REGRESI KOMPONEN UTAMA DENGAN PEMODELAN SISAAN
ARCH/GARCH
NURSYITA PURNAMI
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
RINGKASAN
NURS YITA PURNAMI. Regresi Ko mponen Uta ma dengan Pemodelan Sisaan ARCH/ GA RCH.
Dibimbing oleh AJI HAMIM WIGENA dan YENNI ANGRAINI.
Suhu me rupakan salah satu unsur cuaca yang sangat penting karena dapat me mbe rikan informasi mengenai pola curah hujan dan fenomena iklim e kstrim seperti El Nino dan La Nina. Badan Meteorologi Klimato logi dan Geo fisika (BMKG) telah me la kukan pe modelan suhu ma ksimu m. Pe mode lan yang dilakukan menggunakan Regresi Ko mponen Utama (RKU) menghasilkan koefisien korelasi (r) sebesar 0.243 dan Root Mean Square Error of Prediction
(RM SEP) 1.385. Na mun, model in i menghasilkan sisaan yang saling berkorelasi dan raga m sis aan yang tidak homogen. Model deret waktu ARMA dapat mengatasi korelasi antar sisaan, dan
Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) atau Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GA RCH) me rupakan model yang dibentuk untuk menangani masalah ket idakho mogenan ragam. Pe modelan ARMA dan ARCH/ GA RCH digunakan untuk mengatasi kedua masalah tersebut. Tujuan penelititan ini adalah me modelkan suhu maksimu m menggunakan regresi ko mponen utama dengan pemodelan sisaan ARCH/ GA RCH. Hasil menunjukkan bahwa mode l GA RCH (2,1) merupakan model raga m terbaik dengan model rataan ARMA (1,1) yang me mbe rikan nilai kore lasi dan RMSEP yang sama dengan model RKU yang dila kukan oleh BM KG, tetapi model regresi ko mponen utama dengan pemodelan sisaan ARCH/ GA RCH terbukti ma mpu mengatasi masalah kore lasi antar sisaan dan ketidakho mogenan ragam sisaan.
REGRESI KOMPONEN UTAMA DENGAN PEMODELAN SISAAN
ARCH/GARCH
NURSYITA PURNAMI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul : Regresi Komponen Utama dengan Pemodelan Sisaan ARCH/GARCH Nama : Nursyita Purnami
NRP : G14080056
Menyetujui,
Pembimbing I Pembimbing II
Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc Yenni Angraini, S.Si, M.Si NIP : 19520928 197701 1001 NIP : 19780511 200701 2001
Mengetahui,
Ketua Departemen Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.Si NIP : 19650421 199002 1001
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirabbil’alamin, segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala rah mat dan karunia Nya penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Karya ilmiah ini berjudul “Regresi Komponen Utama dengan Pemodelan Sisaan ARCH/GARCH”. Karya ilmiah ini penulis susun sebagai salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sa rjana Statistika pada Departe men Statistika, Faku ltas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Ala m, Institut Pertanian Bogor.
Penulisan karya ilmiah in i tidak lepas dari dukungan dan bantuan dari banyak pihak. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis ingin men yampaikan ucapan terima kasih kepada :
1. Bapak Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.Si selaku Ketua Departemen Statistika FMIPA IPB 2. Bapak Dr. Ir. A ji Ha mim Wigena, M.Sc dan Ibu Yenni Angraini, S.Si, M.Si selaku dosen
pembimb ing yang telah me mberikan b imb ingan, informasi, ilmu , dan kesabaran yang luar biasa.
3. Bapak Dr. Ir. Anang Kurnia, selaku dosen penguji luar yang telah me mberikan saran dan perbaikan kepada penulis.
4. Mama, Papa, Umi, dan kedua adik terc inta, Tia Restu Saputri dan Rere Kautsar atas doa, kasih sayang, perhatian, dan semua bantuan baik moril dan materiil yang telah diberikan. 5. Sona Triyanto atas waktu, tenaga, dan dukungan yang telah diberikan.
6. Seluruh Dosen Statistika yang telah me mbe rikan ilmu yang bermanfaat sela ma penulis menuntut ilmu di Departe men Statistika dan seluruh Staf Departe men Statistika yang telah banyak membantu penulis.
7. Bapak Wido Hanggoro, Pa k Donaldi, Pa k Hastu, Pak Danang, Mba Opi, Mba Angga, dan seluruh staf Puslitbang BMKG yang telah banyak me mbe rikan bantuan dan ilmu sela ma penulis melaksanakan kegiatan praktik lapang.
8. Anita Pratiwi, Lia Rat ih Kusuma Dewi, Nur Hikmah, dan IDG Richard Alan A mori atas kebersamaan dan waktu yang telah disempatkan untuk berbagi suka dan duka.
9. Teman-te man seperjuangan Metha Naomi SP, Rafika Nur Zakkiyah, Rifki Riza l, dan Riska Dian Prawesti atas bantuan dan kebersamaan selama bimbingan.
10. Teman-te man Super B51 teruta ma Naima Rakhsyanda, Maya Widyastiti, Ev i Muliyah, dan Isnan Mulia atas kekeluargaan yang telah terjalin.
11. Keluarga Statistika 45, 44, dan 43 atas bantuan, ilmu, dan kebersamaan yang telah diberikan.
12. Semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan karya ilmiah ini.
Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini sangat jauh dari se mpurna. Oleh ka rena itu, penulis mengharapkan saran dan kritik yang me mbangun guna perbaikan di masa yang akan datang. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat untuk semua pihak. Amin.
Terima kasih.
Bogor, Oktober 2012
RIWAYAT HIDUP
Penulis lah ir d i Bogor pada tanggal 19 Mei 1991 sebagai anak perta ma dari tiga bersaudara dari pasangan Warsito Purnomo dan Ma may. Penulis mene mpuh pendidikan di SD Negeri Pasirgaok 5 (1996-2002), SMP Negeri 6 Bogor (2002-2005), dan SMA Negeri 6 Bogor (2005-2008). Pada bulan Februari 2008 penulis dinyatakan lulus USMI IPB 2008 dengan Mayor Statistika. Ilmu Ekonomi dan Pe mbangunan me rupakan progra m minor yang d ipilih penulis untuk melengkapi program mayornya.
Sela ma mene mpuh pendidikan di Statistika IPB, penulis bergabung dengan Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) FMIPA IPB sebagai Staf Departe men Sa ins dan Teknologi (2010/2011). Sela in aktif dala m kepengurusan BEM FMIPA IPB, penulis juga akt if da la m berbagai kepanit iaan yang diselenggarakan oleh Himpunan Profesi Ga mma Sig ma Beta (GSB) dan BEM FMIPA seperti Pesta Sains 2009 sebagai staf Logistik dan Transportasi, Statistika Ria 2010 sebagai staf Div isi Dana Usaha, Pesta Sains 2010 sebagai staf Lead Officer (LO), Welcome Cere mony Statistics
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ... viii
DAFTAR GAMBAR ... viii
DAFTAR LAMPIRAN ... viii
PENDAHULUAN ... 1
Latar Belakang ... 1
Tujuan ... 1
TINJAUAN PUSTAKA ... 1
Conformal Cubic Atmospheric Model (CCAM) ... 1
Model Output Statistik (MOS) ... 1
Regresi Komponen Utama ... 2
Autoregressive Moving Average (ARMA) ... 3
Autoregressive Conditional Heterosceasticity (ARCH) ... 3
GeneralizedAutoregressive Conditional Heterosceasticity (GARCH) ... 3
Uji Pengganda Lagrange ... 4
Uji Jarque Bera ... 4
Ak aik e Informatian Criterion (AIC) dan Schwarz Bayesian Criterion (SBC) ... 4
METODOLOGI ... 5
Data ... 5
Metode Analisis ... 5
HASIL DAN PEMBAHASAN ... 5
Eksplorasi Data ... 5
Regresi Komponen Utama ... 6
Pembentukan Model ARCH/GARCH ... 6
Spesifikasi Model ... 6
Pendugaan Parameter dan Pemilihan Model Terbaik ... 7
Diagnostik Model ... 8
Pendugaan Nilai Secara Keseluruhan ... 9
SIMPULAN DAN SARAN ... 10
Simpulan ... 10
Saran ... 10
DAFTAR PUSTAKA ... 10
viii
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Koefisien regresi be rganda ... 6
2 Akar ciri dari matriks peragam ... 6
3 Koefisien regresi ko mponen utama ... 6
4 Eksplorasi data sisaan model RKU... 6
5 Nilai ACF dan PA CF kuadrat sisaan ... 7
6 Uji pengganda lagrange data sisaan... 7
7 Nilai ACF dan PA CF sisaan terbakukan model GA RCH(2,1) ... 8
8 Uji pengganda lagrange model GA RCH(2,1) ... 8
9 Nilai ACF dan PA CF kuadrat sisaan model GA RCH(2,1) ... 8
10 Model regresi ko mponen utama ... 9
11 Model GA RCH(2,1) ... 9
12 Perbandingan nila i kore lasi, RMSE, dan RMSEP ... 9
DAFTAR GAMBAR
Halaman 1 Screeplot ko mponen utama ... 62 Plot deret waktu data sisaan ... 7
3 Plot A CF untuk sisaan... 7
4 Plot PACF untuk sisaan ... 7
5 Plot kenorma lan sisaan... 8
6 Plot sisaan model GA RCH(2,1) ... 9
7 Leta k stasiun pengamatan Citeko ... 12
8 Hasil scatterplot peubah respon (Y) dengan peubah penjelas (X) ... 13
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Leta k stasiun pengamatan Citeko ... 122 Hasil scatterplot peubah respon (Y) dengan peubah penjelas (X) ... 13
3 Pe milihan model raga m terbaik ... 14
4 Verifikasi model ... 15
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Suhu me rupakan salah satu unsur cuaca yang sangat penting. Pengetahuan akan suhu dapat me mberikan in formasi tentang pola curah hujan dan fenomena iklim e kstrim seperti ekstrim kering (El Nino) dan ekstrim basah (La Nina). Kejad ian in i sangat berdampak pada berbagai bidang termasuk sektor pertanian. Data mengungkapkan kerugian a kibat El Nino terjadi pada tahun 1991, 1994, dan 1997, kerugian ekono mi akibat kegagalan panen mencapai 571 miliar rupiah. Sedangkan kerugian a kibat La Nina
yang terjadi tahun 1998 mencapai 91 miliar rupiah (Wigena 2006). Dengan de mikian informasi tentang suhu sangat diperlukan.
Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika (BM KG) sebagai salah satu badan yang menangani masalah meteorologi, klimatolog i dan geofisika giat me laku kan pengembangan model pred iksi. Model yang dibentuk merupakan mode l pred iksi untuk unsur-unsur cuaca seperti suhu, kele mbaban, dan curah hujan (Kadarsah 2010). Hasil verifikasi bidang Analisa Meteorologi tahun 2004 melalui kegiatan “Verifikasi dan Jangkauan Prakiraan Cuaca Jangka Pendek” menunjukkan bahwa pra kiraan khususnya parameter suhu maksimu m, suhu minimu m, kele mbaban maksimu m, ke le mbaban minimu m, dan curah hujan masih belu m me menuhi harapan atau kurang me muaskan (BM G 2006). Salah satu cara yang dilaku kan BMKG untuk mengatasi masalah tersebut adalah dengan melaku kan pe modelan mela lui teknik Model Output Statistik (MOS). Prakiraan jangka pendek menggunakan teknik MOS telah dibangun oleh Bidang Analisa BMKG sela ma tahun 2005-2007 menggunakan input produk NWP (Numerical Weather Prediction). Pada tahun 2011 dila kukan penelitian mengenai M OS dengan judul “Kajian Aplikasi Model CCAM untuk Pengembangan MOS”. Teknik MOS yang digunakan adalah regresi ko mponen utama. Verifikasi model regresi ko mponen utama menghasilkan korelasi sebesar 0.622 dengan RMSE 1.220 dan validasi model menghasilkan korelasi sebesar 0.243 dengan RMSEP 1.385.
Pendekatan mela lui regresi ko mponen utama menghasilkan sisaan yang saling berkorelasi dan raga m sisaan yang tidak homogen. Kendala tersebut akan diselesaikan pada penelitian ini dengan pemodelan menggunakan teknik M OS mela lui regresi
ko mponen utama dengan pemodelan sisaan ARCH/GARCH.
Tujuan
Tujuan penelitian ini, yaitu :
1. Memodelkan suhu ma ksimu m mela lui ko mponen utama dengan pemodelan sisaan ARCH/GARCH.
TINJAUAN PUSTAKA
Conformal Cubic Atmospheric Model (CCAM)
Model NWP adalah seku mpulan kode ko mputer yang merepresentasikan secara numerik persamaan - persa maan at mosfer yang digunakan untuk me mpred iksi kondisi atau status atmosfer yang akan datang dengan ke ma mpuan ko mputer yang tinggi (BM G 2006). Sa lah satu model NWP adalah CCAM. CCAM merupakan model atmosfer global beresolusi peubah berbasis conformal cubic grid yang menggunakan transformasi Sch midt untuk prakiraan regional dan lo kal menggunakan teknik multiple nesting untuk
downscaling serta me mpunyai data topografi dan land use yang telah terintegrasi di dala mnya (BMKG 2011). CCAM me rupakan model g lobal ma ka CCAM tidak bergantung pada boundary condition (syarat batas) dan hanya bergantung pada initial condition
(kondisi awa l). Dengan digunakannya sistem koordinat yang bisa diregangkan (stretching), CCAM dapat digunakan sebagai model prediksi global seka ligus model reg ional / loka l. Resolusi CCAM sebesar 0.030 pergrid dengan ketinggian 3 km d iatas permu kaan laut.
Model Output Statistics (MOS)
Menurut Clark dan Hay (2000), hasil ra malan NWP untuk lo kasi tertentu dengan resolusi tinggi seringkali bias terutama lokasi dengan topografi dan vegetasi yang komple ks, karena pengaruh lokal lebih do minan. Untuk mengoptimalkan pe manfaatan ke luaran model NWP perlu dila kukan pe mrosesan (post processing). Salah satu metode yang digunakan adalah MOS.
2
(pengamatan stasiun cuaca, seperti suhu minimu m, suhu ma ksimu m, kecepatan angin, dan lain-lain) dan peubah bebas (X) (data NWP, seperti suhu, angin dan sebagainya pada berbagai grid dan ketinggian). Disa mping itu peubah bebas dapat juga berupa data geografi seperti lintang, bujur, dan waktu (t). MOS direpresentasikan dala m bentuk regresi berganda:
= koefisien regresi peubah bebas ke-i
= peubah bebas ke-i pengamatan ke-j
= galat baku pengamatan ke-j k = banyaknya peubah bebas
n = banyaknya pengamatan
Asumsi asumsi yang harus dipenuhi dalam regresi linier berganda adalah sebagai berikut ; 1. Kondisi Gauss-Marcov
3. Galat menyebar normal
4. Tidak ada mult iko linearitas pada peubah bebas E[ , ]=0,
Menurut Neilley dan Hanson (2004), MOS me mpunyai dua fungsi utama. Pe rta ma, tekn ik MOS menghasilkan ra malan cuaca kuantitatif kedepan dan mungkin juga tida k secara eksplisit dipero leh dari model NWP seperti pendugaan presipitasi dan pendugaan peluang presipitasi. Kedua, M OS mereduksi rataan sisaan dari pendugaan model NWP dengan me mpe rkec il bias dan pengoreksian model secara statistik.
Peubah respon yang digunakan adalah data pengamatan di stasiun pengamatan, sedangkan peubah bebasnya adalah data NWP. Ko mbinasi lin ier terbaik antara peubah res pon dan peubah bebas terletak pada 9 grid di sekitar stasiun pengamatan (Maini dan Ku mar 2004).
Regresi Komponen Utama
Salah satu asumsi untuk regresi berganda adalah tidak adanya mult iko linearitas. Multiko linearitas adalah adanya hubungan lin ier sempurna antar peubah bebas dalam model (Juanda 2009). Mu ltikolinearitas ditunjukkan o leh nilai Variance Inflation Factors (VIF) lebih dari 10. Sa lah satu cara
menangani masalah mu ltikolinearitas adalah dengan melakukan regresi komponen utama.
Regresi Ko mponen Uta ma (RKU) ada lah suatu prosedur untuk me reduksi dimensi data me la lui transformasi peubah-peubah asal yang berkorelasi men jadi seku mpulan peubah baru yang tidak berkore lasi. Peubah-peubah baru itu disebut dengan komponen utama (KU).
Misalkan vektor aca k ,
yang terdiri atas pengamatan sebanyak p
peubah, maka KU ada lah ko mbinasi linear dari peubah tersebut yang merupakan sistem koordinat baru yang didapat dari hasil rotasi sistem asal sebagai sumbu koordinat. Su mbu baru ( ) me rupakan arah dengan variabilitas ma ksimu m yang me mbe rikan struktur peragam yang lebih sederhana dan adalah KU yang tidak berkore lasi (Johnson dan Winchern 2007). KU dapat diperoleh dari pasangan akar c iri-vektor c iri matriks peragam maupun matriks kore lasi. Selanjutnya bila Σ adalah mat riks raga m-peragam dari vektor aca k , Σ didapatkan berdasarkan rumus :
dimana :
= vector acak ke-i
= jumlah pengamatan
dan Σ me miliki pasangan akar c iri-vektor c iri
3
KU t idak berkore lasi dan me mpunyai raga m yang sama dengan akar ciri dari Σ sehingga:
Apabila total ragam populasi adalah
maka: matriks peragam dari data yang distandarkan, karena d iagonal uta ma matriks berisi nilai satu, maka total raga m populasi untuk peubah distandarkan adalah p, yang me rupakan ju mlah e le men diagonal matriks kore lasi. Sehingga :
Proporsi ragam ke-i
Ko mponen utama terp ilih ada lah ko mponen utama yang memiliki nila i aka r ciri (eigenvalue) lebih dari 1 dan nilai ku mulat if persentase keragaman hingga ko mponen utama (KU) ke-m berada pada nila i 70% hingga 90%. Se lain itu, dapat dikuatkan o leh screeplot hasil ko mponen utama. Nilai ko mponen utama (W) KU ke-i me rupakan nila i dari hasil perka lian antara vektor ciri KU ke-i dengan peubah penjelas. .
Autoregressive Moving Average (ARMA)
Moving Average (MA) atau model rataan bergerak menyatakan bahwa peubah penjelas me rupakan nila i sisaan pada periode
merupakan polynomial karakteristik MA.
Autoregressive (AR) atau model regresi diri menyatakan bahwa nila i pengamatan pada orde ke-t dipengaruhi oleh nila i-nilai pengamatan sebelumnya selama p periode. Secara u mu m, model AR(p) d iformu lasikan
sebagai berikut (Bowerman dan O’Connell 1987) :
merupakan polynomial karakteristik AR
Autoregressive Moving Average (ARMA) me rupakan gabungan dari model regresi diri ordo p dan model rataan bergerak ordo q. Model in i menje laskan data deret waktu yang stasioner. Bentuk u mu m model ARMA(p,q) model ARCH untuk me modelkan perubahan ragam pada data deret waktu (Cryer 2008). Model ARCH d ibentuk sebagai fungsi linier dari kuadrat sisaan sebelumnya. Bentuk u mu m dari ARCH dengan orde q adalah (Enders 2004) :
dengan ragam bersyarat
> 0, 0 < < 1, d imana adalah suatu proses ingar putih (white noise) dengan rataan nol dan ragam satu. Karena dan saling bebas maka rataan bersyarat dan tidak bersyarat dari sama dengan nol. Adapun ragam bersyarat dari proses ARCH(q) adalah
4
ARCH d igunakan untuk model yang me miliki orde rendah. Model A RCH dengan orde yang sangat besar akan leb ih sederhana jika direpresentasikan dala m model GA RCH sehingga lebih mudah dala m identifikasi dan pendugaan (Enders 2004). Bentuk u mu m dari proses GARCH dengan orde (p,q) atau didefinisikan sebagai fungsi linie r dari kuadrat sisaan sebelumnya, sementara pada GA RCH(p,q) raga m bersyarat me rupakan fungsi linie r dari kuadrat sisaan dan ragam bersyarat sebelumnya. Proses GARCH(p,q) akan stasioner jika :
,
Uji Pengganda Lagrange
Pengganda lagrange me rupakan uji formal untuk mendeteksi keberadaan efek ARCH pada sisaan model rataan. Pendeteksian a wal keberadaan efek ARCH pada satu gugus data dapat dilakukan dengan mengamati nilai autokorelasi kuadrat yang signifikan yang dia mati dari perilaku Autocorrelation Function
(ACF) dan Partial Autocorrelation Function
(PACF)-nya (Enders 2004).
Ada dua tahapan dala m uji pengganda lagrange (Enders 2004), yaitu :
1. Dapatkan model yang cocok dari data deret waktu (model regresi atau mode l A RIMA), kemudian cari sisaan ( .
2. Dapatkan kuadrat sisaan ( , ke mud ian regresikan kuadrat sisaan terhadap konstanta dan nilai
yaitu
Hipotesis yang akan diuji adalah H0 :
Statistik u ji pengganda lagrange (Enders 2004) adalah
TR2
dimana T adalah ju mlah pengamatan sisaan dan R2 adalah koefisien determinasi hasil regresi kuadrat sisaan (Enders 2004). Statistik
uji penganda lagrange ini meng ikuti sebaran khi kuadrat dengan derajat bebas q yang me rupakan orde dari ARCH. Hipotesis nol yang menyatakan bahwa tida k ada e fek ARCH/ GA RCH a kan dito lak jika statistik TR2 lebih besar dari nila i dengan derajat bebas q pada taraf nyata tertentu.
Uji Jarque-Bera (JB)
Jarque-Be ra adalah statistik yang digunakan untuk menguji kenorma lan data. Uji in i berdasarkan bahwa sebaran normal me miliki indeks ke men juluran (ke mencengan) dan indeks keruncingan sama dengan nol (Cryer 2008). Uji ini me mperbandingkan ke menju luran dan keruncingan dari data yang menyebar normal.
Hipotesis yang akan diuji adalah : H0 : Sisaan menyebar normal H1 : Sisaan tidak menyebar normal
Statistik Jarque-Bera d idefinisikan sebagai berikut (Cryer 2008):
-3
dimana adalah raga m contoh,
dengan Y adalah data yang akan diuji, adalah ke menju luran, adalah ke runcingan dan adalah banyaknya pengamatan.
Statistik Ja rque-Be ra mendekati sebaran khi kuadrat ( ) dengan derajat bebas dua. Hipotesis nol ditolak jika nila i JB leb ih besar dari nilai khi kuadrat pada taraf nyata tertentu.
Pengujian ini bermanfaat da la m pendugaan parameter. Para meter model ARCH/ GA RCH dapat diduga dengan metode maximum lik elihood. Jika data tidak menyebar normal pendugaan parameter mode l menggunakan
quasi maximum lik elihood (QML) (Kuan 2004). QM L dapat me mpertahankan kekonsistenan ragam.
Akaike Information Criterion (AIC) dan Schwarz Bayesian Criterion (SBC)
5
harian dari stasiun pengamatan meteorologi Citeko. Sedangkan peubah bebas (X) me rupakan data suhu maksimu m harian dari keluaran model NWP, CCAM, yaitu suhu ma ksimu m harian di sembilan t itik yang berdekatan dengan stasiun pengamatan (La mpiran 1). Data yang digunakan ada lah data tanggal 1 Januari 2009 sampa i 31 Desember 2010. Proses verifikasi model menggunakan data 1 Januari 2009 sampai dengan 31 Oktober 2010. Sedangkan untuk validasi mode l menggunakan data tanggal 1 November 2010 sampai 31 Desember 2010.Metode Analisis
Metode yang digunakan adalah regresi ko mponen utama dengan pemodelan sisaan ARCH/ GA RCH. Langkah-langkah analisis adalah sebagai berikut :
1. Melakukan eksplorasi data, yaitu melihat hubungan antara peubah respon ( Y) dengan peubah penjelas (X).
2. Meregresikan peubah penjelas (X) dengan peubah respon (Y). Jika terdapat mu ltikolinearitas yang ditunjukkan dengan nila i VIF > 10, laku kan regresi ko mponen utama.
3. Menghitung nila i sisaan yang diperoleh dari mengurangi nilai ypengamatan dengan nilai yduga RKU.
4. Melakukan pe modelan ARCH/ GA RCH pada data sisaan dengan tahap sebagai berikut :
Tahap 1. Spesifikasi model
1. Menentukan model rataan data sisaan, model yang digunakan adalah model deret waktu Bo x-Jenkins.
2. Mendeteksi efek A RCH me lalu i fungsi autokorelasi kuadrat sisaan model deret waktu Bo x-Jenkins.
3. Melakukan pengujian efe k ARCH menggunakan uji pengganda lagrange.
Tahap 2. Pendugaan parameter dan pemilihan model terbaik 1. Membentuk model tentatif
dengan pendugaan parameter model menggunakan QML.
2. Membandingkan nilai AIC dan SBC dari model tersebut. Model terpilih adalah model yang me miliki n ila i AIC dan SBC paling kecil dan nilai dugaan yang signifikan
Tahap 3. Diagnostik model
Malakukan analisis sisaan duga dari model deret wa ktu + ARCH/ GA RCH] me liputi kebebasan sisaan, kehomogenan ragam sisaan, dan kenormalan sisaan. 5. Mennjumlahkan nilai Y duga dari RKU
dan nila i Y duga dari mode l sisaan. Ju mlah kedua nilai tersebut adalah nilai Y duga total.
6. Melakukan verifikasi model menggunakan koefisien kore lasi dan Root Mean Square Error (RMSE)
7. Melakukan validasi model menggunakan koefisien kore lasi dan Root Mean Square Error of Prediction (RMSEP)
HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data
6
Tabel 1 Koefisien regresi berganda
Peubah Koefisien P VIF
Regresi Komponen Utama
Tabel 2 Akar ciri dari matriks peragam
Transformasi menghasilkan ko mponen utama perta ma sebagai ko mponen utama yang nyata (Tabel 2). Hasil in i dipero lah berdasarkan dua kriteria, yaitu n ila i aka r c iri lebih dari 1 yaitu 16.475 dan proporsi sumbangan terbesar dari kese mbilan ko mponen utama adalah Z1 (ko mponen utama 1) yaitu sebesar 97,9%. Se lain itu, dapat dikuatkan dengan screeplot pada Gambar 1.
9
Gambar 1 Screeplot komponen utama
Langkah selanjutnya adalah meregresikan Y dengan nila i ko mponen utama yang terpilih (W1). Tabel 3 merangku m hasil yang diperoleh dari regresi ko mponen utama. Regresi ko mponen utama menghasilkan
intersep sebesar 4.890 dan penduga parameter W1 sebesar 0.238. Nila i p untuk masing-masing para meter bern ila i 0.000, Karena nilai p kurang dari alpha (0.050) ma ka kedua parameter tersebut nyata pada taraf 5%.
Tabel 3 Koefisien regresi komponen utama
Parameter Koefisien Nilai P
Konstanta 4.890 0.000
W1 0.238 0.000
Sisaan model ( ) diperoleh dari n ila i pengamatan dikurangi n ila i dugaan regresi ko mponen utama. Beberapa ringkasan statistik dari data sisaan disajikan pada Tabel 4. Nilai rataan bernila i positif menunju kkan data sisaan mengalami tren naik. Koefisien ke menju luran yang merupakan u kuran ke miringan (ke mencengan) pada data sisaan adalah sebesar -0.310. Nilai ini menunjukkan sisaan memiliki distribusi yang miring ke kiri, artinya data cenderung menumpuk pada nilai tinggi. Nilai koe fisien keruncingan yang diperoleh sebesar 3.566. Nilai koefisien keruncingan yang lebih dari tiga menunjukkan bahwa distribusi sisaan me miliki e kor yang lebih padat dibandingkan sebaran normal.
Tabel 4 Eksplorasi data sisaan model RKU
Pembentukan Model ARCH/GARCH
Ada tiga tahapan dala m pe mbentukan model raga m A RCH/ GA RCH, yaitu spesifikasi mode l, pendugaan parameter dan pemilihan model terba ik, dan diagnostik model.
Spesifikasi Model
7
perlu ditangani dengan model deret wa ktu. Ga mbar 2 menunjukkan bahwa sisaan stasioner dalam nilai tengah dan ragam.
5 8 5
Gambar 2 Plot deret waktu data sisaan
Uji formal yang digunakan untuk menguji kestasioneran data dalam n ila i tengah adalah Uji Augmented Dick ey-Fuller (ADF). Uji ADF menunjukkan bahwa data sisaan sudah stasioner dalam nila i tengah. Nila i statistik u ji ADF yang diperoleh sebesar -11.907 dengan nila i krit is pada taraf nyata 5% sebesar -2.866. Nila i statistik uji ADF yang lebih kec il dari nila i kritis pada taraf nyata 5% menunjukkan bahwa data sisaan stasioner dala m nilai tengah.
Pe mbentukan model dapat dilihat dari plot ACF dan PA CF dari sisaan tersebut. Plot A CF menunjukkan bahwa model efe ktif sampa i lag enam (Gambar 3). sampai lag dua yang tertera pada Gambar 4.
7 0 model tentatif diantaranya ARMA(1,1), ARMA(2,1), A RMA(1,2), dan ARMA(1,3). memiliki parameter yang tidak signifikan.
Pendeteksian gejala heteroskedastisitas ditunjukkan o leh fungsi autokorelasi kuadrat sisaan yang signifikan (p =0.000) pada taraf
Dengan menganggap ARMA (1,1) sebagai model rataan selanjutnya dila kukan u ji pengganda lagrange terhadap data sisaan. Tabel 6 menunjukkan hasil uji pengganda lagrange. Uji in i menghasilkan statistik u ji F sebesar 5.458 dengan nilai peluang 0.020. Nila i peluang (0.020) kurang dari a lpha (0.050) maka hipotesis nol ditola k. Artinya me mang terdapat efek ARCH pada taraf nyata 5%.
Tabel 6 Uji pengganda lagrange data sisaan
Statistik tentatif dengan pendugaan parameter menggunakan Quasi Maximum Lik elihood
8
tidak menyebar norma l. Ha l in i ditunjukkan oleh statistik Jarque-Bera sebesar 19.043 dengan nilai pe luang 0.000 (Tabel 4). Hipotesis nol ditolak karena nila i p (0.000) kurang dari a lpha (0.050). Artinya sisaan tidak menyebar norma l. Pe mbentukan model tentatif menghasilkan beberapa model raga m yaitu ARCH(1), ARCH(2), A RCH(3), GA RCH(1,1), GA RCH(1,2), GA RCH(2,1), dan GARCH(3,1). Pendugaan parameter model tersebut terdapat pada Lampiran 3.
Pe milihan model raga m terba ik berdasarkan nila i AIC dan SBC paling minimu m, dugaan parameter yang signifikan, dan diagnostik model. Dari hasil simulasi diperoleh bahwa model raga m GA RCH (2,1) me rupakan model raga m terbaik. Nilai AIC dan SBC berturut-turut adalah 3.061 dan 3.103 dengan semua para meter nyata pada taraf nyata 5%. Overfitting tidak dilaku kan ka rena model GA RCH (3,1) me miliki dugaan parameter yang tidak signifikan.
Diagnostik model
Diagnostik model me liputi analisis kebebasan sisaan, kehomogenan ragam sisaan, dan kenormalan sisaan. Nilai statistik Durbin-Watson untuk model ini sebesar 1.919, nilai ini menandakan bahwa sisaan saling bebas. Sela in itu, kebebasan sisaan ditunjukkan oleh nila i ACF dan PACF sisaan terbakukan yang tidak signifikan pada taraf nyata 5% (Tabel 7).
Tabel 7 Nila i A CF dan PA CF sisaan
Kehomogenan raga m sisaan ditunjukkan oleh uji pengganda lagrange untuk model ragam GA RCH(2,1) dengan persamaan rataan ARMA (1,1). Uji in i menghasilkan statistik u ji F sebesar 0.136 dengan nila i pe luang 0.712 (Tabel 8). Nila i pe luang (0.712) lebih dari
nila i a lpha (0.050) sehingga hipotesis nol tidak ditolak. A rtinya tidak terdapat efek A RCH
Sela in itu, terpenuhinya asumsi keho mogenan ragam sisaan ditunjukkan oleh nilai A CF dan PACF kuadrat sisaan dari mode l yang tidak signifikan yang dirangkum pada Tabel 9.
Tabel 9 Nila i ACF dan PA CF kuadrat sisaan menggunakan k olmogorov-smirnov test
dengan hipotesis Ho : sisaan menyebar normal vs H1 : sisaan tidak menyebar normal. Nila i p dari Kolmogorov-smirnov test sebesar 0.095 karena nilai p (0.095)> alpha (0.050) maka hipotesis nol tida k dapat ditola k. Kesimpulannya sisaan menyebar normal pada taraf nyata 5%. Ga mbar 5 menunjukkan plot
9
Ga mbar 6 menunju kkan sisaan model GA RCH(2,1) stasioner dalam nilai tengah dan ragam. Plot sisaan tidak berpola dan me miliki lebar pita yang sama.
5 8 5
Pendugaan Nilai Secara Keseluruhan
Seluruh asumsi da la m sisaan telah terpenuhi sehingga model yang terbentuk dapat menghasilkan n ila i dugaan yang lebih baik. Pendugaan nilai Y dipero leh dari dugaan nila i Y dari dua model yang terbentuk. Model pertama adalah model regresi ko mponen utama. Tabe l 10 menunjukkan n ila i koefisien dari sembilan peubah pada model regresi ko mponen utama. Nilai Y duga dari model regresi ko mponen utama selanjutnya akan disebut Yduga-rku. Nila i Yduga-rku dipero leh dengan me masukkan data peubah bebas ke dala m model regresi ko mponen utama. Nilai Y duga yang diperoleh sebanyak 649 data.
Tabel 10 Model regresi komponen utama dugaan dari model in i selanjutnya akan disebut Yduga-sisaan. Nilai Yduga-sisaan diperoleh dengan me masukkan data sisaan ke dala m model GA RCH(2,1) dengan persamaan rataan ARMA(1,1). Tabel 11 me rangku m koefisien model GA RCH(2,1) dengan persamaan rataan ARMA(1,1). Nila i Yduga-sisaan yang diperoleh sebanyak 649 data. Nilai
total diperoleh dari penju mlahan nilai Yduga-rku dengan nila i Yduga-sisaan. Sehingga terdapat 649 data n ila i Yduga-total. Nilai Yduga-total merupakan nila i dugaan untuk suhu maksimum. me rupakan alat untuk mengukur kebaikan model. Ko relasi yang dihitung adalah nilai korelasi antara data penga matan (data sebenarnya) dengan data dugaan (nilai Yduga-total). Sedangkan nila i RMSE dih itung berdasarkan nila i sisaan yang diperoleh dari data pengamatan dikurangi data dugaan. Hasil verifikasi model menunjukkan bahwa data pengamatan dengan data dugaan me miliki korelasi sebesar 0.695 dan nila i RMSE sebesar 1.124 (La mpiran 4). Sedangkan untuk validasi model me miliki kore lasi sebesar 0.243 dengan nilai RMSEP 1.385 (Lampiran 5).
Tabel 12 menunjukkan performa setiap pemodelan terhadap nila i dugaan untuk suhu ma ksimu m. Performa diga mbarkan oleh nilai korelasi, RM SE dan RMSEP untuk setiap model.
Tabel 12 Perbandingan nila i kore lasi, RM SE, dan RMSEP
Model
Verifikasi Validasi
Korelasi RMSE Korelasi RMSEP
10
1.397. Nilai kore lasi dan RMSE untuk masing-masing model tidak mengala mi perubahan yang signifikan. Na mun, keunggulan model RKU+[A RMA(1,1)+GARCH(2,1)] ada lah terpenuhinya semua asumsi dalam sisaan.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Hasil pe modelan suhu maksimu m menggunakan regresi ko mponen utama dengan pemodelan sisaan ARCH/ GA RCH terbukti ma mpu mengatasi pelanggaran asumsi kehomogenan ragam sisaan. Model GA RCH(2,1) me rupakan model terbaik untuk model raga m sisaan dengan ARMA(1,1) sebagai model rataan. Kore lasi antara data pengamatan dengan data dugaan untuk verifikasi model dan validasi model menghasilkan nila i yang tidak berbeda nyata dengan model RKU. Na mun, n ila i RMSE untuk model RKU+ ARMA(1,1) dan model RKU+[A RMA(1,1)+GARCH(2,1)] leb ih baik dibandingkan nila i RM SE dari model RKU. Meskipun nila i kore lasi dan RM SEP untuk model RKU+[A RMA(1,1)+GA RCH(2,1)] belum me menuhi harapan tetapi seluruh asumsi dala m regresi berganda yang terpenuhi menjadi keunggulan model ini.
Saran
Berdasarkan simpulan diatas, beberapa s aran yang dapat diberikan antara lain :
1. Nila i RM SE dan RM SEP yang dihasilkan masih jauh dari nol sehingga diperlukan perbaikan dala m pe milihan model raga m sisaan. Model ragam sisaan yang dapat digunakan antara lain IGARCH, EGARCH, dan TARCH. 2. Perlu adanya penambahan panjang data
agar pendugaan model menjadi lebih
4. Pe modelan menggunakan regresi deret waktu.
DAFTAR PUSTAKA
[ BM G ] Badan Meteorologi dan Geofisika. 2006. Uji Operasionalisasi dan Va lidasi Model Output Statistik (M OS). [Laporan]. Jakarta.
[ BMKG ] Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika. 2011. Ka jian Aplikasi Model CCAM (Conformal Cubic Atmospheric Model)untuk Pengembangan MOS (Model Output Statistik) Prediksi Cuaca. [Laporan Tahunan]. Jakarta : Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika.
Bowerman BL, O’Connell RT. 1987. Time Series Forecasting Unified Concepts and Computer Implementation, 2nd edition.
USA : PWS Publishers.
Clark M P, Hay LE. 2000. Development of Operational Hydrologic Forecasting Capabilities. [terhubung berkala] http://www.colo rado.edu/admin/publicati on_files/resource-664-wwa_poster_7.pdf [17 Oktober 2012].
Cryer JD, Chan K. 2008. Ti me series Analysis with Application in R, 2nd edition. New york : Springer Science+Business Media, LCC.
Enders W. 2004. Applied Econometric Time Series 2nd edition. Ne w York : Mc Graw-Hill.
Johnson RA, Wichern DW. 2007. Applied Multivariate Statistical Analysis 6th edition. USA : Pearson Education, Hill. Juanda B. 2009. Ekono metrika : Pe mode lan
dan Pendugaan. Bogor : IPB press. Kadarsah. 2010. Aplikasi ROC untuk
Kehandalan Model HYBM G. [Jurnal Meteorologi dan Geofisik a 11(1)]. Jakarta : Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika.
Kuan C-M. 2004. Chapter 9 The Quasi-Maximum Lik elihood Method: Theory.
[terhubung berkala]
http://homepage.ntu.edu.tw/~ckuan/pdf/e t01/ch9.pdf [14 Agustus 2012].
Maini P, Ku ma r A. 2004. Development of Statistical-Dynamical Models at NCMRWF for Predicting Location Specific Weather During Monsoon. New Delh i: Depart ment of Sc ience & Technology, National Centre for Medium Range Weather Forecasting. Neilley PP, Hanson KA. 2004. Are Model
11
12
Lampiran 1 Letak stasiun pengamatan Citeko
13
Lampiran 2 Hasil scatterplot peubah respon (Y) dengan peubah penjelas (X)
14
15
Lampiran 4 Verifikasi model
yduga-rku
ysisaan-duga yduga-total yobs-yduga
(yobs-yduga)^2 jumlah (yobs-yduga)^2
25.936 25.936 -1.836 3.371 820.360
27.034 -1.252 25.782 0.618 0.382
27.259 -0.929 26.329 0.771 0.594 banyaknya data
27.041 -0.629 26.412 0.788 0.621 649.000
27.563 -0.374 27.190 -0.590 0.348
26.615 -0.428 26.187 -0.987 0.974 RMSE
25.757 -0.551 25.206 -1.006 1.012 1.124
25.373 -0.658 24.715 -3.215 10.336
25.015 -1.177 23.838 -0.438 0.192
23.807 -1.072 22.735 1.065 1.135
25.219 -0.691 24.528 -2.328 5.418
23.606 -1.033 22.574 -1.174 1.378
23.842 -1.094 22.748 -1.448 2.096
22.981 -1.199 21.782 -1.982 3.927
24.555 -1.391 23.164 -1.864 3.473
24.833 -1.529 23.305 -1.605 2.575
24.644 -1.594 23.050 -1.450 2.104
24.513 -1.618 22.895 -1.095 1.199
24.781 -1.570 23.211 -1.411 1.991
24.804 -1.591 23.214 -0.014 0.000
24.852 -1.336 23.516 0.484 0.235
24.973 -1.026 23.947 0.853 0.727
25.179 -0.694 24.486 0.214 0.046
25.497 -0.540 24.958 -0.158 0.025
25.377 -0.483 24.894 -0.094 0.009
25.911 -0.423 25.488 -1.488 2.215
25.065 -0.644 24.421 -0.121 0.015
24.355 -0.564 23.792 0.508 0.258
25.663 -0.373 25.289 -1.289 1.663
23.129 -0.564 22.565 0.035 0.001
23.817 -0.466 23.350 1.650 2.721
24.118 -0.070 24.048 -0.048 0.002
23.129 -0.068 23.061 1.139 1.297
24.061 0.165 24.226 0.074 0.006
22.888 0.153 23.040 -2.840 8.067
24.012 -0.425 23.587 -2.287 5.229
23.805 -0.802 23.003 -3.003 9.019
24.466 -1.257 23.210 -1.010 1.020
Correlations: TMAX, rku-arma-garch-ver
16
Lampiran 5 Validasi model
Correlations: TMAX-VAL, rku-arma-garch-val
Pearson correlation of TMAX-VAL and rku-arma-garch-val = 0.243 P-Value = 0.062
yduga-rku yduga-sisaan
yduga-total
yobs-yduga
(yobs-yduga)^2
jumlah (yobs-yduga)^2 27.485 -0.000000000000000000000000000000000000000279 27.485 -0.885 0.783 115.144 27.602 -0.000000000000000000000000000000000000000234 27.602 -1.102 1.215
