Aplikasi Sistem Antrian dengan Saluran Tunggal pada Unit Pelaksana Teknis (UPT) Perpustakaan Universitas Negeri Semarang

(1)

PADA UNIT PELAKSANA TEKNIS (UPT) PERPUSTAKAAN

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

SKRIPSI

Diajukan dalam Rangka Penyelesaian Studi Strata 1

untuk Mencapai Gelar Sarjana Sains

Oleh

Nama : Diah Puspitasari

NIM : 4150401031

Prodi : Matematika S1

Jurusan : Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

(2)

kapasitas pelayanan. Pada penelitian ini mengambil kasus yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES

Permasalahan dalam penelitian ini bagaimana model antrian di UPT Perpustakaan UNNES, berapa rata-rata jumlah pengunjung di dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket, berapa rata-rata waktu pengunjung menunggu di dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket, dan berapa persentase waktu menganggur untuk pelayan pada masing-masing loket, dan berapa jumlah pelayan ideal. Tujuan dilakukan penelitian ini untuk mengetahui model antrian pada UPT Perpustakaan UNNES, untuk mengetahui rata-rata jumlah pengunjung rata-rata di dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket, untuk mengetahui rata-rata waktu pengunjung menunggu di dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket, dan untuk mengetahui persentase waktu menganggur untuk pelayan pada masing-masing loket, dan untuk mengetahui jumlah pelayan ideal.

Penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini melalui beberapa tahap yaitu perumusan masalah, studi pustaka, dan pemecahan masalah. Untuk pemecahan masalah dilakukan pengumpulan data selama 3 hari. Dari data yang dipeoleh dilakukan analisis data. Langkah-langkah dalam analisis data yaitu menentukan distribusi peluang dari data yang diperoleh dengan uji kebaikan suai khi kuadrat, menentukan model antrian, menghitung rata-rata jumlah pengunjung yang berada dalam sistem dan antrian pada loket yang diteliti, menghitung rata-rata waktu yang dihabiskan seorang pelanggan dalam sistem dan antrian pada loket yang diteliti, dan menghitung persentase menganggur para pelayan pada loket yang diteliti.

Dari hasil penelitian diperoleh bahwa sistem antrian pada UPT Perpustakaan UNNES mengikuti sistem antrian tunggal. Waktu antar kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.

1. Pada loket peminjaman buku

Hari,tanggal L Lq W (menit) Wq (menit) X (%)

Senin, 15 Agustus 2005 3,785 2,994 5,988 4,736 20,88

Selasa, 16 Agustus 2005 6,042 5,184 10,101 8,667 14,16

Kamis, 18 Agustus 2005 1,551 0,943 2,660 1,617 39,21

2. Pada loket pengembalian buku

Hari,tanggal L Lq W (menit) Wq (menit) X (%)

Senin, 15 Agustus 2005 4,291 3,480 9,174 7,435 18,96

Selasa, 16 Agustus 2005 0,923 0,443 2,358 1,133 51,96

Kamis, 18 Agustus 2005 1,146 0,612 2,544 1,358 46,62

Waktu menunggu yang diinginkan pengunjung tidak lebih dari 15 menit dan waktu menganggur pelayan yang diperbolehkan oleh UPT Perpustakaan UNNES adalah 10% maka banyaknya pelayan ideal pada loket peminjaman buku maupun pada loket pengembalian buku adalah satu orang.

(3)

Skripsi dengan judul “Aplikasi Sistem Antrian dengan Saluran Tunggal pada

Unit Pelaksana Teknis (UPT) Perpustakaan Universitas Negeri Semarang”

ini telah dipertahankan dihadapan sidang Panitia Ujian Skripsi fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada

Hari : Rabu

Tanggal : 21 Desember 2005

Panitia Ujian

Ketua, Sekretaris,

Drs. Kasmadi Imam S., M.S Drs. Supriyono, M.Si

NIP. 130781011 NIP. 130815345

Pembimbing Utama Anggota Penguji

Dra. Nur Karomah D., M.Si Dra. Sunarmi, M.Si

NIP. 131876228 NIP. 131763886

Pembimbing Pendamping Dra. Nur Karomah D., M.Si

NIP. 131876228

Drs. Supriyono, M.Si Drs. Supriyono., M.Si

(4)

MOTTO

¾ Allah tidak membebani seseorang melainkan dengan kesanggupannya (QS.

Al Baqarah : 286)

¾ Sesungguhnya bersama kesulitan itu ada kemudahan (QS. Al Insyirah : 6)

¾ Bertanyalah kamu kepada ahli ilmu jika kamu tidak tahu (QS. An Nahl : 43)

PERSEMBAHAN

Kedua orang tuaku tercinta

Adik-adikku

Mas Agus tersayang

Teman seperjuangan Mat ’01 B

(5)

Puji syukur kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan

hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul

“Aplikasi Sistem Antrian dengan Saluran Tunggal pada Unit Pelaksana Teknis

UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang” ini dengan baik.

Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, untuk itu

dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. H. A.T. Soegito, SH, MM, Rektor UNNES

2. Bapak Drs. Kasmadi Imam S, M. S, Dekan FMIPA UNNES.

3. Bapak Drs. Supriyono, M. Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA UNNES.

4. Ibu Dra. Nur Karomah, M. Si dan Bapak Drs. Supriyono, M. Si, yang telah

memberikan bimbingan dan pengarahan kepada penulis dalam penyusunan

skripsi ini.

5. Bapak Drs. Murgono, SIP, Kepala UPT Perpustakaan UNNES yang telah

memberikan ijin kepada penulis dalam melaksanakan penelitian.

6. Semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini.

Penulis menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini belum sepenuhnya

sempurna, oleh karena itu saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan

untuk kesempurnaan skripsi ini.

Semarang, Oktober 2005

(6)

Halaman

HALAMAN JUDUL... i

ABSTRAK ... ii

HALAMAN PENGESAHAN... iii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN ... iv

KATA PENGANTAR ... v

DAFTAR ISI... vi

DAFTAR TABEL... viii

DAFTAR GAMBAR ... x

DAFTAR LAMPIRAN... xi

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang Masalah... 1

B. Permasalahan ... 3

C. Batasan Masalah ... 3

D. Tujuan dan Manfaat ... 4

E. Sistematika Skripsi... 4

BAB II LANDASAN TEORI ... 7

A. Distribusi Poisson dan Eksponensial ... 7

B. Peran Distribusi Poisson dan Eksponensial ... 9

C. Uji Kebaikan Suai ... 13

D. Proses Kelahiran-Kematian... 15

(7)

B. Studi Pustaka... 36

C. Pemecahan Masalah ... 36

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ... 39

A. Hasil Penelitian ... 39

B. Pembahasan... 56

BAB V PENUTUP... 60

A. Simpulan ... 60

B. Saran... 62

DAFTAR PUSTAKA ... 63

(8)

Halaman

Tabel 4.1 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam

Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman

Buku Hari Senin, 15 Agustus 2005... 52

Buku Hari Selasa, 16 Agustus 2005... 53

Buku Hari Kamis, 18 Agustus 2005 ... 53

Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian

Buku Hari Senin, 15 Agustus 2005... 53

Buku Hari Selasa, 16 Agustus 2005... 54

Buku Hari Kamis, 18 Agustus 2005 ... 54

Tabel 4.7 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan

untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman Buku Hari

Senin, 15 Agustus 2005 ... 55

Selasa, 16 Agustus 2005... 55

(9)

untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian Buku Hari

Selasa, 16 Agustus 2005 ... 56

untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian Buku Hari

(10)

Halaman

Gambar 2.1 Struktur Dasar Antrian ... 18

Gambar 2.2 Sistem Antrian Dasar ... 21

Gambar 2.3 Skema Antrian Satu Saluran Satu Tahap ... 21

Gambar 2.4 Skema Antrian Banyak Saluran Satu Tahap ... 22

Gambar 2.5 Skema Antrian Satu Saluran Banyak Tahap ... 22

(11)

Halaman

Lampiran 1. Data Penelitian Loket Peminjaman Buku UPT Perpustakaan

UNNES ... 64

Lampiran 2. Data Penelitian Loket Pengembalian Buku UPT Perpustakaan

UNNES ... 70

Lampiran 3. Data Penelitian Per Interval waktu Lima Menit Loket

Pemunjaman buku... 76

Lampiran 4. Data Penelitian Per Interval waktu Lima Menit Loket

Pengembalian buku ... 77

Lampiran 5. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Kedatangan Pengunjung

Loket Peminjaman Buku UPT Perpustakaan UNNES... 78

Lampiran 6. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Kedatangan Pengunjung

Loket Pengembalian Buku UPT Perpustakaan UNNES... 80

Lampiran 7. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Waktu Pelayanan Loket

Peminjaman Buku UPT Perpustakaan UNNES... 81

Lampiran 8. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Waktu Pelayanan Loket

Pengembalian Buku UPT Perpustakaan UNNES ... 82

Lampiran 9. Tabel Distribusi Khi Kuadrat ... 83

(12)

A. Latar Belakang Masalah

Dalam kehidupan sehari-hari, setiap manusia pasti dihadapkan pada

sebuah situasi yang mengharuskannya untuk menunggu. Fenomena menunggu

adalah hasil langsung dari keacakan dalam operasi pelayanan. Sangat

menyenangkan jika diberi pelayanan tanpa ada keharusan untuk menunggu.

Akan tetapi suka atau tidak, menunggu merupakan bagian dalam kehidupan

sehari-hari. Menunggu dapat diidentikkan dengan suatu proses antrian yang

tentunya memiliki permasalahan yangt dapat dipecahkan.

Salah satu ilmu yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah

antrian adalah matematika. Secara garis besar matematika dibagi menjadi dua

yaitu matematika murni (pure mathematics) dan matematika terapan (applied

mathematics). Teori antrian merupakan salah satu cabang dari matematika

terapan yang sering digunakan aplikasinya.

Teori antrian adalah teori yang mencakup studi matematis dari

antrian-antrian atau baris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan ini tentu

saja merupakan suatu fenomena yang bisa terjadi apabila kebutuhan akan

suatu pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk menyelenggarakan

pelayanan itu. Keputusan-keputusan yang berkenaan dengan jumlah kapasitas

ini harus dapat dibuat suatu prediksi yang tepat mengenai kapan unit-unit yang

membutuhkan pelayanan itu akan datang dan atau berapa lama waktu yang

(13)

Pelaku-pelaku utama dalam sebuah situasi antrian adalah pelanggan

(customer) dan pelayan (server). Dalam model antrian, interaksi antara

pelanggan dan pelayan adalah dalam kaitannya dengan periode waktu yang

diperoleh pelanggan untuk menyelesaikan sebuah pelayanan. Jadi, dari sudut

pandang kedatangan pelanggan yang diperhitungkan adalah interval waktu

yang memisahkan kedatangan yang berturut-turut. Juga dalam pelayanan,yang

diperhitungkanadalah waktu pelayanan per pelanggan.

Dalam model-model antrian,kedatangan pelanggan dan waktu

pelayanan diringkaskan dalam distribusi probabilitas yang umumnya disebut

sebagai distribusi kedatangan (arrival distribution) dan distribusi waktu

pelayanan (service time distribution).

Teori antrian dengan saluran tunggal merupakan teori tentang

kedatangan pelanggan dari satu barisan yang dilayani oleh seorang pelayan.

Antrian dengan saluran tunggal hanya membutuhkan satu pelayan dengan satu

garis antrian.

Unit Pelaksana Teknis (UPT) Perpustakaan Universitas Negeri

Semarang (UNNES) merupakan unit sarana pelayanan yang dimiliki UNNES.

Sarana pelayanan tersebut bertujuan menyediakan bahan pustaka sesuai

dengan kebutuhan dan mengorganisasi bahan-bahan pustaka tersebut supaya

mudah digunakan. Bahan pustaka tersebut juga dapat mendorong mahasiswa

untuk belajar sesuai dengan kurikulumnya.

UPT Perpustakaan UNNES memiliki dua ruang pelayanan perpustakaan

yaitu pelayanan sirkulasi dan pelayanan referensi. Dari pengamatan di UPT

(14)

antrian. Antrian tersebut bersumber dari satu saluran. Melalui penelitian ini

akan dikaji sistem antrian di ruang pelayanan sirkulasi yaitu pada loket

peminjaman buku dan loket pengembalian buku.

B. Permasalahan

Permasalahan dalam penelitian ini sebagai berikut.

1. Bagaimana model antrian di UPT Perpustakaan UNNES?

2. Berapa rata-rata jumlah pengunjung di dalam sistem dan antrian pada loket

peminjaman dan loket pengembalian buku?

3. Berapa rata-rata waktu pengunjung menunggu di dalam sistem dan antrian

pada loket peminjaman dan loket pengembalian buku?

4. Berapa persentase waktu menganggur untuk pelayan pada loket

peminjaman dan loket pengembalian buku?

5. Berapa jumlah pelayan ideal pada loket peminjaman dan loket

pengembalian buku?

C. Batasan permasalahan

Batasan masalah yang digunakan dalam penelitian ini adalah

1. Permasalahan dan data yang diambil hanya pada loket peminjaman buku

dan pengembalian buku pada UPT Perpustakaan Universitas Negeri

Semarang.

2. Penelitian dilakukan selama 3 hari pada pukul 09:00 – 11:00 di UPT

Perpustakaan Universitas Negeri Semarang.

D. Tujuan dan Manfaat

1. Tujuan

(15)

a. Untuk mengetahui model antrian pada UPT Perpustakaan UNNES.

b. Untuk mengetahui rata-rata jumlah pengunjung rata-rata di dalam

sistem dan antrian pada loket peminjaman dan loket pengembalian

buku.

c. Untuk mengetahui rata-rata waktu pengunjung menunggu di dalam

sistem dan antrian pada loket peminjaman dan loket pengembalian

buku.

d. Untuk mengetahui persentase waktu menganggur untuk pelayan pada

loket peminjaman dan loket pengembalian buku.

e. Untuk mengetahui jumlah pelayan ideal pada loket peminjaman dan

loket pengembalian buku.

2. Manfaat

Manfaat dari penelitian yang dilakukan adalah

a. Sebagai penerapan teori yang diperoleh selama kegiatan perkuliahan

ke dalam praktik yang sebenarnya, serta sebagai pengalaman dalam

menganalisis suatu masalah secara ilmiah.

b. Sebagai bahan pertimbangan dalam pengambilan keputusan dalam

menentukan jumlah pelayan ideal pada UPT Perpustakaaan

Universitas Negeri Semarang.

E. Sistematika Skripsi

Secara garis besar sistematika penulisan skripsi ini dibagi menjadi tiga

bagian yaitu bagian awal skripsi, bagian isi skripsi, dan bagian akhir skripsi.

(16)

Bagian awal skripsi ini berisi halaman judul skripsi, abstrak,

halaman pengesahan, motto dan persembahan, kata pengantar, daftar isi,

daftar tabel, daftar gambar, dan daftar lampiran.

2.Bagian Inti Skripsi

Bagian inti merupakan bagian pokok dalam skripsi yang terdiri dari

lima bab, yaitu :

BAB I Pendahuluan

Bab ini berisi latar belakang masalah, permasalahan, batasan

masalah, tujuan dan manfaat, dan sistematika skripsi.

BAB II Landasan Teori

Di dalam landasan teori ini akan dibahas tentang distribusi

Poisson dan Eksponensial, peran distribusi Poisson dan

Eksponensial, uji kebaikan-suai, proses kelahiran kematian, dan

teori antrian.

BAB III Metode Penelitian

Di dalam bab ini dikemukakan metode penelitian yang berisi

langkah-langkah yang ditempuh untuk memecahkan masalah

yaitu, perumusan masalah, studi pustaka, pemecahan masalah.

BAB IV Hasil Penelitian dan Pembahasan

Bab ini berisi hasil penelitian dan pembahasan.

BAB V Penutup

(17)

3.Bagian Akhir Skripsi

Bagian ini berisi daftar pustaka yang digunakan sebagai acuan dan

(18)

A. Distribusi Poisson dan Eksponensial

1. Distribusi Poisson

Suatu eksperimen yang menghasilkan jumlah sukses yang terjadi

pada interval waktu ataupun daerah yang spesifik dikenal sebagai

eksperimen Poisson. Interval waktu tersebut dapat merupakan menit, hari,

minggu, bulan, maupun tahun, sedangkan daerah yang spesifik dapat

berarti garis, luas, sisi, maupun sebuah material.(Dimyati, 1999:309)

Sifat suatu eksperimen Poisson (Dimyati, 1999:309) adalah sebagai

berikut.

a. Jumlah sukses yang tejadi pada interval waktu atau daerah yang

tertentu bersifat independen terhadap yang terjadi pada interval waktu

atau daerah tertentu yang lain.

b. Besar kemungkinan terjadinya sukses pada interval waktu atau daerah

tertentu yang sempit, proporsional dengan panjang jangka waktu

ataupun ukuran daerah terjadinya sukses tersebut.

c. Besar kemungkinan terjadinya lebih dari satu sukses pada interval

waktu yang singkat ataupun daerah yang sempit, diabaikan.

Variabel random diskrit X dikatakan mempunyai distribusi Poisson

(19)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = − lain yang , 0 ... 2, 1, 0, , ! (x) f x x x e x λ λ

(Djauhari, 1997:163-164)

Parameter λ merupakan rata- rata banyaknya sukses dalam suatu

selang. Parameter λ juga merupakan mean dan variansi dari X.

2. Disribusi Eksponensial

Distribusi eksponensial digunakan untuk menggambarkan distribusi

waktu pada fasilitas jasa pengasumsian bahwa waktu pelayanan bersifat

acak. Artinya, waktu untuk melayani pendatang tidak tergantung pada

pada banyaknya waktu yang telah dihabiskan untuk melayani pandatang

sebelumnya, dan tidak bergantung pada jumlah pendatang yang sedang

menunggu untuk dilayani.

Variabel random kontinu X memiliki distribusi Eksponensial dengan

parameter ( ) ∑∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = − = = 1 n n0

n n 1 n n q P P n P 1 -n L

, jika fungsi kepadatan peluangnya sebagai berikut.

⎩ ⎨

⎧ > >

= lain yang untuk ; 0 0 , 0 untuk ; e ) ( -x x x f x λ λ λ

(Djauhari, 1997:175-176 )

disini, X dapat menyatakan waktu yang dibutuhkan sampai terjadi satu kali

sukses dengan λ= rata-rata banyaknya sukses dalam selang waktu satuan.

B. Peranan Distribusi Poisson dan Eksponensial

Pada situasi antrian dimana kedatangan dan kepergian (kejadian) yang

(20)

Kondisi 1: Probabilitas dari sebuah kejadian (kedatangan dan kepergian) yang

timbul antara t dan t + Δt bergantung hanya pada panjangnya Δt,

yang berarti bahwa probabilitas tidak bergantung pada t atau

jumlah kejadian yang timbul selama periode waktu (0, t).

Kondisi 2: Probabilitas kejadian yang timbul selama interval waktu yang

sangat kecil h adalah positif tetapi kurang dari satu.

Kondisi 3: Paling banyak satu kejadian dapat timbul selama interval waktu

yang sangat kecil h

Ketiga kondisi di atas menjabarkan sebuah proses dimana jumlah

kejadian selama interval waktu yang berturut-turut adalah Ekponensial.

Dengan kasus demikian, dapat dikatakan bahwa kondisi-kondisi tersebut

mewakili proses Poisson.

Definisikan

Pn(t) = probabilitas kejadian n yang timbul selama waktu t

Kemudian, berdasarkan kondisi 1, probabilitas tidak adanya kejadian yang

timbul selama t + h adalah

P0(t + h) = P0(t)P0(h) ( 2.1 )

(Taha, 1999:179)

Untuk h > 0 dan cukup kecil, kondisi 2 menunjukkan bahwa 0 < P0(h)

< 1. Berdasarkan kondisi ini, persamaan diatas memiliki pemecahan sebagai

berikut.

P0(t) = e-αt, t ≥ 0 ( 2.2 )

(21)

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa proses yang dijabarkan dengan

Pn(t), interval waktu antara beberapa kejadian yang berturut-turut adalah

Eksponensial. Dengan menggunakan hubungan yang diketahui antara

Eksponensial dan Poisson, kemudian dapat disimpulkan bahwa Pn(t) pastilah

poisson.

Anggaplah f(t) merupakan fungsi kepadatan peluang dari interval waktu antar

pemunculan kejadian yang berturut-turut, t ≥ 0

Misalkan bahwa t adalah interval waktu sejak pemunculan kejadian terakhir,

maka pernyataan berikut ini berlaku

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

T sebelum

kejadian ada

Tidak P

T melebihi

kejadian antar

Waktu P

Pernyataan ini dapat diterjemahkan menjadi

∫

∞ =

T f(t)dt P0(T) ( 2.3 )

Dengan mensubstitusikan persamaan 2.2 dengan persamaan 2.3, maka akan

diperoleh

∫

∞ ₌ −

T

T e dt t

f( ) α , T > 0 ( 2.4 )

atau

T e dt t

f = − −α

∫

T ( ) 1

0 , T > 0 ( 2.5 )

dengan mengambil derivatif dari kedua sisi dalam kaitannya denagan T pada

persamaan 2.5, diperoleh

(22)

yang merupakan sebuah fungsi kepadatan peluang dari distribusi Eksponensial

dengan mean

( )

α 1 t

E = unit waktu.

Dengan diketahui bahwa f(t) merupakan sebuah distribusi

Eksponensial, teori peluang dapat menjelaskan bahwa Pn(t) adalah fungsi

kepadatan peluang dari distribusi Poisson,yaitu:

, ! ) ( ) (

n e t t P

t n

n

α

α −

= n = 0, 1, 2, … ( 2.7 )

Nilai mean dari n selama periode waktu tertentu t adalah E{n | t} = α t

kejadian. Ini berarti bahwa α mewakili laju timbulnya kejadian.

Kesimpulan dari hasil diatas adalah bahwa jika interval waktu antara

beberapa kejadian yang berturut-turut adalah Eksponensial dengan mean α

1

unit waktu, maka jumlah kejadian dalam satu periode waktu tertentu pastilah

Poisson dengan laju pemunculan rata-rata (kejadian per unit waktu) α, dan

sebaliknya.

Distribusi Poisson merupakan proses yang sepenuhnya acak

(completely random process), karena memiliki sifat bahwa interval waktu

yang tersisa sampai pemunculan kejadian berikutnya sepenuhnya tidak

bergantung pada interval waktu yang telah berlalu. Sifat ini setara dengan

pembuktian pernyataan probabilitas berikut ini.

P (t > T + S | t > S) = P (t > T) ( 2.8 )

Dimana S adalah interval waktu antara pemunculan kejadian terakhir.

(23)

) S t | S T t (

P > + > =

) S (t P S) t , S T t ( P > > + > = ) S t ( P ) S T (t P > + > = S ) S T ( α α − + − e e

= e-αT

= P ( t > T ) ( 2.9 )

Sifat ini disebut sebagai forgetfullness atau lack of memory dari

distribusi eksponensial, yang menjadi dasar untuk menunjukkan bahwa

distribusi poisson sepenuhnya bersifat acak.

Satu ciri unik lainnya dari distribusi poisson adalah bahwa ini adalah

merupakan distribusi dengan mean yang sama dengan varian. Sifat ini

kadang-kadang digunakan sebagai indikator awal dari apakah sebuah sampel data

ditarik dari sebuah distribusi poisson.

(Taha, 1999: 178-180)

C. Uji Kebaikan-Suai

Uji kebaikan-suai (goodness of fit test) adalah uji yang dilakukan untuk

menentukan distribusi probabilitas dari data yang dipereoleh dengan

membandingkan frekuensi teoritis atau frekuensi yang diharapkan (Guttman,

1982:287)

Gagasan untuk membandingkan distribusi empiris dan distribusi

(24)

dapat diterapkan untuk variabel acak kontinu, memanfaatkan sebuah statistik

untuk menerima atau menolak distribusi yang dihipotesiskan dengan tingkat

signifikansi tertentu. Uji statistik lainnya yang berlaku untuk variabel diskrit

maupuin kontinu adalah uji khi-kuadrat. Uji ini didasari oleh perbandingan

fungsi kepadatan probabilitas, daripada fungsi kepadatan kumulatif seperti

dalam uji K-S (Taha, 1997: 10-11).

1. Uji Kebaikan-Suai Kolmogorov-Smirnov

Nilai K-S hitung dalam pengujian statistik dengan uji K-S diberi

simbol D yang dapat diperoleh dengan menggunakan rumus

D = max | fe - fo | ( 2.10 )

(Siegel, 1994:59)

D adalah deviasi absolut yang tertinggi, berupa selisih tertinggi antara

frekuensi harapan (fe) dengan frekuensi teoritis (fo)

Dalam uji Kolmogorov-Smirnov, H0 diterima apabila nilai D

hitung lebih kecil dari nilai kritis D (D tabel). Nilai kritis D dapat

diketahui melalui tabel Kolmogorov-Smirnov.

2. Uji Kebaikan Suai Khi-Kuadrat

a. Uji Kebaikan-Suai Khi- Kuadrat terhadap peristiwa yang berdistribusi

Poisson.

Misalkan variabel random X berdistribusi Poisson. Untuk

menghitung frekuensi harapan (fe) digunakan fungsi kepadatan

probabilitas dari distribusi Poisson.

m ,..., 2 , 1 , 0 x x!

e p(x)

-x

=

= λ λ ( 2.11 )

(25)

fe= n p(x) ( 2.12 )

Nilai khi-kuadrat hitung (χ2) dihitung dengan rumus sebagai berikut.

∑

= − = m 0 x e 2 e 0 2 f ) f (f

χ ( 2.13 )

dengan m adalah jumlah sel atau baris yang dipergunakan dalam

mengembangkan fungsi kepadatan empiris.

(Agus Setiawan, 2003:16)

b. Uji Kebaikan-Suai Khi-Kuadrat terhadap kejadian yang berdistribusi

Eksponensial

Misalkan variabel acak X berdistribusi Eksponensial. Frekuensi

teoritis (fe) yang berkaitan dengan interval [Ii –1, Ii] dihitung sebagai

m ..., 2, 1, i , dt f(t) n f i 1 -i

e =

∫

= ( 2.14 )

dengan m adalah banyaknya interval yang digunakan. Sedangkan f(t)

adalah fungsi kepadatan peluang dari distribusi Eksponensial dengan

parameter μ.

f(t) = μ e-μt t > 0, μ > 0 ( 2.15 )

Dengan demikian diperoleh

) e n(e

f_e = -μ(Ii-1)− -μ(Ii) ₍_2.16₎

Nilai khi-kuadrat hitung diperoleh dengan menggunakan rumus

berikut.

∑

= − = m 0 x e 2 e 0 2 f ) f (f

(26)

(Taha, 1997:11-12)

Dalam uji kebaikan-suai khi-kuadrat, keputusan diambil

berdasarkan hipotesis penelitian yang telah dirumuskan sebelumnya.

H0 diterima jika harga χ2 tabel dengan derajat kebebasan dk = m - k –

1 dan dengan tingkat signifikansi α, dengan m adalah jumlah baris

yang digunakan dan k adalah jumlah parameter yang diestimasi dari

data mentah untuk dipergunakan dalam mendefinisikan distribusi

teoritis yang bersangkutan.

D. Proses Kelahiran-Kematian

1. Proses Kelahiran-Kematian Markov

Suatu proses pertumbuhan adalah suatu proses Markov jika

probabilitas-probabilitas transisi untuk bergerak dari suatu keadaan ke

keadaan lainnya hanya bergantung pada keadaan sekarang dan tidak pada

bagaimana keadaan sekarang dicapai. Secara lebih formal, suatu proses

kelahiran-kematian Markov memenuhi kriteria-kriteria sebagai berikut.

a. Distribusi-distribusi probabilitas yang menentukan jumlah kelahiran

dan kematian dalam suatu selang waktu tertentu hanya bergantung

pada panjang selangnya dan tidak ada titik awalnya.

b. Probabilitas untuk terjadi satu kelahiran saja dalam suatu selang waktu

∆t jika pada titik awal selang terdapat suatu populasi dengan n anggota

adalah n∆t + 0(∆t), dengan n adalah suatu konstanta, yang dapat saja

(27)

c. Probabilitas untuk terjadi satu kematian saja dalam selang waktu Δt

jika pada titik awal selang terdapat suatu populasi dengan n anggota

adalah n Δt + 0 (Δt), dengan n adalah suatu konstanta, yang dapat

saja berbeda untuk n yang berbeda.

d. Probabilitas untuk terjadinya lebih dari satu kelahiran atau kematian

dalam suatu selang waktu adalah 0 (Δt).

Untuk Δt→0 maka kriteria proses kelahiran-kematian Markov

menurunkan persamaan Kolmogorov. Persamaan Kolmogorov untuk

peluang keadaan sebagai berikut.

=

dt (t) P

d _n

-( n + μn) Pn (t) + n+1 Pn+1 (t) - ( n-1 + n-1) Pn-1 (t) ( 2.18 )

(Wospakrik, 1996:297)

b. Proses Kelahiran-Kematian Poisson

Suatu proses kelahiran-kematian Poisson adalah suatu proses

kelahiran-kematian Markov dimana probabilitas dari suatu kematian dan

probabilitas dari suatu kelahiran kedua-duanya dalam sebarang selang

waktu yang kecil tidak bergantung pada ukuran populasinya, yakni λn = λ

dan μn = μ untuk semua n. (Wospakrik, 1996:300)

E. Teori antrian

Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari

antrian atau baris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan ini tentu

(28)

suatu pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk menyelenggarakan

pelayanan itu. Keputusan-keputusan yang berkenaan dengan jumlah kapasitas

ini harus dapat ditentukan, walaupun sebenarnya tidak mungkin dapat dibuat

suatu prediksi yang tepat mengenai kapan unit-unit yang membutuhkan

pelayanan itu akan datang dan atau berapa lama waktu yang diperlukan untuk

menyelenggarakan pelayanan itu (Dimyati, 1999:349).

Suatu proses antrian (queueing process) adalah suatu proses yang

berhubungan dengan kedatangan seorang pelanggan pada suatu fasilitas

pelayanan, kemudian menunggu dalam suatu baris (antrian) jika seua

pelayannya sibuk, dan akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut. Sebuah

sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan, dan suatu aturan

yang mengatur kedatangan para pelanggan. (Wospakrik, 1996:302)

Sebuah sistem antrian adalah suatu proses kelahiran-kematian dengan

suatu populasi yang terdiri atas pelanggan yang sedang menunggu

mendapatkan pelayanan atau yang sedang dilayani. Suatu kelahiran terjadi

apabila seorang pelanggan tiba di suatu fasilitas pelayanan, sedangkan apabila

pelanggannya meninggalkan fasilitas tersebut maka terjadi suatu kematian.

Keadaan sistem adalah jumlah pelanggan dalam suatu fasilitas pelayanan.

(Wospakrik, 1996:302)

1. Struktur Dasar Model Antrian

Proses yang terjadi pada proses antrian dapat digambarkan sebagai

berikut

(29)

unit-unit yang unit-unit

membutuhkan yang telah

pelayanan dilayani

(pelanggan)

sistem antrian

Gambar 2.1 Struktur dasar antrian

Unit-unit (langganan) yang memerlukan pelayanan diturunkan dari

suatu sumber input memasuki sistem antrian dan ikut dalam antrian.

Dalam waktu-waktu tertentu, anggota antrian ini dipilih untuk dilayani.

Pemilihan ini didasarkan pada suatu aturan tertentu yang disebut disiplin

pelayanan. Pelayanan yang diperlukan dilaksanakan dengan suatu

mekanisme pelayanan tertentu. Setelah itu unit (langganan) tersebut

meninggalkan sistem antrian.

Suatu karakteristik yang perlu diketahui dari sumber input ini ialah

ukurannya (jumlahnya), yaitu jumlah total unit yang memerlukan

pelayanan dari waktu ke waktu atau disebut jumlah total langganan

potensial. Ini bisa dianggap terbatas atau tidak terbatas. Karena

perhitungannya akan lebih mudah untuk jumlah unit yang tidak terbatas,

asumsi ini sering digunakan.

Pola statistik dari penurunan unit-unit yang memerlukan pelayanan

ini harus juga ditentukan. Dalam hal ini, asumsi yang biasa digunakan

adalah unit-unit ini diturunkan dengan mengikuti proses Poisson, artinya

sampai suatu waktu tertentu jumlah unit yang diturunkan ini mempunyai

distribusi Poisson. Ini adalah suatu kasus dimana kedatangan pada sistem

Sumber input antrian mekanisme

(30)

antrian terjadi secara random, tetapi dengan tingkat rata-rata tertentu.

Asumsi berikutnya adalah bahwa distribusi kemungkinan dari waktu antar

kedatangan adalah distribusi Eksponensial

Karakteristik suatu antrian ditentukan oleh jumlah unit maksimum

yang boleh ada di dalam sistemnya. Antrian ini dikatakan terbatas atau

tidak terbatas, bergantung pada jumlah unitnya terbatas atau tidak

terbatas.Disiplin pelayanan berkaitan dengan cara memilih anggota antran

yang akan dilayani. Sebagai contoh, disiplin pelayanan ini dapat berupa

first come-first served (yang datang lebih dahulu dilayani lebih dahulu),

atau random, atau dapat pula berdasarkan prosedur prioritas tertentu. Jika

tidak ada keterangan apa-apa maka asumsi yang biasa digunakan adalah

first come first served.

Mekanise pelayanan terdiri atas satu atau lebih fasilitas pelayanan

yang masing-masing terdiri atas satu atau lebih aturan pelayanan paralel.

Jika ada lebih dari satu fasilitas pelayanan maka unit-unit yang

memerlukan pelayanan akan dilayani oleh serangkaian fasilitas pelayanan

ini (saluran pelyanan seri). Pada fasilitas pelayanan seperti ini,unit yang

memerlukan pelayanan memasuki salah satu saluran pelayanan paralel dan

dilayani sepenuhnya oleh pelayan yang bersangkutan. Suatu model antrian

harus menetapkan urutan-urutan fasilitas semacam itu sekaligus dengan

jumlah pelayanan pada masing-masing saluran paralelnya. Kebanyakan

model-model dasar mengasumsikan satu fasilitas pelayanan dengan satu

(31)

Waktu yang digunakan sejak pelayanan dimulai sampai satu unit

selesai dilayani disebut sebagai waktu pelayanan. Biasanya diasumsikan

bahwa distribusi kemungkinan dari waktu pelayanan ini adalah distribusi

Eksponensial.

(Dimyati, 1999:349-352)

2. Proses Antrian Dasar

Suatu garis penungguan tunggal (yang pada suatu saat bisa juga

kosong) terbentuk di depan suatu fasilitas pelayanan tunggal dimana ada

satu atau beberapa pelayan. Setiap unit (langganan) yang diturunkan oleh

suatu sumber input dilayani oleh salah satu dari pelayan-pelayan yang ada,

mungkin setelah unit itu menunggu dalam antrian (garis penungguan).

Sistem antrian semacam itu dapat digambarkan sebagai berikut.(Dimyati,

1999:352)

Langganan yang telah dilayani

Langganan yang telah

[image:31.595.114.514.221.663.2]

dilayani

Gambar 2.2 Sistem antrian dasar

C C

C C C C C

C C

P P

fasilitas

(32)

3. Model-model Sistem Antrian

Menurut Mulyono (2002:287), proses antrian pada umumnya

dikelompokkan ke dalam empat struktur dasar menurut sifat-sifat fasilitas

pelayanan, yaitu:

a. Satu saluran satu tahap

kedatangan pelanggan

[image:32.595.112.492.222.653.2]

sistem antrian

Gambar 2.3

Skema antrian satu saluran satu tahap

b. Banyak saluran satu tahap

sistem antrian

Gambar 2.4

Skema antrian banyak saluran satu tahap

c. Satu saluran banyak tahap

sistem antrian

Gambar 2.5

Skema Antrian satu saluran banyak tahap

antrian pelayan

antrian

pelayan

(33)

d. Banyak saluran banyak tahap

[image:33.595.114.511.131.613.2]

sistem antrian

Gambar 2.6

Skema antrian banyak saluran banyak tahap

4. Terminologi dan notasi

Terminologi dan notasi yang digunakan dalam sistem antrian adalah

sebagai berikut.

Keadaan sistem : jumlah pelanggan pada sistem antrian.

Panjang antrian : jumlah pelanggan yang menunggu pelayanan

En : keadaan dimana ada n pelanggan pada sistem antrian.

Pn(t) : kemungkinan bahwa tepat ada n pelanggan dalam

sistem antrian pada saat t

s : jumlah pelayan pada sistem antrian.

λn : laju kedatangan rata-rata (ekspektasi jumlah

kedatangan per satuan waktu) dari pelanggan baru

jika ada n pelanggan dalam sistem.

μn : laju pelayanan rata-rata (ekspektasi jumlah pelanggan

yang dapat selesai dilayani per satuan waktu) jika ada

n pelanggan dalam sistem.

antrian

(34)

Jika λn adalah konstan untuk semua n,maka dapat ditulis sebagai λ. Jika

μn konstan untuk semua n ≥ 1, maka dapat ditulis sebagaiμ. Disini

μn = sμ jika n ≥ s sehingga seluruh pelayan (sejumlah s) sibuk. Dalam

hal ini λ 1

menyatakan ekspektasi waktu diantara kedatangan, sedangkan

μ 1

menyatakan ekspektasi waktu pelayanan.

μ λ ρ

s

= adalah faktor penggunaan (utilisasi) untuk fasilitas pelayanan,

yaitu ekspektasi perbandingan dari waktu sibuk para pelayan.

Jika suatu sistem antrian telah mulai berjalan, keadaan sistem

(jumlah unit dalam sistem) akan sangat dipengaruhi oleh state (keadaan)

awal dan waktu yang telah dilalui. Dalam keadaan seperti ini, sistem

dikatakan dalam kondisi transien. Tetapi, lama kelamaan keadaan sistem

akan independen terhadap state awal tersebut, dan juga terdapat waktu

yang dilaluinya. Keadaan sistem seperti ni dikatakan berada dalam kondisi

steady state. Teori antrian cenderung memusatkan pada kondisi steady

state, sebab kondisi transien lebih sukar dianalisis.

Notasi-notasi berikut ini digunakan untuk sistem dalam kondisi

steady state:

Pn : kemungkinan bahwa tepat ada n pelanggan dalam sistem antrian.

L : rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem

(35)

W : rata-rata waktu yang dihabiskan oleh seorang pelanggan dalam

sistem

Wq : rata-rata waktu yang dihabiskan oleh seorang pelanggan dalam

antrian

W(t) : peluang bahwa seorang pelanggan menghabiskan waktu lebih

dari t dalam sistem

Wq(t) : peluang bahwa seorang pelanggan menghabiskan waktu lebih

dari t dalam antrian

Berikut ini akan di uraikan hubungan antara L dan W. Asumsikan

bahwa λn adalah konstan untuk semua n sehingga cukup ditulis λ. Maka

dalam proses antrian yang steady state didapat

L = λW ( 2.19 )

Lq = λ Wq ( 2.20)

Kemudian diasumsikan bahwa waktu pelayanan rata-rata adalah konstan

untuk semua n ≥ 1 sehingga cukup ditulis sebagai μ 1

, maka

W = Wq +

μ 1

( 2.21 )

kalikan dengan λ, didapat:

L = Lq + ρ ( 2.22 )

(Dimyati, 1999:353-355)

5. Notasi Kendall

Terdapat banyak variasi yang mungkin dari model antrian. Ciri-ciri

dari masing-masing model akan diringkas dalam notasi Kendall yang

diperluas. Notasi tersebut dituliskan dengan

(36)

dimana simbol-simbol a, b, c, d, e, dan f adalah unsur-unsur dasar dari

model antrian sebagai berikut.

a : distribusi kedatangan

b : distribusi waktu pelayanan

c : jumlah pelayan

d : peraturan pelayanan (misalnya PMPK, TMPK, Prioritas)

e : jumlah pelanggan maksimum (dalam antrian dan sistem)

f : ukuran sumber pemanggilan.

(Mulyono, 2002:293)

Notasi baku yang mengganti simbol a dan b untuk distribusi

kedatangan dan keberangkatan sebagai berikut.

M : kedatangan atau keberangkatan berdistribusi Poisson (waktu antar

kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusieksponensial).

D : waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan yang konstan atau

deterministik

Ek : waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi Erlang

atau Gamma dengan parameter k.

GI : distribusi independen umum dari kedatangan.

G : distribusi umum dari keberangkatan.

(Taha, 1997:186)

Notasi baku yang mengganti simbol d untuk peraturan pelayanan

adalah umum (GD) dalam arti bahwa peraturan tersebut dapat PMPK,

TMPK, Prioritas, atau prosedur apapun yang dapat digunakan oleh para

pelayan untuk memutuskan urutan pelanggan yang dilayani dalam antrian.

6. Peluang keadaan tunak

Jika sistem antrian telah mencapai kondisi steady state (kedaan

(37)

terhadap waktu. Solusi steady state untuk Pn ini bisa didapat dengan

menetapkan 0

dt t) ( P d _n = .

Asumsikan _n _n

t P (t) P

lim =

∞

→ sehingga

0 dt (t) P d lim n

t ⎭⎬=

⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ∞ →

Untuk t→∞ maka persamaan di atas menjadi

Untuk n =0 maka diperoleh

0 = – (λ0 + μ0) P0 (t) + μ1 P1 + λ-1 P-1 ( 2.23 )

Karena λ-1= 0 dan μ0= 0 maka persamaan di atas menjadi

0 = - λ0 P0 + μ1 P1 ,

⇔ ₀

1 0 1 P P μ λ

= ( 2.24 )

Untuk n > 0 diperoleh

0 = -( n + μn) Pn (t) + n+1 Pn+1 (t) - ( n-1 + n-1) Pn-1 (t)

⇔ 1 1 -n 1 n n 1 1 n P P P P + − + + − + = n n n n n μ λ μ μ λ

( 2.25 )

Pada persamaan 2.25, perhatikan ruas kanan yang kedua. Jika n > 1 maka:

1 -n 1 n 2 -n 2 -n 1 -n 1 -n 1 -n n 1 n 1 -n 1 n n P P P P P

P ₋ − _⎥− ₋

⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + =

− n _n

n _μ λ

λ μ μ λ μ λ μ 2 -n 2 -n 1 -n 1

-n P λ P

μ −

= ( 2.26 )

Ulangi perhitungan dengan nilai n yang lebih kecil, sehingga diperoleh

0 0 1 1 1 -n 1 -n n

nP λ P μP λ P

μ − = − ( 2.27 )

(38)

Pn = n-1 1 P n n μ λ ₋ = _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 2 -n 1 -n 2 -n 1 P μ λ μ λ n n = … sehingga diperoleh 0 1 1 n 0 2 -n 1 -n n P ... ... P μ μ μ λ λ λ − = n

( 2.28 )

Persamaan ini dapat ditulis secara ringkas sebagai:

0 n 1 i 1 -n 0 i i n P P

∏

= = = λ

untuk n = 1, 2, … ( 2.29 )

Karena 1P

0 n n =

∑

∞ = maka

∑

∏

∞ = = − = + = 1 1 1 0 0 1 1 P n n i i n i i μ λ

( 2.30 )

(Dimyati, 1999:361-363)

Ukuran-ukuran kinerja yang terpenting dari situasi antrian setelah

mencapai kondisi steady state yang dipergunakan untuk menganalisis

situasi antrian adalah rata-rata banyaknya pelanggan yang menunggu

dalam antrian ( Lq), rata-rata waktu menunggu yang diperkirakan dalam

antrian (Wq), dan persentase pemanfaatan sarana pelayanan yang

(39)

Dengan mempertimbangkan sarana pelayanan sebanyak s pelayan

paralel, maka dari definisi Pn diperoleh

∑

∞ = = 0 n P n L n

( 2.31 )

∑

∞

= =

0

n q (n-s)P L

n

( 2.32 )

Hubungan yang lain adalah sebagai berikut.

L W

λ

= ( 2.33 )

λ q q

L

W = ( 2.34 )

λ adalah laju kedatangan rata-rata dalam jangka waktu yang panjang

dimana

∑

∞ = = 0 n P n n λ

λ ( 2.35 )

(Taha, 1997: 190)

Persentase pemanfaatan sebuah sarana pelayanan dengan s pelayan

yang paralel dapat diperoleh sebagai berikut.

Persentase pemanfaatan = _x₁₀₀0₀ μ

λ

s ( 2.36 )

(Taha, 1997: 191)

Solusi steady state ini diturunkan dengan asumsi bahwa

parameter-parameter λn dan μn adalah sedemikian sehingga kondisi steady state

dapat tercapai. Asumsi ini terjadi jika 1

s <

=

(40)

7. Modelantrian (M / M / 1)

Sistem antrian ( M / M / 1 ) merupakan model pelayanan

tunggal tanpa batas kapasitas baik dari kapasitas system

tersebut maupun

kapasitas sumber pemanggilan. Aturan pelayanan bersifat PMPK atau

pelanggan pertama yang datang akan dilayani terlebih dahulu, begitu

seterusnya hingga peminjam terakhir yang datang mendapatkan pelayanan

terakhir.

Sistem model ini dapat digambarkan seperti pada gambar 2.4

sebagai berikut.

sistem antrian

Pada sistem ini, diasumsikan bahwa laju kedatangan tidak

bergantung pada jumlah pada sistem tersebut, yaitu λn = λ untuk semua n.

Demikian pula diasumsikan bahwa pelayan tunggal dalam sistem tersebut

menyelesaikan pelayanan dengan kecepatan konstan, yaitu μn = μ untuk

semua n. akibatnya model ini memiliki kedatangan dan keberangkatan

dengan mean λ dan μ

Jika λ = laju kedatangan rata-rata (jumlah pelanggan per satuan waktu)

μ = laju pelayanan pelanggan rata-rata

(41)

maka waktu antar kedatangan yang diharapkan adalah λ 1 dan waktu pelayanan adalah μ 1

Keadaan tunak tercapai jika = <1 μ λ ρ

Peluang keadaan tunak dalam sistem ini dapat didefinisikan

) 1

( ρ

ρ

ρ = n −

n

Apabila ρ >1 tidak terdapat keadaan tunak pada sistem tersebut,

karena banyaknya pelanggan yang datang lebh cepat dari kemampuan

pelayanan sehingga terjadi penumpukan pelanggan dalam sistem.

Sedangkan apabila nilai ρ =0 tidak terjadi keadaan tunak, karena tidak

terdapat antrian sama sekali.

Ukuran-ukutan efektif pada keadaan tunak pada sistem antrian

(M / M / 1) : ( GD / ∞ / ∞) sebagai berikut.

a. Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem (L)

(42)

ρ ρ − = 1 λ μ λ −

= ( 2.37 )

b. Rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian (Lq)

( )

∑

∞ = ∞ = ∞ = − = = 1

n n 0

n n 1 n n q P P n P 1 -n L

( 2.38 )

(

)

ρ ρ ρ ρ ρ ρ = − − = − = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ − =

∑

∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = 1 1 ) 1 ( P n P n P n P n L -L 1 n n 1 n n 0

n n 0 n 1

n n n q ρ ρ ρ ρ ρ ρ − = − − = = 1 1 -L L 2 q Jadi ρ ρ − = 1 L 2

q ( 2.39 )

c. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam sistem (W) Menurut rumus LittleL=λ W

(43)

(

)

λ μ μ λ λ μ λ ρ λ ρ λ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − = = 1 1 1 L W Jadi λ μ− = 1

W ( 2.40 )

d. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam antrian (Wq)

(

)

λ μ ρ ρ λ ρ λ λ − = = = ⇔ = -1 L W W L 2 q q q q Jadi λ μ ρ − = q

W ( 2.41 )

8. Model Antrian (M / M / s) : (GD / ∞ / ∞)

Model ini mengasumsikan bahwa kedatangan terjadi menurut input

Poisson dengan parameter λ, dan bahwa waktu pelayanan untuk

masing-masing unit mempunyai distribusi Eksponensial dengan rata-rata μ 1

.

(44)

Tingkat pelayanan rata-rata untuk seluruh sistem antrian adalah

tingkat rata –rata dimana unityang sudah dilayani meninggalkan sistem.

Tingkat pelayanan rata-rata per pelayanan yang sibuk adalah μ, karena itu

tingkat pelayanan keseluruhan adalah μn = nμ jika n ≤ s. Jika n ≥ s, berarti

semua pelayan sibuk sehingga μn = sμ. Jadi model ini adalah kasus khusus

dari proses kelahiran-kematian dengan λn = λ (untuk n = 0, 1, 2, …) dan

⎩ ⎨ ⎧ ≥ ≤ ≤ = s n jika , s s n 0 jika , n μ μ μ_n

Jika λ < sμ (tingkat kedatangan rata-rata lebih kecil dari tingkat

pelayanan rata-rata maksimum), maka hasil steady state-nya adalah

sebagai berikut.

(

) (

)

∑

−

∑

= ∞ = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = 1 0 n s -n 0 s s! n! 1 P s s n s n μ λ μ λ μ λ

( ) (

)

∑

= ₋ + = 1 -s 0 n s n s 1 1 ! n! n 1 μ λ μ λ λ s dan

(

)

(

)

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤ ≤ = s n jika , P s s! s n 0 jika , P n! P 0 s -n n 0 n n μ λ μ λ (2.44) Dengan μ λ ρ s

(45)

a. Rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian (Lq)

(

)

(

)

2 0

q

-1 s! P L

ρ ρ μ

λ s

= (2.45)

b. Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem (L)

μ λ

+ =L_q

L (2.46)

c. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam antrian (Wq)

λ q q

L

W = (2.47)

d. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam sistem (W)

μ 1 W

W = _q + (2.48)

(46)

Metode penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini meliputi beberapa

tahap sebagai berikut.

A. Perumusan Masalah

Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan sehingga

mempermudah pembahasan selanjutnya.

B. Studi Pustaka

Studi pustaka adalah menelaah sumber pustaka yang relevan yang

digunakan untuk mengumpulkan informasi yang diperlukan dalam penelitian.

Studi pustaka diambil dengan mengumpulkan sumber pustaka yang dapat

berupa buku, teks, makalah, dan sebagainya. Setelah sumber pustaka

terkumpul dilanjutkan dengan penelaahan dari sumber pustaka tersebut. Pada

akhirnya sumber pustaka ini dijadikan landasan untuk menganalisis

permasalahan.

C. Pemecahan Masalah

1. Pengumpulan data

Dalam penelitian ini pengambilan data dilaksanakan pada sistem

antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES yang dilaksanakan

(47)

Pengumpulan data berkenaan dengan kedatangan dan kepergian

pengunjung dengan menggunakan metode observasi, yaitu:

a. Mengukur waktu yang dibutuhkan untuk melayani seorang pelanggan.

Pelanggan dalam hal ini adalah pengunjung perpustakaan.

b. Menghitung jumlah kedatangan (kepergian) selama satu unit waktu

yang dipilih. Dalam penelitian ini satuan waktu yang dipilih adalah 5

menit.

Sedangkan untuk mengetahui waktu tunggu yang dikehendaki pengunjung

digunakan metode angket.

2. Analisis Data

a. Langkah-langkah yang digunakan dalam analisis data sebagai berikut.

Dalam penelitian ini kedatangan nasabah diasumsikan

berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan diasumsikan berdistribusi

Eksponensial. Untuk menguji kebenarannya dilakukan Uji

Kebaikan-Suai Khi Kuadrat

Hipotesis tentang kedatangan pengunjung UPT Perpustakaan

Universitas Negeri Semarang dalam penelitian ini sebagai berikut.

H0 : Kedatangan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas Negeri

Semarang pada masing-masing loket berdistribusi Poisson

Ha : Kedatangan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas Negeri

Semarang pada masing-masing loket tidak berdistribusi Poisson

Hipotesis tentang waktu pelayanan pengunjung UPT

Perpustakaan Universitas Negeri Semarang dalam penelitian ini

(48)

H0 : Waktu pelayanan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas

Negeri Semarang pada masing-masing loket berdistribusi

Eksponensial

Ha : Waktu pelayanan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas

Negeri Semarang pada masing-masing loket tidak berdistribusi

Eksponensial

b. Menentukan model antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan

Universitas Negeri Semarang

c. Menghitung rata-rata jumlah pengunjung yang berada dalam sistem

dan antrian pada masing-masing loket yang diteliti

d. Menghitung rata-rata waktu pengunjung berada dalam sistem dan

antrian pada masing-masing loket yang diteliti

e. Menentukan rata-rata waktu menganggur bagi pelayan pada

masing-masing loket

3. Pengambilan Keputusan

Pengambilan keputusan tentang jumlah pelayan ideal pada

masing-masing loket yang diteliti didasarkan pada waktu menunggu dan

(49)

[image:49.595.111.514.255.601.2]

Hasil Penelitian

Gambaran Umum UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang

UPT Perpustakaan UNNES merupakan unit sarana pelayanan yang dimiliki

oleh UNNES. UPT Perpustakaan UNNES menyediakan bahan pustaka yang

diperlukan bagi mahasiswa sesuai dengan kebutuhannya.

UPT Perpustakaan UNNES terdiri dari dua ruang pelayanan yakni ruang

sirkulasi dan ruang referensi. Pelayanan pada ruang sirkulasi meliputi pelayanan

peminjaman buku, pengembalian buku serta penelusuran bahan pustaka.

Pelayanan pada ruang referensi meliputi skripsi, thesis, serta karya ilmiah yang

dapat di fotocopy dengan ijin petugas perpustakaan.

Sistem antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES mengikuti

sistem antrian dengan saluran tunggal. Pada sistem antrian dengan saluran

tunggal, pengunjung yang datang untuk meminjam atau mengembalikan buku

membentuk antrian di depan pelayan sampai pada gilirannya dan setelah itu

meninggalkan sistem. Situasi antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan

(50)

kedatangan

pengunjung

[image:50.595.113.515.112.617.2]

sistem antrian

Gambar 4.1

Skema situasi antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES

Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Kedatangan Pengunjung.

Kedatangan pengunjung pada UPT Perpustakaan UNNES diasumsikan

berdistribusi Poisson. Untuk meyakinkan bahwa kedatangan pengunjung

berdistribusi Poisson, maka dilakukan uji kebaikan suai khi kuadrat

Dari data hasil penelitian, dapat dibuat rekapitulasi kedatangan pengunjung

per interval waktu lima menit (lampiran 3 dan 4 ). Selanjutnya data lampiran 3

dan 4 digunakan untuk melakukan uji kebaikan suai khi kuadrat kedatangan

pengunjung.

a. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat terhadap Kedatangan

Pengunjung pada Loket Peminjaman

1) Senin, 15 Agustus 2005

Pada tabel 5.1 (lampiran 5), terlihat bahwa rata-rata kedatangan (λ)

sebesar 3,167 pengunjung setiap lima menit (0,633 per-menit).

Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 4,6. Dari tabel khi kuadrat

(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01;5) adalah 15,09. Dengan demikian χ2

hitung < χ2(0,01;5). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi

Poisson.

(51)

2) Selasa, 16 Agustus 2005

sebesar 3 pengunjung setiap lima menit (0,600 per-menit).

Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 7,782 Dari tabel khi kuadrat

Poisson.

3) Kamis, 18 Agustus 2005

Sedangkan untuk nilai χ2hitung adalah 4,303 Dari tabel khi kuadrat

Poisson.

b. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat terhadap Kedatangan

Pengunjung pada Loket Pengembalian Buku

(52)

Pada tabel 6.2 (lampiran 6), terlihat bahwa rata-rata kedatangan

(λ) sebesar 1,958 pengunjung setiap lima menit (0,392 per-menit).

Poisson.

Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Waktu Pelayanan

Dari hasil pengamatan sistem antrian pada UPT Perpustakaan Universitas

Negeri Semarang diperoleh waktu pelayanan t, yaitu waktu yang diperlukan untuk

melayani satu orang pengunjung. Untuk menentukan rata-rata waktu pelayanan

dapat dihitung dengan

∑

= = m i

i if

x t

1

, dengan i adalah batas-batas interval [I1-I, Ii] dan

xi adalah nilai tengah dari interval ke-i, serta fi adalah frekuensi relatif yaitu

frekuensi observasi (f0) pada interval i dibagi dengan jumlah frekuensi

(53)

pengunjung yang dapat dilayani per satuan waktu. Dengan demikian harga

t 1

= μ

.Dari data penelitian pada lampiran 7 dan 8 maka didapatkan data waktu

pelayanan yang akan diuji dengan dengan uji kebaikan suai khi kuadrat.

a. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat terhadap Waktu Pelayanan

Pengunjung pada Loket Peminjaman Buku

Pada tabel 7.1 (lampiran 7), terlihat bahwa rata-rata waktu

pelayanan sebesar 1,25 menit untuk setiap pengunjung. Sehingga

laju pelayanan rata-rata (μ) adalah 0,8 pengunjung per-menit.

(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01; 2) adalah 9,08. Dengan demikian χ2

hitung < χ2(0,01;2). Jadi waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.

2) Selasa , 16 Agustus 2005

(54)

b. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat terhadap Waktu Pelayanan

Pengunjung pada Loket Pengembalian Buku

(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01; 2) adalah 9,08. Dengan demikian

χ2

(55)

(lampiran 9) diperoleh χ2(0,01; 2) adalah 9,08. Dengan demikian

χ2

Menentukan Model Antrian

Dalam penelitian ini, antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES

diasumsikan mengikuti model antrian (M / M / 1) : (GD / ∞ / ∞). Pada model ini

kedatangan berdistribusi Poisson, waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial,

terdapat satu pelayan dengan peraturan pelayananan yang pertama masuk dilayani

lebih dulu (PMPK), serta dengan kapasitas sistem dan sumber kedatangan tak

terbatas.

Dari hasil penelitian yang dilakukan ternyata pola kedatangan berdistribusi

Poisson sedangkan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. Pada UPT

Perpustakaan UNNES pada loket peminjaman maupun loket pengembalian

masing-masing ditempatkan satu orang pelayan dengan peraturan pelayanan yang

pertama kali datang akan dilayani terlebih dahulu. Jumlah pengantri dalam sistem

(56)

pada UPT Perpustakaan UNNES mengikuti model antrian (M / M / 1) : (GD / ∞

/∞)

Menghitung Rata-rata Jumlah Pengunjung Dalam Antrian dan Sistem

Untuk menghitung besar faktor kegunaan untuk mengetahui rata-rata jumlah

pengunjung yang menunggu di dalam antrian dan sistem, maka terlebih dahulu

harus diketahui besar rata-rata laju kedatangan (λ) dan laju pelayanan (μ).

Untuk menghitung faktor kegunaan, digunakan rumus μ λ ρ =

a. Menghitung Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Sistem

Rata-rata jumlah pengunjung dalam system dapat dihitung dengan

menggunakan rumus ρ ρ -1 L=

1) Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Sistem pada Loket

Peminjaman

a) Senin, 15 Agustus 2005

= =

μ λ

ρ 0,791

8 , 0 633 , 0 = ρ ρ -1

L= = 3,785

791 , 0 1 791 , 0 = −

Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam sistem adalah 3,785

b) Selasa, 16 Agustus 2005

= =

μ λ

ρ 0,858

(57)

ρ ρ -1

L= = 6,042

858 , 0 1 858 , 0 ₌ −

c) Kamis, 18 Agustus 2005

= =

μ λ

ρ 0,608

959 , 0 583 , 0 = ρ ρ -1

L= = 1,551

608 , 0 1 608 , 0 = −

2) Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Sistem pada Loket

Pengembalian

= =

μ λ

ρ 0,811

575 , 0 466 , 0 = ρ ρ -1

L= = 4,291

811 , 0 1 811 , 0 = −

= =

μ λ

ρ 0,480

816 , 0 392 , 0 = ρ ρ -1

L= = 0,923

480 , 0 1 480 , 0 ₌ −

(58)

= =

μ λ

ρ 0,534

843 , 0 450 , 0 = ρ ρ -1

L= = 1,146

534 , 0 1 534 , 0 ₌ −

b. Menghitung Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Antrian

Rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian dapat dihitung dengan

menggunakan rumus ρ ρ − = 1 L 2 q

1) Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Antrian pada Loket

Peminjaman

ρ ρ − = 1 L 2 q =

(

)

994 , 2 791 , 0 1 791 , 0 2 = −

Jadi rata-rata jumlah pengunjung dalam antrian adalah 2,994

ρ ρ − = 1 L 2 q =

(

)

184 , 5 858 , 0 1 858 , 0 2 = −

ρ ρ − = 1 L 2 q =

(

)

943 , 0 608 , 0 1 608 , 0 2 = −

(59)

2) Rata-rata Jumlah Pengunjung dalam Antrian pada Loket

Pengembalian

ρ ρ − = 1 L 2 q =

(

)

480 , 3 811 , 0 1 811 , 0 2 = −

ρ ρ − = 1 L 2 q =

(

)

443 , 0 480 , 0 1 480 , 0 22 = −

ρ ρ − = 1 L 2 q =

(

)

612 , 0 534 , 0 1 534 , 0 2 = −

Menghitung Rata-rata Waktu Menunggu dalam Sistem dan Antrian

Rata-rata waktu menunggu dalam sistem dapat dihitung dengan menggunakan

rumus

λ μ

-1

W=

Menghitung Rata-rata Waktu Menunggu dalam Sistem

Rata-rata Waktu Menunggu dalam Sistem pada Loket Peminjaman

Senin, 15 Agustus 2005

= =

λ μ

-1

W 5,988

(60)

Jadi rata-rata waktu menunggu dalam sistem adalah 5,988

menit

Selasa, 16 Agustus 2005

λ μ

-1

W = 10,101

6 , 0 699 , 0 1 = − =

menit

Kamis, 18 Agustus 2005

λ μ

-1

W = 2,660

583 , 9590 , 0 1 ₌ =

Jadi rata-rata waktu menunggu dalam sistem adalah 2,66 menit

Rata-rata Waktu Menunggu dalam Sistem pada Loket Pengembalian

λ μ

-1

W = 9,174

466 , 0 575 , 0 1 ₌ − =

menit

λ μ

-1

W = 2,358

392 , 0 816 , 0 1 = − =

Jadi rata-rata waktu menunggu dalam sistem adalah 2,358 menit

λ μ

-1

W = 2,544

450 , 0 843 , 0 1 = − =

(61)

Menghitung Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian

Rata-rata waktu menunggu dalam antrian dapat dihitung menggunakan

rumus

λ μ

ρ -W_q =

Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian pada Loket Peminjaman

λ μ

ρ

-W_q = = 4,736

633 , 0 8 , 0 791 , 0 = −

Jadi rata-rata waktu menunggu dalam antrian adalah 4,736 menit

λ μ

ρ

-W_q = = 8,667

6 , 0 699 , 0 858 , 0 = −

λ μ

ρ

-W_q = = 1,617

583 , 0 959 , 0 608 , 0 = −

Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian pada Loket Pengembalian

λ μ

ρ

-W_q = = 7,435

466 , 0 575 , 0 811 , 0 = −

λ μ

ρ

-W_q = = 1,133

(62)

λ μ

ρ

-W_q = = 1,358

450 , 0 843 , 0

534 , 0

= −

Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian Untuk Berbagai Nilai s.

Dengan cara yang sama, rata-rata waktu menunggu dalam antrian untuk berbagai nilai s adalah sebagai berikut.

Rata-rata waktu menunggu dalam antrian untuk berbagai nilai s pada loket

peminjaman buku

[image:62.595.111.503.232.639.2]

Tabel 4.1

Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian untuk Berbagai Nilai s

Jumlah pelayan (s) 1 2

Wq (detik) 284 14

Tabel 4.2

(63)

Tabel 4.3

Wq (detik) 97 6

Rata-rata waktu menunggu dalam antrian untuk berbagai nilai s pada loket

pengembalian buku

[image:63.595.112.505.193.649.2]

Tabel 4.4

Wq (detik) 446 20

Tabel 4.5

Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian

untuk Berbagai Nilai s

(64)

Tabel 4.6

Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian

untuk Berbagai Nilai s

Wq (detik) 81 5

Persentase Waktu Menganggur Pelayan

Faktor kegunaan (ρ) adalah pembanding laju kedatangan dengan laju

pelayanan maksimum dimana terdapat sejumlah s pelayan. Sehingga untuk

menghitung persentase waktu menganggur para pelayan X dalam

penelitian ini menggunakan rumus 100%

s -1

X _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

μ λ

Persentase waktu menganggur para pelayan pada loket peminjaman buku

untuk berbagai nilai s adalah sebagai berik