KEKONSISTENAN PENDUGA KOMPONEN PERIODIK
FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK PERKALIAN
FUNGSI PERIODIK DENGAN TREN KUADRATIK PADA
PROSES POISSON NON HOMOGEN
TASLIM
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Kekonsistenan Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Perkalian Fungsi Periodik dengan Tren Kuadratik pada Proses Poisson Non Homogen adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Mei 2011
Taslim
ABSTRACT
TASLIM. Consistent Estimation of Periodic Component of Intensity Function Having Form of Periodic Function Multiplied by a Quadratic Trend of a Non-Homogenous Poisson Process. Under supervision of I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI.
In this thesis, estimation of periodic component of intensity function having form of periodic function multiplied by a quadratic trend of a non-homogenous Poisson process by using general kernel is discussed. It is considered the worst case where there is only available a single realization of the Poisson process having intensity obtained as a product of a periodic function with a quadratic trend, observed in interval [0,n]. It is assumed that the period of the periodic component is known. In this manuscript, weak consistency of a kernel-type estimator for the periodic component of the considered intensity function is established. The rate of consistency, complete convergence and strong consistency of the estimator are also formulated .
RINGKASAN
TASLIM. Kekonsistenan Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Perkalian Fungsi Periodik dengan Tren Kuadratik pada Proses Poisson Non Homogen. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan RETNO BUDIARTI.
Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari seperti untuk memodelkan proses kedatangan para pelanggan pada suatu pusat layanan seperti supermarket, kedatangan dan antrian nasabah di suatu bank, dan lain sebagainya.Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik.
Proses kedatangan para pelanggan pada suatu pusat layanan seperti supermarket, kedatangan dan antrian nasabah di suatu bank dan lain-lain dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Pada proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi intensitas λ(s) menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu s. Namun, jika laju kedatangan pelanggan tersebut meningkat mengikuti suatu fungsi tren terhadap waktu, maka model yang sesuai untuk kasus ini adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren. Pada penelitian ini dikaji suatu kasus khusus, yaitu jika trennya berupa fungsi kuadrat. Model fungsi intensitas yang dikaji adalah fungsi periodik dikalikan dengan tren kuadratik. Pada penelitian ini dibahas kekonsistenan penduga komponen periodik fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik kali tren kuadratik pada proses Poisson non homogen.
Pada penelitian ini metode yang digunakan untuk menduga fungsi intensitas proses Poisson periodik dikalikan tren kuadratik adalah metode nonparametrik tipe kernel umum (Helmers et al., 2003). Sebagai alur dari penelitian ini, pertama merumuskan penduga. Kemudian membuktikan penduga adalah penduga konsisten lemah dan Mean Square Error (MSE) konvergen ke nol. untuk membuktikan kekonsistenan lemah diperlukan pembuktian lema ketakbiasan asimtotik dan kekonvergenan ragam. Selanjutnya menentukan laju kekonsistenan penduga, untuk menentukan laju kekonsistenan diperlukan pembuktian aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan dan aproksimasi asimtotik bagi ragam. Terakhir, membuktikan kekonvergenan lengkap penduga yang berimplikasi penduga adalah penduga kekonsistenan kuat.
Misalkan N adalah proses Poisson nonhomogen pada interval [0, ) dengan fungsi intensitas λ yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan merupakan hasil kali dari dua komponen, yaitu hasil kali suatu komponen periodik (siklik) dengan periode > 0 dengan suatu komponen tren yang berbentuk fungsi kuadratik. Dengan kata lain untuk setiap titik s [0, )kita dapat menuliskan fungsi intensitas sebagai berikut
* 2
dimana c*( )s adalah suatu fungsi periodik dengan periode dan a adalah koefisien dari tren kuadratik. Karena a( c* ( ))s juga fungsi periodik dengan periode , maka secara umum fungsi intensitas dapat ditulis sebagai berikut
2
( )s ( ( ))c s s (1)
dimana *
( ) ( )
c s a c s . Karena c adalah fungsi periodik maka persamaan
( ) ( )
c s k c s (2)
berlaku untuk setiap s [0, )dan k dengan adalah himpunan bilangan bulat.
Misalkan bahwa untuk suatu , hanya terdapat realisasi tunggal N( )dari proses Poisson N yang terdefinisi pada ruang peluang ( ,, P) dengan fungsi intensitas seperti pada (1) yang diamati pada interval terbatas [0, n]. Berdasarkan persamaan (1), untuk menduga ( )s pada titik s [0, ), cukup diduga c( )s pada titik s [0, ).
Penduga tipe kernel dari c( )s pada s [0, ) dirumuskan sebagai berikut:
, , 2 0
1 ( )
ˆ ( ) ( ).
( )
n c n K
k
n n
x s k
s K N dx
n h s k h
Dari hasil pengkajian yang dilakukan, dengan suatu syarat tertentu, diperoleh hasil sebagai berikut :
(i) Penduga ˆc n K, , ( )s adalah penduga tak bias asimtotik bagi c( )s dan ragam dari ˆc n K, , ( )s konvergen menuju nol, sehingga ˆc n K, , ( )s merupakan penduga konsisten bagi c( )s dan MSE(ˆc n K, , ( ))s 0 jika n .
(ii) Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan
ˆc n K, , s =
1
2 2 2
1 ( ) ( )
2
c
c n n
s
s h x K x dx o h .
(iii) Aproksimasi asimtotik bagi ragam
2
1 2
, , 2 1 2
1
ˆ
6 c c n K
n n
s
Var s K x dx
n h n h .
(iv) Untuk setiap min 2 ,1
2 , n ˆc n K, , ( )s c( )s konvergen dalam peluang menuju nol jika n , yaitu ˆc n K, , ( )s merupakan penduga konsisten bagi c( )s dengan laju
1
n .
(v) Penduga ˆc n K, , ( )s konvergen lengkap ke c( )s untuk n , yang juga berimplikasi ˆc n K, , ( )s merupakan penduga konsisten kuat bagi c( )s .
© Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2011 Hak cipta dilindungi Undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa
mencantumkan atau menyebutkan sumber
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian,
penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut
Pertanian Bogor.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh
KEKONSISTENAN PENDUGA KOMPONEN PERIODIK
FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK PERKALIAN
FUNGSI PERIODIK DENGAN TREN KUADRATIK PADA
PROSES POISSON NON HOMOGEN
TASLIM
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Tesis : Kekonsistenan Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Perkalian Fungsi Periodik dengan Tren Kuadratik pada Proses Poisson Non Homogen
Nama : Taslim
NIM : G551090061
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. Ir. Retno Budiarti, M.S. Ketua Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr.
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Judul yang dipilih pada penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2010 ini adalah Kekonsistenan Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas Berbentuk Perkalian Fungsi Periodik dengan Tren Kuadratik pada Proses Poisson Non Homogen
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. dan Ir. Retno Budiarti, M.S. selaku pembimbing yang telah banyak membimbing dan mengarahkan, serta Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. selaku penguji dan selaku ketua Program Studi Matematika Terapan yang telah banyak memberikan saran. Ucapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa. Kemudian kepada ibu, istri dan anak serta seluruh keluarga yang memberikan motivasi, semangat, do’a dan kasih sayang, penulis menyampaikan penghargaan dan terima kasih.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Mei2011
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Pulau Panggung pada tanggal 5 Desember 1979 dari ayah (Alm) Abdul Aziz Sa’ban dan ibu Nurhayani. Penulis merupakan putra kedua dari lima bersaudara.
DAFTAR ISI
Halaman
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan Penelitian ... 2
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ... 3
2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran ... 4
2.3 Momen dan Nilai Harapan ... 5
2.4 Kekonvergenan ... 6
2.5 Penduga Tak Bias dan Penduga Konsisten ... 8
2.6 Beberapa Definisi dan Lema Teknis ... 9
2.7 Proses Poisson Periodik ... 12
2.8 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik ... 15
BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANYA 3.1 Perumusan Penduga bagi c( )s ... 17
3.2 Kekonsistenan dari ˆc n K, , ( )s ... 19
BAB IV LAJU KEKONSISTENAN LEMAH DAN KEKONSISTENAN KUAT PENDUGA 4.1 Laju Kekonsistenan Lemah Penduga ... 27
4.2 Kekonsistenan Kuat Penduga ... 32
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan ... 35
5.2 Saran ... 35
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Terdapat banyak fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang dapat
dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan model yang
berkaitan dengan suatu aturan-aturan peluang. Proses stokastik mempunyai
peranan penting dalam berbagai bidang pada kehidupan sehari-hari seperti untuk
memodelkan proses kedatangan para pelanggan pada suatu pusat layanan seperti
supermarket, kedatangan dan antrian nasabah di suatu bank, dan lain sebagainya.
Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu
diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk dari proses
stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson
periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi
periodik.
Proses kedatangan para pelanggan pada suatu pusat layanan seperti
supermarket, kedatangan dan antrian nasabah di suatu bank dan lain-lain dapat
dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Pada
proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi intensitas λ(s) menyatakan laju
kedatangan pelanggan pada waktu s. Namun, jika laju kedatangan pelanggan
tersebut meningkat mengikuti suatu fungsi tren terhadap waktu, maka model yang
sesuai untuk kasus ini adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren. Pada
penelitian ini dikaji suatu kasus khusus, yaitu jika trennya berupa fungsi kuadrat.
Model fungsi intensitas yang dikaji adalah fungsi periodik dikalikan dengan tren
kuadratik.
Pada penelitian-penelitian sebelumnya telah dikaji pendugaan fungsi
intensitas proses Poisson periodik tanpa tren dan fungsi intensitas yang berupa
fungsi periodik ditambah dengan tren linear atau tren berupa fungsi pangkat.
Kajian yang belum dilakukan adalah pendugaan fungsi intensitas berbentuk
perkalian fungsi periodik dengan suatu tren kuadratik. Pada penelitian ini dibahas
kekonsistenan lemah dan kuat penduga komponen periodik fungsi intensitas
berbentuk perkalian fungsi periodik dengan tren kuadratik pada proses Poisson
non homogen.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk :
i. Mengkaji pembentukan penduga kernel bagi komponen periodik fungsi
intensitas berbentuk perkalian fungsi periodik dengan tren kuadratik pada
proses Poisson non homogen.
ii. Membuktikan kekonsistenan lemah bagi penduga yang dikaji.
iii. Menentukan laju kekonsistenan lemah bagi penduga yang dikaji.
iv. Membuktikan kekonvergenan lengkap dan kekonsistenan kuat bagi penduga
yang dikaji.
3
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
Definisi 2.1 (Ruang contoh dan kejadian)
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasilnya
tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan
hasil yang muncul disebut percobaan acak. Himpunan semua hasil yang mungkin
dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh dan dinotasikan dengan Suatu
kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh.
(Ross, 2007)
Definisi 2.2 (Medan- )
Medan - adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian ruang contoh yang memenuhi syarat – syarat berikut :
1. Ø.
2. Jika A maka Ac.
3. Jika A1, A2,… maka i1Ai
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Jadi, suatu himpunan disebut Medan - ( field ) jika ∅ adalah anggota , tertutup terhadap operasi union tak hingga, dan tertutup terhadap operasi komplemen.
Definisi 2.3 (Ukuran peluang)
Suatu ukuran peluang pada (Ω,) adalah suatu fungsi : → [0,1] yang memenuhi syarat – syarat berikut:
1. (∅) = 0 dan (Ω) = 1
2. Jika A1, A2…..∈ adalah himpunan – himpunan yang saling lepas, yaitu
Ai ∩ Aj = ∅ untuk setiap pasangan i, j dengan i≠ j, maka :
1 1
( )
i i
i i
A A
.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 2.4 (Kejadian saling bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika: ( A B) ( ) ( ).A B Secara
umum himpunan kejadian
A ii; I
dikatakan saling bebas jika :( )
i i
i j i j
A A
untuk setiap himpunan bagian J dari I.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
2.2 Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 2.5 (Peubah acak)
Peubah acak X adalah fungsi X: dengan
:X( ) x
untuk setiap x.(Grimmett dan Stirzaker,1992)
Definisi 2.6 (Fungsi sebaran)
Fungsi sebaran dari suatu Peubah acak X adalah fungsi FX :
0,1 , yang didefinisikan oleh FX( )x (X x).(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 2.7 (Peubah acak diskret)
Peubah acak X dikatakan diskret jika semua himpunan nilai { ,x x1 2,...} dari peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 2.8 (Fungsi kerapatan peluang)
Fungsi kerapatan peluang dari suatu peubah acak diskret X adalah fungsi
: [0,1]
X
p dengan pX( )x (X x).
5
2.3 Momen dan Nilai Harapan
Definisi 2.9 (Momen)
Jika X adalah peubah acak diskret, maka momen ke - m dari X didefinisikan
sebagai m im X( )i i
X x p x
jika jumlahnya konvergen, dimana xi , untuk i = 1,
2, … , menyatakan semua kumpulan nilai X, denganpX( )xi 0. Jika jumlahnya
divergen, maka momen ke - m dari peubah X dikatakan tidak ada.
(Taylor dan Karlin, 1984)
Momen pertama dari peubah acak X, yaitu untuk m = 1 disebut nilai harapan dari
X dan dinotasikan dengan [ ]X atau µ.
Definisi 2.10 (Momen pusat)
Momen pusat ke –m dari peubah acak X didefinisikan sebagai momen ke –m dari
peubah acak
X [ ]X
.(Taylor dan Karlin, 1984)
Momen pusat pertama adalah nol. Ragam dari peubah acak X adalah momen pusat
kedua dari peubah acak tersebut dan dinotasikan sebagai
2( ) [ ]
Var X X X .
Lema 1
Jika X adalah peubah acak diskret dengan ragam yang berhingga, maka untuk
sebarang konstanta c dan d, berlaku Var(cX + d) = c2Var(X).
(Casella dan Berger, 1990)
Bukti :
Dari definisi A.10 kita dapat menuliskan bahwa
( )
Var cXd ((cX d) (cX d))2 2 ((cX d) c( ( )X d))
2 ( (c X ( )))X
2 2
( (c X ( )) )X
2 2
(( ( )) )
c X X
2 ( )
c Var X
.
Definisi 2.11 (Kovarian)
Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, dan misalkan pula X dan Y
masing – masing menyatakan nilai harapan dari X dan Y. Kovarian dari X dan Y
didefinisikan sebagai Cov X Y( , ) ((X X)(YY)).
(Casella dan Berger, 1990)
Lema 2
Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, dan misalkan pula c dan d adalah
dua buah konstanta sebarang, maka Var(cX + dY) = c2Var(X) + d2Var(Y) +
2cdCov(X,Y). Jika X dan Y peubah acak saling bebas, maka Var(cX + dY) =
c2Var(X) + d2Var(Y).
(Casella dan Berger, 1990)
Bukti :
2Var cX dY cX dY cXdY
2( )
cX dY c X d Y
2c X X d Y Y
2
2
2 2
2
c X X d Y Y cd X X Y Y
2 2
2
c Var X d Var Y cd X X Y Y
2 2 2 ,
c Var X d Var Y cdCov X Y
.
Jadi Lema 2 terbukti.
2.4 Kekonvergenan
Definisi 2.12 (Kekonvergenan barisan bilangan nyata) Barisan { }an disebut
mempunyai limit L dan ditulis : lim n
na = L atau an→ L jika n→ ∞, apabila untuk
setiap ε > 0 terdapat sebuah bilangan M sedemikian rupa sehingga jika n > M
makaan L .. Jika lim n
na = L ada, maka dikatakan barisan tersebut
konvergen. Jika tidak, maka barisan tersebut divergen.
7
Lema 3 (Deret-p)
Deret 1
1
p n n
(disebut juga deret-p) konvergen jika p > 1, dan divergen jika p≤ 1.(Steawart, 1999)
Definisi 2.13 (Konvergen dalam peluang)
Misalkan X1,X2,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P). Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan
p n
X X, jika untuk setiap ε > 0, berlaku lim
n
0n X X .
(Serfling, 1980)
Definisi 2.14 (Konvergen dalam rataan ke – r)
Misalkan X1,X2,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P). Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen dalam rataan ke-r ke peubah acak X,
dengan r ≥ 1, ditulis XnrX untuk n , jika Xn r untuk semua n
dan
XnX r
0 untuk n .(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 2.15 (Konvergen hampir pasti)
Misalkan X1,X2,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P). Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen hampir pasti ke peubah acak X,
ditulis as n
X X, untuk n , jika untuk setiap ε > 0,
lim n 1 .
n X X
Dengan kata lain konvergen hampir pasti adalah
konvergen dengan peluang satu.
Definisi 2.16 (Konvergen lengkap)
Misalkan X1,X2,…Xn adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P). Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen lengkap ke peubah acak X, jika
untuk setiap 0, berlaku
1 n
n
X X
.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 2.17 (Konvergen dalam sebaran)
Misalkan X1,X2,…X adalah peubah acak dalam ruang peluang (Ω, , P). Barisan peubah acak Xn dikatakan konvergen dalam sebaran ke peubah acak X,
ditulis Xn dX, jika P(Xn ≤ x) → P(X≤ x) untuk n , untuk semua titik x
dimana fungsi sebaran FX(x) adalah kontinu.
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
2.5 Penduga Tak Bias dan Penduga Konsisten
Definisi 2.18 (Statistik)
Statistik merupakan suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak
tergantung pada parameter (yang tidak diketahui).
(Hogg et al, 2005)
Definisi 2.19 (Penduga)
Misalkan X1, X2,…, Xn adalah contoh acak. Suatu statistik U = U(X1, X2,…, Xn) =
U(X) yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g(θ) disebut penduga bagi
g(θ) . Nilai amatan U(X1, X2,…, Xn) dari U dengan nilai amatan X1 = x1, X2 = x2, … Xn = xn disebut sebagai dugaan bagi g(θ).
(Hogg et al, 2005)
Definisi 2.20 (Penduga tak – bias)
U(X) disebut penduga tak bias bagi g(θ), bila [ ( )]U X g( ) . Bila [ ( )]U X g( ) b( )
, maka b(θ) disebut bias dari penduga U(X). Bila
lim [ ( )] ( )
nU X g maka U(X) disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi
g(θ).
9
Definisi 2.21 (Penduga konsisten)
(i) Suatu statistik U(X1, X2,…, Xn) yang konvergen dalam peluang ke parameter
g(θ), yaitu ( 1, 2,..., ) p ( )
n
U X X X g , untuk n , disebut penduga
konsisten bagi g(θ).
(ii) Jika ( 1, 2,..., ) as ( )
n
U X X X g untuk n , maka U(X1, X2,…, Xn)
disebut penduga konsisten kuat bagi g(θ). (iii) Jika ( 1, 2,..., ) r ( )
n
U X X X g untuk n , maka U(X1, X2,…, Xn)
disebut penduga konsisten dalam rataan ke-r bagi g(θ).
(Grimmett dan Stirzaker, 1992)
Definisi 2.22 (Mean square error)
Mean Square Error (MSE) dari penduga ˆn untuk parameter θ adalah fungsi dari
θ yang didefinisikan oleh E( ˆn )2.
(Casella dan Berger, 1990)
Dengan kata lain MSE adalah nilai harapan kuadrat dari selisih antara penduga ˆn
dan parameter θ. Sehingga diperoleh
2 2
ˆ ˆ ˆ
( n ) ( ) (n ( n ))
E Var E
Var( ) (ˆn Bias( ))ˆn 2.
2.6 Beberapa Definisi dan Lema Teknis
Definisi 2.23 (O(.) dan o(.))
Simbol O(.) dan o(.) adalah cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u(x)
dan v(x) dengan x menuju suatu limit L.
(i) Notasi u(x) = O(v(x)), x→ L, menyatakan bahwa ( ) ( )
u x
v x terbatas, untuk x→ L.
(ii) Notasi u(x) = o(v(x)), x→L, menyatakan bahwa ( ) ( )
u x
v x → 0 , untuk x→ L.
Definisi 2.24 (Momen kedua terbatas)
Peubah acak X disebut mempunyai momen kedua terbatas jika E(X2) terbatas.
(Helms, 1996)
Definisi 2.25 (Fungsi indikator)
Fungsi indikator dari suatu himpunan A, sering ditulis IA(x), didefinisikan sebagai
1,
{ }
0,
jika x A
I x A
selainnya
(Casella dan Berger, 1990)
Lema 4 (Ketaksamaan Markov)
Jika X adalah peubah acak, maka untuk suatu t > 0, (X t) [X ]. t
(Ghahramani, 2005)
Lema 5 (Ketaksamaan Chebyshev)
Jika X adalah peubah acak dengan nilai harapan dan ragam terbatas σ2 maka 2
2 (X t)
t
untuk setiap t≥ 0.
(Ghahramani, 2005)
Bukti :
Karena
X
2 0, dengan ketaksamaan Markov
2
22 2
2 2
( )
(X ) t X
t t
.
Oleh karena
X
2 t2 adalah eqivalen X t, maka Lema 5 terbukti.Lema 6 (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz)
Jika X dan Y adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka
2 2 2
( [ XY]) [ ]X E Y[ ] dan akan sama dengan jika dan hanya jika P(X = 0) atau P(Y = aX) = 1 untuk suatu konstanta a.
11
Bukti
Untuk semua bilangan real a, (XaY)2 0.
Oleh karena itu untuk semua nilai dari a, 2 2 2
2 0
X XYa a Y .
Karena peubah acak nonnegatif, maka nilai harapannya juga nonnegatif, yaitu
(X22XYaa Y2 2)0
( 2) 2 ( ) 2 ( 2) 0
X XY a a Y
Dengan menuliskan dalam persamaan polinomial derajat 2, maka
a2(Y2) 2 ( XY a) (X2)0.
Misalkan A (Y2), B 2 (XY), dan C (X2). Perhatikan bahwa polinomial berderajat 2 yang memiliki paling banyak sebuah akar real, maka
dikriminannya tak positif. Sehingga
2 4 0
B AC
4
(XY)
2 4 (X2) (Y2)0
(XY)
2 (X2) (Y2). Jadi, Lema 6 terbukti.Lema 7 (Lema Borel-Contelli)
(i) Misalkan {An} adalah sebarang kejadian, jika 1
{ }n n
P A
, maka
P(An terjadi sebanyak tak hingga kali) = 0.
(ii) Misalkan {An} adalah sebarang kejadian yang saling bebas. Jika
1 { }n
n
A
, maka (An terjadi sebanyak tak hingga kali) = 1.
(Durret, 1996)
Lema 8 (Teorema Fubini)
Jika f≥ 0 atau f d maka ( , ) ( ) ( )2 1 ( , ) ( ) ( )1 2
X Y XxY Y X
f x y dy dx fd f x y dx dy
.
Definisi 2.26 (Terintegralkan lokal)
Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal, jika untuk sebarang himpunan
Borel terbatas B kita peroleh ( ) ( ) .
B
B s ds
(Dudley, 1989)
Definisi 2.27 (Titik Lebesgue)
Suatu titik s disebut titik Lebesgue dari suatu fungsi , jika
0 1
lim ( ) ( ) 0
2
h
h hh u s s du .
(Wheeden dan Zygmund, 1977)
2.7 Proses Poisson Periodik
Definisi 2.28 (Proses stokastik)
Proses stokastik X = { X(t) , t T } adalah suatu himpunan dari peubah acak
yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu state S.
(Ross, 2007)
Dengan demikian X(t) adalah suatu peubah acak, dengan t adalah elemen dari T
yang sering diinterpretasikan sebagai satuan waktu (walaupun tidak harus
merupakan waktu). X(t) dapat dibaca sebagai state (keadaan) dari suatu proses
pada waktu t. Dalam hal ini, suatu ruang state S dapat berupa himpunan bilangan
real atau himpunan bagiannya.
Definisi 2.29 (Proses stokastik dengan waktu kontinu)
Suatu proses stokastik { X(t) , t T } disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T merupakan suatu interval.
(Ross, 2007)
Definisi 2.30 (Inkremen bebas)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu { X(t) , t T } disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t0 < t1 < t2 < ... < tn , peubah acak X(t1) –
X(t0), X(t2) – X(t1), X(t3) – X(t2) , ... , X(tn) – X(tn–1) , adalah saling bebas.
13
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu
kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada
interval waktu yang tidak saling tumpang tindih (tidak overlap) adalah saling
bebas.
Definisi 2.31 (Inkremen stasioner)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu { X(t) , t T } disebut memiliki inkremen stasioner jika X(t + s) – X(t) memiliki sebaran yang sama untuk semua
nilai t.
(Ross, 2007)
Dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X akan
mempunyai inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai pada sembarang
interval hanya tergantung pada panjang interval tersebut dan tidak tergantung
pada lokasi dimana interval tersebut terletak. Salah satu bentuk khusus dari proses
stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson. Pada proses Poisson,
kecuali dinyatakan secara khusus, dianggap bahwa himpunan indeks T adalah
interval bilangan real tak negatif, yaitu interval [0,).
Definisi 2.32 (Proses pencacahan)
Suatu proses stokastik { N(t), t > 0 } disebut proses pencacahan jika N(t)
menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.
Dari definisi tersebut, maka proses pencacahan N(t) harus memenuhi syarat-syarat
sebagai berikut:
(i). N(t) 0 untuk setiap t [0,). (ii). Nilai N(t) adalah integer.
(iii). Jika s < t maka N(s) N(t), s, t [0,).
(iv). Untuk s < t, maka N(t) - N(s) sama dengan banyaknya kejadian yang
terjadi pada interval (s,t].
(Ross, 2007)
Definisi 2.33 (Proses Poisson)
Suatu proses pencacahan { N(t), t 0 } disebut proses Poisson dengan laju ,
(i). N(0) = 0
(ii). Proses tersebut mempunyai inkremen bebas.
(iii). Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t,
memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan t. Jadi
( )
( ( ) ( ) ) ; 0,1, 2,... !
t k
e t
P N t s N s k k
k
(Ross, 2007)
Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen
stasioner. Dari syarat ini juga dapat diketahui bahwa ( ( ))N t t. Proses
Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu t disebut
proses Poisson homogen. Jika laju bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi
dari waktu, (t), maka disebut proses Poisson tak homogen. Untuk kasus ini, (t)
disebut fungsi intensitas dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas (t) harus
memenuhi syarat (t)≥ 0 untuk semua t.
Definisi 2.34 (Intensitas lokal)
Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas
pada titik s adalah (s), yaitu nilai fungsi di s.
(Cressie, 1993)
Definisi 2.35 (Fungsi intensitas global)
Misalkan N([0,n]) adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi intensitas
global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai:
([0, ]) lim
n
N n
n
jika limit di atas ada.
(Cressie, 1993)
Definisi 2.36 (Fungsi periodik)
Suatu fungsi disebut periodik jika (s + k) = (s) untuk semua sdan
k, dengan adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil yang
15
Definisi 2.37 (Proses Poisson periodik)
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya
adalah fungsi periodik.
(Mangku, 2001)
2.8 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik
Fungsi intensitas suatu proses Poisson merupakan laju proses Poisson
tersebut. Fungsi intensitas dapat dibedakan menjadi dua, yaitu fungsi intensitas
lokal (yang lebih sering hanya disebut fungsi intensitas) dan fungsi intensitas
global. Fungsi intensitas lokal menyatakan laju proses Poisson di titik tertentu,
sedangkan fungsi intensitas global menyatakan rata-rata laju suatu proses Poisson
pada suatu interval dengan panjang menuju tak hingga.
Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal suatu proses
Poisson di titik s ialah dengan menaksir rata-rata banyaknya kejadian proses
Poisson tersebut pada interval waktu di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan
{ }hn adalah barisan bilangan real positif dengan sifat hn 0dan N[0,t]
menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval [0,t], maka intensitas
lokal di titik s dapat dihampiri dengan 1 ([ , ]). 2hn N s h s n hn
Sedangkan pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas
global suatu proses Poisson adalah dengan menaksir rata-rata banyaknya kejadian
proses Poisson tersebut pada interval waktu [0,n]. Secara matematis, intensitas
global dapat dihampiri dengan 1N([0, ]).n n
Penduga fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dapat dibedakan
berdasarkan periodenya, yaitu proses Poisson dengan periode yang diketahui dan
periode yang tidak diketahui. Untuk periode yang tidak diketahui, kekonsistenan
penduga tipe kernel dari fungsi intensitas proses Poisson periodik (tanpa tren)
telah dibuktikan pada Helmers et al. (2003). Adapun untuk periode yang
diketahui, kekonvergenan lemah dan kuat penduga tipe kernel dari fungsi
intensitas suatu proses Poisson periodik telah dibuktikan pada Mangku (2006).
Penduga fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik berkembang dengan
intensitas proses Poisson periodik ditambah suatu tren linear telah dibuktikan pada
Helmers dan Mangku (2009). Selain itu, pendugaan fungsi intensitas suatu proses
Poisson periodik yang menyertakan suatu komponen tren berbentuk fungsi
pangkat telah dilakukan pula kajiannya. Kekonsistenan penduga komponen
periodik fungsi intensitas berbentuk penjumlahan fungsi periodik dengan tren
fungsi pangkat menggunakan fungsi kernel seragam telah dikaji pada Rahayu
(2008). Kemudian kekonsistenan penduga komponen periodik tipe kernel dari
fungsi intensitas berbentuk fungsi periodik ditambah tren fungsi pangkat juga
dikaji pada Rachmawati (2010). Selanjutnya kekonsistenan lemah dan kuat dari
penduga tipe kernel fungsi intensitas berbentuk perkalian fungsi periodik dengan
tren linear pada proses Poisson telah dibuktikan pada Mangku (2011).
17
BAB III
PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA
3.1 Perumusan Penduga bagi c( )s
Misalkan N adalah proses Poisson nonhomogen pada interval [0, ) dengan
fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan
lokal dan merupakan hasil kali dari dua komponen, yaitu hasil kali suatu
komponen periodik (siklik) dengan periode > 0 dengan suatu komponen tren
yang berbentuk fungsi kuadratik. Dengan kata lain untuk setiap titik s [0, )kita
dapat menuliskan fungsi intensitas sebagai berikut
* 2
( )s ( c( ))s as
dimana *( )
c s
adalah suatu fungsi periodik dengan periode dan a adalah
koefisien dari tren kuadratik. Karena a(c* ( ))s juga fungsi periodik dengan periode , maka secara umum fungsi intensitas dapat ditulis sebagai berikut
2 ( )s ( ( ))c s s
(3.1)
dimana ( ) *( )
c s a c s
. Karena c adalah fungsi periodik maka persamaan
( ) ( )
c s k c s
(3.2)
berlaku untuk setiap s [0, )dan kdengan adalah himpunan bilangan bulat.
Misalkan bahwa untuk suatu , hanya terdapat realisasi tunggal
( )
N dari proses Poisson N yang terdefinisi pada ruang peluang ( , , P) dengan
fungsi intensitas seperti pada (3.1) yang diamati pada interval terbatas [0, n].
Diasumsikan juga bahwa s adalah titik Lebesgue dari , sehingga berlaku:
0 1
lim ( ) ( ) 0
2
h h
h h s x s dx .
Syarat cukup agar s merupakan titik Lebesgue dari adalah fungsi
kontinu di s.
Misalkan K:[0, ) merupakan fungsi yang bernilai real, dinamakan fungsi kernel, yang memenuhi sifat-sifat berikut (Helmers et al., 2003) :
(K1) K adalah fungsi kepekatan peluang
(K2) K terbatas
(K3) K memiliki daerah definisi pada [-1,1].
Misalkan juga { }hn merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen
ke 0, yaitu
0
n
h (3.3)
untuk n . Berdasarkan persamaan (3.1), untuk menduga ( )s pada titik
[0, )
s , cukup diduga c( )s pada titik s[0, ) . Dengan notasi di atas, dapat disusun penduga bagi c pada titik s[0, ) sebagai berikut
, , 2 0
0
1 ( )
ˆ ( ) ( ).
( )
n c n K
k n n
x s k
s K N dx
n h s k h
(3.4)
Ide dibalik penyusunan persamaan (3.4) mengikuti proses penyusunan
penduga tipe kernel yang telah dikerjakan pada Mangku (2011). Penyusunan
penduga tipe kernel ˆc n K, , ( )s dari c( )s adalah sebagai berikut. Karena hanya ada sebuah realisasi dari proses Poisson N yang tersedia, harus menggabungkan
informasi tentang nilai dari c( )s yang belum diketahui dari tempat yang berbeda pada interval [0,n]. Berdasarkan (3.2), untuk Nn { :k sk[0, ]}n dimana menyatakan banyaknya elemen, dapat ditulis
0 1
( ) ( ) { [0, ]}
c c
k n
s s k s k n
N
. (3.5)
Dari persamaan (3.1) dan (3.2), untuk setiap titik s dan k maka
2 ( ) ( ) ( ) ( ) c c s k
s s k
s k
. (3.6)
Dengan menyubstitusikan (3.6) ke (3.5) diperoleh
2 0
1 ( )
( ) { [0, ]}
( )
c
k n
s k
s s k n
N s k
. (3.7)
Nilai fungsi ( s k ) di titik s dapat didekati dengan nilai rata-rata nilai fungsi
pada interval [sk h sn, khn]. Maka ruas kanan (3.7) dapat didekati sebagai berikut
2
1 1 1
( ) ( ) ( [0, ])
( ) 2
n n
s k h
c s k h
k
n n
s x x n dx
N s k h
19
2
0
1 1
([ , ] [0, ])
2 ( ) n n
k n n
N s k h s k h n
N h s k
. (3.8)
Dengan mengganti N s k([ h s kn, hn] [0, ]) n dengan padanan stokastiknya yaitu ([N s k h s kn, hn] [0, ]) n maka (3.8) dapat ditulis
2 0
1 1
( ) ([ , ] [0, ])
2 ( )
c n n
k n n
s N s k h s k h n
N h s k
2 0 1
([ , ] [0, ])
2 ( ) n n
k n
N s k h s k h n
n h s k
. (3.9)
Diasumsikan bahwa hn konvergen ke 0 dan s adalah titik Lebesgue dari ,
yang secara otomatis s juga merupakan titik Lebesgue dari c. Sehingga dari (3.9)
dapat disimpulkan bahwa
, 2
0
1
ˆ ( ) ([ , ] [0, ]),
2 ( )
c n n n
k n
s N s k h s k h n
n h s k
(3.10)
adalah suatu penduga bagi c( )s . Setiap data diberi bobot yang sama dalam menentukan rata-rata banyak kejadian pada interval [skh sn, k hn]. Kalau menggunakan fungsi, maka bobotnya sesuai dengan fungsi yang dipilih.
Sehingga ˆc n, ( )s dapat ditulis sebagai berikut
, 2 0 [ 1,1]
0
1 1
ˆ ( ) ([ , ]) ( )
( ) 2
n
c n n n
k n
s s k h s k h N dx
n h s k
. (3.11)
Dengan mengganti fungsi 1 [ 1,1]
2 pada persamaan (3.11) dengan kernel umum K yang memenuhi (K1), (K2) dan (K3), maka diperoleh penduga ˆc n K, , ( )s seperti yang telah diberikan pada (3.4), yaitu
, , 2 0
0
1 ( )
ˆ ( ) ( )
( )
n c n K
k n n
x s k
s K N dx
n h s k h
.
3.2 Kekonsistenan dari ˆc n K, , ( )s
Teorema 3.1 ( Kekonsistenan ˆc n K, , ( )s )
Misalkan fungsi intensitas memenuhi (3.1) dan terintegralkan lokal. Jika
kernel K memenuhi sifat (K1), (K2), (K3), hn0 dan 2
n
n h
, ,
ˆ ( ) p ( ) c n K s c s
(3.12)
untuk n , asalkan s adalah titik Lebesque dari c. Dengan kata lain,
, , ˆ ( )
c n K s
adalah penduga konsisten bagi c. Di samping itu, Mean Square Error
(MSE) dari ˆc n K, , ( )s konvergen ke 0, untuk n , yaitu
, , ˆ
( c n K( )) 0
MSE s , (3.13)
untuk n .
Bukti :
Untuk membuktikan Teorema 3.1 diperlukan ketakbiasan asimtotik dan
kekonvergenan ragam dari penduga, sehingga diperlukan Lema 3.1 (Ketakbiasan
asimtotik) dan Lema 3.2 (Kekonvergenan ragam).
Lema 3.1 ( Ketakbiasan asimtotik )
Misalkan fungsi intensitas pada persamaan (3.1) adalah terintegralkan lokal.
Jika kernel K memenuhi sifat (K1),(K2),(K3), dan hn 0, maka
, ,
ˆ ( ) ( )
c n K s c s
, (3.14)
untuk n , dengan syarat s adalah titik Lebesgue dari c. Dengan kata lain,
, , ˆ ( )
c n K s
adalah penduga tak bias asimtotik bagi c( )s .
Bukti :
Membuktikan (3.14) sama dengan memperlihatkan bahwa
, , ˆ
lim c n K( ) c( )
n s s . (3.15)
Untuk memperlihatkan persamaan (3.15) dapat diperoleh dengan cara sebagai
berikut. Berdasarkan (3.4) maka nilai harapan dari ˆc n K, , ( )s adalah
, , 2 0
0
1 ( )
ˆ ( ) ( )
( )
n c n K
k n n
x s k
s K N dx
n h s k h
2 0 01 ( )
( )
( )
n
k n n
x s k
K N dx
n h s k h
2 01 ( )
( ) ( [0, ])( )
( )
k n n
x s k
K x x n dx
n h s k h
21
Dengan mengganti peubah, misalkan y x (s k), dydx, maka ruas kanan
persamaan (3.16) dapat ditulis
2 0
1
( ) ( [0, ])( )
( )
k n n
y
K y s k y s k n dy
n h s k h
. (3.17)Dengan menggunakan persamaan (3.1) dan (3.2), maka (3.17) dapat ditulis
menjadi
2 2
0 1
( )( ) ( [0, ])( )
( ) c
k n n
y
K y s y s k y s k n dy
n h s k h
2 2 0 ( )( ) ( [0, ])
( )
c
k
n n
y y s k
K y s y s k n dy
nh h s k
. (3.18)Pada Helmers dan Mangku (2009) telah diketahui bahwa
2
2 0
( )
( [0, ]) (1)
( )
k
y s k n
y s k n O
s k
, (3.19)
jika n . Dengan menyubstitusikan persamaan (3.19) ke ruas kanan (3.18)
diperoleh
, ,
ˆ ( ) ( ) (1)
c n K c
n n
y n
s K y s O dy
nh h
( (c ) c( ) c( )) (1)
n n
y n
K y s s s O dy
nh h
(1) ( (c ) c( ))
n n
n y
O K y s s dy
nh h
c( )) (1) .
n n
s n y
O K dy
nh h
(3.20)Karena kernel K memenuhi kondisi (K.2) maka
o n y K K h
, Ko adalah konstanta.
Sehingga suku pertama dari ruas kanan persamaan (3.20) dapat ditulis
(1) n ( ( ) ( ))
n h c c h n n n y
O K y s s dy
nh h
(1) n ( ( ) ( ))
n
h
o c c
h n
n
O K y s s dy
2 1
(1) ( ) ( ) .
2 n n h o c c h n K n
O y s s dy
n h
(3.21)Karena s adalah titik Lebesque dari c maka ruas kanan (3.21) adalah o(1), untuk
n . Karena K juga memenuhi kondisi (K.1) dan dengan penggantian peubah,
misalkan ,
n y z h , n dy dz h
maka suku kedua ruas kanan persamaan (3.20) dapat
ditulis
( )
(1) ( )
c s n
O K z dz
n
1 ( )c s O
n
( ) (1),
c s o
(3.22)
jika n. Dari (3.21) dan (3.22) maka ruas kanan persamaan (3.18) dapat ditulis
(1) c( ) (1)
o s o
( ) (1),
c s o
(3.23)
untuk n . Dari persamaan (3.23) maka persamaan (3.16) dapat ditulis
, ,
ˆ ( ) ( ) (1),
c n K s c s o
untuk n . Sehingga diperoleh persamaan (3.15). Dengan demikian Lema 3.1
terbukti.
Lema 3.2 ( Kekonvergenan ragam )
Misalkan fungsi intensitas memenuhi (3.1) dan terintegralkan lokal. Jika kernel
K memenuhi sifat (K1), (K2), (K3), hn 0 dan 2
n
n h untuk n , c
terbatas di sekitar s maka
, , ˆ
( c n K( )) 0
Var s , (3.24)
untuk n .
Bukti :
Ragam dari (ˆc n k, , ( ))s dapat dihitung sebagai berikut 2
, , 2 2 0
0
1 ( )
ˆ
( ( )) ( )
( )
n c n k
k n n
x s k
Var s Var K N dx
n h s k h
23
Untuk n yang cukup besar, maka interval [skh sn, k hn] dan [s jh sn, j hn] untuk k j tidak saling tumpang tindih (tidak overlap).
Sehingga ( ) ( )
n
x s k
K N dx
h
dan
( )
( )
n
x s j
K N dx
h
adalah bebas untuk
k j. Pada Ghahramani (2005), jika X X1, 2,...,Xn adalah peubah acak yang bebas serta a a1, 2,...,an adalah barisan bilangan real, maka
2
1 1
( )
n n
i i i i
i i
Var a X a Var X
karenanya ruas kanan dari persamaan (3.25) dapat dihitung sebagai berikut
2
2
2 2 2 2 0
0
1 ( )
( ( )) (( ) )
n k
n n
x s k
K Var N dx
n h s k h
. (3.26)Karena N adalah peubah acak Poisson, maka Var N( ) N sehingga (3.26) dapat
ditulis
2
2
2 2 4 0
1 ( )
( )
( )
n k
n n
x s k
K N dx
n h s k h
2 22 2 4
0
1 ( )
( ) ( [0, ])
( )
k
n n
x s k
K x x n dx
n h s k h
. (3.27)Dengan mengganti peubah, misalkan : y x (s k), dydx, maka persamaan
(3.27) dapat ditulis
2
2
2 2 4
0 1
( ) ( [0, ])
( )
k
n n
y
K y s k y s k n dy
n h s k h
. (3.28)Dengan menggunakan persamaan (3.1) dan (3.2), maka (3.28) dapat ditulis
menjadi
2
2 2
2 2 4
0 1
( )( ) ( [0, ])
( ) c
k
n n
y
K y s y s k y s k n dy
n h s k h
2 2 22 2 4
0
( )
( ) ( [0, ])
( )
c
k
n n
y y s k
K y s y s k n dy
n h h s k
. (3.29)
Pada Helmers dan Mangku (2009) telah diketahui bahwa
2
2 0
1
( [0, ]) (1)
6
k
x s k n o
jika n . Dengan menggunakan (3.30) maka diperoleh
2 2
4 2
0
( )
( [0, ]) (1)
( ) 6
k
x s k
x s k n o
s k
, (3.31)
jika n , dengan adalah konstanta. Dengan menyubstitusikan persamaan
(3.31) ke (3.29) diperoleh
2 2
2
2 2 ( ) 2 (1)
6
c
n n
y
K y s o dy
n h h
(3.32)
Karena c terbatas di sekitar s maka c(y s) 0, 0 adalah konstanta, sehingga (3.32) dapat ditulis
2 2
2
2 2 ( ) 2 (1)
6
c
n n
y
K y s o dy
n h h
2 2 2 0
2 2 2 (1)
6
n n
y
K o dy
n h h
. (3.33)
Dengan mengganti peubah, misalkan :
n y z h , n dy dz h
, maka (3.33) dapat ditulis
2 2
2 0
2 ( ) 2 (1)
6
K z o dz
n h
(3.34)
Karena K memenuhi kondisi (K.3) maka (3.34) dapat ditulis
2 2
1 2 0
1
2 ( ) 2 (1) .
6
K z o dz
n h 2 1 2 0 1 2 2 1 ( ) . 6 n
K z dz o
n h n h
(3.35)
Akhirnya diperoleh
2
1 2 0
, , 2 1 2
1
ˆ
( ( )) ( )
6
c n K
n n
Var s K z dz o
n h n h
. (3.36)
Berdasarkan asumsi pada Lema 3.2, bahwa 2
n
n h , untuk n maka ruas
kanan pada pertidaksamaan (3.36) konvergen ke nol, sehingga diperoleh
, , ˆ
( c n K( )) 0
Var s
25
Bukti Teorema 3.1 ( Kekonsistenan ˆc n K, , ( )s )
Untuk membuktikan (3.12), berdasarkan Definisi 2.13 (Konvergen dalam
peluang) akan diperlihatkan bahwa untuk 0,
ˆc n K, , ( )s c( )s
0, (3.37)
untuk n .
Sebelumnya, diuraikan dahulu
ˆc n K, , ( )s c( )s
dari (3.37), yaitu
ˆc n K, , ( )s c( )s
ˆc n K, , ( )s ˆc n K, , ( )s
ˆc n K, , ( )s ˆc( )s
.
(3.38)
Berdasarkan ketaksamaan segitiga, diperoleh
, , , , , , , ,
ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ( )
c n K s c s c n K s c n K s c n K s c s
(3.39)
sehingga ruas kanan persamaan (3.38) menjadi
ˆc n K, , ( )s ˆc n K, , ( )s ˆc n K, , ( )s c( )s
ˆc n K, , ( )s ˆc n K, , ( )s ˆc n K, , ( )s c( )s