A pengantar probabilitas

MATERI

BAB I RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

 Pendahuluan

 Ruang Sampel

 Kejadian

 Dua Kejadian Yang Saling Lepas

 Operasi Kejadian

BAB II MENGHITUNG TITIK SAMPEL

 Prinsip Perkalian/ Aturan Dasar

 Notasi Faktorial

 Permutasi

 Permutasi (Seluruhnya) Dengan Beberapa Unsur Yang Sama

 Permutasi Melingkar

 Kombinasi

 Diagram Pohon BAB III PELUANG KEJADIAN

 Definisi Klasik

 Beberapa Hukum Peluang

 Kejadian Saling Bebas

BAB IV PELUANG BERSYARAT DAN ATURAN BAYES

 Peluang Bersyarat

 Aturan Bayes

BAB I RU AN G SAM PEL D AN KEJAD I AN

A. Pendahuluan

Dari jaman dulu sampai sekarang orang sering berhadapan dengan “peluang”.

Misalnya orang melambungkan satu kali mata uang logam bersisi gambar dan bersisi angka, maka peluang muncul sisi gambar = peluang muncul sisi angka;

kemungkinan muncul sisi gambar adalah 1 dari 2, yaitu peluangnya muncul sisi gambar adalah 1/2, demikian pula peluangnya muncul sisi angka adalah 1/2.

Misalnya dalam permainan sepakbola, seorang wasit melambungkan mata uang logam satu kali untuk mengundi tempat bermain masing-masing kesebelasan yang

B. Ruang Sampel

 Definisi 1.1

Himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul pada suatu percobaan disebut ruang sampel, sedangkan anggota-anggota dari ruang sampel disebut titik

sampel.

 Ruang sampel biasa disimbolkan dengan huruf S, sedangkan anggota-anggota ruang sampel didaftar dengan menuliskannya diantara dua kurung kurawal (alokade), masing-masing anggota dipisah dengan tanda koma.

 Contoh

Pada percobaan melempar sebuah dadu sekali maka ruang sampelnya adalah S = {1,2,3,4,5,6} dengan 1 menyatakan banyaknya titik dadu bagian atas ada satu, 2 menyatakan banyaknya titik dadu bagian atas ada dua, dan seterusnya.

C. K ejadian

Definisi

Kejadian atau peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang

Sampel. Pada umumnya kejadian dibedakan menjadi dua macam, yaitu :

Kejadian sederhana; yaitu kejadian yang hanya mempunyai

satu titik sampel.

Contoh

{1}, {4}, {5} adalah kejadian-kejadian sederhana dari percobaan melempar sebuah dadu bersisi enam.

Kejadian majemuk; yaitu kejadian yang mempunyai lebih dari

satu titik sampel.

Contoh

{1,2}, {2,4,6}, {2,3,5} adalah kejadian-kejadian majemuk pada percobaan melempar sebuah dadu bersisi enam.

D. Dua kejadian Yang Saling Lepas (Saling Asing)

 Dua kejadian dikatakan saling lepas/asing apabila dua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama atau tidak mungkin dipertemukan. Dengan kata lain kejadian yang satu meniadakan kejadian yang lain.

 Contoh

Pada percobaan melempar sebuah dadu satu kali,

kejadian munculnya mata dadu 1 dan kejadian munculnya mata dadu 3 adalah dua kejadian yang saling lepas, sebab apabila muncul mata dadu 1 maka mata dadu 3 tidak mungkin muncul, demikian pula sebaliknya.

 Dalam notasi himpunan dua kejadian A dan B disebut

saling lepas jika AB=.

Pada contoh diatas misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1 dan B adalah kejadian

munculnya mata dadi 3 maka A = {1} dan B={3} sehingga AB=, disimpulkan kejadian A dan B saling lepas

E. Operasi Kejadian

Operasi antar kejadian antara lain: operasi gabungan (union), operasi irisan (interseksi) dan komplemen

Contoh

Misalkan pada percobaan melempar sebuah dadu sebanyak satu kali dengan ruang sampel S={1,2,3,4,5,6}. Misalkan A kejadian munculnya mata dadu ganjil, maka A={1,3,5}, dan B kejadian munculnya mata dadu prima, maka B={2,3,5}.

Dari dua kejadian tersebut dapat dibentuk kejadian majemuk sebagai berikut .

 Gabungan dua kejadian , P = AB = {1,2,3,5}. Kejadian P adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil atau prima. Arti kata “atau” dalam hal ini adalah kejadian A atau kejadian B atau kejadian kedua-duanya. Jadi gabungan kejadian A dan B ditulis AB adalah himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian A atau kejadian B atau kedua-duanya.

 Irisan dua kejadian Q= AB ={3,5}. Kejadian Q adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil dan prima. Kata “dan” berarti kejadian A terjadi dan bersamaan dengan itu kejadian B terjadi. Jadi irisan kejadian A dan B ditulis AB adalah himpunan titik sampel yang terdapat pada kejadian A dan terdapat pada kejadian B.

 Operasi Komplemen. Komplemen kejadian A dalam ruang sampel S

BAB I I M EN GH I T U N G T I T I K SAM PEL

A. Prinsip Perkalian/Aturan Dasar

Jika suatu kejadian dapat terjadi dengan

n

₁

cara yang berbeda, dan kejadian

berikutnya (sebut kejadian kedua) terjadi

dengan n

₂

cara yang berbeda, dan

seterusnya maka banyaknya

keseluruhan kejadian dapat terjadi

secara berurutan dalam n

₁

.n

₂

.n

₃

… cara

yang berbeda.

Contoh

Berapa banyak kertas yang harus disediakan, jika tiap kertas ditulisi bilangan 3 angka yang dibentuk dari lima angka 1,3,5,7,9, jika :

a. pengulangan tidak diperbolehkan b. pengulangan diperbolehkan.

Penyelesaian.

a. Misalkan ada tiga kotak untuk mempresentasikan bilangan sebarang. kotak pertama dapat diisi dengan 5 cara, karena pengulangan tidak diperbolehkan maka kotak kedua dan ketiga masing-masing dapat diisi dengan 4 dan 3 cara. Jadi banyaknya bilangan yang dapat terbetuk ada

5 .4 .3 =6 0 bilangan.

Karena tiap bilangan dituliskan pada sebuah kertas maka banyaknya kertas yang harus disediakan ada 60 kertas. b. Karena pengulangan diperbolehkan maka kotak pertama,

B. Notasi Faktorial



Definisi 2.1

Hasil kali bilangan bulat positif dari 1 sampai n

disebut n faktorial ditulis n! .

Jadi n! = 1.2.3…..(n-2)(n-1).n ; dan 0! = 1

Contoh

Hitunglah (a) 5!

(b) 10 !

Penyelesaian

(a) 5! = 5.4.3.2.1 = 720

(b) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800

C. Permutasi

Permutasi adalah susunan berurutan dari semua atau sebagian elemen suatu himpunan

Contoh

Tentukan banyaknya kata (tidak harus punya arti) yang terdiri dari 3 huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf dari kata CINTA:

a. Apabila setiap huruf yang digunakan tidak boleh lebih dari sekali.

b. Apabila setiap huruf bisa diulangi dalam sebarang penyusunan.

Penyelesaian.

a. Banyaknya kata-kata = pengaturan 5 huruf yang berbeda diambil 3 sekaligus = 5.4.3 = 60

D. Permutasi (Seluruhnya) dengan

Beberapa Unsur yang Sama



Teorema

Banyaknya permutasi yang berlainan dari

n elemen bila n1 diantaranya berjenis

pertama, n2 berjenis kedua, … ,nk

berjenis ke-k adalah

P(n , (n1,n2,n3,…nk)) = ,

dimana n1 + n2 + n3 + …+ nk = n

!

nk

...

!

3

n

!

2

n

!

1

n

!

n

Contoh

Ada berapa penyusunan kata-kata (tidak harus

punya arti) yang diambil dari kata “KAKAKKU”.

Penyelesaian

Permutasi dari 7 huruf dimana ada 4 huruf sama

yaitu K, dan 2 huruf sama yaitu A adalah

P(7, (4,2,1)) = = 105.

Jadi banyaknya penyusunan kata yang mungkin

ada 105 kata.

!

1

!

2

!

4

E. Permutasi Melingkar (Permutasi Siklis)

Banyaknya permutasi n unsur berlainan yang

disusun melingkar adalah (n-1)!

Contoh

Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 4

orang duduk mengelilingi sebuah meja bundar.

Dalam berapa cara keempat orang mahasiswa

tadi dapat duduk mengelilingi meja tersebut.

Penyelesaian.

Keempat mahasiswa tadi dapat diatur

mengelilingi meja dalam (4-1)! = 3! = 6

F. Kombinasi



Definisi

Kombinasi adalah susunan unsur-unsur

yang urutannya tidak diperhatikan.

Banyaknya kombinasi r elemen yang diambil dari n elemen ditulis C(n,r) atau nCr atau

   

r

n atau

C

n_r adalah

)!

r

n

(

!

r

!

n

Contoh

Suatu tim bola basket terdiri dari 5 orang akan

dipilih darin 10 pemain. Berapa macam susunan

dapat dipilih ?

Penyelesaian.

Susunan yang dapat dipilih adalah pengambilan

5 orang dari 10 orang yang urutannya tidak

diperhatikan, jadi menggunakan banyaknya

kombinasi 5 orang yang dipilih dari 10 orang =

C(10,5) =

252

!

5

!

5

!

10

)!

5

10

(

!

5

!

10







G. Diagram Pohon

Diagram pohon merupakan cara yang mudah

untuk menggambarkan hasil-hasil yang mungkin

dari sederetan percobaan jika dari setiap

Contoh

Melempar 3 mata uang bersama-sama (sisi

mata uang angka disingkat A dan gambar

disingkat G), hasilnya dapat digambar dengan

diagram pohon sebagai berikut .

A AAA

A

G GAA

A

A AGA

G

G AGG

A AGG

A

G GAA

G

A GGA

G

[image:9.842.438.769.173.378.2]

G GGG

BAB III

PELUANG KEJADIAN

A. Definisi Peluang Klasik

Jika suatu percobaan menghasilkan n hasil

yang tidak mungkin terjadi bersama-sama dam

masing-masing mempunyai kesempatan yang

sama untuk terjadi, maka peluang suatu

kejadian A ditulis P(A) =

,

dimana n(A) adalah banyaknya hasil dalam

kejadian A.

n

)

A

(

n

Setiap hasil dari n hasil yang mungkin muncul

dengan kesempatan yang sama itu berpeluang

muncul yang sama dengan 1/n.



Jika kejadian yang diharapkan tidak pernah

terjadi, berarti n(A) = 0, maka

P(A) = 0/n = 0, sehingga peluangnya = 0.



Jika kejadian A yang diharapkan itu selalu

terjadi terus menerus, berarti n(A)=n maka P(A)

= n/n = 1. Sehingga peluangnya = 1

Contoh

Sebuah mata uang dilempar dua kali, tentukan

peluang munculnya sisi gambar pada lemparan

pertama dan sisi angka pada lemparan kedua.

Penyelesaian.

Ruang sampel dari percobaan diatas S= {(A,A),

(A,G), (G,A), (G,G)}

Misalkan D kejadian munculnya sisi gambar

pada lemparan pertama dan sisi angka pada

lemparan kedua, maka D = {(G,A)}.

Karena semua titik sampel bersempatan sama

untuk terjadi maka P(D) = ¼.

B. Beberapa Hukum Peluang

Teorema

Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka P(AB) = P(A )+ P(B) – P(AB).

Akibat 1.

Bila A dan B kejadian yang saling lepas (terpisah), maka P(AB) = P(A) + P(B).

Akibat 2.

Bila A1, A2, A3, ..., An saling lepas, maka P(A1A2A3... An) =

P(A1)+P(A2)+P(A3)+...+P(An)

Teorema

C. Kejadian Saling Bebas

Definisi

Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika dan

hanya jika

P(A).P(B) =P(A



B).

Contoh

Jika A dan B dua kejadian yang saling bebas

dengan P(A) =0,2 dan P(B)=0,3, hitung P(A



B)

?

Penyelesaian

Karena A dan B kejadian yang saling bebas,

maka P(A



B)= P(A).P(B)=0,2.0,3=0,6

BAB IV PELUANG BERSYARAT DAN

ATURAN BAYES

A. Peluang Bersyarat Definisi

Peluang bersyarat B dengan dengan diketahui A ditentukan oleh

P(BA) = , bila P(A) > 0

Akibat 1

P(AB)=P(A) P(BA)

Akibat 2

Bila suatu percobaan, kejadian A1, A2, A3, …. dapat terjadi maka

P(A1A2A3…. ) = P(A1).P(A2|A1).P(A3| A1A2)…

)

(

)

(

A

P

B

A

Contoh

Dari seperangkat kartu bridge diambil satu kartu

secara berturut-turut sebanyak dua kali.

Tentukan peluang pengambilan pertama As dan

pengambilan kedua King.

Penyelesaian

Misalkan A: kejadian pertama (terambil kartu As)

B: kejadian kedua (terambil kartu King)

Maka P(A) = 4/52 dan P(B



A)=4/51 (karena

satu kartu telah terambil).

Jadi P(A



B)=P(A) P(B



A) = 4/52. 4/51 = 4/663.

B. ATURAN BAYES

Teorema (Aturan Bayes).

Jika kejadian-kejadian B1, B2, B3, …, Bk

adalah partisi dari ruang sampel S dengan

P(BI)



0 , I = 1.2,3,..,k maka untuk setiap

kejadian A dalam S denga P(A)



0

berlaku

P(Bi



A) =

Contoh

FKM ingin menyewa Bus dari 3 perusahaan , yaitu 60% bus Jawa Indah, 30% Bus Nusantara, dan 10% bus Kramat Jati. Diketahui juga 9% bus Jawa Indah tidak berAC, 20% bus Nusantara tidak berAC, dan 6% bus Kramat Jati tidak berAC. Jika sebuah Bus yang disewa dan ternyata tidak berAC, hitung peluang yang disewa adalah bus Jawa Indah.

Penyelesaian

Misalkan J : kejadian yang terambil adalah bus Jawa Indah N : kejadian yang terambil adalah bus Nusantara K : kejadian yang terambil adalah bus Kramat Jati

Maka P(JA) =

= = 0,45 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( K A P K P N A P N P J A P J P J A P J P   % 6 %. 10 % 20 %. 30 % 9 %. 60 % 9 %. 60  

PEUBAH ACAK

Peubah Acak X adalah fungsi dari S ruang sampel ke bilangan real R, X : S R

Contoh : Menjawab soal multipel choice 2 kali S = {SS, SB, BS, BB}

RUANG BERSAMA PEUBAH ACAK

Misalkan didefinisikan terdapat n buah peubah acak X1,

X2,…, Xnmaka ruang peubah acak dari X1, X2,…, Xn

atau ruang bersama X1, X2,…, Xnadalah

A_{X1, X2,…, Xn}={(x₁, x₂,…, x_n)| x_i= X(c), c di S, i = 1,2,…,n}

Contoh

Sebuah uang koin dilambungkan 3 kali berturut-turut Misal X=banyaknya muncul muka

Y=banyak muncul belakang didahului muka Maka A_x={0,1,2,3} dan A_y={0,1,2}

Ruang bersama peubah acak X dan Y adalah Axy={(x,y) | x=0,1,2,3 dan y=0,1,2}

={(0,0),(0,1), …, (3,2)}

Axy adalah himpunan bagian dari R2





          b a x X x x X P b X a P x X P x X P ) ( ) ( . 3 1 ) ( . 2 0 ) ( .

1

 

 

 

x dx f b X a P dx x f x f b a A x





      ) ( . 3 1 . 2 0 . 1

FUNGSI KEPADATAN PELUANG

EKSPEKTASI MATEMATIKA

1.

Ekspektasi Matematik (Nilai Harapan)

Misal X adalah PA yang mpy FKP f(x) dan

u(X) adalah fungsi dari X, maka ekspektasi

dari u(X) adalah

E[u(X)] =

untuk X diskret

E[u(X)] =

untuk X kontinu



_X

x

x

f

x

u

(

)

(

)

   

x

f

x

dx

u







~

~

2. Varians dari X

3. Fungsi Pembangkit Momen

M(t) = E(e

tX

)

KEBEBASAN STOKASTIK

Definisi

Peubah acak X dan Y dikatakan bebas

stokastik (independent) jika:

f(x,y) = f

₁

(x).f

₂

(y)

2 2

2

)

X

(

E

)

X

(

E

))

X

(

E

X

(

E

)

X

(

V



