ABSTRAK
LIMIT DAN DERIVATIF FUNGSI – FUNGSI BERNILAI VEKTOR
Oleh ALES WANDA S
Limit fungsi vektor merupakan limit fungsi dengan daerah hasil bernilai vektor
��, begitu juga halnya dengan fungsi turunan ( derivatif ) bernilai vektor. Konsep
limit fungsi vektor di �� dirancang serupa dengan limit fungsi real, Jika di dalam
limit fungsi real menggunakan nilai ”mutlak” { | |}, di dalam fungsi vektor
Fungsi turunan bernilai vektor, dengan daerah interval terbuka �. Turunan fungsi
� di titik �0 ∈ � didefinisikan sebagai,
� � = limℎ→0� � + ℎ − � �ℎ
LIMIT DAN DERIVATIF FUNGSI – FUNGSI BERNILAI VEKTOR
Oleh
ALES WANDA S 0717031019
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Salah satu bahasan dalam ilmu matematika adalah limit fungsi. Dengan mengingat
kembali konsep limit fungsi real = � �) yang terdefinisi pada selang terbuka �
yang memuat � kecuali mungkin di � sendiri, yaitu
�
�→�� � = l ⟺ ∀ > 0 ∃ > 0 ∋ 0 < |� − �| < ⇒ |� � − | <
Perhatikan bahwa situasi yang terjadi sebelum konsep limit fungsi real dirancang
adalah bahwa nilai � � dapat dibuat sebarang dekat ke l dengan cara mengambil
nilai t yang cukup dekat ke �. Dengan kata lain, jarak � � ke l dapat dibuat
sebarang kecil dengan cara mengambil jarak t ke � cukup kecil. Bila ukuran jarak
yang digunakan di sini adalah nilai mutlak, maka diperoleh rancangan konsep limit
yang hasilnya seperti di atas.
Konsep limit fungsi real di atas sering dijumpai dalam pembahasan limit fungsi dan
tidak asing lagi dalam bahasan limit fungsi.
Bagaimana jika limit fungsi itu sendiri di bawa ke dalam ruang vektor ?
Dalam bahasan ini akan difokuskan pada limit fungsi vektor tersebut.
Konsep limit fungsi vektor di �� dirancang serupa dengan limit fungsi real. Di sini,
2 Jarak antara vektor di ��,
= , , . . . , � � = , , … , �
Ditulis nilai,‖X − Y‖ didefinisikan sebagai,
‖ − ‖ = √ − + − + ⋯ + �− �
Agar limit fungsi vektor = � � untuk � mendekati a dapat dibahas, di sekitar �
harus terdapat tak terhingga banyaknya titik dari ��; untuk itu, di ambil �� selang
terbuka � yang memuat �, kecuali di � itu sendiri. Jarak dua vektor yang
digunakan adalah seperti yang didefinisikan di atas sedangkan untuk jarak � ke � di
� dipergunakan nilai mutlak. Dari situasi ini diperoleh konsep limit fungsi vektor
berikut.
Adapun limit sepihak fungsi vektor didefinisikan sebagai berikut:
�
�→�� � = � ⟺ ∀ > 0∃ > 0 ∋ 0 < � − � < ⇒ ‖� � − �‖ <
�
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penulisan ini adalah
1. Mengkonstruksi konsep limit dan derivatif bernilai vektor,
2. Menjelaskan sifat – sifat dasar kedua konsep tersebut.
1.3 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Menambah wawasan penulis tentang limit fungsi dalam vektor,
2. Dapat memberikan sumbangan pemikiran untuk memperluas wawasan di
II. LANDASAN TEORI
2.1 Limit Fungsi
Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987)
Misalkan I interval terbuka pada R dan : � → fungsi bernilai real. Secara
matematis ditulis
lim→ =
untuk suatu ∊ �, yaitu nilai cukup dekat dengan � untuk semua nilai
yang cukup dekat dengan , tetapi ≠ .
Secara matematis definisi di atas dapat ditulis,
∀ > ada bilangan > sehingga
| − | < untuk setiap ∈ � dan < | − | < .
Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua
buah titik atau bilangan.
Y
=
Limit Fungsi di Titik ,
Untuk sebarang bilangan > ada bilangan > sehingga untuk semua ,
di � dan memenuhi
→ dikatakan ada jika limit kirinya sama dengan limit kanan, ditulis
jika,
lim→ − = dan lim
→ + = , maka
lim→ =
Teorema 2.1.4 (Teorema Apit)
Andaikan , , dan ℎ adalah fungsi – fungsi yang memenuhi
≤ ≤ ℎ
untuk semua mendekati , kecuali di itu sendiri. Jika,
lim→ = lim→ = lim→ ℎ =
6
lim→ =
Definisi 2.1.5
Diketahui fungsi ∶ � ⊂ → , ∈ � dan titik limit himpunan � .
dikatakan kontinu di jika beberapa selang terbuka di sekitar terkandung
dalam daerah asal dan
lim→ =
Definisi 2.1.6
Diketahui fungsi ∶ � ⊂ → , ∈ � dan titik limit himpunan � .
i. Fungsi dikatakan kontinu kanan (right continuous) di jika
lim→ + =
ii. Fungsi dikatakan kontinu kiri (left continuous) di jika
| − | < ⇒ | ( ) − | <
karena,
lim→ = , untuk suatu > terdapat >
sedemikian sehingga
< | − | < ⇒ | − | <
Dengan menggabungkan kedua teori di atas diperoleh,
10
Bukti :
Dengan menerapkan defenisi turunan ′ = lim →
−
− ada. Oleh karena itu
diperoleh :
lim→ ( − ) = lim→ −− − = ′ . =
yang berarti terbukti bahwa fungsi kontinu di .
Teorema 2.2.6
bilangan > terdapat bilangan > sehingga berlaku
Untuk ′∈ − , + dan ′< diperoleh ℎ = ′− < ,
|ℎ| < dan + ℎ − < atau ′ < .
Jadi terbukti bahwa jika ′ > berakibat fungsi naik di .
2.3 Ruang Vektor (Maddox,1970)
Ruang vektor V adalah himpunan vektor tak kosong dimana dua operasi berlaku,
12
dimana , , ,………., adalah skalar.
Span (membangun) Ruang Vektor
Himpunan vektor = { ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗, , , , , , , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ } disebut membangun V jika setiap ⃗
anggota dari V dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari ⃗⃗⃗⃗⃗, ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ … … . . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,
yaitu
⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗+ ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⋯ . . + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Basis
Jika V adalah ruang vektor dan = { ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗, , , , , , , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗} adalah hmpunan
vektor di V. S adalah basis dari V jika,
1. S bebas linier
2. S membangun V
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2011/2012 di Jurusan
Matematika FMIPA Universitas Lampung.
3.2 Metodologi Penelitian
Metodologi penelitian yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah
studi pustaka. Dengan menggunakan buku – buku yang berkaitan dengan limit dan vektor yang ada di dalam dan luar perpustakaan UNILA serta jurnal-jurnal
terakreditasi.
3.3 Langkah-langkah Penelitian
Langkah – langkah yang digunakan dalam peelitian ini adalah :
1. Mempelajari konsep limit dan derivatif fungsi – fungsi bernilai real 2. Menyelidiki konsep – konsep limit dan derivatif bernilai vektor
MENGESAHKAN
1. Tim Pembingbing
Ketua : Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. ………...
Sekretaris : Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. ………
Penguji
Bukan Pembimbing : Dra. Dorrah Azis, M.Si. ………
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Prof. Suharso, Ph.D.
NIP 19690530 199512 1 001
MOTTO
Ia membuat segala sesuatu indah pada waktunya
( Pengkhotbah 3 : 11a )
Karya ini ku persembahkan
Teruntuk :
Tuhan ku Yesus Kristus
yang selalu menuntun setiap langkahku dan yang selalu menjadi sahabat
sejatiku.
Bapak dan Mama-ku
Buat kasih sayang yang tak ternilai, kesabaran, nasehat, dan doa.
Ketiga adikku : Krista, Oki, Kiki
dan
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tanjung Beringin, Medan pada tanggal 4 Agustus 1989,
anak keempat dari tujuh bersaudara dari pasangan J. Sipakkar dan E. Tondang.
Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar di SD Inpres II Tanjung
Beringin yang diselesaikan pada tahun 2001, SLTP Negeri 2 Sumbul diselesaikan
pada tahun 2004, SMA Swasta Santo Thomas 3 Medan diselesaikan pada tahun
2007. Selanjutnya, penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampug pada
tahun 2007 melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB).
Pada masa perkuliahan, penulis pernah terlibat di kepanitiaan Unit Kegiatan
Mahasiswa Kristen (UKMK) dan Pelayanan Doa FMIPA. Pada bulan Juni,
penulis melaksanakan Praktek Kerja Lapangan (PKL) di PT. PLN (Persero)
SANWACANA
Terimakasih kepada Tuhan Yesus Kristus, untuk setiap kasih, berkat dan
pimpinan Nya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi yang
berjudul “ Limit dan Derivatif Fungsi –Fungsi Bernilai Vektor”.
Penelitian dan penulisan skripsi ini tidak akan terwujud tanpa adanya bantuan,
dukungan dan bimbingan dari semua pihak. Dalam kesempatan ini, penulis
menyampaikan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si. selaku dosen Pembimbing Utama,
untuk saran, kritikan, nasehat dan waktu demi terselesainya skripsi ini.
2. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si. selaku dosen Pembimbing Kedua,
untuk waktu, kritikan dan sarannya.
3. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku dosen Penguji dan Ketua Program
Studi Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, untuk masukan, kritikan
dan waktunya.
4. Ibu Dr. Ir. Netti Herawati, M.Sc. selaku dosen Pembimbing Akademik.
5. Bapak Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas MIPA Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D. selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
7. Bapak dan Mamak yang kukasihi, untuk doa, kasih sayang, dan segala
perjuangan yang diberikan demi terselesainya skripsi ini.
8. Keenam saudaraku yang kusayangi, untuk persaudaraan yang indah, suka
duka, doa dan dorongan semangatnya.
9. Teman seperjuangan, Benny Sianipar dan Ipip untuk kebersamaannya.
10.Teman – teman Animasi’07 , kakak/adik tingkat, Rechan dkk atas dukungan dan kebersamaannya.
11.Sahabat – sahabatku, Agung, Hent, Desi, Bety, Desme, Ester, Evlin, Eny, Leny, Riri dan boruku Santi atas persahabatan yang indah, dan juga Dora
C Pasaribu yang selalu mendorong semangatku.
12.Keluarga besar POMMIPA dan Perkantas untuk doa dan tuntunannya.
13.Aris, Ricardo, Ilong, Leo, Alex, Dongan, Gerobak Pasir FC.
14.Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu, yang telah
banyak membantu hingga skripsi ini dapat diselesaikan.
Penulis hanya dapat berdoa semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas segala
kebaikan yang telah diberikan. Semoga skripsi ini bermanfaat bagi kita semua.
Bandar Lampung, Mei 2012
LIMIT DAN DERIVATIF FUNGSI
–
FUNGSI
BERNILAI VEKTOR
Oleh
Ales Wanda S
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG
V. PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Konsep fungsi limit dan derivatif fungsi bernilai vektor dirancang serupa dengan
konsep limit dan derivatif fungsi real. Jika di dalam limit fungsi real
menggunakan nilai ”mutlak” { | |}, di dalam fungsi vektor menggunakan
”norm” {‖ ‖}.
�⃗ ∶ � ��, dengan �⃗ � = � � , � � , . . . , �
� � ��
i. Fungsi bernilai vektor �
�→��⃗ � = � , jika dan hanya jika untuk setiap
bilangan > 0 terdapat bilangan > 0 dan 0 < |� − �| < , sedemikian
sehingga
‖�⃗ � − � ‖ <
ii. Turunan fungsi � di titik �0 ∈ � didefenisikan sebagai
�⃗ � = ��→ �⃗ � + � − �⃗ ��
24 5.2 Saran
Dari penelitian yang telah dilakukan disarankan bagi penelitian selanjutnya untuk
