Rumus Cepat Matematika Fungsi Kuadrat

(1)

http://meetabied.wordpress.com

SMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel

Sahabat paling baik dari kebenaran adalah waktu,

musuhnya yang paling besar adalah prasangka, dan

pengiringnya yang paling setia adalah kerendahan

hati (Caleb CC.)

[

RUMUS CEPAT MATEMATIKA

]

Fungsi Kuadrat

================================================================================ Materi ini dapat disebarluaskan secara bebas, untuk tujuan bukan komersial, dengan atau tanpa menyertakan sumber. Hak Cipta selamanya pada Allah Swt. Salam hangat selalu … Muhammad Zainal Abidin | admin of http://meetabied.wordpress.com

http:/ / meetabied.w ordpress.com

1 Fungsi kuadrat : F(x) = ax2 +bx +c mem- Punyai nilai max/min

a D x

f

4 )

( _max/_min

-=

1 Soal yang berkaitan dengan nilai maksimum atau minimum

diselesaikan dengan : “Turunan = 0”

1 Pandang h(t)=10t-t2 sebagai fungsi kuadrat dalam t. maka :

a = -1 b = 10 c = 0

1 Tinggi maksimum, dida- pat dengan rumus :

25 4

0 100

) 1 ( 4

0 ). 1 .( 4 10

4 4 4 )

(

2 2 max

= -=

-=

a ac b

a D t

h

JAWABAN : B 1. UAN 2004/P-1/No.2

Tinggi h meter dari suatu peluru yang ditembakan vertical ke atas dalam waktu t detik dinyatakan sebagai h(t)=10t-t2. Tinggi maksimum peluru tersebut adalah…

A. 15 meter B. 25 meter C. 50 meter D. 75 meter E. 100 meter

1 h(t)=10t-t2

5 2 10 0

2 10 ) ( '

= -=

-=

t

t t t

h

25 25 50 5 5 . 10 ) 5

( = - 2= - =

(2)

1 Nilai minimum dari

2. Nilai minimum fungsi yang ditentukan oleh rumus f(x) = 2x2-8x +p adalah 20. Nilai f(2) adalah….

·_{Titik potong dengan}

sumbu X, yaitu y = 0 x2 –x –2 = 0

(x +1)(x –2) = 0 di dapat x = -1 atau x = 2, maka koordinat titik

potongnya dengan sumbu X adalah (-1,0) dan (2,0)

·_{Titik potong dengan}

sumbu Y, yaitu x = 0 Maka y = 02-0-2 = -2 Jadi titik potongnya dengan sumbu Y adalah

3. Ebtanas 1999

(3)

http:/ / meetabied.w ordpress.com

v Pada grafik y = ax2+bx+c § a terkait dengan

“buka-bukaan “grafiknya.

a > 0, grafik membuka ke atas.

a < 0, grafik membuka ke bawah.

1 f(x) = x2 –x –2

a = 1 > 0 ,berarti grafik membuka ke atas. C dan E salah b = -1 < 0,grafik berat ke Kanan, B dan D salah. Jadi hanya sisa pilihan A

Jadi jawaban A

4. Ebtanas 1999

Grafik dari f(x) = x2 –x –2 adalah… A.

B. D.

C. E.

Y

X

Y

X Y

X

Y

X Y

X

§ b terkait dengan posisi grafik terhadap sumbu Y.

b > 0, grafik berat ke Kiri

jika a > 0, dan berat ke Kanan jika a<0

b = 0, grafik dalam keadaan Seimbang.

b < 0, grafik berat ke

Kanan jika a > 0, dan berat ke Kiri, jika a < 0.

§ c terkait dengan titikpotong grafik dengan sumbu Y.

c > 0, grafik memotong grafik di Y +

c = 0, grafik memotong titik asal (0,0)

c < 0, grafik memotong sumbu Y negatif (-)

http:/ / meetabied.w ordpress.com

@

Garis y = mx +n

@

Parabol y = ax2 +bx

c, maka : D = (m-b)2 -4a(c –n)

@

Memotong di dua

titik artinya :

(m-b)2 -4a(c –n) > 0

@

> 0 artinya

“terpisah” oleh atau

1 Garis y = x- 10 memotong y = x2 –ax +6, didua titik. Berarti :

x –10 = x2 –ax +6 x2 –ax –x +6 +10 = 0 x2-(a +1)x +16 = 0

1 Memotong di dua titik, maka D > 0

(a +1)2 -4.1.16 > 0 a2 +2a -63 > 0 (a +9)(a -7) > 0 Uji ke garis bilangan : Missal nilai a = 0

(0 +9)(0 –7) = -63 (negatif)

Padahal nilai a > 0 atau positif Jadi : a < -9 atau a > 7

JAWABAN : C

5. Garis y =x -10 memotong parabol y =x2 –ax +6 di dua titik berlainan jika…..

A. a ≥ -9

B. a ≤ -9 atau a ≥ 7 C. a < -9 atau a > 7 D. -9 ≤ a ≤ 7 E. -9 < a < 7

@

y = x- 10, y = x2 –ax +6

@

(m-b)2 -4a(c –n) > 0

(1 +a)2-4.1(6 +10) >0 (1 +a)2 –64 > 0 (1 +a+8)(1 +a-8) >0 (a +9)(a –7) > 0 Jadi : a < -9 atau a > 7

+

_-

+

(4)

v y = a(x –p)2 +q q = nilai max/min untuk x = p v Mempunyai nilai a

untuk x = b , maksudnya y = a , x = b

v Misal fungsi kuadrat : y = ax2 +bx +c

x = 1, merupakan sumbu simetri, rumusnya

a b x

2

-= atau 1 =

a b

2

-2a = -b atau -2a +b = 0 …(i) v Grafik melalui (1 ,2) berarti :

2 = a +b +c atau a+b +c = 2..(ii)

v Grafik melalui (2 ,3) berarti : 3 = 4a +2b +c atau

4a+2b+c=3 …(iii) v Pers(iii)-Pers(ii) di dapat:

3a +b = 1 ….(iv)

v Pers (iv)-pers(i) di dapat : a = 1, substitusi ke pers (i) di dapat b = -2

untuk a = 1 dan b = -2 substitusi kepersamaan (ii) di dapat : c = 3

v Substitusikan nilai-nilai a,b dan c ke persamaan umum di dapat : y = x2 –2x +3

JAWABAN : B

6. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x = 1 dan mempunyai nilai 3 untuk x = 2 adalah….

A. y = x2 -2x +1 B. y = x2 -2x +3 C. y = x2 +2x -1 D. y = x2 +2x +1 E. y = x2 +2x +3

v y = a(x –p)2 +q

y = a(x -1)2 +2 y = 3 untuk x = 2 3 = a(2 -1)2 +2 didapat a = 1

v y = 1.(x -1)2 +2 = x2 -2x + 3

v Nilai minimum 2 untuk x = 1,artinya puncaknya di (1, 2) dan grafik pasti melalui puncak.

v Nilai 3 untuk x = 2,artinya grafik tersebut melalui tutik (2 ,3) v Misal fungsi kuadrat :

y = ax2 +bx +c

x = 1, merupakan sumbu simetri, rumusnya

a b x

2

-= atau 1 =

a b

2

-2a = -b atau -2a +b = 0 …(i) v Grafik melalui (1 ,2) berarti :

2 = a +b +c atau a+b +c = 2..(ii)

v Grafik melalui (2 ,3) berarti : 3 = 4a +2b +c atau

4a+2b+c=3 …(iii) v Pers(iii)-Pers(ii) di dapat:

3a +b = 1 ….(iv)

v Pers (iv)-pers(i) di dapat : a = 1, substitusi ke pers (i) di dapat b = -2

untuk a = 1 dan b = -2 substitusi kepersamaan (ii) di dapat : c = 3

v Substitusikan nilai-nilai a,b dan c ke persamaan umum di dapat : y = x2 –2x +3

JAWABAN : B

7. Prediksi UAN/SPMB

Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x = 1 dan mempunyai nilai 3 untuk x = 2 adalah….

A. y = x2 -2x +1 B. y = x2 -2x +3 C. y = x2 +2x -1 D. y = x2 +2x +1 E. y = x2 +2x +3

1Grafik melalui (1 ,2), uji x = 1 harus di dapat nilai y = 2 pada pilihan

1Pilihan A :

y = 12 –2.1+1 = 0 ¹ 2 berarti pilihan A salah

1 Pilihan B

(5)

http:/ / meetabied.w ordpress.com

1 Ada garis : y = mx +n Parabol : y = ax2 +bx +c maka :

D = (b –m)2 -4.a(c –n)

1 Garis y = x +n akan menyinggung parabola :

y = 2x2 +3x –5 , berarti :

x +n = 2x2_{+3x –5}

2x2_{+3x –x –5 –n =0}

2x2_{+2x –5 –n =0}

a = 2, b= 2 dan c = -5-n

1 Menyinggung,maka D = 0 b2_{-4ac = 0}

22_{–4.2(-5-n) = 0}

4 –8(-5-n) = 0 4 +40 +8n =0 8n = -44

5 , 5

8 44

-=

-= n

JAWABAN : D

8. Prediksi UAN/SPMB

Garis y = x +n akan menyinggung parabola : y = 2x2 +3x -5, jika nilai n sama dengan… A. 4,5

B. -4,5 C. 5,5 D. -5,5 E. 6,5

1 y = x +n ,

menyinggung parabol :

1 y =2x2+3x -5 (3 -1)2-4.2(-5-n) = 0 4 +40 +8n = 0

8n = -44 n = -5,5

http:/ / meetabied.w ordpress.com

1 F(x) = ax2 +bx +c Nilai tertinggi atau nilai

terendah =

a ac b

4 4 2

-Perhatikan rumusnya SAMA

Gunakan info smart :

1 F(x) = ax2 +4x +a a = a, b = 4 dan c = a Nilai tertinggi =

a ac b

4 4 2

-a a a

4 . . 4 16 3

-=

16 -4a2 = -12a a2 -3a -4 = 0 (a -4)(a +1) = 0 a = -1 (sebab nilai tertinggi/max , a < 0)

2 ) 1 ( 2

4

2 =- - =

-=

a b x

JAWABAN : D

9. Prediksi UAN/SPMB

Nilai tertinggi fungsi f(x) = ax2+4x+a ialah 3, sumbu simetrinya adalah x = ….

(6)

1 y = ax2 +bx +c

10.Prediksi UAN/SPMB

Garis y = 6x -5 memotong kurva y =x2-kx +11 di titik puncak P. Koordinat titik P adalah…..

A. (2, 7)

1 Perhatikan , kita asum sikan semua pilihan A –E adalah Puncak Parabola. Dan Puncak tersebut melalui garis

y = 6x-5

1 Uji pilihan A. Ganti x = 2 harus di dapat y = 7.

x = 2 ,maka y = 6.2 –5 = 7 berarti pilihan A benar.

1 y = ax2 +bx +c

1 y = 2ax2 -4x +3a

(7)

http:/ / meetabied.w ordpress.com

1 Sumbu simetri x = p Persamaman umum : y = a(x –p)2 +q Nilai maks/min = q

1 Fungsi y = a(x -1)2 +q x = 1 melalui (2,5) 5 = a + q ... (i) melalui (7,40) 40 = 36a + q .... (ii)

1 Dari (i) dan (ii) didapat :

) ( 40 36

5

-þ ý ü = +

= +

q a

-35a = -35 , a = 1 substitusi ke pers (i)

berarti q = 4

1 Karena a = 1 > 0 berarti minimum , dan q = 4 Jadi Nilai ekstrimnya : minimum = 4

JAWABAN : C

Fungsi y = f(x) yang grafiknya melalui titik (2,5) dan (7,40) serta mempunyai sumbu simetri x = 1, mempunyai nilai ekstrim…..

A. minimum 2 B. minimum 3 C. minimum 4 D. maksimum 3 E. maksimum 4

http:/ / meetabied.w ordpress.com

1 Y = ax2 +bx +c Absis titik balik :

a b x

2

-=

Ordinat titik balik :

a ac b y

4 4 2

-=

1 y = -x2 –(p -2)x +(p -4) Ordinat = y = 6

4 16 4 4 4

) 1 ( 4

) 4 )( 1 ( 4 ) 2 (

2 2

6

-+ +

-=

=

p p p

p p

6 = ₄12

2

-p

à p2 -36 = 0 p2 = 36,maka p = 6 Absis = ₂2

=

6-₂2

=

-

2

-p

JAWABAN : B

Ordinat titik balik maksimum grafik fungsi :

y = -x2-(p -2)x +(p -4) adalah 6. Absis titik balik maksimum adalah…

(8)

1 y = ax2 +bx +c Sumbu Simetri :

a b x

2 -=

Nilai max:

a ac b y

4 4 2

-=

gunakan Info Smart :

1 y = ax2+6x +(a +1) Sumbu simetri : 3 =

a 2

6

-6a = -6 à a = -1

1 Nilai max

=

) 1 ( 4

) 1 1 )( 1 .( 4 36

-+

-= 9

Jawaban : D

14. Jika fungsi kuadrat y = ax2+6x +(a +1) mempunyai sumbu simetri x = 3, maka nilai maksimum fungsi itu adalah… A. 1

B. 3 C. 5 D. 9 E. 18

1 Ada garis : y = mx +n

1 Ada parabol : y = ax2 +bx +c Berpotongan di dua titik, maka :

(b –m)2 -4a(c –n) > 0

1 Titik potong antara : y = mx -14 dan

y = 2x2 +5x -12 adalah : mx -14 = 2x2 +5x -12 2x2 +5x –mx -12 +14 = 0 2x2 +(5 –m)x +2 = 0

1 D > 0 (syarat berpotongan) b2 -4.a.c > 0

(5-m)2 -4.2.2 > 0 25 -10m +m2 -16 > 0 m2 -10m +9 > 0 (m -1)(m -9) > 0 Pembuat nol : m = 1 atau m = 9

1 Gunakan garis bilangan : + - +

1 9

Arah positif :

Jadi : m < 1 atau m > 9

Jawaban : C

15. Grafik fungsi kuadrat y = 2x2 +5x -12 dan fungsi linier y = mx -14 berpotongan pada dua titik jika….

A. m < 9 B. 1 < m < 9 C. m > 9 atau m < 1 D. m > 1

E. m < -9 atau m > -1

1 y = mx -14 y = 2x2 +5x -12

1 Berpotongan di dua titik :

(5 –m)2 -4.2(-12 +14) > 0

(9)

http:/ / meetabied.w ordpress.com

1 Persamaan garis melalui (a,b) sejajar Ax+By +C = 0 adalah : Ax +By = Aa +Bb

1 Persamaan garis yang sejajar dengan 2x +y = 15 melalui titik (4,-6) adalah : 2x +y = 2(4) + (-6) = 2

2x +y = 2 y = -2x +2

1 Titik potong garis y = -2x +2 Dengan parabol y = 6 +x –x2 adalah :

6 +x –x2_{= -2x +2} x2 -3x -4 = 0 (x -4)(x +1) = 0 x = -1 atau x = 4 untuk x = -1, di dapat : y = -2(-1) +2 = 4

jadi memotong di (4,-6) dan di (-1,4)

Jawaban : C

16. Garis yang sejajar dengan garis 2x +y = 15 memotong kurva y = 6 +x –x2 di titik (4,-6) dan ..

A. (-4,14) B. (1, 4) C. (-1, 4) D. (2, 4) E. (1, 6)

http:/ / meetabied.w ordpress.com

1 Pers.Kuadrat dengan puncak P(p, q) adalah y = a(x –p)2 +q

1 f(x) = ax2+bx +c sumbu simetrinya :

a b x

2 -=

1 f(x) =x2 +4x +3 2 1 . 2

4

2 =

-= -=

a b x

f(-2) = (-2)2 +4(-2) +3 = -1 Puncaknya : (-2, -1)

1 P(-2,-1) → y = a(x +2)2 -1

Mel (-1 ,3) → 3 = a(-1 +2)2 -1 → a = 4

1 Jadi y = 4(x +2)2 -1 = 4(x2+4x +4) -1 = 4x2 +16x +15

17. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1 ,3) dan titik terendahnya sama dengan puncak grafik f(x) = x2 +4x +3 adalah….

(10)

1 -2 tidak terletak pada : 0 < x < 1

jadi -2 disubstitusikan ke x2 +1

1 -4 tidak terletak pada : 0 < x < 1

jadi -4 disubstitusikan ke x2 +1

1 ½ terletak pada 0 < x < 1 jadi ½ disubstitusikan ke 2x -1

1 3 tidak terletak pada : 0 < x < 1

jadi 3 disubstitusikan ke x2 +1

1 F(-2) = (-2)2 +1 = 5 F(-4) = (-4)2 +1 = 17 F( ½ ) = 2. ½ -1 = 0 F(3) = 32 + 1 = 10

1 F(-2).f(-4) +f( ½ ).f(3) 5. 17 + 0.10 = 85 + 0 = 85

Jawaban : C

18. Misalkan :

î í ì

+

< <

-=

lain yang untuk x 1

x

1 x 0 untuk 1 2 )

(x ₂x

f

maka f(-2).f(-4) +f( ½ ).f(3) = …. A. 52

B. 55 C. 85 D. 105 E. 210

O

Nilai maksimum 3 untuk x = 1, artinya Puncak di (1 ,3)

O

Gunakan rumus : y = a(x –p)2 +q

Dengan p = 4 dan q = 3

Gunakan iinfo smart :

O

y = a(x –p)2 +q

y = a(x -1)2 +3, melalui titik (3 ,1)

1 = a(3-1)2 +3 -2 = 4a , maka a = - ½

O

Kepersamaan awal :

y = - ½ (x -1)2 +3, memotong sumbu Y, berarti :

x = 0 ,maka

y = - ½ (0 -1)2 +3 = ₂5

O

Jadi titik potongnya :

(0 , ₂5₎

Jawaban : C 19. UAN 2003/P-1/No.2

Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksimum 3 untuk x = 1 dan grafiknya melalui titik (3 ,1), memotong sumbu Y di titik….

(11)

http:/ / meetabied.w ordpress.com

O

Nilai maksimum 5 untuk

x = 2, artinya Puncak di (2 ,5)

O

Gunakan rumus :

y = a(x –p)2 +q

Dengan p = 2 dan q = 5

O

f(x) = a(x –p)2 +q f(4) = a(4 -2)2 +5, 3 = 4a + 5 maka a = -₂1

O

Kepersamaan awal : f(x) = -1₂_{(x -2)}2₊₅

= -1₂_(x2

-4x+4) +5

= -₂1_x2 +2x +3

20. UAN 2002/P-1/No.5

Suatu Fungsi kuadrat f(x) mempunyai nilai maksimum 5 untuk x = 2 sedang f(4) = 3. Fungsi kuadrat tersebut adalah…... A. f(x) = -₂1_x2

+2x +3

B. f(x) = -₂1_x2 -2x +3