ABSTRACT
TESTING HYPOTHESIS AND CONFIDENCE INTERVAL RATIO OF LINEAR FUNCTION OF PARAMETERS
NESTED DESIGN THREE LEVEL
Ibnu Malik
Three level of nested design is an experimental design which has more than one size of experimental unit, and consist of at three factors. In general linear model three level of nested design can be written as , and the model is non full colomn rank. This type of condition in some model create a problem of estimation, namely the etimation parameter is not unique. Model Reduction Methods (MRM) is used to the transform non full rank model with contraint into full rank model and uncontraint. The aim of this research is (1) to transform non full rank model with contraint into full rank model and uncontraint, (2) to estimation parameter, (3) to testing hypotheses, (4) to determine confidence interval ratio of linear function of parameters, and (5) to do simulation using R programe. Based on the results, it can be concluded that (1) MRM is suitable being used to tranform non full rank model into full rank model, (2) the result of the simulation shows characteristic parameter is unbiased and has minimum variance, (3) in the testing hypotheses, the power is good and (4) Filler’s theorem can be used to determine confidence interval ratio of linear function of parameters.
ABSTRAK
UJI HIPOTESIS DAN INTERVAL KEPERCAYAAN RATIO FUNGSI LINEAR PARAMETER RANCANGAN NESTED TIGA LEVEL
Oleh Ibnu Malik
Rancangan nested tiga level merupakan suatu rancangan percobaan yang mempunyai lebih dari satu ukuran unit percobaan dan terdiri dari tiga faktor. Pada model linear umum rancangan nested tiga level dapat ditulis , dan model tersebut mempunyai kolom tak berperingkat penuh. Kondisi ini pada beberapa model menimbulkan masalah dalam pendugaan, yaitu pendugaan parameter tidak unik. Model Reduction Methods (MRM) dapat digunakan untuk mentransformasi model tak berpeingkat penuh dengan kendala menjadi model penuh dan tak terkendala. Tujuan dari penelitian ini adalah (1) mentransformasi model tak berpeingkat penuh dengan kendala menjadi model penuh dan tak terkendala, (2) menduga parameter, (3) menguji hipotesis, (4) menentukan interval kepercayaan dari ratio fungsi linear parameter, dan (5) melakukan simulasi menggunakan program R. Berdasarkan hasil tersebut dapat disimpulkan bahwa (1) MRM cocok digunakan untuk entransformasi model tak berpeingkat penuh dengan kendala menjadi model penuh dan tak terkendala (2) hasil simulasi menunjukan karakteristik penduga yang tak bias dan mempunyai varians minimum, (3) pada pengujian hipotesis, power yang dihasilkan baik dan (4) Teorema Fieller dapat digunakan untuk menentukan interval kepercayaan ratio dari fungsi linear parameter.
.
Kata Kunci : Model reduction methods, pendugaan parameter, pengujian hipotesis, ratio fungsi linear parameter
UJI HIPOTESIS DAN INTERV`AL KEPERCAYAAN RATIO FUNGSI LINEAR PARAMETER RANCANGAN NESTED TIGA LEVEL
Oleh : IBNU MALIK
Tesis
Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar Magister Sains
Pada
Jurusan Matematika Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
UJI HIPOTESIS DAN INTERVAL KEPERCAYAAN RATIO FUNGSI LINEAR PARAMETER RANCANGAN NESTED TIGA LEVEL
(Tesis)
Oleh : IBNU MALIK
MAGISTER MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Diagram rancangan Nested tiga level ... 7
Gambar 3.1 Digram metode penelitian ... 20
Gambar 4.1 Pendugaan parameter tau ... 46
Gambar 4.2 Pendugaan parameter tau .... 47
Gambar 4.3 Pendugaan parameter tau .... 47
Gambar 4.4 Pendugaan parameter beta ... 48
Gambar 4.5 Pendugaan parameter beta .. 48
Gambar 4.6 Pendugaan parameter beta .. 48
Gambar 4.7 Pendugaan parameter gamma 49
Gambar 4.8 Pendugaan parameter gamma 50
Gambar 4.9 Pendugaan parameter gamma 50
Gambar 4.10 Grafik nilai kuasa uji hipotesis 1 ... 54
Gambar 4.11 Grafik nilai kuasa uji hipotesis 2 ... 58
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.1 Kesalahan dalam pengujian hipotesis ... 17
Tabel 4.1 Hasil simulasi pendugaan parameter ... 43
Tabel 4.2 Nilai kuasa uji hipotesis 1 ... 51
Tabel 4.3 Nilai kuasa uji hipotesis 2 ... 55
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Allah SWT dan Sholawat kepada nabi Muhammad SAW atas
selesainya penyusunan tesis ini. Penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Mustofa Usman, Ph.D, selaku Dosen Pembimbing I atas kesabaran
dalam membimbing dan memberikan ide serta saran
2. Bapak Suharsono, Ph.D, selaku Dosen Pembimbing II atas bimbingan dan
dukungan dalam menyelesaiakan Tesis ini
3. Bapak Warsono, Ph.D, selaku Dosen Pembahas atas saran dan kritik untuk
memperbaiki Tesis ini
4. Bapak Tiryono Ruby, Ph.D, Bapak Dr. Muslim Ansori, Ibu Wamiliana, Ph.D,
dan Ibu Dr. Asmiati selaku Dosen-dosen pengampu mata kuliah Magister
Matematika atas ilmu yang telah diberikan
5. Rekan-rekanku Mas Rahman, Mba Ana, Pak Anton, Nurman, Pak Kris, Pak
Waryoto, Rini, Bu Dwi, Bu Herli, Bu Ade, Ayu, Viviana, Pak Fauzan, Suli,
Pak Permata, Pak Edi, Agus, Cut, Wahid, Bu Guiyana, Bu Ike dan Recand
Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan tesis ini masih terdapat kekurangan
dan kesalahan, saran dan kritik dari pembaca selalu kami harapkan.
Bandar Lampung, 22 Desember 2015 Penulis
MOTO
(٧
-
٥:الانشراح) ٧ ا
ا ن
ا
٥
ا ن
Artinya:
“ Maka sesungguhnya bersama kesulitan ada kemudahan. Sesungguhnya bersama
kesulitan ada kemudahan. Maka apabila kamu telah selesai (dari sesuatu urusan),
PERSEMBAHAN
Dengan segenap rasa syukur, kupersembahkan karya ini untuk:
1. Orang tuaku (Samingun - Siti Nafisah) dan (HM. Sholehan - Hj. Rohmatun)
2. Istri ku tercinta (Rosidatul Munawaroh)
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Pringsewu pada tanggal 14 Juli 1985 yang merupakan
anak ke tiga dari empat bersaudara dari pasangan Bapak Samingun dan Ibu
Siti Nafisah.
Pendidikan formal yang ditempuh penulis adalah menyelesaikan Sekolah
Dasar di SD Negeri 3 Candiretno tahun 1998, MTs Raudlatul Munawaroh
Pagelaran tahun 2001, SMA Negeri 1 Pringsewu tahun 2004 dan
menyelesaikan pendidikan Strata Satu (S1) di STKIP Muhammadiyah
Pringsewu tahun 2008. Tahun 2013 penulis melanjutkan pendidikan Starata
Dua (S2) pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Program
studi Magister Matematika di Universitas Lampung.
Pada tahun 2006 sampai 2009 penulis memulai pengalaman sebagai pendidik
di SD Negeri 2 Babakan, tahun 2007 sampai 2009 sebagai pendidik d SMP
Negeri 2 Ambarawa dan di STKIP Muhammadiyah Pringsewu tahun 2009
sampai 2010. Pada saat ini penulis masih aktif sebagai pendidik di SMK
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR DAFTAR TABEL
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Batasan Masalah ... 2
1.3 Tujuan Penelitian ... 2
1.4 Manfaat Penelitian ... 3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Rancangan Nested Tiga Level ... 4
2.2 Model dan Asumsi ... 6
2.3 Produk Kroneker ... 7
2.4 Model Linear Umum ... 8
2.5 Teori Distribusi ... 9
2.6 Distribusi Bentuk Kuadratik ... 11
2.8 Metode Model Reduksi ... 14
2.9 Pengujian Hipotesis ... 15
2.10 Interval Kepercayaan ... 17
BAB III METODE PENELITIAN ... 19
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Transformasi Model ... 21
4.2 Pendugaan Parameter ... 30
4.3 Pengujian Hipotesis ... 33
4.4 Interval Kepercayaan ... 41
4.5 Hasil Simulasi ... 42
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan ... 63
5.2 Saran ... 63
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Model rancangan merupakan bentuk khusus dari model linear umum , akan tetapi matriks X tidak selalu dijumpai berperingkat penuh. Kondisi ini
menyebabkan pendugaan parameter tidaklah unik. Beberapa metode dapat
digunakan agar X berperingkat penuh antara lain mean model, reparameterisasi
dan model reduksi. Metode model reduksi (Model Reduction Methods ) yang
diberikan Hocking (1985) adalah mentranformasi model tidak penuh dengan
kendala menjadi model penuh dan tidak ada kendala.
Pada penelitian sebelumnya (Mustofa dkk, 2006) telah mendiskusikan
transformasi model terkendala menjadi tidak terkendala pada Two Way Treatment
Structure dengan interaksi menggunakan metode model reduksi Hocking(1985). Selanjutnya (Mustofa dkk, 2011) Mendiskusikan pendekatan untuk menganilisis
2
(2) melakukan pendugaan parameter, (3) melakukan pengujian hipotesis, (4)
menentukan interval kepercayaan dari ratio fungsi linear parameter, dan (5)
melakukan simulasi menggunakan program R versi 3.1.3.
1.2 Batasan Masalah
Batasan masalah dalam penelitian ini adalah
1. Pada penilitian ini dibatasi pada rancangan nested tiga level dengan efek tetap 2. Model Nested tiga level dengan efek tetap yang akan diteliti meliputi transformasi model tak penuh dengan kendala menjadi model penuh tanpa kendala, pendugaan parameter, pengujian hipotesis, dan menentukan interval kepercayaan dari ratio fungsi linear parameter
3. Simulasi yang digunakan menggunakan bahasa R versi 3.1.3 dengan a = 3,
b = 4, c = 3 sedangkan n = 2, n = 10 dan n = 30.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah
1. Mentransformasi model tak penuh dengan kendala menjadi model penuh tanpa kendala pada model nested tiga level dengan efek tetap
2. Menduga parameter pada model nested tiga level dengan efek tetap
3
4. Menentukan interval kepercayaan ratio fungsi linear parameter pada model
nested tiga level dengan efek tetap
5. Melakukan simulasi menggunakan program R versi 3.1.3
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini antara lain :
1. Memberikan cara-cara mentranformasi model tidak penuh dengan kendala
menjadi model penuh tidak terkendala pada rancangan nested tiga level dengan efek tetap
2. Memberikan cara-cara melakukan pendugaan parameter, pengujian hipotesis
dan menentukan interval kepercayaan ratio fungsi liner parameter pada rancangan nested tiga level dengan efek tetap
3. Memberikan cara-cara melakukan simulasi menggunakan program R versi
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
Dalam penelitian ini akan didiskusikan tentang transformasi model tak penuh
dengan kendala menjadi model penuh tanpa kendala, pendugaan parameter,
pengujian hipotesis dan selang kepercayaan rasio fungsi linear parameter. Untuk
itu, penulis menggunakan beberapa definisi dan teorema-teorama yang berkaitan
dengan hasil yang ingin dicapai.
2.1 Rancangan Nested Tiga Level
Definisi 2.1
Rancangan percobaan (Experimental Design) merupakan hal yang berhubungan
dengan perencanaan penelitian untuk mendapatkan informasi maksimum dari
bahan-bahan yang tersedia.
(Miliken dan Johnson 1997 hal. 47)
5
arrangement treatment structure, dan Factorial arrangement with one or more controls. Sedangkan stuktur rancangan pada rancangan percobaan merupakan pengelompokan unit percobaan dalam kelompok-kelompok yang homogen. Struktur rancangan juga terdiri atas beberapa jenis yaitu Completely randomized design, Randomized complete block design, Latin square design, Incomplete block
designs dan Various combinations and generalizations.
Pengaruh tersarang (nested) dapat terjadi pada kedua struktur baik dalam struktur rancangan maupun struktur perlakuan. Kejadian menyarang pada struktur rancangan harus terdapat lebih dari satu ukuran unit percobaan di mana unit percobaan yang kecil tersarang dalam unit percobaan yang besar. Unit percobaan atau satuan percobaan adalah satuan bahan atau tempat dilaksanakannya setiap perlakuan yang akan dicobakan. Sedangkan kejadian menyarang pada struktur perlakuan harus terdapat dua faktor atau lebih. Faktor merupakan sesuatu yang akan dilihat pengaruhnya, faktor-faktor tersebut memungkinkan mempunyai efek tetap, acak maupun campuran. Menurut Miliken dan Johnson jika semua faktor pada struktur perlakuan mempunyai efek tetap maka disebut dengan model tetap atau model efek tetap (fixed effect).
Misalkan ada tiga faktor (faktor A, B dan C) di mana unit percobaan faktor C lebih kecil dari faktor B dan unit percobaan faktor B lebih kecil dari faktor A. Jika faktor A terdiri dari a buah, faktor B terdiri dari b buah, faktor C terdiri dari c
6
2.2 Model dan Asumsi
Model rancangan nested tiga level dapat diparameterkan sebagai berikut :
{
(2.1)
Di mana adalah nilai pengamatan dari faktor A ke-i, faktor B ke-j, faktor C
ke-k dan pengulangan ke-l, adalah nilai tengah keseluruhan, adalah efek
faktor A ke-i, adalah efek faktor B ke-j pada faktor A ke-i, adalah
efek faktor C ke-k pada faktor B ke-j dan pada faktor A ke- i, dan adalah
galat dari faktor A ke-i, faktor B ke-j, faktor C ke-k dan pengulangan ke-l.
Dalam penelitian ini dipilih model efek tetap sehingga asumsi yang harus
dipenuhi dalam model efek tetap adalah :
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑ (2.2)
7
Model (2.1) dapat dijelas dengan gambar berikut :
Gambar 2.1
2.3 Produk Kroneker
Matriks pada model rancangan mempunyai pola tertentu dan biasanya berukuran
besar sehingga kurang efektif dalam penulisan maupun perhitungannya. Produk
kroneker merupakan cara menuliskan matriks dalam bentuk yang lebih sederhana.
Definisi 2.2
Jika A adalah matriks berukuran r x s, dengan adalah unsur ke-ij dengan
i=1,2,....,r dan j=1,2,...,s; B adalah matriks t x v maka Produk kroneker
dilambangkan dengan AB adalah matriks berukuran rt x sv dengan mengalikan
8
Jika dan masing-masing merupakan matriks idenstitas berorde a dan b maka
2.4 Model Linear Umum
Definisi 2.3
Misal Y adalah vektor peubah acak n x 1 yang teramati; X adalah matriks n x p
dengan unsur-unsurnya adalah bilangan tertentu yang diketahui; adalah
vektor parameter p x 1 yang tidak diketahui nilainya; adalah vektor peubah acak
n x 1 yang tidak teramati, dengan dan . Misalkan hal ini kita hubungkan menjadi
9
Secara khusus persamaan (2.4) dinamakan model linear umum.
(Graybill 1976, hal. 171 )
Pada model (2.1) jika peringkat atau rank dari matriks X sama dengan jumlah kolomnya, maka modelnya dinamakan berperingkat penuh (full rank model) dan
jika peringkat matriksnya tidak penuh maka modelnya dinamakan model tidak
penuh.
2.5 Teori Distribusi
Definisi 2.4
Peubah acak tunggal X didefinisikan mempunyai distribusi normal univariat
dengan mean dan varians , jika dan hanya jika fungsi kepekatan peluang atau
probability density function (pdf) dari X adalah
√ (2.5)
(Graybill 1976, hal. 95)
Definisi 2.5
Peubah acak univariat Z didefinisikan mempunyai distribusi normal standar univariat jika dan hanya jika fungsi kepekatan peluang dari Z adalah
√ (2.6)
10
Definisi 2.6
Jika dan berdistribusi N(0,1) maka vektor
dengan G adalah matriks nonsingular n x n dan adalah vektor konstan n x 1.
Maka distribusi gabungan vektor acak n x 1 Y adalah
| | ( ) (2.7)
dengan . Fungsi adalah fungsi distribusi normal multipeubah dari
peubah acak Y n x 1 dengan nilai tengah dan matriks varians-kovarians definit
positif . Selanjutnya dilambangkan dengan
Y berdistribusi
(Mustofa dan Warsono 2009, hal 95)
Definisi 2.7 mempunyai distribusi chi kuadrat dengan derajat bebas n.
11
Berdistribusi F dengan derajat bebas n1 dan n2
Bukti (lihat Graybill 1976, hal 128)
2.6 Distribusi Bentuk Kuadratik
Definisi 2.9
Misalkan A adalah matriks k x k dan [ ] adalah vektor kolom k x1 dari peubah real. Maka bentuk dinamakan bentuk kuadratik dalam Y dan A dinamakan matriks bentuk kuadratik (quadratik form).
(Myers dan Milton , hal. 44)
Teorema 2.7
Misal vektor acak Y n x 1 berdistribusi . Misal A matriks simetrik n x n
maka berdistribusi jika dan hanya jika A adalah matriks
idempoten berperingkat p.
12
Teorema 2.8
Misal vektor acak Y n x 1 berdistribusi . Misal A matriks simetrik n x n.
Maka berdistribusi jika dan hanya jika AV matriks
idempoten berperingkat p.
Bukti (lihat Myers dan Milton 1991, hal. 62)
Akibat 2.8.1
Misal vektor acak Y n x 1 berdistribusi . Maka berdistribusi
Bukti (lihat Graybill 1976, hal. 127)
Teorema 2.9
Jika vektor acak Y n x 1 berdistribusi dengan mempunyai peringkat n.
Jika A B=0 maka dua bentuk kuadratik dan independen.
Bukti (lihat Graybill 1976, hal 139)
2.7 Pendugaan Parameter
Salah satu bentuk inferensia statistika (pengambilan kesimpulan) terhadap
parameter populasi adalah estimasi (dugaan). Dalam estimasi yang dilakukan
adalah menduga/memperkirakan parameter dengan penduga yang sesuai
13
Definisi 2.10
Misal Y1, Y2, ..., Yn adalah sampel pengamatan dengan pdf .
Misalkan t(Y) adalah penduga untuk c(θ) maka t(Y) didefinisikan sebagai Penduga varians minimum takbias seragam atau Uniformly Minimum Variance Unbiased Estimator (UMVUE) untuk c(θ) jika dan hanya jika t(Y) memenuhi (1) dan (2)
dibawah ini untuk semua dalam
1. [ ] , yaitu t(Y) penduga takbias dari c(θ)
dengan metode kuadrat terkecil untuk dan adalah
̂
̂ [ ]
Bukti (lihat Graybill 1976, hal. 217)
Teorema 2.11 (Gauss Markov)
Misal dimana X adalah matriks n x (k+1) berperingkat penuh, adalah vektor parameter tidak diketahui (k+1) x 1, dan adalah vektor acak n x 1
dengan mean 0 dan varians Penduga kuadrat terkecil ̂ merupakan penduga
linear terbaik tak bias bagi .
14
2.8 Metode Model Reduksi
Dalam desain model, tidak selalu dijumpai bahwa matriks X berperingkat penuh.
Kondisi ini menyebabkan pendugaan parameter tidaklah unik. Oleh karena itu,
ada beberapa metode yang dapat digunakan agar X berperingkat penuh antara lain
model reduksi.
Misalkan ditetapkan model terkendala sebagai berikut :
(2.10)
Kendala G = g
dengan Y adalah n vektor pengamatan, X adalah desain matriks berukuran n x p dengan peringkat q dan q < p, adalah p vektor parameter yang tidak diketahui, adalah n vektor error yang berdistribusi normal dengan vektor mean 0 dan varians
, dan G adalah matriks p x q berperingkat q.
Pertama, definisikan permutasi matriks T sedemikian rupa sehingga
15
Asumsikan bahwa θ1 dan G1 dapat dipartisi sehingga kendala dapat ditulis :
g
dengan adalah matriks berukuran q x q berperingkat q. Penyelesaian untuk
adalah
g
Selanjutnya partisikan matriks X1 , menjadi [ ] dan subtitusikan ke
dalam (2.11) sehingga diperoleh
(2.12)
Dengan g; [ ]; dan
Model (2.13) disebut dengan model tak terkendala berperingkat penuh
(Hocking, 1985)
2.9 Pengujian Hipotesis
Definisi 2.11
Pada model linear umum, bentuk umum hipotesis ditetapkan sebagai
dengan adalah himpunan persamaan yang konsisten, H adalah matriks q x p berperingkat q, vektor parameter p x1 dan vektor q x1.
16
Hipotesis yang akan diuji dilambangkan dengan H0 (hipotesis nol) dan disertai
dengan Ha (hipotesis alternatif). Hipotesis alternatif otomatis tidak ditolak jika
hipotesis nol ditolak.
Teorema 2.12
Dalam model linear umum dan berdistribusi , adalah
statistik uji Generalized Likelihood Ratio (GLR) untuk menguji hipotesis
dengan alternatif
Uji GLR dengan taraf signifikansi sebagai berikut : tolak H0 jika dan hanya jika
memenuhi dengan adalah titik kritis dengan peluang
dari distribusi F dengan derajat bebas q dan n-p.
17
Dalam membuat keputusan pada pengujian hipotesis kemungkinan terjadi suatu
kesalahan. Terdapat dua macam kesalahan yaitu kesalahan tipe I dan kesalahan
tipe II, untuk lebih jelas disajikan pada tabel berikut :
Tabel 2.1 Kesalahan dalam pengujian hipotesis
H0benar H0salah
Tidak menolak H0 Keputusan benar
keputusan tersebut disebut sebagai kuasa uji. Sehingga kuasa uji adalah peluang
menolak H0 dimana H0 salah.
2.10 Interval Kepercayaan
Interval kepercayaan merupakan kisaran nilai yang dibuat dari data sampel
dimana parameter populasi cenderung dalam kisaran tersebut dengan probabilitas
yang spesifik. Interval kepercayaan tersebut mencangkup batas dari nilai kisaran
yang terdiri dari batas atas maupun batas bawah. Penelitian Zerbe (1978)
menunjukan penggunaan teorema Fieller dalam model linear umum untuk
menghitung batas kepercayaan (batas bawah dan batas atas ) dari ratio fungsi
linear parameter. Syarat keberlakuan dari penelitian tersebut adalah model (2.4)
18
Misalkan akan di bangun batas kepercayaan untuk rasio
(2.16)
dengan K dan L merupakan vektor konstanta p x 1 yang diketahui.
̂ ̂
[ { } ] (2.17)
mempunyai distribusi t-student dengan derajat bebas n-p.
batas kepercayaan untuk dapat ditentukan dengan argumen
Untuk membuktikan (2.19) – (2.21) lihat (Mustofa 2006, hal.35)
19
III. METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan adalah
1. Rancangan Nested tiga level dengan model fixed effect dibuat dalam bentuk
model linear umum
2. Jika model penuh dan tidak ada kendala maka memenuhi asumsi untuk
melakukan pendugaan parameter, pengujian hipotesis dan interval
kepercayaan dari ratio fungsi linear parameter
3. Jika model tidak penuh dan terkendala maka dilakukan reduksi dengan
menggunakan metode model reduksi Hocking (1985) sehingga menjadi
model penuh dan tidak ada kendala
4. Melakukan pendugaan parameter dengan teorema Gauss-Markov
5. Melakukan pemeriksaan karakteristik penduga parameter dengan UMVUE
6. Pengujian hipotesis dengan menggunkan uji Generalized Likelihood Ratio
7. Menentukan interval kepercayaan dari ratio fungsi linear parameter dengan
teorema Fieller
8. Melakukan simulasi dengan program R versi 3.1.3 pada model penuh untuk
pendugaan parameter, pengujian hipotesis dan menentukan interval
20
Metode penelitian dapat dijelaskan dengan gambar berikut :
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1Kesimpulan
1. Metode Model Reduksi Hocking (1985) dapat digunakan untuk
mentransformasi model tak penuh dengan kendala menjadi model penuh
tidak terkendala pada rancangan Nested tiga level dengan model fixed effect
2. Pendugaan parameter pada Model penuh dari rancangan Nested tiga level dengan model fixed effect mempunyai karakteristik penduga tak bias dan varians minimum.
3. Pada pengujian hipotesis, kuasa uji (power test) yang dihasilkan baik..
4. Teorema Fieller dapat digunakan untuk menentukan interval kepercayaan dari
rasio fungsi linear parameter
5.2Saran
1. Melakuan analisis rancangan Nested tiga level dengan model fixed effect menggunakan mean model ataupun reparameterisasi
2. Meningkatkan level rancangan Nested
3. Mengubah efek tetap menjadi efek acak ataupun campuran
4. Menerapkan metode model reduksi Hocking (1985) pada model rancangan
DAFTAR PUSTAKA
Clarke, B.R. 2008. LINEAR MODELS: The Theory and Application of Analysis of Varians. Perth : John Wiley & Sons
Graybill, F.A. 1976. Theory and Aplication of the Linear Model. California: Wadsworth & Books.
Hocking, R.R. 1985. The Analysis of Linear Model. California: Cole Publishing Company.
Miliken, G.A dan Johnson, D.E. 1992. Analysis of Messy Data, Volume I: Design Experiment. London: Chapman & Hall.
Mustofa, U., F.A.M. Elfaki, J.I. Daoud, Raihan, O., dan A. Sidik . 2006. Transformation of A Contrained Model into Unconstrained Model in Two Way Treatment Structure with Interaction. Quantitative Methods. 29-36
Mustofa, U., P. Njuho, F.A.M. Elfaki dan J.I. Daoud. 2011. The Combination of several RCBDs. Australian Journal of Basic and Applied Sciences, 5(4): 67-75
Mustofa, U., F.A.M. Elfaki dan J.I. Daoud. 2013. Ratio of Linear Function of Parameters and Testing Hypothesis of the Combination Two Split Plot Design. Middle-East Journal of Scientific Research 13 (Mathematical Applications in Engineering): 109-115
Myers, R.H dan Milton, J.S. 1991. A Firs Course in the Theory of Linear , Model. Boston: PSW-Kent Publishing Co.
Pearson, E.S., dan Please, N.W. (1975). Relation beetwen the shape of population distribution and the robustness of four simple test statistics. Biometrika, 62, p.223-241
