Pendugaan parameter model hidden markov

(1)

PENDUGAAN PARAMETER MODEL

HIDDEN

MARKOV

LINDA KRISTINA

G54101021

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

K arya kecil ini saya persembahkan untuk Bapak, Emih, I bu, K akak, Adik dan

K eponakan. Terima kasih unt uk semua kebahagiaan yang t ercipt a selama ini.

(3)

RINGKASAN

Linda Kristina. Pendugaan Parameter Model Hidden Markov. Dibimbing oleh Berlian Setiawaty dan I Gusti Putu Purnaba

Model hidden Markov merupakan bentuk khusus dari rantai Markov. Model hidden Markov terdiri dari pasangan state yang tidak diamati secara langsung dan observasi.

Dalam karya ilmiah ini dibahas karya ilmiah ini membahas mengenai pendugaan parameter model hidden Markov yang akan memaksimumkan peluang dari suatu kejadian, serta dilakukan analisis terhadap faktor-faktor yang mempengaruhi parameter model hidden Markov. Untuk itu didefinisikan ukuran peluang baru yang dibatasi oleh turunan Radon-Nikodym

Dengan menggunakan turunan Radom-Nikodym, diperoleh penduga untuk state, penduga untuk banyaknya loncatan dari state tertentu ke state yang lain, penduga lamanya waktu rantai Markov berada pada suatu state tertentu, serta penduga untuk proses pengamatan.

Pendugaan parameter model hidden Markov diperoleh melalui reestimasi parameter. Metode yang digunakan untuk me-reestimasi parameter adalah algoritma EM (Expectation Maximization). Dengan menggunakan algoritma EM dan turunan Radon-Nikodym diperoleh pendugaan parameter model hidden Markov yang maksimum.

(4)

PENDUGAAN PARAMETER MODEL

HIDDEN

MARKOV

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

Pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Oleh :

LINDA KRISTINA

G54101021

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

Judul : Pendugaan Parameter Model Hidden

Markov

Nama : Linda Kristina

Nrp

: G54101021

Menyetujui

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Berlian Setiawaty, MS

Dr.Ir. I G. Putu Purnaba DEA

NIP 131835248

NIP 131878945

Mengetahui

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS

NIP. 131473999

(6)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Majalengka pada tanggal 21 Januari 1983 dari pasangan Hayyun A. R dan Euis Supartini. Penulis merupakan putri kedua dari tujuh bersaudara.

Pada tahun 2001, penulis lulus dari SMUN 1 Majalengka dan pada tahun yang sama diterima di IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis terdaftar sebagai mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

(7)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya yang telah diberikan kepada penulis. Rahmat dan salam semoga tercurah untuk nabi akhir zaman, yakni Muhammad saw, keluarga, sahabat dan umatnya sampai akhir zaman.

Dalam penulisan karya ilmiah ini, penulis mengucapkan terima kasih kepada

1. Dr. Berlian Setiawaty, MS selaku pembimbing I atas bimbingan, saran dan kesabarannya. Dr.Ir. I G. Putu Purnaba DEA selaku pembimbing II atas segala saran dan kritikannya yang membuat penulis bisa lebih memahami karya ilmiah yang ditulis. Ir. Retno Budiarti, MS selaku penguji.

2. Bapak, Emih dan Ibu atas semua kasih sayang, kepercayaan dan hari-hari yang indah yang telah diberikan sampai saat ini. Semoga Allah membalas semua kebaikan Bapak, Emih dan Ibu, serta mengumpulkan kita di surga di hari akhir nanti.

3. Teh Ida dan A Enjang, adik-adik serta keponakan penulis, Andri, Indri, Riska, Randi, Irfan, Puspa dan Haekal untuk semua keceriaan dan kegaduhan yang kalian buat di rumah. Walaupun kalian nakal dan bandel, kalian adalah orang-orang yang paling dirindukan. 4. Untuk anggota-7: Devi yang selalu menemani saya di saat suka maupun duka, Yana yang

selalu pengertian tapi ceroboh, Atin yang selalu ceria dan tegar walaupun cerewet, Evi yang sekarang jauh di Kalimantan, Ratna yang tenang dan perhatian, serta Sugeng yang bijak. 5. Teman-teman seperjuangan, Matematika-38. Terima kasih untuk semua kebersamaan selama

penulis berada di Departemen Matematika.

6. Erra, Meryaldi dan Lisa yang telah bersedia menjadi pembahas.

7. Ibu Susi, Ibu Ade, Ibu Marisi, Mas Yono, Mas Bono, Mas Deni yang telah banyak membantu penulis di bidang akdemik

8. Serta semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.

(8)

I.

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Pada kehidupan sehari-hari, banyak kejadian yang bersifat stokastik. Setiap kejadian terkait erat dengan penyebab kejadian, hanya saja terkadang penyebabnya tidak diamati secara langsung. Penyebab kejadian bisa membentuk berbagai model matematis, diantaranya model rantai Markov. Pasangan kejadian dan penyebabnya disebut dengan model hidden Markov.

Model hidden Markov ini sudah banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu, salah satunya yaitu di bidang telekomunikasi. Contohnya yaitu transnisi siaran radio yang ditransmisikan pada channel komunikasi yang sibuk. Penggunaan model hidden Markov di bidang telekomunikasi ini telah dikembangkan oleh Rabiner, 1989. Selain telekomunikasi, model

hidden Markov juga dikembangkan dalam bidang ekonomi, biologi dan lain sebagainya.

Model hidden Markov dibangun oleh parameter-parameter yang akan digunakan untuk memprediksi kejadian di masa yang akan datang. Berdasarkan data-data yang diperoleh, maka dapat diduga parameter dari model hidden Markov.

Salah satu metode yang digunakan untuk menduga parameter model hidden Markov adalah algoritma EM (Expectation Maximization). Dengan algoritma EM, diharapkan akan diperoleh pendugaan parameter yang akan memaksimumkan prediksi terhadap kejadian di masa yang akan datang.

Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah menentukan parameter yang akan memaksimumkan peluang suatu kejadian berdasarkan barisan kejadian sebelumnya dengan men ggunakan algoritma EM (Expectation Maximization).

II. LANDASAN TEORI

2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang

Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang biasanya dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan semacam ini, yang dapat diulang dalam kondisi yang sama disebut percobaan acak.

[Hogg dan Craig, 1995]

Definisi 1.1 (Ruang Contoh dan Kejadian)

Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari Ω.

[Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 1.2 (Medan-σ )

Medan-σ adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian

ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi berikut:

1.φ∈F,

2.Jika A1,A2,K∈F maka ∈F

∞

= U

1

i i

A , 3.Jika A∈F makaAc∈F .

Definisi 1.3 (Ukuran Peluang)

Misal F

adalah m edan-

σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi

[ ]

0,1 :F →

P pada

(

Ω,F

)

yang memenuhi: 1. P

( )

φ =0, P

( )

Ω =1,

2. Jika A1,A2,K∈F adalah himpunan

yang saling lepas yaitu A_iIA_j ₌_φ

(9)

( )

∑ =   

 ∞

= ∞

=1 i1 i

i i

A P A

P U .

Pasangan

(

Ω,F,P

)

disebut ruang peluang. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]

Definisi 1.4 (Kejadian Saling Bebas)

Misal

(

Ω,F,P

)

ruang peluang

danA,B∈F . Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika

(

A B

) ( ) ( )

P A PB

P I = . .

Misal I adalah himpunan indeks. Himpunan kejadian

{

A_i,i∈I

}

dikatakan saling bebas jika

( )

∏ =    

∈

∈J i J i

i i

A P A P I

untuk setiap himpunan bagian berhingga J

dar i I.

Teorema 1.5 (Teorema Bayes)

Misal

(

Ω,F,P

)

ruang peluang dan

F

∈ i

C

,

i=1,2,..,k

. Misalkan kejadian C

terjadi hanya dengan salah satu kejadian C_i. Maka peluang bersyarat dari Cj setelah

diketahui C adalah

( )

∑

=

= ∩

= _k

i i i

j j j

j

C C P C P

C C P C P C

P C C P C C P

1

) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) (

[bukti lihat Hogg dan Craig, 1992]

Teorema 1.6 (Peluang Bersyarat Dari Dua Kejadian Saling Bebas)

Misal

(

Ω,F,P

)

ruang peluang

danA,B∈F . Jika A dan B merupakan kejadian yang saling bebas, maka peluang bersyarat dari A setelah diketahui B adalah

( )

AB P

( )

A

P = .

Teorema 1.7 (Absolut Kontinu)

Jika v dan µ merupakan ukuran peluang pada

(

Ω,F

)

. Ukuran peluang v dikatakan absolut kontinu ke ukuran peluang µ jika

0 = A

µ maka vA=0, untuk setiap A∈F. Dinotasikan v<<µ

[Royden, 1963]

Teorema 1.8 (Radon-Nikodym)

Jika P dan _P merupakan dua ukuran peluang pada

(

Ω,F

)

sehingga untuk setiap

F

∈

B , P

( )

B =0 menyebabkan P

( )

B =0, akibatnya ada peubah acak tak-negatifΛ, sehingga

( )

=

∫

Λ

C

dP C

P untuk semua

F

∈

C . Dinotasikan dP/dP _F=Λ.

[Bukti lihat Wong dan Hajek, 1985]

2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran

Definisi 2.1 (Peubah Acak)

Misal F adalah m edan-σ dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X:Ω→ℜ dengan sifat

( )

{

ω∈Ω;Xω ≤x

}

∈F, untuk setiap x∈ℜ. [Grimmett dan Stirzaker, 1992]. Peubah acak dinotasikan dengan huruf besar seperti X,Y,Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x,y,z.

Definisi 2.2 (Fungsi Sebaran)

Misal

(

Ω,F,P

)

ruang peluang. Fungsi sebaran dari peubah acak X adalah suatu fungsi F:ℜ→

[ ]

0,1 yang didefinisikan oleh

( ) (

x P X x

)

FX = ≤ .

[Grimmett dan Stirzaker, 1992].

Definisi 2.3 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terhitung dari ℜ.

Catatan:

Suatu himpunan bilangan C disebut terhitung jika C terdiri atas bilangan berhingga anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.

Definisi 2.4 (Fungsi Kerapatan Peluang)

Misal

(

Ω,F,P

)

ruang peluang. Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret

X adalah fungsi p:ℜ→

[ ]

0,1 yang diberikan oleh

( ) (

x P X x

)

p_X = = .

(10)

, ) ( )

(x f u du F

x X X = ∫

∞

− ∈ℜ

x , dengan f :ℜ→

( )

0,∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f dikatakan fungsi kepekatan peluang dari peubah acak X

Definisi 2.6 (Fungsi Sebaran Bersama Dua Peubah Acak)

Fungsi sebaran bersama dari dua peubah acak X dan Y adalah suatu fungsi

[ ]

0,1 :ℜ→

F yang didefinisikan oleh

( ) (

x y P X xY y

)

F , = ≤ , ≤ .

Definisi 2.7 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersama dan Fungsi Kepekatan Peluang Marjinal)

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu, maka fungsi kepekatan peluang bersama dari X dan Y adalah fungsi yang didefinisikan oleh

y x

y x F fX Y

∂ ∂ ∂ = 2 ( , ) dan

dx y x f y

fY( )= ∫ XY( , )

∞ ∞ −

adalah fungsi kepekatan peluang marjinal dari peubah acak Y.

Definisi 2.8 (Fungsi Kepekatan Peluang Bersyarat)

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang marjinal fY(y)>0, maka fungsi kerapatan peluang bersyarat dari X dengan syarat

y Y= adalah

) (

) , ( ) (

y f

y x f y x f

Y XY Y

X =

dengan f_XY fungsi kepekatan peluang bersama dari X dan Y.

Definisi 2.9 (Nilai Harapan)

Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang p_X

( ) (

x =P X =x

)

maka nilai harapan dari X adalah

[ ]

=∑

( )

x X

x p x X

E ,

asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. [Hogg dan Craig, 1995]

Definisi 2.10 (Nilai Harapan)

Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang fX(x) maka nilai harapan dari X adalah

[ ]

X xf x dx E = ∫ X( )

∞ ∞ −

, asalkan integralnya ada.

Definisi 2.11 (Nilai Harapan Bersyarat)

Jika X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan f_X_Y

( )

xy adalah fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat

y

Y= , maka nilai harapan dari X dengan syarat Y=y adalah

[

XY y

]

xf xy dx E = = ∫ XY( )

∞ ∞ −

. [Hogg dan Craig, 1995]

Definisi 2.12 (Nilai Harapan Bersyarat)

Misal

(

Ω,F,P

)

ruang peluang dan A sub-medan-σ dariF

.

Jika X peubah acak tak

negatif dan terintegralkan maka E

( )

X A

didefinisikan sebagai peubah acak yang terukur-A dan bersifat tunggal kecuali pada kejadian peluang nol, serta memenuhi

[ ]

∫ = ∫

A A

dP X E dP

X A , ∀A∈A

[Elliot, Lakhdar dan Moo re, 1995]

Lemma 2.13 (Penentuan Nilai Harapan melalui Nilai Harapan Bersyarat)

Jika X dan Y adalah peubah acak, maka nilai harapan dari X dapat ditentukan lewat nilai harapan X dengan syarat Y sebagai berikut:

[ ]

X E

[

E

[ ]

XY

]

E = .

Lemma 2.14 (Ragam dari Fungsi Linear)

Misalkan X_i peubah acak dengan rataan i

µ dan ragam σ_i2, i=1,2,...,k. Jika k

X X

X₁, ₂,L, saling bebas dan k

c c

c1, 2,L, adalah konstanta, maka rataan dan ragam dari fungsi linear

k kX

c X

c X c

Y= ₁ ₁+ ₂ ₂+L+ adalah

∑

= = k i

i i

Y c

1

µ µ

dan

∑

=

= k i

i i

Y c

1 2 2

2 _σ

σ

(11)

Lemma 2.15

Misalkan X peubah acak dari sebaran normal baku, X ~N(0,1), maka Y=aX adalah peubah acak sebaran normal dengan rataan nol dan ragam _a2_, _aX _~_N₍₀_,_a2₎_,

dan Y=aX+b adalah peubah acak sebaran normal dengan rataan b dan ragam a2,

) , ( ~N b a2 b

aX+ .

[bukti lihat Hogg dan Craig, 1992]

2.3 Rantai Markov

Definisi 3.1 (Ruang State)

Misalkan _S_⊂_ℜN_,_N_∈_Ν_{, merupakan nilai} dari barisan peubah acak, maka S disebut

ruang state

[Grimmett dan Stirzaker, 1992

Definisi 3.2 (Proses Stokastik)

Proses Stokastik {Xk:k∈Ν} yang terdefinisi pada ruang peluang

(

Ω,F,P

)

adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke ruang state S .

[Ross, 1996]

Definisi 3.3 (Rantai Markov dengan Waktu Diskret)

Misal

(

Ω,F,P

)

ruang peluang dan S ruang state . Proses stokastik {Xk:k∈Ν} dengan ruang state S=

{

e1,e2,K,e_N

}

, disebut

Rantai Markov dengan waktu diskret jika untuk setiap k = {0, 1,....} berlaku

) ,

, ,

(X ₁ jX i X ₁ i ₁ X₀ i₀ P _k₊ = _k = _k₋ = _k₋ L =

) (X ₁ jX i P _k = _k =

= ₊

untuk semua kemungkinan nilai dari S

j i i i

i0,1,L,k−1, , ∈ .

Definisi 3.4 (Matriks Transisi)

Misalkan {Xk :k∈Ν} rantai Markov dan S ruang state yang berukuran N. Matriks transisi P=

( )

pji berukuran N x N adalah

matriks dari peluang transisi

(

X jX i

)

P

p_ji= _k₊₁= _k = untuk i,j=1,2,..., N

Definisi 3.5 (Rantai Markov yang Homogen)

Rantai Markov

{ }

X_k disebut homogen jika

ji k

k jX i P X jX i p

X

P( ₊ = = )= ( = = )=

0 1 1

untuk semua k∈N dan i,j∈S

Definisi 3.6 (Martingale)

Proses Stokastik {Xk:k∈Ν}disebut proses

Martingale jika

[ ]

Xk <∞ E

untuk semua k dan

[

Xk X X Xk

]

Xk

E ₊1 1, 2,L, =

[Ross, 1996]

Definisi 3.7 (Inkremen Bebas dan Inkremen Stasioner)

1) Suatu proses stokastik {X_k:k∈Ν} dengan waktu kontinu disebut

inkremen bebas jika untuk semua k

k k

k

k₀< ₁< ₂<L< peubah acak 1

0

1− k , , kt − kt−

k X X X

X L adalah

bebas.

2) Suatu proses stokastik {X_k:k∈Ν} dengan waktu kontinu disebut memiliki

inkremen stasioner jika X_k₊_l−X_k

memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai k,l∈Ν

Definisi 3.8 (Filtrasi)

Misalkan G=

{

G0,G1,K

}

merupakan

barisan submedan -σ dari F, G disebut

filtrasi jika G_k ⊆G_k₊₁ untuk semua k∈N [Grimmett dan Stirzaker, 1992].

Definisi 3.9 (Measurable/ terukur)

Misal

(

Ω,F,P

)

ruang peluang. Jika

( )

{

ω∈Ω;Xω ≤x

}

∈F untuk setiap x∈ℜ maka X dikatakan terukur-F

Definisi 3.10 ( Adapted)

Misal

(

Ω,F,P

)

ruang peluang. Barisan peubah acak X =

{

Xk:k∈Ν

}

dikatakan

adapted ke filtrasi F jika X_k merupakan

terukur-F

untuk semua

k

Defnisi 3.11 ( Predictable )

(12)

filtrasi F_k jika

{ }

Φ_k adalah terukur-F_k₋₁

untuk setiap k∈N.

[Elliot, Lakhdar dan Moore, 1995]

2.4 Ruang Perkalian Dalam

Definisi 4.1 (Ruang Vektor)

V disebut ruang vektor, jika untuk setiap vektor u,v,w∈V dan sebarang skalar k dan

l dipenuhi aksioma berikut: 1. Jika u,v∈V, maka u+v∈V 2. u+v=v+u

3. u+(v+w)=(u+v)+w

4. Ada 0∈V sehingga 0+u=u+0=u, V

u∈ ∀

5. Untuk ∀u∈V, ada −u∈Vyang dinamakan negatif u sehingga

0 ) ( )

(− = − + =

+ u u u

u

6. jika k adalah sebarang skalar dan V

u∈ , maka k u∈V 7. k(u+v)=k u+k v 8. (k+l)u =k u+lu 9. k(lu)=(k l)u 10. 1u=u

[H. Anton,1997]

Definisi 4.2 (Perkalian Dalam)

Jika u=

(

u1,u2,Ku_n

)

dan v=

(

v1,v2,K,vn

)

adalah sebarang vektor pada ℜn, maka hasil kali dalam euclid u.v didefinisikan dengan

n nv u v u v u v

u. = ₁₁+ ₂ ₂+L+ . [H. Anton,1997]

Definisi 4.3 (Ruang Hasil Kali Dalam)

Sebuah hasil kali dalam pada ruang vektor real V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan real u,v dengan masing – masing pasangan vektor u dan v pada V

sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut dipenuhi untuk semua u,v,w∈V

skalar k.

1. u,v = v,u 2. u+v,w = u,w + v,w 3. k u,v =k u,v 4. v,v ≥0;dan v,v =0 jika dan hanya jika v=0

Sebuah ruang vektor real dengan sebuah hasil kali dalam dinamakan ruang hasil kali dalamreal

[H. Anton,1997]

III. PEMBAHASAN

3.1 Pemodelan

Misalkan {X_k :k∈Ν} adalah rantai Markov yang bersifat homogen dan tidak diamati secara langsung, serta {y_k :k∈Ν} adalah proses observasi. Pasangan {X_k,y_k} disebut model hidden Markov.

Misal X adalah salah satu dari vektor unit i

e , 1≤i≤N, dimana hanya elemen ke-i

yang bernilai 1 dan sisanya 0. Maka

) (

) ( , )

, (

1

i N

j

j i

e X P

e X P e e e

X E

= =

=

∑

=

(1.1)

Tanpa kehilangan keumuman, ruang state untuk X yang mempunyai N elemen, dituliskan

} ,... {₁ _N

X e e

S =

Notasikan F_k0 untuk medan₋_σ yang dibangun oleh X₀,....,X_k serta {F_k} sebagai filtrasi lengkap yang dibangun oleh

0 k

F . Berdasarkan sifat M arkov, diperoleh ) (

)

(Xk 1 ej k P Xk 1 ej Xk

P ₊ = F = ₊ = .

(1.2) Misalkan

( )

, 1

) (

1 1

= =

= = =

∑

= +

N

j ji N

x N ji

i k j k ji

a a

A

e X e X P a

, (1.3)

akibatnya berdasarkan (1.1), maka k k k k

k E X X AX

X

(13)

(1.4) Definisikan

k k

k X AX

V₊1= ₊1− (1.5)

dan

[

]

[

] [

]

[

]

0 ) (

1 1 1

= − =

− =

+ + +

k k

k k k

k

k k k k

AX AX

X X AE AX

X AX E X X E

X AX X

E V

E Fk

sehingga {Vk} adalah barisan inkremen

Martingale. Dari (1.5) diperoleh

1

1 +

+ = k+ k

k AX V

X (1.6)

yang disebut persamaan state.

Selanjutnya misalkan

{ }

H_k adalah medan-σ yang dibangun oleh X₀,X₁,...,X_k,

k

y

y₁,..., dan G_k adalah medan-σ yang dibangun oleh y1,....,y_k. Perkembangan dari keluarga medan-σ ini berbentuk filtrasi. Selain state dari X , terdapat suatu proses pengamatan yang bernilai skalar, yaitu:

( ) ( )

1

1 +

+ = k + k k

k c X X

y σ ω (1.7)

dengan {ωk+1}merupakan barisan peubah acak dari sebaran normal dengan rataan nol dan varian 1, N

( )

0,1 , yang bebas dan identik. Karena X∈S_X, maka fungsi dari c

dan σ didefinisikan sebagai vektor

(

c₁,c₂, ,c_N

)

'

c= K

dan

(

σ1,σ2, ,σN

)

' σ = K di ℜN

, serta

( )

Xk c Xk

c = ,

( )

Xk σ,Xk

σ = ,

dengan σ_i >0, 1≤i≤N, dan ., . menyatakan perkalian dalam vektor di ℜN

. Berdasarkan (1.6) dan (1.7), diperoleh persamaan state dari HMM dengan peluang

P

( )

1

1 1

)

( ₊

+

+ +

+ =

k k k

k

k k k

X X

c y

V AX X

ω σ

(1.9)

3.2 Nilai Harapan Bersyara t

Karena {ωk+1}merupakan barisan peubah acak dari sebaran normal, N

( )

0,1, yang bebas dan identik, maka tidak tergantung pada H_k

dan

Gk⊂Hk.

Untuk t∈ℜ, sebaran bersyarat dari

y

_k₊₁

setelah diketahui Gk adalah

( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

( )

) (

, ) ,

) ,

( ) (

1 1

1

k k

k k k k

k

G G

G G G G

G

i k N

i i i k

i k N

i k k k k i

N

i k k k k i

N

i k k i

k

e X P t c

P

e X P

e X t X

X c P

e X t X

X c P

e X t y P

t y P

=

∑ + ≤

=

∑ + ≤ =

=

∑ + ≤ =

=

∑ ≤ =

= ≤

= +

+

ω σ

(

)

( ).

1 1 k

G

i k N

i i k i

e X P c t

P =

∑ ≤ −

=

= σω +

Misalkan

[

kGk

]

k E X

X = maka

i k

i k i

k

e X

e X E

e X E e

X P

, ), (

) , ( ) (

= =

k

k k

G

G G

Misalkan

) 2 / ( exp ) 2 ( )

( i 1/2 2 i

i x = πσ −x σ

Φ −

untuk fungsi kepekatan dari N

(

0,σ_i

)

, akibatnya

dx x e

X t

y P

i c t

i N

i i

k

k ≤ =∑ ∫ Φ

−

∞ − =

+ ) , ( )

(

1

1 Gk .

Jadi fungsi kepekatan bersyarat untuk y_k₊₁ setelah diketahui G_k, yaitu:

∑

= Φ −

N

i

i i i

k e t c

X

1

) (

, .

Sedangkan untuk fungsi sebaran bersama diperoleh

(

k

) (

k

)

k

G G

G

i k i

k k

k i k

e X P e X t y P

t y e X P

= =

≤ =

+ +

, ) ,

(

(14)

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

dx x e X c t P e X P e X P e X t X X c P i c t i i k i k i i k i k i k k k k ∫ Φ = − ≤ = = = = ≤ + = − ∞ − + + ) ( , , 1 1 ω σ ω σ k k k G G G

Dengan menggunakan aturan Bayes, maka

[

]

(

)

∑ Φ − − Φ = = = = = ∑ = = = + + + + + = + + N

i i j k i

k i k i i k k k i k k i k N

j j i k j k

k i k c y e X c y e X y P y e X P y e X P e X P e e e X E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( , ) ( , ) ( ) , ( , ) ( , , k k k G G G G G akibatnya

[

]

[

]

) 1 . 2 ( ) ( , ) ( , , 1 1 1 1 1 1 1 ∑ Φ − ∑ Φ − = ∑ = = + = + = + + N

j j j k j

k

i N

i i i k i

k

i N

i k i k

k k c y e X e c y e X e e X E X

E G G

Teorema 2.1

[

]

) 2 . 2 ( ) ( , ) ( , 1 1 1 1 1 1 1 ∑ Φ − ∑ Φ − = = = + = + + + + N

j j j k j

k

i N

i i i k i

k k k k c y e X e A c y e X X E X G Bukti: k k

k X AX

V ₊₁= ₊₁− merupakan inkremen martingale dari F_k

.

Karena ω_k₊₁ bersifat bebas identik, maka

[

Vk₊₁Hk, k₊₁

] [

=E Vk₊₁Fk

]

=0

E ω akibatnya

[

]

[

(

)

]

(

)

[

]

[

]

0 , , 1 1 1 1 1 1 1 1 = = = + + + + + + + + k k k k k k k k k k V E E V E E V E G H H G G ω ω dan

[

]

[

]

[

1

]

1 1 1 1 1 + + + + + + = + = = k k k k k k k k AX E V AX E X E X G G G

[

]

∑ Φ − ∑ Φ − = = = + = + + N

j j j k j

k

i N

i i i k i

k k k c y e X e A c y e X X E A 1 1 1 1 1 ) ( , ) ( , G

¦

3.3 Perubahan Ukuran

Secara umum, untuk memprediksi kemungkinan suatu kejadian di masa yang akan datang, dilakukan upaya pengubahan ukuran peluang dengan peluang baru di dunia maya, sehingga diperoleh variasi bentuk objek secara matematik, yang akan diinterpretasikan kembali ke dunia nyata dengan peluang asal. Perubahan peluang ini dibatasi oleh turunan Radon-Nikodym. Seperti pada pembahasan sebelumnya,

(.)

ω merupakan peubah acak yang terdefinisi pada

(

Ω,F,P

)

dengan fungsi kepekatan Φ(ω) dan c serta σ diketahui bernilai konstan. Tulis y(.)=c+σω(.) Misalkan P ukuran peluang baru dengan fungsi kepekatan λ, sehingga dP/dP=λ, dan di bawah P, peubah acak y mempunyai fungsi kepekatan Φ.

ω ω ω λ λ σ ω d I dP I P d I dy y t y P c t t y t y t ) ( ) ( ) 1 . 3 ( ) ( ) ( Φ = = = Φ = ≤

∫

∞ ∞ − ≤− Ω ≤ Ω ≤ ∞ − . ) ( ) ( σ ω ω λ dy t

∫

∞ − Φ = (3.2)

Dari persamaan (3.1) dan (3.2), diperoleh

) ( ) ( ) ( ω σ ω λ Φ Φ = y .

Proses pengamatan y_k, k_∈_Ν, mempunyai bentuk y_k₊₁=c

( ) ( )

X_k +σ X ω_k₊₁

,

dengan

k

(15)

1

) (

) ( ,

0

1

= Λ

Φ Φ

= −

l l l

l

y X

ω σ λ

, l∈Ν

dan

C

k

l l k

1

=

Λ λ , k≥1

Definisikan ukuran peluang baru P sebagai berikut dP dP =Λ_k

k

H

) /

(

.

Teorema 3.1 (Teorema Bersyarat Bayes) Misal (Ω,F,P) merupakan ruang peluang dan G submedan−σ dari F . Misal P ukuran peluang lain yang kontinu absolut yang berpadanan dengan P serta dengan menggunakan aturan turunan Radon-Nikodym.

Λ = dP

P d

Jika Φ adalah sebarang peubah acak yang bisa diintegralkan dari terukur- F , maka

[ ] [

[ ]

]

G G G

Λ ΦΛ = Φ

E E E

Bukti:

Misalkan B sebarang himpunan pada G. Akan ditunjukkan :

[ ]

[

[ ]

]

dP E

E P d E

B∫ B∫ Λ

ΦΛ = Φ

G G G

Misalkan

[

]

[ ]

G

Λ ΦΛ =

E E

ϕ jika E

[ ]

ΛG >0 dan ϕ =0 selainnya. Maka E

[ ]

ΦG =ϕ

.

M isalkan A sebarang himpunan pada G_. Harus ditunjukkan ∫ Φ

[ ]

=∫

A A

P d P d

E G ϕ .

Misal G=

{

ϑ:E

[ ]

ΛG =0

}

. Maka

[ ]

= =∫ Λ

∫ Λ

G G

dP dP

E G 0 dan Λ≥0. Sehingga P(G)=0, dengan kata lain

0 =

Λ hampir pasti di G.

Selanjutnya Gc =

{

ϑ:E

[ ]

ΛG >0

}

. Misal

G

∈

A ; A=B

U

C, dimana _B₌_A

I

_Gc

dan C=A

I

G Sehingga

[ ]

dP dP

dP

P d P d E

C B

A

A A

Λ ∫ Φ + Λ ∫ Φ =

Λ ∫ Φ =

∫ Φ = ∫ ΦG

(3.3)

nilai Λ=0untuk C⊂Gsehingga

∫

ΦΛ = =

C C

P d

dP 0 ϕ (3.4) Sekarang

[

]

[ ]

[

]

[ ]

  

  

Λ ΦΛ =

∫ Λ ΦΛ = ∫

G G G

G

E E I E

P d E E P d

B B B

ϕ

[

]

[ ]

[

]

[ ]

[ ] [

[ ]

]

[

]

[

]

[

ΦΛ

]

=

ΦΛ =

    

  

Λ ΦΛ Λ

=

    

  

    

  

Λ ΦΛ Λ =

    

  

Λ ΦΛ Λ =

B B B

B B

I E

E I E

E E E I E

E E I E E

E E I E

G G

G

akibatnya

∫

ΛΦ =

B B

P d P

d ϕ (3.5)

berdasarkan (3.4) dan (3.5), maka untuk (3.3) diperoleh

[ ]

=∫

∫ Φ =

∫ΦΛ =∫ ΛΦ +

∫ΦΛ

A A

C A

B

P d P d E

dP dP

dP

ϕ

G

¦

Dengan menggunakan bukti yang serupa, diperoleh lemma berikut

Lemma 3.2

Jika

{ }

Φ_k merupakan barisan peubah acak yang bisa diintegralkan

[

] [

[

]

k k k

G G G

k k k k

E E E

(16)

Lemma 3.3

Di bawah P, y_k merupakan peubah acak dari N

( )

0,1 yang bebas identik

Bukti:

(

)

[

k

]

k H

H EI y t

t y

P( k+1≤ )= k+1≤

berdasarkan teorema Bayes, maka

(

)

[

]

[

]

(

)

[

]

[

]

(

)

[

]

[

]

(3.6) . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k k k H H H H H H + + + + + + + + + ≤ = ≤ Λ Λ = Λ ≤ Λ = k k k k k k k k k k k E t y I E E t y I E E t y I E λ λ λ λ

di lain pihak

[

]

(

)

( )

(

)

(

)

( )

) 7 . 3 ( 1 , , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ∫ Φ = ∫ Φ = ∫ Φ Φ Φ = ∫ Φ = ∞ ∞ − + + + ∞ ∞ − + + ∞ ∞ − ₊ + + + ∞ ∞ − + + + k k k k k k k k k k k k k k k dy y X dy y X d y X d E σ σ ω ω ω σ ω ω λ

λ Hk

berdasarkan (3.6) dan (3.7), diperoleh

(

)

[

]

(

1

) (

1

)

1 1 1 1 1 ) ( + ∞ ∞ − + + + + + + ∫ ≤ Φ = ≤ = ≤ k k k k k k k d t y I t y I E t y P ω ω λ λ k k H H

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

) ( , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t y P dy y dy t y I y X dy t y I y X k k t k k k k k k k k k k k ≤ = Φ = ≤ Φ = Φ ≤ Φ Φ = + + ∞ − + + + ∞ ∞ − + + + ∞ ∞ − + + +

∫

σ ω ω σ

¦

Kemudian akan ditentukan ukuran peluang

P, sehingga di bawah P

k k k k X X c y , , 1 1 σ ω ₊ = + −

Untuk menentukan nilai P dari P, terlebih dahulu dicari invers untuk λ_l dan Λ_k. Dengan menggunakan aturan Radon-Nikodym yaitu dP/dP=λ. Di bawah P, peubah acak ω mempunyai kepekatan peluang

Φ

. Maka

) 9 . 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 . 3 ( ) ( ) ( 1 1 1 ω σ λ λ λ ω ω ω σ ω ω ω d y y dy y y I P d I dP I d t P t c t y t c t t k k k ∫ Φ = Φ ∫ = ∫ = ∫ = ∫ Φ = ≤ ∞ − Ω ≤ − ∞ ∞ − ≤ ∞ ∞ − ≤− ∞ − + + +

dari persamaan (3.8) dan (3.9), diperoleh

( )

1 ) ( , 0 1 1 = Λ Φ Φ = = − − l l l l l y X σ ω λ λ

, l∈Ν

dan Ck l l k 1 = = Λ λ

Definisikan P dengan batasan k

P d

dP/ )H_k =Λ

(

.

Syarat agar nilai P

terpenuhi, yaitu σ,X_l₋₁ ≠0

.

Jika komponen dari c semuanya berbeda dan

0 ,X_l₋₁ =

σ , maka diperoleh pengamatan r

k c

y ₊1= yang mengakibatkan Xk =er.

Lemma 3.4

Di bawah P,

{ }

ω_k , k∈Ν, merupakan barisan peubah acak dari N

( )

0,1 yang bebas identik.

Bukti:

(

)

[

k

]

k H

H E I t

t

P(ω_k₊₁≤ )= ω_k₊₁≤ berdasarkan teorema Bayes, maka

(

)

[

]

[

k

]

(17)

(

)

[

]

[

]

(

)

[

]

[

]

(3.10) . 1 1 1 1 1 1 k k k k H H H H + + + + + + ≤ = ≤ Λ Λ = k k k k k k k k E t I E E t I E λ ω λ λ ω λ

di lain pihak

[

]

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

) 11 . 3 ( 1 , , , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ∫ Φ = ∫ Φ = ∫ Φ _Φ Φ = ∫ Φ = + ∞ ∞ − + + ∞ ∞ − + + ∞ ∞ − + + + + ∞ ∞ − + + + k k k k k k k k k k k k k k k d d X X dy y y X dy y E ω ω ω σ σ ω σ ω λ λ Hk

berdasarkan (3.10) dan (3.11), diperoleh

(

)

[

]

(

) ( )

( )

(

) ( )

( ) (

)

(

)

) ( , , ) ( , ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t P d d X t I X dy y t I y X dy y t I t I E t P k k t k k l k l l k k k l l l k k k k k k k ≤ = ∫ Φ = ≤ ∫ Φ = Φ ∫ ≤ Φ Φ = ∫ ≤ Φ = ≤ = ≤ + + ∞ − + + − + ∞ ∞ − − + + ∞ ∞ − − + + ∞ ∞ − + + + + + + ω ω ω ω σ ω σ ω ω σ ω ω λ ω λ ω k k H H

¦

3.4 Pendugaan Rekursif

Notasi 4.1 Jika

{ }

H_k , k∈Ν, merupakan sebarang barisan adapted ke

{ }

G_k , notasikan

( )

k

[

k kGk

]

k H =EΛ H

γ . (4.1)

( )

k k H

γ merupakan nilai harapan takternormalkan dari H_k setelah diketahui

k

G . Dengan menggunakan teorema Bayes, maka

[

]

[

]

( )

1 ˆ k k k k k k k k k H E H E H E H γ γ = Λ Λ = = G G

Gk k

(4.2) dan γ₀

( ) ( )

X₀ =E X₀ sebagai nilai awal. Misalkan

{ }

H_k , k∈Ν, merupakan barisan skalar. Dengan

k k

k H H

H = −

∆ +1 +1 , Hk+1=Hk +∆Hk+1

dan

(

)

[

]

[

1 1 1

]

1 1 1 1 + + + + + + + ∆ Λ + Λ = k k k k k k k k H E H E H G G γ

Perhatikan bentuk pertama dari persamaan sebelah kanan

[

]

[

1 1

]

1 1 + + + + Λ = Λ k k k k k k k H E H E G G λ

(

)

              Φ         − Φ Λ = ₊ + + 1 1 1 , , , k k k k k k k k y X X X c y H E G σ σ

Notasi 4.2 tulis

( )

( ) () ( ).

( )

( ). . . . e y c y y k k k _Φ         − Φ = Γ σ σ

dan ∑iN=1 Xk,ei =1 serta yn, 1≤n≤k+1, diketahui, maka

[

]

[

]

(

)

(

)

              Φ     − Φ Λ ∑ =               Φ         − Φ Λ = Λ = Λ + + + = + + + + + + + 1 k 1 k 1 k 1 k G G G G 1 1 1 1 1 1 1 , , , , k i i i k k k N

i k i

(18)

(

)

( )

(

)

[

]

(

)

( )

(

)

∑ Γ = Γ Λ ∑ =               Φ     − Φ Λ ∑ = = + + + = + + + = N i k i k k k i k k k N i i k i i i k k k k N i y X H y X H E e y c y X H E 1 1 1 1 1 1 1 , , , γ σ σ 1 k 1 k G G

1 menunjukkan vektor dari

(

1,1,K,1

)

∈ℜN, sehingga 1 , 1 , 1 = ∑ = = N

i k i

k X e

X

akibatnya, jika sekali saja pendugaan takternormalkan, γ_k

(

H_kX_k

)

, diketahui, maka pendugaan untuk γ_k

( )

H_k dapat diperoleh dengan menjumlahkan semua komponen γ_k

(

H_kX_k

)

, yaitu

(

)

(

)

(

)

( )

(4.3) 1 , 1 , 1 , k k k k k k k k k k k H X H X H X H γ γ γ γ = = =

untuk Hk =1

,

maka persamaannya menjadi

(

)

( )

(

)

(4.4)

1 , 1 , ) 1 ( k k k k k k k E X X G Λ = = = γ γ γ

persamaan (4.4) diperoleh dari persamaan (4.1). akibatnya, jika γ_k

( )

X_k ditentukan, maka faktor penormalan dapat diperoleh dengan menjumlahkan komponen pendugaan takternormalkan γ_k

( )

X_k .

Lemma 4.3

diag (z) menunjukkan matriks diagonal dengan vektor z pada diagonalnya, maka

(

)

( )

)' ( ' ) 5 . 4 ( 1 ' 1 1 ' 1 1 k k k k k k k k k AX V V AX A X diag A V diag AX diag V V + + + + + − − − + = dan

[

]

' ) ( : 1 ' 1 1 A X diag A AX diag V V E V k k k k k k − = = ₊ ₊ + F (4.6) Bukti:

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

' 1 1 1 1 1 1 ' 1 1 ' ' ' ' + + + + + + + + + + + = + + = k k k k k k k k k k k k k k V V V AX AX V AX AX V AX V AX X X karena

(

)

(

)

(

1

)

1 ' 1 1 + + + + + = = k k k k k V diag AX diag X diag X X

maka persamaan (4.5) dipenuhi. V_k₊₁ merupakan inkremen Martingale, maka persamaan (4.6) dipenuhi.

¦

Notasi 4.4 untuk sebarang proses H_k yang

adapted- G

,

k∈Ν

. misal

( )

m

[

k m kGk

]

k

m, H =EΛ H X

γ

Teorema 4.5

Misal H_kadalah skalar proses adapted-G dari bentuk: H₀ merupakan terukur-F_k

,

(

)

,

, ₁ ₁ ₁

1 1

1 + + + + +

+ = k+ k + k k + k k

k H V f y

H α β δ

1 ≥

k

,dengan

V_k₊₁=X_k₊₁− AX_k

,

f skalar, dan α , β, δ adalah proses predictable-G

(β merupakan vektor berdimensi N). Maka

(

)

(

)

(

) (

)

{

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

'

)

(

1

(

1

)

)}

1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1 1 1 , , , , + + + + + + + = + + + + + + + Γ − + Γ + Γ + Γ = =

∑

k i k k k i i i i k k i k k k i k i k k k i N i k i k k k k k k k k k y X a a a diag a y f y X a y X a y X H H X H β γ δ γ α γ γ γ γ i i Ae a = Bukti :

(

)

[

]

(

[

(

))

(

1

)

1 1

]

(19)

(

))

((

[

)

]

(

))

((

)

]

((

(

))

(

)

]

(

) (

)

{

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

1

(

1

)

)}

' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 , , , , , ) ( , , , , + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + + + + + + + Γ − + Γ + Γ + ∑ Γ = − +  _Λ _∑ ₊ = Λ +  ∑ + + = Λ + + + = k i k k k i i i i k k i k k k i k i k k k i N i k i k k k k i k k k i i i i k k i k k N

i k k k i k k k i

k k k k k k N

i k i k k k k i

k k k k k k k k k y X a a a diag a y f y X a y X a y X H e X a a a diag a y f e X e X e H X E V a y f H e X E V AX y f H E β γ δ γ α γ γ λ β δ λ λ α λ λ β δ α β δ α G G G

¦

3.5 State, Transisi, dan Waktu Kejadian 3.5.1 Penduga untuk State

Berdasarkan Teorema (4.5), pilih 1

0 =

= H

H_k , α_k =0, β_k =0, δ_k =0. Maka

(

)

(

)

(

)

( ) (

)

[

]

i

N i k i k k i N

i _i _k i

i i k k k i N

i i k

i i k k i k N

i k i k k i k k a y X a e y c y X E a y c y e X E a e X E X ∑ Γ = ∑               Φ     − Φ Λ = ∑               Φ     − Φ Λ =    ∑ Λ = = + = ₊ + = + + = + + + 1 1 1 ₁ 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , k k k k G G G G γ σ σ σ σ λ γ

3.5.2 Penduga Banyaknya Loncatan

Jika rantai Markov loncat dari state e_r pada waktu k ke state e_s pada waktu k+1,

N s r ≤

≤ ,

1 , maka X_k,e_r X_k₊₁,e_s =1. Banyaknya loncatan dari e_r ke e_s pada waktu k+1

adalah

(

)

s k r k sr r k rs s k s k r k rs s k r k rs s n k

n n r

rs e V e X a e X e V e AX e X e X e X e X e X , , , , , , , , , , 1 1 1 1 1 1 1 + + + + = − + + + = + + = + = ∑ = k k k k J J J J

Dengan menggunakan Teorema (4.5), maka

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1

)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 , , ) ( * , , , + + + + + + + + + + + + + + Λ + + = Λ + + + = Λ = k k k s k r k k sr r k rs k k k k k k s k r k sr r k rs k k k rs k k rs k k k e V e X AX a e X E V AX e V e X a e X E X E G J G J G J λ λ γ J

(

( )

(

) )

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

( )

'

)

1 1 1 1 1 1 1 ' 1 1 1 1 1 1 1 ' 1 , , , , * , , , , , r r r k r k k r sr k r k k N

i k i

i k rs k k r k r r r k k s r r r r sr r k r r r k k k N

i i k i i

i i k k rs k k k k k s r r r r i N

i k i i r sr r

rs k i k a a a diag y X a a y X a y X e y c y X e a a a diag a a e y c y X a e y c y X E e a a a diag e e a a e e a e X E − Γ + Γ + ∑ Γ =               Φ     − Φ − + Φ     − Φ Λ +               ∑ Φ     − Φ Λ = Λ − +    ∑ + = + + = + + + + + + = + + + + = γ γ γ σ σ σ σ σ σ λ k J G J G J

karena

(

diag

( )

a_r −a_ra_r'

)

e_s =a_sre_s−a_sr a_r

(

)

(

)

( ) (

,

)

. , 1 1 1 s sr k r k k N

i k i

i k rs k e a y X a y X + = + Γ + ∑ Γ = γ γ Jk

(20)

3.5.3 Penduga untuk Waktu Kejadian

Misalkan O_krlamanya waktu, sampai waktu

k, X terjadi di state e_r. Maka

r k r k k

n n r

r k e X e X , , 1 1 1 1 + = ∑ = + = − + O O

untuk menduga O_kr, digunakan Teorema (4.5) dengan memisalkan H_k₊₁=O_kr₊₁,

0

0 =

H , α_k+1= X_k,e_r , βk+1=0,

0

1=

+ k

δ , sehingga

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

) ( )

( ) ( )

k r

r k k N

i k i

i k k k k r r k r r r k k k N

i _i _k i i

i i k k k k k k i r i k N

i k i k k k k r k k k k k k k r k k k k k k k k k k a y X a y X a e y c y X a e y c y X E a e e e X E AX e X E V AX e X E X E 1 1 1 1 1 1 1 ₁ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 , , , , , , , ) ( , + = + + + + = ₊ + + + = + + + + + + + + + + + + Γ + ∑ Γ =               Φ     − Φ Λ +        ∑ Φ     − Φ Λ =      _Λ _∑ ₊ = + Λ = + + Λ = Λ = γ γ σ σ σ σ λ λ λ γ O G O G O G O G O G O O (5.3.1)

Penduga untuk Proses Pengamatan

Untuk menentukan kembali vektor varian

(

σ1, σ2, , σN

)

'

σ = K dan vektor

(

c₁,c₂, ,c_N

)

'

c= K

pada proses pengamatan

( ) ( )

1

1 +

+ = k + k k

k c X X

y σ ω diperlukan

penentuan untuk proses dengan bentuk

( )

(

1

)

1 1 1 1 , 1 , , + + = − + + = ≤ ≤ ∑ = k r k r k l k

l l r

r k y f e X f N r y f e X f T T (5.4.1)

dengan f menotasikan f

( )

y =yatau

( )

2

y y

f = . Dengan menggunakan Teorema 4.5 serta Hk₊1=T_kr₊₁

( )

f

,

H0 =0,

0

1=

+ k

α ,βk+1=0 , δk+1=0, diperoleh

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 * , ) ( * , + + + + + + + + + + + + + + Λ + = Λ + + = Λ = k k k k k r k r k k k k k k k r k r k k k r k k r k k k AX y f e X f E V AX y f e X f E X f E f G T G T G T T λ λ γ

( )

(

)

( )

(

k

) ( )

k r r

k k N

i k i

i k r k k k r k r k r r r k k k N

i i k i i

i i k k r k k k k k i k r i r k N

i k i

a y f y X a y X a y f e y c y X a e y c y X f E a y f e e f e X E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , * , , + + = + + + + + = + + + + + = Γ + ∑ Γ =        Φ       − Φ Λ +        ∑ _Φ      − Φ Λ = Λ   _∑ ₊ = γ γ σ σ σ σ λ T G T G T (5.4.2)

3.6 Reestimasi Parameter

Algoritma EM ( Maksimisasi Penduga) 1. Misalkan p=0 dan pilih θˆ₀

2. (Langkah ke-E) Misalkan θ*=θˆ_p dan hitung Q

( )

.,θ* dengan

( )

        = G * * log , * θ θ θ θ θ dP dP E Q

3. (Langkah ke-M) Cari

( )

* max

arg

1 ,

ˆ _θ _θ

θ_p₊ ∈ _θ_∈_Θ Q

(21)

Parameter yang digunakan pada pembahasan adalah

( )

{

aji ≤i j≤Nci ≤i≤N i ≤i≤N

}

= ,1 , , ,1 ,σ ,1

θ

Misal akan ditentukan himpunan parameter yang baru

( )

{

aji ≤i j≤N ci ≤i≤N i ≤i≤N

}

= ˆ ,1 , ,ˆ,1 ,ˆ ,1

ˆ _σ

θ

jika diberikan himpunan parameter θ

.

Untuk mengganti parameter a_ji dengan )

( ˆ k

a_ji pada rantai Markov, dimisalkan r l s

le X e

X k l N s r sr sr k a k

a , ,

1 , 1

1 ) ( ˆ −

∏ ∏

= = _     = Λ dan k k dP dP Λ = F θ θˆ Lema 6.1

Misalkan X_k =e_r dan dengan ukuran peluang P_θ_ˆ, maka

[

1,

]

ˆ ( 1)

ˆ X + e =a k+

E_θ k s Fk sr

Bukti:

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

        = ∏       +         =       + Λ Λ = Λ Λ = = + + + + + + + + + + r k N r e X sr sr r k e X sr