Diajukan
FAKULTAS MA
Oleh :
Kristo Dantes Lingga NIM.409230025 Program Studi Matematika
SKRIPSI
an Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Ge Sarjana Sains
MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHU UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN 2016
Gelar
Riwayat Hidup
iii
S T U D I PE N Y E L E S A I A N PE R S A M A A N D I FE R E N S I A L MENGGUNAKAN METODE TRANSFORMASI LAPLACE
Kristo Dantes Lingga (409230025) ABSTRAK
Salah satu metode untuk menyelesaikan solusi dari persamaan diferensial adalah dengan menggunakan metode trasformasi Laplace. Suatu kelebihan metode transformasi Laplace adalah bahwa metode ini dapat menentukan solusi dari persamaan diferensial dengan lebih singkat.
Pemodelan matematika untuk masalah rangkaian listrik RC menghasilkan persamaan = + . Penyelesaian bentuk transformasi Laplace dari masalah nilai batas pada persamaan rangkaian listrik RC adalah { ( )} =
( )
sedangkan pemodelan matematika untuk masalahrangkaian listrik RLC dengan arus sebagai peubah adalah = + + , penyelesaian bentuk transformasi Laplacenya dari masalah nilai batas pada persamaan rangkaian listrik RLC adalah { ( )} = ( ) ( ) ( ) , untuk masalah nilai bataspadapersamaan rangkaian RLC dengan tegangan sebagai peubahadalah { ( )} = ( )
′( ) ( ) .
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur peneliti ucapkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan karunia-Nya sehingga skripsi yang berjudul “Studi Penyelesaian Persamaan Diferensial Menggunakan Metode Transformasi Laplace” ini
dapat terselesaikan dengan baik. Semoga Tuhan mencurahkan berkah-Nya atas skripsi ini, baik bagi yang menulis maupun yang membaca.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak akan mendapatkan suatu hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan, saran serta doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada: Bapak Prof. Dr. Syawal Gultom, M.Pd., selaku Rektor Universitas Negeri Medan, Bapak Drs. Asrin Lubis, M.Pd., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Bapak Dr. Edy Surya, M.Si., selaku Ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs. Yasifati Hia, M.Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, BapakDr. Pardomuan Sitompul, S.Si, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika,dan Bapak Drs. Syafari, M.Pd., selaku Pembimbing Akademik.
Terima kasih yang sebesar-besarnya saya sampaikan kepada BapakDr. Abil Mansyur, M.Si selaku Pembimbing Skripsi yang telah meluangkan waktu dalam memberikan pengarahan, bimbingan, petunjuk dan masukan yang sangat berharga dan sangat membantu dalam penulisan skripsi ini sehingga skripsi ini dapat penulis selesaikan dengan baik, Bapak Dr. Edy Surya, M.Si, IbuDr. Ani Minarni, M.Si dan Ibu Susiana, S.Si, M.Si selaku dosen penguji penulis yang telah memberikan saran, perbaikan dan masukan selama penulisan skripsi ini, seluruh dosen dan pegawai di lingkungan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Medan, Bapak Drs.Banu Susanto, M.Si selaku kepala bagian perpustakaan Universitas Negeri Medan yang telah mengizinkan untuk melakukan penelitian di perpustakaan Universitas Negeri Medan.
v
ini, terima kasih telah merawat, menyayangi penulis, memberi nasihat, doa, dukungan, bantuan, kepedulian, kasih sayang, jernih payahdan semua hal yang sudah beliau lakukan demi penulis agar dapat menyelesaikan studi seperti saat ini.Semoga impian dan harapanbapak dan mama yang selama ini di ceritakan kepada kami anak-anaknya dikabulkan keinginannya oleh Bapa yang di surga.
Aamiin…
Juga kepadaAbangnda Justin Panggabean, S.Si,Abangnda Hebron Siregar, S.Pd, Abangnda Vicky Siahaan yang selalu membagi pengalaman hidupnya agar penulis dapat belajar dan menjadi lebih baik lagi. Terima kasih untuk semua nasihat, dan berbagi pengalaman diberikan.Tak lupa penulis berterima kasih kepada Kristi Handayani Lingga dan Kris Febrianto Lingga selaku adik dan sekaligus teman yang selalu ada untuk berbagi cerita, teman jalan, dan teman berbagi milik bersama dan bersama memiliki. Terima kasih untuk semua bentuk kepedulian, kebaikan, untuk semangat, dukungan, juga nasihat-nasihat yang diberikan.
Terima kasih juga penulis ucapkan untuk persahabatan yang manis, penuh warna, curahan nasihat, ajaran,perhatian dan kasih sayang yang selama ini diberikan sahabat terbaik, Gomgom Sibarani, S.Si. Sesunguhnya penulis banyak belajar memperbaiki dan mengembangkan diri dari gomgom. Terima kasih pula untuk doa-doa yang telah gomgom berikan dalam kebaikan. Semoga kelak Bapa yang di surga melipatgandakan kebaikan untuk gomgom. Aamiin..
Terima kasih pula untuk teman seperjuangan dan sama-sama berjuang, Dwita Pinem, Ristinawati yang telah banyak membantu,mendukung dan memotivasi, Jesman Butar-Butar, Ervina, Leo, Hedro, Martin, dan semua teman-teman Non-Dik’09 yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, Kak Rosmaulina, Abang Vicky, Doan, Rinaldo, Anto yang selama ini selalu memberikan dukungan, semangat, dan doa. Dan semua teman-teman dan sanak saudara yang telah penulis minta doanya. Semoga Tuhan Yang Maha Esa memberikan balasan yang baik atas semua bantuan dan bimbingan yang telah diberikan.
Tulisan ini jauh dari kesempurnaan, untuk itu, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat diharapkan.Semoga hasil penelitian ini bermanfaat bagi ilmu pengetahuan.
Medan, April 2016 Penulis,
vii
2.1.1 Klasifikasi Persamaan Diferensial 7 2.1.2 Persamaan Diferensial Homogen Linear 8 2.1.2 Persamaan Diferensial TakHomogen Linear 9
2.2 Transformasi Laplace 11
2.2.1 Sifat-sifat Transformasi Laplace 12
a) Sifat linear 12
b) Sifat translasi atau pergeseran pertama 13 c) Sifat translasi atau pergeseran kedua 14
d) Sifat pengubahan skala 15
e) Transformasi Laplace dari turunan-turunan 16 f) Transformasi Laplace dari integral-integral 18
g) Perkalian dengan pangkat 19
2.2.2 Transformasi Laplace Invers 21 2.2.3 Sifat-sifat transformasi Laplace Invers 22
a) Sifat Linear 22
b) Sifat translasi atau pergeseran pertama 23 c) Sifat translasi atau pergeseran kedua 23
d) Sifat pengubahan skala 24
e) Transformasi Laplace invers dari turunan-turunan 24 f) Transformasi Laplace invers dari antiturunan-antiturunan 24 2.2.4 Penggunaan pada persamaan diferensial 25 2.2.5 Penggunaan pada rangkaian listrik 25 2.2.5.1 Jenis-jenis Rangkaian Listrik 27 BAB IIIMETODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian 34
3.2 Jenis Penelitian 34
3.3 Prosedur Penelitian 34
BAB IV PEMBAHASAN
4.1 Aplikasi Pada Rangkaian Listrik 38
4.1.1 Rangkaian LED Hias 38
4.1.2 Rangkaian LED Emergency 44
4.1.3 Rangkaian LED Berjalan 50
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan 61
B. Saran 63
ix
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Rangkaian RLC Seri 26
Gambar 2.2 Skema arus masuk dan keluar 26
Gambar 2.3 Rangkaian RC Seri 28
Gambar 2.3 Rangkaian RL Seri 29
Gambar 3.1 Prosedur penyelesaian persamaan diferensial biasa dengan koefisien variabel yang melibatkan bentuk
eksponensial 36
Gambar 3.2 Prosedur penyelesaian persamaan diferensial biasa dalam penggunaannya pada rangkaian listrik 37
Gambar 4.1 Rangkaian Lampu LED Hias 39
Gambar 4.2 Lampu LED Hias menyala 40
Gambar 4.3 Rangkaian RLC lampu LED hias 41
Gambar 4.4 Lampu LED Emergency 46
Gambar 4.5 Lampu LED menyala 47
Gambar 4.6 Lampu LED redup 47
Gambar 4.7 Rangkaian Lampu LED Berjalan 50 Gambar 4.8 Lampu LED D1 dan D11 Menyala 51 Gambar 4.9 Lampu LED D2 dan D12 Menyala 52 Gambar 4.10 Lampu LED D3 dan D13 Menyala 52 Gambar 4.11 Lampu LED D4 dan D14 Menyala 53 Gambar 4.12 Lampu LED D5 dan D15 Menyala 53 Gambar 4.13 Lampu LED D6 dan D16 Menyala 54 Gambar 4.14 Lampu LED D7 dan D15 Menyala 54 Gambar 4.15 Lampu LED D8 dan D14 Menyala 55
Gambar 4.16 Lampu LED D9 dan D13 Menyala 55 Gambar 4.17 Lampu LED D10 dan D12 Menyala 56 Gambar 4.18 Rangkaian RC Lampu LED Berjalan 57
Gambar 5.1 Rangkaian RC Seri 61
DAFTAR TABEL
xi
DAFTAR LAMPIRAN
1 1.1 Latar Belakang
Peran matematika sebagai suatu ilmu pada dasarnya tidak dapat dipisahkan dari ilmu lainnya. Dalam ilmu fisika, industri, ekonomi, keuangan, teknik sipil peran matematika terlibat di dalamnya. Satu hal yang membuat ilmu matematika berperan di dalamnya adalah mengenai pemodelan matematika. Banyak fenonema di dunia nyata yang sangat kompleks sehingga dibutuhkan penyederhanaan dari masalah tersebut.
Persamaan diferensial adalah salah satu ilmu matematika yang banyak digunakan untuk menjelaskan masalah – masalah fisis. Masalah - masalah fisis tersebut dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial. Jika model matematika berbentuk persamaan diferensial, maka masalahnya adalah bagaimana menentukan solusi (penyelesaian) persamaan diferensial itu. Misalnya untuk persamaan diferensial dengan koefisien konstan akan sangat mudah untuk menentukan solusinya, tetapi dalam penerapannya, ada persamaan diferensial yang memiliki koefisien berupa variabel. Sebagai contoh persamaan diferensial berikut ini:
’’ + (1 − 2 ) ’ – 2 = 0; (0) = 1, ’(0) = 2 (1)
Penyelesaian persamaan diferensial di atas dengan menggunakan persamaan karakteristik adalah, sebagai berikut:
Karena penyelesaian partikular tidak diketahui, maka diadakan subtitusi: =
=
= +
2
+ + − 2 − 2 = 0
+ + − 2 − 2 = 0 (2)
Selanjutnya dengan mensubstitusi: = = ′, ke persamaan (2) diperoleh:
Ke dalam persamaan (3), diperoleh:
− + ( − 2)( ) = 0
− + ( − 2) = 0
Persamaan diferensial di atas tidak dapat diselesaikan karena tidak memiliki faktor integrasi.
Untuk menentukan solusi dari persamaan diferensial di atas (koefisien berupa variabel) dapat dilakukan dengan beberapa metode. Beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial yang koefisiennya berupa variabel yaitu dengan metode analitik dan numerik. Salah satu metode analitik yang digunakan adalah dengan pemakaian transformasi Laplace sedangkan untuk metode numerik diantaranya adalah menggunakan metode Eurel, metode Runge-Kutta, dan metode Corrector. (Prayudi, 2006: 233)
menyelesaikan persamaan diferensial sistem. Kelebihan lain metode transformasi Laplace adalah diperolehnya secara serentak baik komponen transien maupun komponen keadaan tunak.
(https://id.scribd.com/doc/186216197/Transformasi-Laplace)
Adapun penyelesaian dari persamaan diferensial di atas dengan menggunakan Transformasi Laplace adalah:
Dengan melakukan transformasi Laplace pada masing-masing bagian diperoleh: { ’’} + {(1 − 2 ) ’} − {2 } = {0}
Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dengan variabel terpisah sehingga:
∫ + ∫ = 0,
dan selesaian dari persamaan diperoleh:
4
Lebih lanjut, dengan mentransformasi balik (invers) hasil dari selesaian persamaan di atas, diperoleh:
Untuk proses penyelesaian persamaan diferensial yang koefisiennya berupa variabel menggunakan metode transformasi Laplace, perlu diketahui terlebih dahulu sifat-sifat dari transformasi Laplace, sifat-sifat inversnya dan beberapa fungsi yang terlibat dalam transformasi Laplace.
Mengacu pada permasalahan di atas maka dalam penulisan ini akan dibahas solusi persamaan diferensial yang koefisiennya berupa variabel dengan menggunakan metode transformasi Laplace. Transformasi Laplace adalah operasi matematika yang dapat mentransformasikan persamaan diferensial yang koefisiennya berupa variabel menjadi persamaan diferensial biasa. Kemudian mentransformasikan balik untuk memperoleh penyelesaian dari persamaan diferensial parsial tersebut.
Sudirham (2012:85) mengemukakan bahwa:
“Untuk mencari solusi dari persamaan rangkaian harus mencari terlebih dahulu persamaan rangkaian di kawasan t sebelum perhitungan-perhitungan di kawasan s dilakukan. Dengan menggunakan transformasi Laplace pada rangkaian ini, maka perhitungan langsung bekerja di kawasan s, artinya persamaan rangkaian langsung dicari di kawasan s tanpa mencari persamaan rangkaian di kawasan t lebih dahulu. Sebagaimana telah diketahui, elemen dalam analisis rangkaian listrik adalah model dari piranti yang dinyatakan dengan karakteristik i-v-nya. Jika analisis dilakukan di kawasan s dimana v(t) dan i(t) ditransformasikan menjadi V(s) dan I(s), maka pernyataan elemenpun harus dinyatakan di kawasan s.”
Mengacu pada deskripsi di atas maka dalam penulisan ini akan dibahas solusi/penyelesaian persamaan diferensial yang dengan menggunakan metode transformasi Laplace dan penggunaan transformasi Laplace untuk mencari solusi dari suatu persamaan rangkaian listrik LED seri.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas, maka permasalahan yang timbul adalah “Bagaimana penyelesaian persamaan diferensial dalam kasus rangkaian listrik LED seri menggunakan metode transformasi Laplace untuk mendapatkan solusi secara singkat dari persamaan diferensial?”
1.3 Batasan Permasalahan
Untuk membatasi ruang lingkup penulisan skripsi ini, diberikan batasan-batasan, yaitu menyelesaikan masalah dalam menentukan solusi persamaan diferensial pada kasus rangkaian listrik LED seri menggunakan metode transformasi Laplace.
1.4 Tujuan Penelitian
6
1.5 Manfaat Penelitian
61 A. Kesimpulan
Pemodelan persamaan rangkaian lampu LED seri berdasarkan element
penyusunannya ada 2 yaitu, rangkaian lampu LED yang terdiri atas resistor
dan kapasitor atau rangkaian RC seri dan rangkaian lampu LED yang terdiri
dari resisto, induktor dan kapasitor atau rangkaian RLC seri.
Setiap rangkaian tersebut memiliki nilai peubah yang berbeda. Untuk
rangkaian RC nilai peubahnya adalah tegangan dan untuk rangkaia RLC nilai
peubah adalah tegangan dan arus. Bentuk transformasi Laplace dari masalah
nilai batas pada rangkaian listrik adalah:
1. Rangkaian RC
Gambar 5.1 Rangkaian RC Seri
+ { } = { }
{ ( )− (0)} + ( ) = (5.1)
Dengan syarat batas: (0)
Persamaan (5.1) adalah persamaan rangkaian seri RC dengan
menggunakan tegangan kapasitor sebagai peubah. Rangkaian seri RC
62
2. Rangkaian RLC
Gambar 5.2 Rangkaian RLC Seri
+ + { } = { }
{ ( )− (0)− '(0)} + { ( )− (0)} + ( ) = (5.2)
Dengan nilai batas: ( )dan '( )
Persamaan (5.2) adalah persamaan rangkaian RLC dengan
mengunakan arus sebagai peubah. Rangkaian RLC digunakan untuk mencari
besar arus yang mengalir.
+ + { } = { }
{ ( )− (0)− (0)} + { ( )− ( )} + ( ) = (5.3)
Dengan nilai batas: (0)dan '(0)
Sedangkan penyelesaian bentuk transformasi Laplace dari masalah nilai batas
pada persaman rangkaian listrik di atas adalah;
1. Rangkaian RC
{ ( )} = + (0)
+ 1
2. Rangkaian RLC
{ ( )} = + [ (0) + (0)] + (0)
+ + 1
B. Saran
Pada penulisan skripsi ini, permasalahan hanya dibatasi penyelesaian
masalah nilai batas pada persamaan diferensial linear orde satu dengan kasus
rangkaian listrik seri menggunakan transformasi Laplace. Oleh karena itu,
diperlukan penelitian lebih lanjut dalam hal yang sama pada kasus-kasus lain
64
DAFTAR PUSTAKA
Baisuni, H.M. Hasyim. 2005. Kalkulus, Edisi Pertama, Jakarta: Universitas Indonesia Press
Bronson, R & Costa, G. 2007. Persamaan diferensial edisi ketiga. Jakarta: Penerbit Erlangga
Naeem, Wasif. 2009. Concepts in electric circuits. United Kingdom: Ventus Publish ApS
Prayudi. 2006. Matematika Teknik. Yogyakarta : Graha Ilmu.
Purcell E.J, Varberg Dale, Rigdon S.E. 2003. Kalkulus jilid 2. Jakarta: PT Gelora Aksara Pratama
Spiegel, M.R.1984. Transformasi Laplace. Jakarta: Penerbit Erlangga
Sudirham, Sudaryatno.2012.Analisis Rangkaian Listrik jilid 2. Bandung: Darpublic.com
Scribd (2016).https://id.scribd.com/doc/186216197/Transformasi-Laplace (diakses 23 Februari 2016, pukul 08.00 WIB ).
