Pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren fungsi pangkat proses poisson non homogen

PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS

BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN FUNGSI

PANGKAT PROSES POISSON NON-HOMOGEN

WINDIANI ERLIANA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

▸ Baca selengkapnya: pt waserba 81 metode periodik

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER

INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson Non-Homogen adalah benar karya saya dengan arahan dari dosen pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.

ABSTRAK

WINDIANI ERLIANA. Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson Non-Homogen. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO.

Pada karya ilmiah ini dibahas penyusunan penduga konsisten bagi komponen periodik fungsi intensitas yang berbentuk fungsi periodik kali tren fungsi pangkat pada suatu proses Poisson non-homogen dengan menggunakan fungsi kernel seragam. Diasumsikan bahwa periode dari komponen periodik tersebut diketahui. Penduga yang disusun bagi komponen periodik tersebut hanya menggunakan realisasi tunggal dari proses Poisson yang diamati pada interval [0,n]. Telah dibuktikan bahwa Mean Square Error (MSE) penduga konvergen menuju nol untuk . Selain itu, diformulasikan aproksimasi asimtotik bagi bias, ragam, dan MSE dari penduga yang dikaji serta bandwith optimal asimtotik bagi penduga tersebut.

Kata kunci: aproksimasi asimtotik, fungsi intensitas, kekonsistenan, proses Poisson periodik, tren fungsi pangkat

ABSTRACT

WINDIANI ERLIANA. Estimation of Periodic Component of the Intensity Function of Form Periodic Function Multiplied by Power Function Trend of a Non-Homogeneous Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI SUMARNO.

This manuscript is concerned with construction of a consistent estimator for periodic component of the intensity function which is periodic function multiplied by power function trend of a non-homogeneous Poisson process by using uniform kernel function. It is assumed that the period of the periodic component is known. The estimator is constructed using a single realization of a Poisson process observed in the interval [0,n]. Mean Square Error (MSE) of the estimator has been proved converges to zero as . In addition, asymptotic approximations to the bias, variance, and MSE of the estimator have been formulated. An asymtotically optimal bandwith for this estimator is also determined.

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS

BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN FUNGSI

PANGKAT PROSES POISSON NON-HOMOGEN

WINDIANI ERLIANA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul Skripsi : Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson Non-Homogen Nama : Windiani Erliana

NIM : G54090029

Disetujui oleh

Dr Ir I Wayan Mangku, MSc Pembimbing I

Dr Ir Hadi Sumarno, MS Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Berlian Setiawaty, MS Ketua Departemen

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Fungsi Periodik Kali Tren Fungsi Pangkat Proses Poisson Non-Homogen ini berhasil diselesaikan.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir I Wayan Mangku, MSc dan Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku dosen pembimbing serta Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku dosen penguji yang telah memberikan saran dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada mama, ayah, kak Angga (alm), kak Anggi (alm), teh Dedew beserta kak Ichsan, Delia, Rizky, Zikry, dan Rama atas segala doa dan kasih sayangnya. Selain itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada yayasan Tanoto Foundation, teman-teman Math 46, SERUM-G, Ar-rojaa, dan Matematika Terapan angkatan 7.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.

DAFTAR ISI

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Perumusan Masalah 2

Tujuan Penelitian 2

REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PADA PROSES POISSON

PERIODIK 2

PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN FUNGSI PANGKAT PADA PROSES POISSON

NON-HOMOGEN Error! Bookmark not defined.4

Perumusan Penduga 4

Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan MSE 10

Penentuan Bandwith Optimal Asimtotik 14

Contoh Penyusunan Penduga Menggunakan Data Bangkitan 16

SIMPULAN 17

DAFTAR PUSTAKA 19

LAMPIRAN 20

DAFTAR LAMPIRAN

1 Formula Young dari Teorema Taylor 20

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Proses stokastik merupakan proses yang menggambarkan suatu kejadian atau fenomena yang bersifat tidak pasti. Proses ini berguna untuk memodelkan fenomena yang berkaitan dengan aturan peluang seperti pergerakan harga saham, proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat layanan (customer service), dan banyaknya klaim yang datang ke suatu perusahaan asuransi. Oleh sebab itu, untuk memprediksi bagaimana fenomena-fenomena tersebut terjadi di masa yang akan datang diperlukan suatu peramalan atau pendugaan. Peramalan atau pendugaan tersebut berguna untuk memeroleh informasi mengenai perubahan di masa yang akan datang.

Proses stokastik dapat diklasifikasikan menjadi proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Pada karya ilmiah ini pembahasan hanya difokuskan pada salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu yaitu proses Poisson periodik.

Proses Poisson periodik merupakan suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya berupa fungsi periodik. Bentuk fungsi intensitas pada periode sebelumnya dengan sesudahnya dapat memiliki bentuk yang sama tetapi juga dapat memiliki bentuk yang berbeda. Jika bentuk fungsi intensitasnya sama antar periode, maka fungsi intensitas tersebut merupakan fungsi intensitas periodik tanpa tren. Sebaliknya, jika proses Poisson memiliki fungsi intensitas yang berbeda antar periode, maka fungsi intensitas tersebut merupakan fungsi intensitas periodik dengan tren. Pada umumnya bentuk fungsi intensitas yang berbeda tersebut memiliki pola yang serupa. Oleh sebab itu, dalam kehidupan sehari-hari proses Poisson periodik berguna untuk memprediksi suatu kejadian pada periode berikutnya. Misalnya, pada proses banyaknya nasabah yang datang ke suatu bank dalam periode satu hari. Kedatangan nasabah ke suatu bank pada hari-hari sebelumnya biasanya memiliki pola yang serupa dengan kedatangan nasabah pada hari-hari berikutnya.

2

Perumusan Masalah

Misalkan adalah proses Poisson non-homogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui dan diasumsikan fungsi intensitas tersebut terintegralkan lokal. Diasumsikan pula bahwa fungsi intensitas ini merupakan perkalian antara komponen periodik dan komponen tren berbentuk fungsi pangkat , sehingga untuk setiap fungsi intensitas dapat dinyatakan metode untuk menduga fungsi tersebut. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menduga fungsi intensitas tersebut adalah metode penduga tipe kernel.

Pada karya ilmiah ini dikaji penyusunan penduga konsisten bagi pada dengan hanya menggunakan realisasi tunggal dari suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas seperti pada persamaan (3) yang diamati pada interval . Realisasi tersebut terdefinisi dalam ruang peluang

dengan .

Tujuan Penelitian

Tujuan dari karya ilmiah ini ialah

1 merumuskan penduga komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren fungsi pangkat suatu proses Poisson non-homogen dengan fungsi kernel seragam,

2 membuktikan kekonsistenan penduga yang dikaji, 3 menentukan aproksimasi asimtotik bagi bias penduga, 4 menentukan aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga,

5 menentukan aproksimasi asimtotik bagi Mean Square Error (MSE) penduga, 6 menentukan bandwidth optimal dari penduga.

REVIEW PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS PADA PROSES

POISSON PERIODIK

3 sedangkan fungsi intensitas global merupakan rata-rata laju dari proses Poisson pada interval dengan panjang menuju tak hingga.

Pendugaan fungsi intensitas lokal pada suatu proses Poisson periodik di suatu titik s dapat dihampiri dengan rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut di sekitar titik s, sedangkan pendugaan fungsi intensitas global diduga dengan memperkirakan rata-rata banyaknya kejadian proses Poisson dalam interval waktu .

Secara matematis, pendugaan fungsi intensitas lokal di sekitar titik s dapat dituliskan sebagai

dengan dan N menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu , sedangkan hampiran untuk fungsi intensitas global dapat dituliskan

Berdasarkan periodenya, pendugaan fungsi intensitas pada suatu proses Poisson periodik dikategorikan menjadi dua, yaitu jika periodenya diketahui dan jika periodenya tidak diketahui. Pendugaan fungsi intensitas yang periodenya tidak diketahui lebih rumit jika dibandingkan dengan pendugaan fungsi intensitas yang periodenya diketahui. Meskipun demikian, Helmers et al. (2003) telah mengkaji kekonsistenan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas untuk suatu proses Poisson periodik yang tidak diketahui periodenya. Untuk kasus pendugaan fungsi intensitas yang periodenya diketahui telah dilakukan kajian perumusan penduga tipe kernel serta pembuktian kekonvergenan lemah dan kuat dari penduga tersebut (Mangku 2006a) dan pembuktian kenormalan asimtotik dari penduga yang diperoleh (Mangku 2006b).

4

PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI

PERIODIK KALI TREN FUNGSI PANGKAT PADA PROSES

POISSON NON-HOMOGEN

Perumusan Penduga

Masalah pendugaan fungsi intensitas pada persamaan (3) dapat disederhanakan dengan hanya menduga komponen periodik dari fungsi intensitas yaitu . Fungsi merupakan fungsi periodik dengan periode , sehingga untuk menduga pada cukup diduga pada . Berdasarkansifat keperiodikan, maka dapat dituliskan menjadi

(4) adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol, yaitu

(5) diperoleh dengan menentukan rata-rata banyaknya kejadian pada interval - . Secara matematis dapat dituliskan menjadi

(6)

Dari persamaan (3) dan (6) diperoleh penduga bagi komponen periodik fungsi intensitas, yaitu

(7)

5 pada Ismayulia (2011) dan Ramdani (2011).

Teorema 1 (Kekonvergenan MSE Penduga)

Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika

asumsi dipenuhi dan , maka untuk ,

asalkan s adalah titik Lebesgue bagi .

Bukti: Berdasarkan definisi MSE, yaitu

dengan - (Casella dan Berger 2002), Teorema 1 merupakan akibat dari dua Lema berikut, yaitu Lema 1 tentang ketakbiasan asimtotik dan Lema 2 tentang kekonvergenan ragam.

Lema 1 (Ketakbiasan Asimtotik)

6 melakukan penggantian peubah pada persamaan (13), maka diperoleh

(14) Karena fungsi intensitas memenuhi persamaan (3), maka

(15)

Berdasarkan sifat keperiodikan pada persamaan (4), persamaan (15) dapat ditulis menjadi

(16)

Selanjutnya, persamaan (16) disubstitusikan ke persamaan (12), sehingga diperoleh Dengan menggunakan formula Young dari Teorema Taylor (Serfling 1980) diperoleh

untuk (Lampiran 1). Oleh sebab itu, persamaan (18) menjadi

7

(20)

Untuk menunjukkan bahwa suku pertama dari persamaan (20) konvergen menuju nol, digunakan nilai yang lebih besar, yaitu

(21)

Berdasarkan asumsi untuk dan asumsi bahwa titik s merupakan titik Lebesgue dari , maka diperoleh

(Wheeden dan Zygmund 1977), maka kuantitas pada (21)konvergen ke nol untuk atau dapat ditulis o . Suku kedua pada ruas kanan dari persamaan (20) dapat diuraikan menjadi

Akibatnya, suku pertama dari persamaan (19)menjadi

sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (19) menjadi

untuk . Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh dari suku pertama dan kedua dari persamaan (19), maka diperoleh untuk

.

Lema 2 (Kekonvergenan Ragam)

Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi , terbatas di sekitar s, dan

1 , untuk ,

2 ,

3 , untuk ,

dipenuhi, maka untuk .

8

Karena untuk , maka untuk nilai n yang cukup besar, interval - dan - untuk tidak tumpang tindih. Akibatnya, berdasarkan sifat inkremen bebas dari proses Poisson, diperoleh bahwa N - dan N - untuk adalah peubah acak bebas, sehingga dapat dihitung sebagai berikut

Karena N merupakan peubah acak Poisson, maka nilai ragam N sama dengan nilai harapan N, sehingga diperoleh

(22) Berdasarkan persamaan (16), maka persamaan (22) menjadi

Dengan menggunakan formula Young dari Teorema Taylor (Serfling 1980), maka diperoleh

9  jika , maka

untuk ,

 jika , maka

untuk , dengan . Dengan demikian, persamaan (23) dapat ditulis sebagai berikut.

 Jika , maka

 Jika , maka

 Jika , maka

Karena terbatas di sekitar s, maka terdapat suatu konstanta K sehingga untuk setiap s - . Selanjutnya, integralkan pertidaksamaan

10

(29)

Kalikan kedua ruas persamaan (29) dengan sedemikian sehingga

- , maka pertidaksamaan (30) dapat ditulis menjadi

(31) Pertidaksamaan (31) ekuivalen dengan

(32)

sehingga berdasarkan persamaan (32) ruas kanan pada persamaan (26), (27), dan (28) berturut-turut dapat ditulis sebagai berikut.

 Jika , maka

Persamaan (33), (34), dan (35) konvergen ke nol untuk . Oleh sebab itu, diperoleh bahwa untuk . Lema 1 (ketakbiasan asimtotik) menunjukkan bahwa , sehingga diperoleh - . Akibatnya, berdasarkan definisi MSE (Casella dan Berger 2002) diperoleh . Dengan demikian, Teorema 1 terbukti.

Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam, dan MSE

Teorema 2 (Aproksimasi Asimtotik bagi Bias)

11 memiliki nilai yang terbatas di sekitar s.

Dengan menggunakan formula Young dari Teorema Taylor (Serfling 1980), maka diperoleh

untuk . Bila diuraikan menjadi

Suku pertama dari ruas kanan pada persamaan (36) dapat dituliskan menjadi

(37) dan suku ketiga dapat diuraikan menjadi

(39)

12

(40)

untuk . Kemudian hasil uraian dari persamaan (37), (38), (39), dan (40) digabungkan sehingga persamaan (36) dapat dituliskan sebagai berikut

untuk . Akibatnya, ruas kanan dari persamaan (19) menjadi untuk . Jadi, Teorema 2 terbukti.

Teorema 3 (Aproksimasi Asimtotik bagi Ragam)

Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi dipenuhi dan s adalah titik Lebesgue bagi , maka

jika . Kemudian suku kedua pada ruas kanan persamaan (26), (27), dan (28) berturut-turut sama seperti suku kedua pada ruas kanan persamaan (33), (34), dan (35) serta konvergen ke nol. Akibatnya, suku pertama dari persamaan (26), (27), dan (28) berturut-turut dapat ditulis sebagai berikut.

 Jika , maka

13 penduga bagi kasus tersebut adalah

Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga tersebut sama seperti yang dikaji oleh Ramdani (2011).

Teorema 4 (Aproksimasi Asimtotik bagiMSE)

Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (3) dan terintegralkan lokal. Jika asumsi dipenuhi dan memiliki turunan kedua berhingga pada s,

Bukti: Dengan menggunakan definisi MSE diperoleh

14

Penentuan Bandwith _{Optimal Asimtotik}

Suatu penduga yang baik adalah penduga yang memiliki MSE bernilai adalah dengan membuat turunan pertama dari sama dengan nol untuk nilai n yang tetap, yaitu

15

16

 untuk ,

Karena , , n, , , dan bernilai positif, maka . Oleh sebab itu, yang telah diperoleh tersebut meminimumkan , sehingga nilai optimal bagi bandwith sebagai berikut.

 Untuk ,

Bandwith optimal yang diperoleh tersebut bersifat asimtotik karena nilai tidak diketahui.

Contoh Penyusunan Penduga Menggunakan Data Bangkitan

Penyusunan penduga dengan menggunakan data bangkitan ini secara komputasi dilakukan dengan menggunakan program R_{. Program} R _tersebut

digunakan untuk membangkitkan suatu realisasi proses Poisson periodik dengan ukuran sampel yang terbatas. Ukuran sampel yang dipilih pada contoh simulasi ini adalah [0,500]. Metode yang digunakan untuk membangkitkan realisasi dari proses Poisson tersebut adalah metode Monte Carlo. Data yang dibangkitkan dengan metode Monte Carlo tersebut digunakan untuk menduga fungsi intensitas dari proses Poisson periodik.

Dalam simulasi ini digunakan fungsi intensitas seperti yang telah didefinisikan pada persamaan (3), yaitu

17

Berdasarkan Teorema 2 dan Teorema 3, aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan, bias, dan ragam penduga yang diperoleh adalah berturut-turut sebesar 8.56473, 0.121989,dan 0.0105053. Selanjutnya, dilakukan simulasi Monte Carlo dengan ulangan sebanyak 500 kali untuk memverifikasi pendekatan asimtotik untuk bias dan ragam penduga dari di titik s = 5.5. Dari simulasi tersebut diperoleh nilai harapan dan ragam penduga adalah berturut-turut sebesar 8.104348 dan 0.02260234. Bila nilai harapan yang diperoleh dari hasil simulasi ini dibandingkan dengan nilai aproksimasi asimtotiknya, maka kesalahan yang dihasilkan sebesar 5.68 %.

SIMPULAN

Pada karya ilmiah ini dibahas penyusunan penduga konsisten bagi komponen periodik fungsi intensitas dari suatu proses Poisson non-homogen yang berbentuk fungsi periodik dikali tren berupa fungsi pangkat. Fungsi intensitas tersebut tidak diketahui dan diasumsikan terintegralkan lokal. Untuk setiap

, fungsi intensitas dapat dinyatakan sebagai berikut

dengan merupakan fungsi periodik dengan periode diketahui dan konstanta a > 0 merupakan kemiringan dari tren. Misalkan , maka fungsi intensitas dapat dituliskan menjadi

dengan juga merupakan fungsi periodik. Masalah pendugaan fungsi intensitas tersebut dapat disederhanakan dengan hanya menduga pada . Penduga bagi di titik adalah

Gambar 1 Fungsi intensitas dan nilai dugaannya pada interval pengamatan [0,500]

18

dengan N menyatakan banyaknya kejadian pada interval [0,n] dan hn

adalah barisan bilangan real positif yang konvergen ke nol yang disebut bandwith. Berdasarkan kajian yang dilakukan, dapat disimpulkan sebagai berikut.

1 Penduga bagi , dinotasikan , adalah penduga tak bias asimtotik dan

untuk . Oleh sebab itu, diperoleh untuk .

2 Aproksimasi asimtotik bagi bias penduga adalah

untuk .

3 Aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga adalah

4 Aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga adalah

19 Berdasarkan simulasi yang dilakukan pada interval pengamatan [0,500], dapat disimpulkan bahwa nilai dugaan dari fungsi intensitas akan menghampiri nilai fungsi intensitas yang sebenarnya.

DAFTAR PUSTAKA

Casella G, Berger RL. 2002. Statistical Inference. 2nd ed. Pasific Grove (US): The Wardsworth Group.

Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate Analysis. 84:19-39.

Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Annals Institute of Statistical

Mathematics. 61(3):599-628.

Ismayulia W. 2011. Pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren linear suatu proses Poisson non-homogen [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

Mangku IW. 2006a. Weak and strong convergence of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its Applications. 5:1-12.

Mangku IW. 2006b. Asymptotic normality of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its Applications. 5: 13-22.

Mangku IW. 2011. Estimating the intensity obtained as the product of a periodic function with the linear trend of a non-homogeneous Poisson process. Far East Journal of Mathematical Science (FJMS). 51:141-150.

Ramdani P. 2011. Pendugaan komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren kuadratik suatu proses Poisson non-homogen [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York (US): J Wiley.

20

Lampiran 1 Formula Young dari Teorema Taylor

Misal merupakan fungsi yang memunyai turunan ke-n yang terhingga pada suatu titik , maka

untuk (Serfling 1980).

Dengan menggunakan formula Young dari Teorema Taylor, maka diperoleh

Karena untuk , maka perilaku dari sama dengan . Oleh sebab itu, persamaan di atas dapat ditulis menjadi

Dengan demikian,

Karena untuk , maka perilaku dari sama dengan . Oleh sebab itu, persamaan di atas dapat ditulis menjadi

21 Lampiran 2 Program Simulasi

Program Membangkitkan Realisasi Poisson Periodik untuk Interval Pengamatan [0,500]

Program Membangkitkan Penduga untuk Interval Pengamatan [0,500]

duga<-function(data,wsize,titik,band,tau)

Program Menampilkan Grafik Penduga untuk Interval Pengamatan [0,500]

22 {

x<-seq(a,b,0.05)

ytrue<-2*exp(sin((2*pi*x)/tau))*(x^0.5)

plot(x,ytrue,xlim=c(0,20),ylim=c(0,25),type="l",col=4) par(new=T)

plot(x,lamdaduga1,xlim=c(0,20),ylim=c(0,25),type="o",col=2) }

gambar1<-Gambar(0,20,5)

Program Memeriksa Pendekatan Asimtotik untuk Bias dan Ragam Penduga

penduga<-function(wsize,titik,band,tau,L) {

dugaan<-1:L for(l in 1:L) {

data<-Random(wsize,tau)

dugaan[l]<-duga(data,wsize,titik,band,tau) }

return(dugaan) }

dugaan<-penduga(500,5.5, 0.359409,5,500) mean(dugaan)

[1] 8.104348 var(dugaan) [1] 0.02260234

s<-5.5

23

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 30 Oktober 1991 sebagai anak keempat dari pasangan Dedy Suriadhi dan Enah Rohaniah. Tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 5 Bogor dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB dan diterima di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.