• Tidak ada hasil yang ditemukan

Kajian Teoritik Rangkaian Listrik Sederhana Menggunakan Vektor Poynting

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2016

Membagikan "Kajian Teoritik Rangkaian Listrik Sederhana Menggunakan Vektor Poynting"

Copied!
60
0
0

Teks penuh

(1)

KAJIAN TEORITIK RANGKAIAN LISTRIK SEDERHANA

MENGGUNAKAN VEKTOR POYNTING

SKRIPSI

SONY

090801010

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

KAJIAN TEORITIK RANGKAIAN LISTRIK SEDERHANA

MENGGUNAKAN VEKTOR POYNTING

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

SONY 090801010

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

PERSETUJUAN

Judul : KAJIAN TEORITIK RANGKAIAN LISTRIK

SEDERHANA MENGGUNAKAN VEKTOR

POYNTING

Kategori : SKRIPSI

Nama : SONY

NIM : 090801010

Program Studi : SARJANA (S1) FISIKA

Departemen : FISIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, 19 Agustus 2014

Pembimbing-I Pembimbing-II

Tua Raja Simbolon, S.Si, M.Si

NIP: 197211152000121001 NIP: 196505171993031003

Drs. Syahrul Humaidi, M.Sc

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Fisika FMIPA USU Ketua,

(4)

PERNYATAAN

KAJIAN TEORITIK RANGKAIAN LISTRIK SEDERHANA MENGGUNAKAN VEKTOR POYNTING

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing - masing disebutkan sumbernya.

Medan, 19 Agustus 2014

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan sukur kepada Tuhan Yesus Kristus, sebab dengan berkat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa selalu ada dukungan dan doa untuk sebuah keberhasilan, penulis mengucapakan terima kasih yang sebesar – besarnya kepada:

1. Kedua orang Tua saya Asden Togatorop dan Nurti Dena Silalahi, Op. Junedi Br. Tobing, Abang Tamrin Togatorop, Hendri Masri, Jouti Nurmelia, Watima Fitri Sumiati, Tulang Marudut Silalahi, Lae Renata Sitorus, yang telah memberikan dukungan doa dan dana.

2. Bapak Tua Raja Simbolon, S.Si,M.Si selaku dosen pembimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Terima kasih untuk setiap ilmu, bimbingan, masukan dan motivasi yang senantiasa diberikan kepada penulis.

3. Bapak Dr. Marhaposan Situmorang selaku ketua departemen Fisika, Bapak Drs. Syahrul Humaidi, M.Sc selaku sekretaris jurusan beserta dosen dan staff pegawai Departemen Fisika USU. Bapak Dr. Anwar Darma, M.Sc, selaku dosen wali saya selama mengikuti perkuliahan banyak memberikan masukan dan nasihat.

4. Bapak Dr. Marhaposan Situmorang, Drs. Syahrul Humaidi, M.Sc, Tua Raja Simbolon, S.Si,M.Si, Junedi Ginting, S.Si,M.Si selaku dosen penguji ujian sidang, saya ucapkan banyak terima kasih.

(6)

S.Si, Timbul Mulya David Panjaitan, S.Si, Wenny Yoweri, S.Si, Septiana, S.Si, Nurjannah, S.Si, Ferdi Aulia Mirda, S.Si, Hervery Sihombing, S.Kom. 6. Adik - adik 2011, Togar Manik, Sutrisno, Ancela Simbolon, Edi Manullang,

Marta’12, teman – teman yang lainnya, terima kasih untuk setiap kebersamaan dan motivasinya.

7. Kawan – kawan satu Asrama Putra USU, bang Dhani Hasibuan, Risman Sitompul, Andrian Anshari, Firman, Iman Nasution, Ikhwan Nasution, Andy Manullang, Alex Prawira Marpaung, Arani, Zuna, Reza, Ajir, Hamka.

8. Pak Pdt. Jonathan Situmeang, S.th, Pdt. R, Br. Sinaga, Pdt, Parluhutan Nababan, S.th, Pdt. Christon Siahaan, S.th.

9. Kawan – kawan P3MI Lawe Desky Aceh Tenggara, Jenri Saputra Hutapea, Rolis Simanjuntak, Jumaida Nababan, bang Sampe Tambunan, S.th, Rodrick Pasaribu, S.th, Amudin, Angelina Tampubolon, Susi Siburian, Marito Manullang, Riki Silalahi, Juli Tambunan, Tuty Tambunan, Rina Siburian, Boy Siburian, Serta kawan - kawan yang telah memberikan dukungan.

Penulis menyadari dalam penulisan skiripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu kritik dan saran yang sifatnya membangun sangat diharapkan.

Akhir kata semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca, terutama juga kepada mereka yang ingin melanjutkan penelitian ini.

Medan,

(7)

KAJIAN TEORITIK RANGKAIAN LISTRIK SEDERHANA MENGGUNAKAN VEKTOR POYNTING

ABSTRAK

Telah dilakukan perhitungan teoritik rangkaian listrik sederhana menggunakan vektor Poynting. Rangkaian listrik sederhana ini terdiri dari satu sumber tegangan dengan dua resistor yang identik terhubung seri. Diasumsikan bahwa rangkaian itu berbentuk lingkaran, dan kabel penghubungnya terbuat dari logam serta dimensi baterai diabaikan. Distribusi rapat muatan permukaan, medan elektrostatik, dan arus yang stabil disepanjang kabel menghasilkan medan magnetik konstan. Penelitian – penelitian sebelumnya menunjukkan bahwa vektor Poynting dan laju aliran energi hanya ditinjau pada geometri dua – dimensi, yang mana nilai dari vektor Poynting tersebut hanya dibatasi pada ruang di dalam rangkaian. Namun pada kenyataannya vektor Poynting tidak nol di luar rangkaian sama seperti di dalam rangkaian. Keadaan ini diperoleh dengan menggunakan vektor Poynting sebagai integral dari hasil perkalian titik dua vektor �=�0�2�×�, bahwa perkalian medan listrik dan magnetik sepanjang kawat menghasilkan energi yang sama dengan beda potensial pada titik ɸ dan ɸ dikalikan dengan arus yang masuk (� =�ɸE −ɸF��) yang dihitung secara analitik untuk membuktikan adanya aliran energi, sehingga diperoleh total daya yang dihasilkan oleh baterai sama dengan energi yang mengalir ke dalam kabel per satuan waktu.

(8)

THEORETICAL STUDIES OF SIMPLE ELECTRICCAL CIRCUITS

USING POYNTING VECTOR

ABSTRACT

Have been conducted theoretical calculations by using a simple electric circuit Poynting vector. Simple electric circuit consists of a voltage source with two identical resistors connected in series. It is assumed that the circuit is a circular circuit, and the wires are made of metal and the dimensions of the battery is negligible. The distribution of surface charge, the electrostatic field, and the steady flow along the wires produces a constant magnetic field. Earlier studies of the Poynting vector and the rate of flow of energy considered only idealized geometries in which the Poynting vector was confined to the space within the circuit. But in more realistic cases the Poynting vector is nonzero outside as well as inside the circuit. This situation is obtained by using the Poynting vector as the integral of the results of the dot product of two vectors�= �0�2�×�, that the multiplication of electric and magnetic fields along the wire produces energy equal to the potential difference at that point ɸ and ɸ multiplied by incoming current � = (ɸ− ɸ)� are calculated analytically to prove the existence of a flow of energy, in order to obtain the total power generated by the battery is equal to the energy that flows into the cable per unit time.

(9)

DAFTAR ISI

Daftar Gambar xiii

Bab 1 Pendahuluan

1.6 Sistematika Penulisan 2

Bab 2 Tinjauan Pustaka 4

2.1 Potensial Listrik 4

2.1.1 Potensial Dari Suatu Muatan Titik 8

2.1.2 Garis - garis Ekipotensial 8

2.1.3 Bidang Atau Garis Ekipotensial 9

2.2 Kerapatan Arus 10

3.1 Diagram Alir Penelitian 19

Bab 4 Hasildan Pembahasan 20

4.1 Rangkaian Listrik Sederhana Dua - Dimensi 20 4.2 Rangkaain Listrik Sederhana Tiga - Dimensi 21 4.3 Kerapatan Muatan Permukaan Rangkaian Listrik Sederhana

Yang Dipotong 23

4.4 Vektor Poynting Di Sekitar Kabel 27

4.5 Medan Listrik Yang Diakibatkan Oleh Suatu Rangkaian

Listrik Tertutup 31

4.6 Vektor Poynting Pada Rangkaian Yang Lebih Besar Dari R 32

(10)

Bab 5 Kesimpulan dan Saran 42

5.1 Kesimpulan 42

5.2 Saran 43

Daftar Pustaka 44

Lampiran I : Pembuktian Rumus 45

Lampiran II : Alfabet Yunani 48

(11)

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Muatan Uji 4

Gambar 2.2, 2.3 Analogi Energi Potensial Gravitasi 5 Gambar 2.4, 2.5 Analogi Kerja Potensial Listrik 7 Gambar 2.6 Dua muatan positif dan negatif saling tarik - menarik 8

Gambar 2.7 Dipol Listrik 8

Gambar 2.8 Dua muatan positif yang sejenis 9

Gambar 2.9 Permukaan garis - garis ekipotensial 9

Gambar 2.10 Arah aliran arus listrik 11

Gambar 2.11 Kawat konduktor dengan panjang elemen volum 12 Gambar 2.12 Kurva linier hambatan Ohmik dan non - ohmik 14

Gambar 2.13 Sebuah Penampang Solenoida 16

Gambar 2.14 Sebuah Penampang Solenoida Berbentuk Segi – empat 17 Gambar 4.1 Vektor Poynting rangkaian listrik sederhana

dua – dimensi 21

Gambar 4.2 Garis Bidang Ekipotensial 22

Gambar 4.3 Rangkaian Listrik Sederhana Berbentuk

Toroida Tiga – Dimensi 22

Gambar 4.4 Elemen – elemen pendek kabel Dua – Dimensi 24 Gambar 4.5 Rangkaian memotong bidang sumbu x-y

padatitik A dan B 29

Gambar 4.6 Rangkaian tertutup dengan hambatan yang sama 32 Gambar 4.7 Plot logaritma vektor Poynting

pada bidang rangkaian tertutup 37

(12)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang

Meskipun konsep vektor Poynting telah dikenal baik selama bertahun – tahun, bahwa aliran energi elektromagnetik di dalam rangkaian ohmik tiga – dimensi sederhana yaitu merupakan topik yang menarik untuk dibahas. Karena rapat muatan permukaan beperan pada rangkaian arus searah (direct current),sebab muatan permukaan berperan menghasilkan medan listrik dan distribusi potensial listrik yang diperlukan untuk memindahkan muatan di sekitar rangkaian. Dalam pembahasan ini medan listrik E dan magnetik B yang dihasilkan oleh rangkaian tertutup yang menghantar suatu arus konstan, sehingga diperoleh vektor Poynting

�= �0�2��, yang menyatakan aliran energi elektromagnetik yang mengalir di dalam rangkaian tersebut. Bab berikutnya akan diperlihatkan bahwa aliran energi elektromagnetik yang mengalir melalui setiap titik dalam ruang, pada saat berpindah dari baterai ke kawat, aliran energi total ke resistor sama dengan energi yang dihasilkan oleh baterai.

1.2 Rumusan Masalah

1. Bagaimanakah energi mengalir dari baterai ke kawat di mana energi mulai hilang?

2. Apakah energi itu keluar dari baterai ke segala arah dan kemudian kembali ke kawat atau mengalir di sepanjang kawat?

3. Bagaimanakah aliran energi elektromagnetik di dalam rangkaian dua dan tiga – dimensi.

1.3 Ruang Lingkup Kajian

(13)

1.4 Tujuan Penelitian

1. Menentukan aliran energi atau vektor Poynting pada kawat tertutup. 2. Meninjau garis - garis ekipotensial secara geometri sederhana. 3. Apakah terdapat medan listrik di dalam dan luar rangkaian.

1.5 Manfaat Penelitian

Untuk mendapatkan karakteristik medan listrik dan magnetik di sekitar kawat tak - hingga, rangkaian tertutup yang dianggap sebagai solenoida.

1.6 Sistematika Penulisan

Tugas akhir ini terdiri dari beberapa sub - bab yang menjelaskan pokok permasalahan sehingga penyajian tugas akhir ini disajikan secara sistematis:

BAB 1 Pendahuluan

Bab ini membahas latar belakang dari penyusunan tugas akhir, identifikasi dan batasan masalah yang diteliti, tujuan dari penelitian, manfaat penelitian dan sistematika penulisan.

BAB 2 Tinjauan Pustaka

Bab ini membahas konsep dasar teori potensial listrik, kerapatan arus, medan listrik, hukum Ohm, konsep dasar hukum Kirchoff yang mendukung pengembangan penelitian dengan menggunakan teori dasar energi elektromagnetik di dalam rangkaian ohmik dua dan tiga - dimensi sederhana.

BAB 3 Metode Penelitian

Bab ini membahas diagram alir penelitian, konsep dasar teorema yang digunakan.

BAB 4 Hasil dan Pembahasan

(14)

BAB 5 Kesimpulan dan Saran

(15)

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1.Potensial Listrik

Interaksi gaya elektrostatik F dan melalui medan listrik E, di mana kedua besaran fisis tersebut merupakan besaran vektor. Potensial listrik besaran vektor. Untuk memahami arti fisis dari potensial listrik, pandanglah sebuah muatan positif di sekitar muatan negatif.

Telah diketahui bahwa muatan positif mempunyai sifat bergerak mendekati muatan negatif tanpa ada gaya luar, ternyata muatan negatif yang membuat muatan positif +q tertarik. Energi inilah yang disebut potensial listrik.

Energi potensial didefenisikan sebagai usaha yang dilakukan untuk memindahkan muatan q’, dari A ke B. Untuk membahas energi potensial listrik dan potensial listrik, secara fisis, dapat dianalogikan terhadap energi potensial gravitasi, seperti gambar di bawah.

(16)

Gambar 2.2,Untuk berpindah dari A ke B, sebuah muatan listrik dalam medan listrik E, dari muatan q’, memerlukan sejumlah usaha yang berasal dari medan listrik muatan negatif.

2.3, Untuk jatuh dari posisi A yang memiliki potensial lebih besar ke posisi B, sebuah benda bermassa m memerlukan usaha yang berasal dari medan gravitasi.

Nilai energi potensial di B jelas lebih kecil dari energi potensial di A karena jaraknya pada muatan sumber (-) lebih dekat. Sebuah benda yang jatuh dari ketinggian tertentu (posisi A) ke posisi B menuju bumi pada gambar 2.3 di atas. Energi potensial di B jelas lebih rendah dari A karena ketinggian B lebih rendah dari A. Demikian pula halnya analoginya dalam energi potensial listrik, di mana muatan negatif dianggap sebagai bumi dan muatan positif sebagai benda yang jatuh atau sebaliknya. Muatan positif q’ ”jatuh” dari energi potensial lebih tinggi di A ke energi potensial lebih rendah di B. Sehingga dengan demikian telah terjadi pengurangan energi potesial akibat usaha yang dilakukan pada muatan positif untuk berpindah.

Pada kasus elektrostatik ketika muatan +q “jatuh” pada muatan negatif –q dari posisi A ke posisi B maka terjadi pengurangan energi potensial, karena nilai energi potensial di B lebih kecil (lebih negatif) dari energi potensial di A. Sebagaimana sebuah benda m yang jatuh dari ketinggian A ke posisi B, dengan demikian terjadi pengurangan energi potensial akibat usaha yang dilakukan pada muatan positif untuk berpindah.

(17)

� = � ��� ��

��

(2.1)

Karena�⃗ =�′��⃗

� = − � �′��� ��

��

(2.2)

−�′ � �����

��

Atau bentuk sederhana

�= −�′� ∙ �|����

� =−�′� �

�2�|����

= �′ �� �

�� − �

� ���

Dengan mendefenisikan ��

�, sebagai energi potensial, maka

� =−�′ ∙(� − �) (2.3)

Tanda negatif menandakan pengurangan energi potensial. dengan

W = energi potensial listrik (J/C) atau volt q = muatan listrik (C)

VB = potensial listrik di titik B (volt)

VA = potensial listrik di titik A (volt)

rA = jarak muatan pada titik A (m)

rB = jarak muatan pada titik B (m)

Jika (�− �) dan � sama-sama bernilai postitif atau negatif maka usaha yang dilakukan bernilai positif, namun jika (� − �) positif sedangkan q bermuatan negatif (-q) atau bermuatan positif (+q), maka usaha yang dilakukan bernilai negatif.

(18)

Gambar 2.4, Kerja positif dilakukan dengan memindahkan muatan q’ dan potensial yang rendah di B ke potensial yang lebih tinggi di A.

Gambar 2.5, Kerja positif dilakukan dengan mengangkat m dari potensial yang rendah di B ke potensial yang lebih tinggi di A.

Hubungan dari potensial listrik V dengan energi potensial W bahwa, “1 volt adalah bahwa dibutuhkan energi 1 joule, untuk memindahkan muatan 1 coulomb dari satu titik ke titik yang lain”. Dari defenisi ini bisa ditentukan W, jika sebuah muatan dipindahkan dari potensial tinggi di A ke potensial lebih rendah di B (VB -

VA), maka kerja yang dilakukan ialah negatif.

�(� − �)− � � ���

2.1.1 Potensial Dari Suatu Muatan Titik

Potensial di suatu titik, misalnya titik A merupakan selisih atau beda potensial antara potensial di titik tersebut dengan sebuah titik yang jauh sehingga

(19)

potensialnya nol, sehingga dapatkan sebuah nilai yang paling mendekati nilai sebenarnya:

�� = �� �− �

� �~

(2.4)

≈ �

Titik acuan jarak sangat jauh sebagai acuan umum karena memiliki potensial mendekati nol, sebagaimana analisisnya ditentukan potensial gravitasi dipilih permukaan bumi sebagai acuan umum karena potensial nol.

2.1.2 Garis – Garis Ekipotensial

Garis-garis ekipotensial merupakan tempat kedudukan titik - titik pada bidang permukaan yang semuanya mempunyai potensial listrik yang sama pada setiap bidang, seperti gambar di bawah.

Gambar 2.7, Arahmedan listrik pada berbagai titik di sekitar muatan titik positif.

(20)

2.1.3 Bidang atau Garis Ekipotensial

Lembar Permukaan Ekipotensial Garis – Garis Medan Listrik

Gambar 2.8, Garis - garis medan listrik pada dua muatan positif yang sama. Muatan saling tolak – menolak. Pola tiga - dimensi garis - garis medan listrik, pola yang ditampilkan di sini sekitar satu sumbu yang melewati kedua muatan pada lembar bidang. Pola tiga dimensi medan listrik memiliki simetri rotasi terhadap sumbu itu. Arah medan listrik pada satu titik yang diperlihatkan; bahwa bersinggungan dengan garis medan listrik yang melalui titik.

(21)

Permukaan ekipotensial: potensial yang sama di semua titik garis ekipotensial: garis yang menghubungkan titik - titik yang mempunyai potensial sama. Garis ekipotensial selalu tegak lurus garis medan listrik, jadi selalu tegak lurus gaya yang dialami muatan dititik itu.

Muatan yang bergerak pada garis atau bidang ekipotensial, tidak memerlukan usaha.

−��/�� = � (2.5)

Nialai maksimum dari –dv/dr pada suatu titik yang dinamakan gradien potensial pada suatu titik tersebut. Untuk daerah yang potensialnya sama, maka medan listrik E = 0.

2.2 Kerapatan Arus

Arus memiliki sifat pada suatu penghantar yang unik. Yaitu makroskopik seperti massa suatu benda, volum suatu benda, dan panjang suatu tongkat. Sebuah makroskopik yang dihubungkan dalam itu ialah kerapatan arus (current dencity)j. Rapat arus tersebut merupakan vektor dan merupakan ciri sebauh daerah di dalam penghantar dan bukan merupakan ciri penghantar secara keseluruhan. Jika arus tersebut didistribusikan secara merata pada penghantar yang luas penampangnya A, jika arah aliran pergerakan elektron ke kanan +j disetiap titik diorintasikan dalam pergerakan yang membawa muatan positif di titik itu. Sebuah elektron bergerak dalam arah –j menunjukan arah elektron ke kiri.

Hubungan antara j dan i merupakan suatu permukaan khas (tidak perlu merupakan bidang) di dalam sebuah penghantar, maka i adalah fluks dari arah j pada permukaan tersebut.

�=� ��� =� � ��= ��

Sehingga

� = �

� (2.6)

Dengan

(22)

A = luas penampang kawat (meter)

Di dalam konduktor dikenal dengan laju penyimpangan dari muatan yang bergerak. Yang menimbulkan adanya arus netto. Dengan meninjau kembali arus searah,

Gambar 2.10, Arah aliran arus listrik yang menunjukkan kerapatan arus dalam aliran muatan melalui konduktor terbatas.

Misalkan terdapat n jumlah partikel yang bergerak dalam kawat. Kecepatan vd, selang waktu dt setiap partikel bergerak sejauh vddt. Partikel yang

keluar dari ujung kawat melewati penampang merupakan partikel yang berada di dalam silinder dengan selang waktu dt. Jika volum silinder itu Avddt, dan

banyaknya partikel nAvddt. Dan jika setiap partikel mempunyai muatan q, muatan

dQ yang mengalir keluar dari ujung silinder dengan selama waktu dt.

�� = �(������) = ������� (2.7) dengan arus

�= ��

�� =����� (2.8)

Jika muatan yang bergerak itu negatif atau positif, kecepatan penyimpang itu berlawanan dengan

2.3 Arus Listrik

Arus merupakan gerak muatan yang sembarang dari satu daerah ke daerah lainnya. Suatu bahan dikatakan bersifat konduktif (bahan penghantar) apabila di dalamnya terdapat banyak muatan (elektron) bebas. Elektron bebas ialah elektron yang tidak terikat pada suatu inti, ia merupakan elektron yang letaknya jauh dari

(23)

inti sehingga hanya mendapatkan gaya tarik yang kecil. Elektron bebas ini kemudian, akan mengalir dalam bahan (kabel), jika ada perbedaan potensial di antara dua titik pada kawat. Elektron - elektron dalam kawat yang memiliki benda potensial mengalir dari potensial yang lebih rendah (-) ke potensial yang lebih tinggi (+) (namun pada baterai justru sebaliknya). Kuat arus listrik didefenisikan sebagai “banyaknya muatan yang mengalir dalam satu detik, sehingga secara matematik”:

Kuat arus =muatan (coulomb )

waktu (detik ) atau

� =��

�� (2.9)

2.4Hukum Ohm

George Simon Ohm (1789-1854) merumuskan hubungan antara kuat arus listrik (I), hambatan (R) dan beda potensial (V) yang kemudian dikenal dengan hukum Ohm yang penurunannya sebagai berikut:

Pandanglah sebuah kawat konduktor dengan panjang l dan luas penampang A

A

dl

dV i

Gambar 2.11, Kawat konduktor dengan panjang elemen volum dV

Arus didefinisikan banyaknya elektron yang melalui sebuah konduktor tiap waktu (satu detik). Dihitung kuat arus yang mengalir pada panampang dengan volum dV seperti pada gambar 2.11. Karena berbentuk silinder volum dari dV adalah:

dV = A dl (2.10)

karena dl adalah jarak yang ditempuh elektron dengan kecepatan Vd dengan waktu

(24)

sehingga:

dV = A vd (2.12)

sehingga banyaknya muatan yang mengalir pada dV adalah:

� = Avdn qe (2.13)

dengan I,

vd =���

�� τ (2.14)

jika disubstitusikan persamaan (2.14) untuk vd, maka diperoleh :

�= ���

2��

�� �AE (2.15)

yang berada dalam kurung pada persamaan (2.15) merupakan sifat bahan dan

sering disebut konduktivitas σ, sehingga :

� = σAE (2.16)

karena E=V/l, maka :

�= ���

� (2.17)

karena konduktivitas σ merupakan kebalikan dari resistivitas ρ (σ=1/ρ), maka persamaan (2.17) menjadi :

�= ��

�� (2.18)

atau:

� = �

���� � (2.19)

bagian di dalam kurung dari persamaan diketahui sebagai R (resistansi), sehingga:

� =�

� (2.20)

yang merupakan hukum Ohm.

Jika persamaan (2.20) dinyatakan dalam:

V = RI (2.21)

(25)

pada arus listrik I dan jika diplot dalam gravik V terhadap I tidak lagi linier (Yasmanrianto, 2004).

Gambar 2.12, Kurva linier hambatan Ohmik dan non-ohmik

2.5 Hukum Kirchoff I dan II

Hukum Kirchoff I jumlah aljabar arus I ke dalam setiap titik pertemuan adalah nol. ∑ � = 0 (kaidah titik pertemuan, berlaku di setiap titik pertemuaan). Hukum Kirchoff II menyatakan jumlah aljabar dari perubahan potensial yang ditemukan di dalam sebuah lintasan lengkap dari satu titik ke titik yang sama complete traversal dari rangkaian tersebut haruslah sama dengan nol. Yang menyatakan bahwa hukum kekekalan tenaga untuk rangkaian listrik.

2.6 Medan Listrik

Medan listrik merupakan medan vektor, yang terdiri dari distribusi vektor, satu untuk setiap titik di wilayah sekitar objek bermuatan seperti batang yang bermuatan. Pada prinsipnya, definisi medan listrik di beberapa titik dekat objek bermuatan: dengan menempatkan muatan positif q, yang disebut muatan tes, pada titik. Kemudian mengukur gaya �⃗ elektrostatik yang bekerja pada muatan tes. Akhirnya, definisi medan listrik di titik P yang disebabkan oleh muatan beban sebagai berikut,

(26)

Dengan demikian, besarnya medan listrik di titik P adalah ��⃗ =�⃗

0,

dan arah adalah bahwa gaya yang bekerja pada muatan uji positif. memperlihatkan medan listrik pada P dengan vektor di ujung titik P. Untuk menentukan medan listrik dalam beberapa wilayah, harus sama definisi di semua titik di wilayah tersebut.

Satuan medan listrik ialah newton per coulomb (N/C), walaupun menggunakan muatan tes positif untuk mendefinisikan medan listrik dari sebuah benda bermuatan, bidang yang ada secara independen dari muatan uji. Medan pada titik P baik sebelum dan sesudah muatan uji. (Dengan asumsi bahwa dalam prosedur didefinisikan, adanya muatan uji tidak mempengaruhi distribusi muatan pada objek muatan, dan dengan demikian tidak mengubah defenisi medan listrik). Untuk menguji peran medan listrik dalam interaksi antara benda yang bermuatan, ada dua prosedur:

1. Menghitung medan listrik yang dihasilkan oleh distribusi muatan dan, 2. Menghitung gaya yang diberikannya bidang tertentu pada muatan yang

(27)

2.7.1 Solenoida

Solenoida merupakan kawat yang panjang yang dililitkan di dalam sebuah helix (bentuk meliuk seperti sebuah pegas) yang terbungkus rapat dan yang mengankut arusi.

Gambar 2.13, Sebuah penampang lintang vertikal melalui titik pusat dari "membentang-keluar". Bagian belakang lima putaran yang ditampilkan, seperti garis-garis medan magnet karena arus melalui solenoida. Setiap gilirannya menghasilkan garis medan magnet melingkar di sekitarnya. Di sekitar sumbu solenoida, garis-garis medan menggabungkan ke dalam medan magnet yang diarahkan sepanjang sumbu. Garis-garis medan yang berdekatan menunjukkan medan magnet yang kuat. Di luar solenoida garis- garis medan luas ruang, bidang ada sangat kecil.

Untuk titik P seperti gambar 2.14 maka medan yang ditimbulkan bagian atas lilitan solenoida yang ditandai (⊙) menunjukkan ke kiri yang cenderung menghilangkan medan yang ditimbulkan oleh bagian lilitan solenoida teersebut (yang di tandai dengan (⊗), yang mengarah ke kanan. Jika solenoida mendekati konfigurasi sebuah lembar arus silinder arus yang panjang tak - hingga, maka medan magnetik B di titik - titik luar mendekati nol.

(28)

besar daripada diameternya. Jarak antara garis - garis B di dalam bidang inti memperlihatkan bahwa medan luar jauh lebih kecil daripada medan dalam.

Dengan menerapakan hukum amper, ∮ ���=�0� ke lintasan segi - empat siku-siku abcd di dalam solenoida ideal dari gambar di bawah

Gambar 2.14, Sebuah penampang solenoida, yang terbuat dari lilitan segi - empat kuadratis yang berdekatan, ekivalen ke pada sebuah lembar arus silinder yang panjangnya tak - hingga.

Dengan menuliskan integral ∮ ���, sebagai jumlah dari empat integral untuk satu segmen:

� ���= � ��� �

� +� ��� �

� +� ��� �

� +� ��� �

Integral pertama pada ruas kanan Bh, di mana B adalah besar medan magnet di dalam solenoida dan h merupakan panjang sebarang lintasan dari a ke b. Perhatikan bahwa lintasan ab, walaupun sejajar dengan sumbu solenoida, tidak perlu berimpit dengan sumbu tersebut.

Integral kedua dari integral ke empat adalah nol karena untuk setiap elemen lintasan-lintasan B adalah tegak lurus pada lintasan. Hal ini membuat

∮ ��� sama dengan nol dan karena itu integral tersebut adalah nol. Integral ketiga, yang termasuk bagian segi - empat siku - siku yang terletak di luar solenoida, adalah nol karena kita telah mengambil B sebesar nol untuk semua titik luar sebuah solenoida ideal.

(29)

i = i0(nh)

maka hukum amper menjadi

�ℎ=�0�0�ℎ atau

(30)

BAB 3

METODE PENELITIAN

3.1.Diagram Alir Penelitian

Adapun metode yang diinginkan dalam penelitian ini dapat di lihat pada diagram di bawah:

Rangkaian Tertutup Yang Terdiri Tegangan, Dua Buah Resistor Terhubung Seri

Medan Listrik E

Kawat Melingkar

Kerapatan Muatan Permukaan

Medan Magnet B

(31)

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Rangkaian Listrik Sederhana – Dua - Dimensi

Konsep energi elektromagnetik yang mengalir dari suatu baterai masuk ke dalam resistor pada rangkaian listrik sederhana yang berpindah melalui ruang sekitarnya yang terhubung kabel adalah berlawanan arah. Perhitungan medan vektor Poynting juga melibatkan proses komputasi bila diterapkan pada rangkaian listrik tiga - dimensi. Namun secara dimensi geometri tiga - dimensi yang nyata belum teliti dengan jelas, pada kasus rangkaian ini terdiri dari sebuah poros panjang tak-hingga, yang menjelaskan rangkaian dua-dimensi. Hal ini menunjukkan bahwa medan magnetik tidak terdapat di luar rangkaian, sehingga vektor Poynting tidak ada juga. Oleh karena itu, pada geometri dua-dimensi total aliran energi dibatasi di dalam rangkaian. Gambar 4.1, menunjukkan bahwa rangkaian dua - dimensi, yang terdiri dari baterai, resistor, dan kabel yang tak-hingga, luasnya tegak lurus terhadap bidang gambar. Tanda panah menunjukkan arah aliran energi elektromagnetik, yang merupakan medan vektor Poynting. Aliran arus energi dari baterai menuju dua buah resistor, aliran seluruhnya terdapat di dalam ruang dari poros persegi panjang. Namun, keadaanrangkaian tiga - dimensi secara kualitatif berbeda dengan dua - dimensi, sebab pada bagian sebelumnya S tidak lagi terbatas di dalam ruang yang terdefinisi oleh rangkaian.

(32)

sebenarnya yang teliti dalam studi literatur ini menunjukkan bahwa vektor Poynting dibatasi terhadap ruang geometris dari rangkaian.

V

R1

R2

Gambar 4.1, Vektor Poynting rangkaian listrik sederhana dua – dimensi, yang terdiri dari satu sumber tegangan V, dua buah resistor Ω identik dan terhubung seri. Pada daerah dekat sekitar komponen tegangan, resistor tampak adanya daya serap yang menandakan adanya energi panas.

4.2.Rangkaian Listrik Sederhana – Tiga - Dimensi

Hernandes dan Asis telah melakukan pengujian yang detail rangkaian listrik yang berbentuk torus (gambar 4.3). Mereka menghitung medan listrik baik di dalam dan luar serta distribusi muatan permukaan pada konduktor. Untuk menentukan medan listrik yang disebabkan oleh suatu konduktor membawa arus konstan yang dilakukan oleh “Merzbacher Puzzel” telah memotivasi orang untuk meneliti.

(33)

muatan permukaan dalam suatu rangkaian tertutup berbentuk lingkaran yang terbuat dari kabel yang ketebalanya kecil.

Gambar 4.2, Garis - garis bidang ekipotensial pada suatu rangkaian listrik sederhana dua - dimensi dengan sebuah baterai di sebelah kiri dan distribusi resistansi yang sama di dalam rangkaian tertutup. Garis - garis yang di dalam rangkaian juga merupakan arah vektor Poynting, yang diarahkan dari baterai. Vektor Poynting tidak ada di luar rangkaian.

Di dalam penelitian ini pembahasan salah satu rangkaian berbentuk cincin dengan satu baterai, kabel serta dimensinya diabaikan per satuan panjang (gambar 4.5).

(34)

Sehingga terlihat keadaan medan listrik dan magnetik, dan grafik S di dalam dan luar rangkaian. Bahwa S rangkaian sederhana tidak - terbatas terhadap ruang di dalam rangkaian, dan mencakup di luar rangkaian.

Nilai eksak S sembarang pada titik dalam dan luar rangkaian dapat ditentukan dengan menggunakan integrasi analitik. Secara analitik jumlah total energi yang mengalir dari baterai ke dalam kabel sama dengan beda potensial antara ujung - ujung dikalikan dengan arus yang mengalir melalui kabel.

Pada rangkaian direct - current (DC) terdiri dari baterai energy magnetic field (emf) konstan dan sebuah kabel tipis yang hambatanya sama, bahwa muatan bertambah sepanjang kabel dari satu terminal baterai ke terminal yang lain, dan bahwa muatan per satuan panjang kabel fungsi linear jarak dari baterai. Perhitungan kerapatan muatan menghasilkan medan listrik sehingga vektor Poynting saling berhubungan dengan rangkaian.

4.3. Kerapatan Muatan Permukaan Rangkaian Listrik Sederhana Yang Dipotong

(35)

-L +L

ψ

Sudut inti ED

0

ζ

Titik Koordinat Linier

Gambar 4.4, Elemen - elemen pendek kabel. Titik P berada pada koordinat ξ0, dan

titik E pada ξ; CE=CD= �0 yang merupakan jarak. Busur arc ED sudut inti (berhadapan) ψ.

Dengan asumsi bahwa kerapatan muatan permukaan � pada kabel, hanya

bergantung pada koordinat ξ, dan bervariasi secara linear dengan ξ. Sehingga

�= �+�� (4.1)

Potensial pada gaya elektrostatis di titik P pada (gambar 4.4) berada pada

�= �0 pada permukaan silinder, karena total distribusi muatan pada silinder. Dengan menentukan potensial pada titik P yang disebabkan muatan pada suatu cincin dengan luas �� pada titik E. Tinjaulah titik D pada cincin sedemikian rupa sehingga busur ED berhadapan dengan sudut ψ di pusat cincin. Potensial di titik F karena muatan sangat kecil pada elemen daerah yang terletak di titik D diberikan oleh aturan sinus

���ξ0�= (�+�ξ)�0����

��ξ−ξ0�2+�2�0��� �2� 2 4��0

(4.2)

Potensial di titik F yang disebabkan oleh seluruh permukaan silinder yang panjangnya 2L maka,

���ξ0�= 2

4��0� ��

0

� �� ξ

−�

(�+�ξ)�0

�� 2 2

(36)

Dan medan listrik parallel untuk konduktor pada permukaan silinder ialah

�||�ξ0�= −

�� �ξ0.

Karena kerapatan muatan bervariasi secara linear dengan koordinat �0, dengan menentukan konstanta a dan b pada persamaan (4.1), konstanta itu sudah cukup menentukan medan listrik pada titik tengah antara kedua ujung dari pada silinder, yaitu ξ0 = 0. Dengan mengintegralkan secara langsung

�||�ξ0�=

Selanjutnya dengan menerapkan hasil ini ke rangkaian listrik dengan jarak R. Panjang konduktor lurus 2L dianggap suatu kabel yang melengkung dengan panjang 2��, sehingga dengan mengganti L dengan �� dalam perhitungan berikutnya. Lengkungan kabel yang berubah secara berurutan 1/ln(R/r0) ke dalam

untuk mendapat kerapatan muatan yang dibutuhkan untuk memperoleh suatu beda potensial V antara dua ujung-ujung kabel pada persamaan (4.9), dan salah satu proses r0/R ke persamaan (4.5), untuk medan listrik yang parallel. Secara khusus,

suatu variasi dalam kerapatan muatan diperlukan untuk memandu arus dalam suatu melingkar yang bukan suatu garis lurus. Bagian 5 telah diperlihatkan bahwa untuk peristiwa kabel melingkar tipis, perubahan lengkungan kerapatan muatan linear yang merupakan suatu fungsi beda potensial eksternal O (1/ln(R/h), dan proses medan listrik parallel O (h/R), di mana potensial dan medan diukur pada jarak h dari kabel.

(37)

ke persamaan (4.5), dalam daya 1/ϛ4, dan mengabaikan ke syarat bentuk orde tinggi. Gunakan identitas

� ���

0

ln[sin⁡(�/2)] =−πln2 (4.6)

dan untuk mendapatkan medan listrik parallel untuk kabel,

�||(ξ) =−

Dalam persamaan (4.1), kerapatan muatan bervariasi secara linear denganξ, dan kutub positif kabel ke terminal positif baterai, ξ= +�= +π�, dan

Untuk rangakaian tertutup pada bidang sumbu x-y di titik pusat asal rangkaian, titik koordinat ξ dapat diganti dengan notasi variabel azimuth �, di mana

ξ =�(� −π) (4.10)

(38)

� = sudut pada kabel (radian)

� = beda potensial (volt)

�= pertimitivitas ruang hampa (F/m)

� = jari – jari pada luar lingkaran (m)

�0= jari – jari di dalam lingkaran (m)

Bentuk batasan ini sesuai dengan batas kabel tipis untuk kerapatan muatan permukaan pada suatu toroida konduktor yang membawa arus konstan.

4.4.Vektor Poynting Di Sekitar Kabel

Selanjutnya dengan menentukan syarat batas untuk vektor Poynting di sekitar kabel, pada jarak yang pendek dibandingkan terhadap keliling kabel2π�. Untuk perhitungan lengkungan rangkaian bisa diabaikan, dan dengan menggunakan pendekatan aproksimasi rangkaian dengan tak - hingga sepanjang silinder konduktor. Pada bagian sebelumnya telah dilakukan beberapa pendekatan dalam menentukan medan listrik parallel terhadap kabel untuk mendapatkan suatu keadaan kerapatan muatan permukaan. Yang mana juuga diperlukan keadaan untuk medan listrik normal terhadap konduktor yaitu arah radial medan listrik, dan magnetik kabel tertutup. Kombinasi medan magnetik dengan arah radial dan medan listrik longitudinal, menghasilkan kedua komponen vektor Poynting di sekitar kabel.

Untuk keadaan arah radial medan listrik di luar suatu muatan kabel silinder yaitu

�⊥(�) =�0�

0�

(4.13)

dengan

�= jarak dari sumbu silinder (m)

�0= jarak dari sumbu dalam inti silinder (m)

(39)

Sama halnya, medan magnetik di luar dan di sekitar silinder yang membawa arus konstan I diberikan oleh

� = �

� = permitivitas ruang hampa (F/m)

Rangkaian fluks magnetik azimuthal di sekitar silinder, disebabakan oleh pengaruh medan magnetik normal pada arah radial dan kedua medan listrik longitudinal. Maka, vektor Poynting parallel konduktor dengan jarak r dari sumbu

�||= �0�2��= sepanjang arah arus listrik, diberikan oleh

�||(�0,�) =

(40)

Gambar 4.5, Rangkaian memotong bidang sumbu x-y pada titik A dan B

Tinjaulah, sistem koordinat di atas, pada titik A dan B di mana bidang keliling yang memotong sumbu y seperti pada (gambar 5.5). Pada sudut azimuthal

� = 3�/2, sehingga aliran daya yang melalui daerah sempit di sekitar kabel pada titik A diberikan oleh

�||,� = + menyatakan aliran energi sepanjang arah arus yaitu jauh dari baterai. Pada titik B, sesuai dengan sudut �= �/2, dan aliran rata-rata energi diberikan oleh

�||,� =−

besar vektor Poynting pada titik A dan B sama, dua-duanya simetri. Tanda negatif pada titik B menyatakan aliran yang berlawanan terhadap arah aliran listrik, yaitu dalam bidang sumbu x-y dan jauh dari baterai pada titik A.

Selanjutnya jarak pada kabel ditetapkan �0 →0, dan r menuju tak - hingga R. Persamaan (4.18) dan (4.19) pada �||, dan �||, berperan untuk +VI/4, dan aliran energi yang melalui bidang x-y sepasang lingkaran dengan jarak � ≫ �0 di pusat titik A dan B ialah

�bidangyz =

��

2 (4.20)

Hasil pada persamaan (4.20) yaitu sama dengan setengah energi yang dihasilkan per detik oleh baterai, sebab bidang sumbu y-z memotong setengah pada keliling lingkaran. Selanjutnya ambil r sembarang lebih kecil tidak sama dengan nol, sepanjang �0 →0. Sehingga ketebalan kabel dapat diabaikan, hampir semua aliaran energi diuraikan oleh vektor Poynting yang terjadi dalam suatu silinder tipis sembarang di sekitar kabel.

Untuk meninjau perpindahan aliran energi di sekitar permukaan kabel, tinjaulah daerah berbentuk-cincin �0 ≪ � ≪ �0+ℎ, di mana 0≪ ℎ ≪ �0 ≪ �. Daya dialirkan melalui daerah annular ini menjadi

(41)

dengan

P = vektor Poynting (W/m2) V = beda potensial (volt) I = arus yang masuk (A)

�0= jarak dalam cincin kabel (m)

� = sudut pada kabel (radian)

persamaan (4.21), menunjukkan bahwa jumlah energi yang mengalir melalui suatu daerah annular dengan ketebalan h mendekati permukaan kabel yang bertambah secara linear dengan h. Sebagian besar daya total dalam rangkaian yaitu dialirkan pada jarak ℎ~�0 ln⁡(�/�0) dari kabel dengan jarak �0, yaitu jarak yang lebih besar dari kabel. Vektor Poynting menurun sebagai invers kuadrat jarak dari sumbu kabel, �= �0+ℎ, seperti terlihat pada persamaan (4.15).

Berikutnya komponen lain vektor Poynting di sekitar kabel. Jika dikombinasikan persamaan (4.5), untuk medan listrik parallel dan persamaan (4.14), untuk medan magnetik rangkain tertutup di sekitar kabel, dan menentukan komponen vektor Poynting tegak lurus terhadap kabel, maka

�⊥ =4��2�� (4.22)

oleh karena itu, daya per satuan panjang yang mengalir ke dalam kabel ialah

�⊥ =2���� (4.23)

yang sama pada semua titik sepanjang kabel.

Hal ini daya dapat dengan mudah diperlihatkan pada persamaan (4.23), menjadi identik dengan persamaan (4.4), untuk semua titik di sekitar permukaan kabel lurus. Jika diintegrasikan seluruh rangkaian, energi total yang mengalir per detik dalam kabel yaitu VI, sesuai dengan hasil yang diharapkan.

(42)

kabel �0. Persamaan berikut berkaitan dengan dua pernyataan yang berbeda untuk muatan pada elemen kabel:

2��0���= ��0� ln��

0�

(∅ − �)�� (4.24)

Dengan menggunakan persamaan (4.12) untuk kerapatan muatan permukaan � pada kabel. Persamaan ini mudah didefenisikan sebagai � ≡ ��0�/ln⁡(�/�0). Potensial elektrostatik yang sembarang pada titik � = (�,�,�) dalam sistem koordinat bola (gambar 6) sebagai berikut.

ɸ(�,�,�) = �

dan dalam sistem koordinat kartesian

ɸ(�,�,�) = �

�2= jarak panjang pada sistem koordinat kartesian (m)

�2 = jarak sistem koordinat kartesian pada sumbu x(m)

�2 = jarak sistem koordinat kartesian pada sumbu y (m)

�2 = jarak sistem koordinat kartesian pada sumbu z (m)

� = permitivitas ruang hampa (F/m)

Medan magnetik pada setiap titik dapat diperoleh sebagai �=�� dari potensial vektor sebagai berikut,

(43)

dengan

�,�,� = fungsi pada koordinat bola

� = vektor Poynting (W/m2)

� = arus yang masuk (A)

� = jarak pada rangkaian listrik (m)

y

x

z

P

Q A

O

Gambar 4.6, Rangkaian tertutup dengan hambatan yang sama

4.6. Vektor Poynting Pada Rangkaian Yang Lebih Besar Dari R

Untuk melakukan pengujian bahwa lengkungan kabel berperan kecil terhadap perubahan vektor Poynting untuk suatu rangkaian yang lebih besar dengan jarak R, akan ditinjau kabel tipis tak-hingga. Dengan meletakkan suatu titik pada sumbu x pada jarak h lebih kecil dari kabel, yaitu pada jarak R + h dari daerah titik asal sepanjang sumbu x negatif. Titik koordinat ini adalah (-R-h,0,0). Berikut akan dievaluasi persamaan (4.27) dan menentukan medan listrik pada titik (-R-h,0,0) yaitu parallel terhadap sumbu y diberikan oleh

��(−� − ℎ, 0,0)

= �

4��0�2�

2�� ��

ℎ� − �+ 3��4− ℎ �+ 3

ℎ � �� �

ℎ ��

+� �ℎ

2

�2�� (4.29a)

(44)

Dengan melakukan perhitungan yang sama untuk titik pada jarak h dari pusat kabel tipis lurus tak - hingga dengan panjang 2��, diperoleh:

�|| =

Jika dibandingkan persamaan (4.30b) dan (4.32b), harus disamakan syarat batas utama, sebabkabeldiasumsikan tipis tertutup dan lurus yaitu dihubungkan terhadap baterai dengan tegangan V yang sama. Bahwa perubahan lingkaran dinotasikan O(h/R), terdapat bahwa kabel tipis tertutup tak - hingga dan tidak terdapat pada kabel tipis lurus tak - hingga. Perubahan lingkaran ini dianalogi dengan �(�0/�) proses perubahan untuk sebuah toroida dengan jarak �0. Juga diketahui bahwa �= [1 +�(1/ln�/ℎ)]�, yaitu kerapatan muatan diperlukan untuk menghasilkan suatu tegangan V yang berkurang sepanjang kabel tertutup dengan panjang 2�� yaitu sama dengan kerapatan muatan yang diperlukan untuk menghasilkan tegangan V berkurang sepanjang kabel lurus, yang panjangnya sama dengan � →∞.

Selanjutnya, meninjau peristiwa apa yang terjadi di pusat lingkaran, yaitu pada titik asal (0,0,0), berikut

(45)

�=−�0�

2� �� (4.34)

Demikian juga vektor Poynting di pusat rangkaian yaitu diarahkan sepanjang diameter utama dari baterai dan besarnya

S = ��

4�2(/ 0)

(4.35)

Bahwa �0 →0, ruas sisi kanan persamaan (4.35) mendekati nol. Perilaku ini sesuai dengan hasil sebelumnya untuk kabel yang sangat kecil, dan aliran energi tetap di sekitar kabel, berkurang dengan cepat menuju nol jauh dari kabel.

Sekarang akan ditinjau karakteristik vektor Poynting dari yang jauh dari daerah asal. Pada jarak � ≫ � medan listrik menurun 1�3, dan diperlukan bentuk

p = momen dipol listrik pada rangkaian E = medan listrik (volt/m)

� = permitivitas ruang hampa (F/m)

�� = arah momen dipol listrik

�= jarak pada kabel (m)

Dari persamaan (4.27), maka diperoleh

�=−2πV�0�

2

ln⁡(�/�0)��

(4.37)

Di mana tanda negatif menunjukkan bahwa momen diarahkan sepanjang sumbu y negatif. Sehingga medan listrik dapat diketahui keadaannya

�(�) = V�

(46)

�(�) =μ0�

2(��� −3z��)

4�4 (4.39) Dengan mengkombinasikan persamaan (4.38) dan (4.39) maka diperoleh persamaan

Telah diperoleh hasil bahwa jarak yang cukup panjang dari rangkaian, vektor Poynting berkurang sebagai invers seper - enam daya jarak. Dengan mengamati setiap titik pada sistem sumbu koordinat tiga - dimensi S yaitu diarahkan sepanjang atau sejajar terhadap sumbu x.

Vektor Poynting S dalam bidang x-y yang terdapat kabel melingkar, di mana S dapat ditulis

�= �0�2������� − ������� (4.42)

(47)

�(�,�) = �� 4�ln��

0�

� ��[(2+− �2)[(+������22()�������+ (y− �����+�����))]��3/2]

2�

0

(4.43)

Dan B oleh curl persamaan (4.28),

�(�,�) =−������/��

� ��= − �0�

4�� �� � ��

0

cos�(1− �� ����)

�1 + �2

�2−2��cos�

3/2 (4.44)

dengan

B = medan magnetik (T)

�0 = permeabilitas ruang hampa (H/m) I = arus yang masuk (A)

R = jarak pada daerah asal kabel (m)

� = sudut pada kabel (radian)

� = jarak pada daerah dalam inti kabel (m)

Gambar 4.7, Plot logaritma vektor Poynting pada bidang rangkaian tertutup

(48)

� ~ �0, komponen sejajar �|| diberikan pada persamaan (4.15) akan lebih besar jika dibandingkan dengan komponen tegak lurus yang diberikan oleh persamaan (4.22), sepanjang kabel tipis (�0 ≪ �). Sehingga hampir semua tanda panah pada (gambar 4.7) yaitu sejajar dengan rangkaian. Persamaan (4.15), menunjukkan bahwa �|| juga sebanding dengan kerapatan muatan �, yang bervariasi (∅ − �). Sehingga dalam daerah secara langsung berlawanan dengan baterai, ∅ ≈ � , komponen sejajar �||, lebih kecil dibandingkan dengan komponen tegak lurus �, yang memiliki nilai yang sama di semua titik sepanjang rangkaian persamaan (4.22), bahwa point mendekati titik tengah, arah panah tegak lurus dengan kabel, sebagaimana yang diatur oleh simetri rangkaian.

Gambar 4.8, Menunjukkan bidang garis - garis ekipotensial pada rangkaian toroida (Himpunan Fisikawan Amerika, Hak Cipta, 2003). Baterai berada di sebelah kiri, dan garis - garis ekipotensial bersamaan dengan arah medan vektor Poynting, menuju keluar dari baterai. Di dalam badan toroida aliran – aliran energi menuju ke dalam permukaan luar dan keluar dari permukaan inti, energi makin berkurang menuju - nol dibagian inti.

(49)

demikian (gambar 4.8), arah besar tidak sesuai dengan vektor Poynting di dalam dan di luar rangkaian. Di sekitar ruang kosong toroida, vektor Poynting yaitu diarahkan langsung dari baterai ke titik - titik permukaan toroida. Di dalam badan kabel toroida, anggaplah bahwa arus tidak nol di dalam ruang kabel, titik - daerah vektor Poynting dari permukaan kabel ke ruang kabel. Secara khusus, titik – titik vektor Poynting dalam dari permukaan luar pada jarak R + r0 dari pusat rangkaian

dan keluar dari permukaan inti pada jarak R-r0, vektor Poynting konstan menurun

ketika berpindah ke dalam ruang kabel dan menuju nol di dalam kabel. Sifat aliran energi elektromagnetik suatu rangkaian toroida dapat dibandingkan dengan hasil yang diperoleh padakabel tipis (gambar 4.7).

4.7. Integral Umum

Total energi elektromagnetik yang mengalir dari baterai ke bagian yang berlawanan secara diametris rangkaian melalui bidang y-z (gambar 4.5).

Untuk medan dan arus yang tetap �=−�ɸ, sehingga total daya perkalian bidang x-y di arah sumbu –x ialah

Bentuk integral pertama pada persamaan (4.46b) sama dengan

(50)

yang menurun menuju nol karena kedua potensial skalar dan medan magnetik tidak ada pada ±∞. Dari persamaan Maxwell diperoleh �0�2�×�=� untuk medan dan arus konstan sehingga bentuk kedua persamaan (4.46b) memberi

� =− � � ɸ� ∙ ������

(4.48)

Kerapatan arus J hilang pada bidang y-z kecuali kedua daerah di mana kabel memotong bidang. Daerah ini berpusat pada titik A dan B pada (gambar 4.5), dan diperoleh � ∙ ��< 0 pada titik A dan � ∙ �� > 0 pada titik B oleh karena itu

�= �ɸA−ɸB�� (4.49)

di mana ɸ potensial elektrostatik pada titik A, dan ɸ potensial pada titik B. Perlu diperhatikan bahwa dalam analisis ini tidak asumsi yang dibuat mengenai bentuk spesifik rangkaian.

Berikut akan ditinjau sebuah permukaan tertutup bentuk sembarang yang menutupi baterai. Misalkan C dan D dapat dianggap titik - titik pada di mana permukaan kabel berpotongan, C dianggap sebagai titik potensial tinggi dan D titik potensial rendah. Total aliran energi per satuan waktu melalui permukaan ini ialah

�= �0�2�(�×�)∙ ��� (4.50)

di mana integral tertutup permukaan n jumlah garis ekipotensial di luar per satuan vektor. Karena medan listrik �= −�ɸ untuk medan tidak bergantung waktu,

�= −�0�2���× (ɸ�)� ∙ ���+�0�2�ɸ(�×�)∙ ��� (4.51)

�= ���× (ɸ�)� ∙ ���+�ɸ(�×�)∙ ���

�= �ɸ(�×�)∙ ���

dengan

�× (ɸ�) = 0

=�ɸ(�×�)∙ ���

di mana

(51)

=�ɸ� ∙ ���(persamaan maxwell ke dua)

dengan

� ∙ ���= merupakan arus I.

�×= operator curl

= medan magnetik ( T )

� = jumlah garis ekipotensial

� = permitivitas ruang hampa (F/m)

ɸ= sudut pada kabel (radian)

� = kelajuan cahaya (m/s)

Bentuk pertama hilang oleh teorema divergen Gauss. Dengan menerapkan persamaan Maxwell pada medan listrik konstan untuk bentuk ke dua, yang menghasilkan

�= � ɸ� ∙ ���=�ɸC −ɸD�� (4.52)

Jika hambatan dibatasi terhadap suatu daerah kecil pada rangkaian (a dianggap sama, resistor), dapat ditentukan perhitungan yang sama dengan permukaan tertutup yang menutupi resistor. Dengan permukaan kabel yang berpotongan pada titik E dan F. Dan bisa memperoleh aliran energi rata - rata ke dalam resistor sebagai berikut,

�= �ɸE −ɸF�� (4.53)

(52)

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1. Kesimpulan

1. Dari hasil analitik vektor Poynting pada bola, maka diperoleh sistem koordinat kartesian ��=�x�+�y�+�z�. Dengan komponen – komponennya kabel yang berbentuk bola.

2. Vektor Poynting yang melewati sepanjang kabel dipengaruhi oleh jari – jari dalam �0, luar �4 kabel dan rapat muatan permukaan �.

3. Perkalian medan listrik dan magnetik di sepanjang kabel menghasilkan energi sama dengan beda potensial pada titik ɸ dan ɸ dikali dengan arus yang masuk �= �ɸE −ɸF��.

5.2. Saran

(53)

DAFTAR PUSTAKA

Cheng, David K. 1983. Field And Wave Electromagnetics. New York: Adison-Wesly Publishing Company.

Edminister. Joseph. 1993. Schaum's Electronic Tuto of Electromagnetics. United Stated America: McGraw-Hill

Ghatak, Ajoy. 1977. Optics. New Delhi India: McGraw-Hill Publishing Co. LTD. Hallliday and Resnick.1974. Fundamental of Phisics. John Wiley & Sons,

incorporated.

Hayt, William. 1992. ElektromagnetikTeknologi.Edisi Ke V. Jakarta: Erlangga. Lehner, Gunther. 2010. Electromagnetic Field Theory for Engineers and

Physicists. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. (page 134).

Lovat Giampiero, Salvatore Celozzi, Rodolfo Araneo. 2008. Electromagnetic Shielding. New Jersey: John Wiley & Sons. (page 11).

Paul, Clayton R. 2004. Electromagnetics for Engineers. United Stated America: John Wiley & Sons.

Poynting. J. H. 1884. On The Transfer Of Energy In The Electromagnetic Field. Cambridge.

S. J. Orfanidis. 2010. Electromagnetic waves and antennas.

Shen. C. K, Kong, A. J. 1996. Aplikasi Elektromagnetik. Jakarta: PT. Gelora Angkasa Pratama. (terjemahan Iwan Garniawan).

Shevgaonkar, R. K. 2006. Electromagnetic Waves. New Delhi: Tata McGraw-Hill Publishing Company Limited.

Voltmer, David. Fundamentals of electromagnetics. 2007. Edisi Ke I. Volum 2. Morgan & Claypool. (page 69)

(54)

LAMPIRAN 1

1. Penjabaran Rumus

Dari persamaan (4.1) ke (4.2)

Persamaan (4.3) ke (4.5)

(55)
(56)

= ��0� 2�

�1 +�2− ��

�+�1 +�2

−�+�1 +�2�

Persamaan (4.13) ke (4.15)

�|| = �0�2�⊥�

Persamaan (4.33) dan (4.34) ke (4.35)

(57)

LAMPIRAN 2

2. Alfabet Yunani

Alpha Α � Nu Ν �

Beta Β � Xi Ξ �

Gamma Γ � Omicron Ο �

Delta Δ � Pi Π �

Epsilon Ε � Rho Ρ �

Zeta Ζ � Sigma Σ �

Eta Η � Tau Τ �

Theta Θ � Upsilon Υ �

Iota Ι � phi Φ �,�

Kappa Κ � Chi Χ �

Lambda Λ � Psi Ψ �

(58)
(59)
(60)

Konstanta gelombang Energi

Jari-jari pusat lingkaran jarak dari pusat lingkaran

k (radian/meter) W(joule)

r (m)

Gambar

Gambar 2.2,Untuk berpindah dari A
Gambar 2.5, Kerja positif dilakukan
Gambar 2.6, Garis - garis medan untuk  muatan saling tarik - menarik satu sama lain. dekatnya yang sama besarnya
Gambar 2.9, Permukaan ekipotensial merupakan potensial yang sama di semua titik. Garis ekipotensial merupakan garis yang menghubungkan titik - titik yang mempunyai potensial sama.Dan selalu tegak lurus garis medan listrik, jadi selalu tegak lurus gaya yang
+7

Referensi

Dokumen terkait

meningkatkan harkat dan derajat masyarakat di sekitarnya, sekaligus mengangkat citra Indonesia pada level internasional. Konfigurasi revolusi mental memegang peran kunci

Peneliti dapat menarik beberapa kesimpulan mengenai Pengaruh Kepemimpinan Kepala Sekolah Terhadap Pelaksanaan Pendidikan Karakter di Sekolah SDIT Islamicity kota

Hal tersebut sesuai dengan pendapat Sakita dan Sukandi (Simanjuntak, 2017) yang menyatakan bahwa sikap sosial adalah faktor penggerak dari dalam individu untuk

❑ Pengetahuan, pemahaman, keterampilan, atau kemampuan memungkinkan pekerja untuk memperoleh kompetensi yang diperlukan terkait dengan kinerja K3. Semua pekerja organisasi

Dengan demikian, performa perseroan hingga akhir tahun diperkirakan dapat mencapai Rp450 miliar, meningkat 22,28% dibandingkan periode yang sama tahun sebelumnya sebesar

Tabel 4.3 berikut ini perbedaan nilai kalor antara ketiga jenis limbah biomassa hasil uji laboratorium, sedangkan Tabel 4.4 merupakan nilai laju kalor pembakaran hasil

Angiofibroma nasofaring juvenille adalah tumor jinak pembuluh darah di nasofaring yang secara histologik jinak namun secara klinis bersifat ganas, karena

Pada pasien ini ditemukan adanya suara nafas yang berkurang pada paru kanan, tidak sesak dan tidak ada tanda infeksi, hal ini karena benda asing yang terbuat