilai tengah αβ dan
ragam αβ2
. Fungsi peluang bersama bagi Y
dan λdapat ditulis sebagai berikut : |
Akan tetapi, karena λ tidak diamati maka λ harus dipisahkan melalui sebaran marginalnya, yaitu : ∫ | ∫ ∫
3
Integral di atas diselesaikan menggunakan bantuan fungsi Gamma yaitu :
∫ ∫ [( ) ] [( ) ]
dengan demikian sebaran marginal dapat ditulis sebagai berikut :
untuk y=0, 1, 2, 3,…
sehingga diperoleh nilai tengah dan ragamnya sebagai berikut :
| | ] | ]
Model regresi Binomial Negatif yang dibangun memiliki sebaran Binomial Negatif dengan parameter µ dan k, dimana dan , sehingga nilai tengah dan ragamnya menjadi, dan . Ragam ini merupakan fungsi kuadratik yang mengakomodasi parameter
overdisperssion (k > 0). Sehingga sebaran Y
menjadi:
( ) ( )
Jika k→0 maka sebaran ini mendekati
sebaran Poisson (µ). Binomial Negatif mampu mengakomodasi overdisperssion (k > 0) tetapi tidak underdisperssion (k < 1) pada model Poisson. Secara umum didefenisikan bahwa peubah respon merupakan peubah acak yang menyebar menurut sebaran Binomial Negatif dengan parameter µ dan k sebagai berikut :
Y~ BN (µ, k)
dan fungsi penghubung log yaitu :
log µ = XTβ
Generalized Linear Model (GLM)
Generalized Linear Model (GLM) merupakan perluasan dari model regresi umum untuk respon berdistribusi dalam
keluarga eksponensial dan modelnya merupakan fungsi dari nilai harapannya. Agresti (2002) menyatakan ada tiga komponen dalam GLM yaitu :
1.Random component (komponen acak) yang ditunjukkan dengan peubah respon Y dan peluang distribusinya.
2.Systematic component (komponen sistematik) yang ditunjukkan dengan peubah penjelas yang digunakan.
3.Link function (fungsi penghubung) ditunjukkan dengan fungsi nilai harapannya sama dengan komponen sistematiknya.
Regresi Poisson
Regresi Poisson merupakan salah satu model regresi dengan peubah respon Y yang menyebar mengikuti sebaran Poisson. Fungsi peluang sebaran Poisson dapat ditulis sebagai berikut :
Misalkan merupakan contoh acak dari sebaran Poisson dengan rata-rata . Fungsi peluang dinyatakan sebagai berikut:
Regresi Poisson termasuk salah satu dari
Generalized Linear Model (GLM) karena peubah respon memiliki sebaran dalam keluarga eksponensial yaitu sebaran Poisson. Regresi Poisson mengasumsikan bahwa peubah respon yang menyebar Poisson, tidak ada multikolinearitas antar peubah penjelas, dan memiliki ragam yang sama dengan nilai tengahnya. Asumsi multikolinearitas dalam penelitian ini dilihat dari nilai korelasi antar peubah penjelas. Jika nilai korelasinya lemah (r<0.5) maka dianggap tidak ada masalah multikolinearitas. Pada GLM terdapat sebuah fungsi yang linear dan menghubungkan nilai tengah peubah respon dengan sebuah peubah penjelas yaitu:
Fungsi disebut fungsi penghubung (link function). Hubungan antara nilai tengah dengan peubah penjelas linear adalah:
Terdapat dua fungsi penghubung yang biasa digunakan dalam regresi Poisson. Pertama adalah penghubung identitas (identity
4
link). Kedua adalah penghubung log (log link). Fungsi penghubung identitas memiliki bentuk :
dan fungsi penghubung log berbentuk :
Fungsi penghubung log adalah fungsi yang lebih cocok digunakan karena fungsi log menjamin bahwa nilai peubah yang diharapkan dari peubah responnya akan bernilai non negatif. Sehingga fungsi penghubung yang digunakan dalam penelitian ini adalah fungsi penghubung log. Hubungan antara nilai tengah peubah respon dengan peubah penjelas linear adalah sebagai berikut :
Sehingga model regresi Poisson berganda dapat dituliskan sebagai berikut:
dengan merupakan peubah penjelas ke-k
pada pengamatan ke-i dan dan adalah nilai tengah banyaknya kejadian (Cameron dan Trivedi 1998).
Pendugaan parameter koefisien regresi Poisson dapat diduga menggunakan Penduga Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimator) melalui iterasi dengan metode Fisher Scoring untuk memaksimumkan fungsi log-likelihoodnya. Hal ini dilakukan karena penurunan rumus yang tidak bisa dilakukan secara matematis karena cukup sulit sehingga dilakukan melalui metode iterasi. Metode Fisher Scoring dalam penelitian ini dilakukan menggunakan perangkat lunak R 2.14.0.
Overdisperssion pada Data Cacahan Long (1997) dalam Jackman (2003) menyatakan bahwa kejadian overdisperssion
karena adanya sumber karagaman yang tidak teramati pada data atau adanya pengaruh peubah lain yang mengakibatkan peluang terjadinya suatu kejadian bergantung pada kejadian yang sebelumnya. Menurut McCullagh & Nelder (1989), data cacahan untuk regresi Poisson dikatakan mengandung
overdisperssion jika ragam lebih besar dari nilai tengahnya, Var(Y)>E(Y). Dugaan dispersi dapat diukur melalui rasio antara
Deviance dengan derajat bebasnya. Rasio ini selanjutnya disebut rasio dispersi. Jika rasio
dispersi yang dihasilkan lebih besar dari satu maka model tersebut dikatakan mengalami
overdisperssion.
Deviance model regresi Poisson memiliki persamaan sebagai berikut (Kleinbaum et al. 1988) :
[ ( | ̂) | ̂ ] ∑ [ (̂ ̂ )]
dengan ( | ̂) adalah logaritma natural dari model kemungkinan tanpa melibatkan semua peubah penjelas dan | ̂ adalah logaritma natural dari model yang melibatkan semua peubah penjelas.
Regresi Binomial Negatif
Misalkan yi adalah nilai dari peubah respon untuk pengamatan ke-i dan xi adalah vektor dari nilai peubah penjelas untuk pengamatan ke-i dengan i=1,2,..,n. Model regresi Binomial Negatif mengasumsikan bahwa peubah respon ke-i mengikuti sebaran Binomial Negatif. Model regresi Binomial Negatif berganda dapat dituliskan sebagai berikut:
Pendugaan parameter koefisien Regresi Binomial Negatif dapat diduga menggunakan Penduga Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimator) melalui iterasi dengan metode Fisher Scoring
untuk memaksimumkan fungsi log- likelihoodnya. Hal ini dilakukan karena penurunan rumus yang tidak bisa dilakukan secara matematis karena cukup sulit sehingga dilakukan melalui metode iterasi. Metode
Fisher Scoring dalam penelitian ini dilakukan menggunakan perangkat lunak R 2.14.0.
Ukuran Kebaikan Model Regresi Binomial Negatif
Pemilihan model regresi yang terbaik perlu dilakukan untuk memperoleh hasil analisis regresi yang optimal. Beberapa ukuran kebaikan model yang digunakan pada regresi Binomial Negatif adalah Akaike Information Criteria (AIC) dan Koefisien Determinasi (R2).
Akaike Information Criteria (AIC)
Perhitungan perbaikan model kemungkinan maksimum yang sering digunakan adalah Akaike Information Criteria
(AIC). Akaike mendefenisikan perhitungan AIC sebagai berikut :
5
dengan | ̂ adalah logaritma natural dari model yang melibatkan semua peubah penjelas dan p adalah banyak parameter. AIC merupakan kriteria yang mempertimbangkan banyak parameter. Nilai AIC yang semakin kecil menunjukkan model yang semakin baik.
Koefisien Determinasi (R2)
Ukuran proporsi keragaman peubah respon yang dapat diterangkan oleh peubah penjelas disebut Koefisien Determinasi (R2). Koefisien deterrminasi (R2) dalam analisis regresi linear didasarkan pada pemakaian jumlah kuadrat dengan metode kuadrat terkecil. Penggunaan R2 dapat menggambarkan keeratan hubungan regresi antara peubah respon Y dengan peubah penjelas X. Nilai R2 yang semakin besar (0≤R2≤1) menunjukkan semakin tepat dugaan dari model regresi. Menurut Cameron dan Windmeijer (1995), ukuran R2 pada regresi Binomial Negatif yang didasarkan pada sisaan
deviance (deviance residual) sebagai berikut :
∑ { (̂) (̂ )} ∑ { ̅ ̅ } Keterangan :
yi = Nilai amatan ke-i dari peubah respon ̂ = Nilai dugaan untuk amatan ke-i
̅ = Rata-rata peubah respon y
θ = parameter ekstra yang diduga bersamaan dengan parameter β
METODOLOGI