KEKONVERGENAN DARI SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE PERTAMA DENGAN TEOREMA PICARD’S

33 

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Loading....

Teks penuh

(1)

KEKONVERGENAN DARI SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL

LINEAR ORDE PERTAMA DENGAN TEOREMA PICARD’S

(Skripsi)

oleh:

WINDAYANTI

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(2)

ABSTRAK

KEKONVERGENAN DARI SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE PERTAMA DENGAN TEOREMA PICARD’S

OLEH WINDAYANTI

Persamaan diferensial linear adalah persamaan diferensial yang variabel-variabel terikat dan turunannya paling tinggi berpangkat satu dan tidak terdapat fungsi transenden dalam bentuk peubah tak bebas. Metode yang digunakan dalam

penyelesaiaan persamaan diferensial linear orde pertama ( ) dan menggunakan iterasi Picard, syarat Lipschitz dan Kekonvergenan.

(3)
(4)
(5)
(6)
(7)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Tatakarya pada tanggal 14 Desember 1992, sebagai anak

pertama dari dua bersaudara, putri pasangan Bapak Warsino dan Ibu Sariyanti.

Pendidikan Taman Kanak-kanak (TK) Al Munawaroh Tatakarya pada tahun 1998,

Pendidikan Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SD Negeri 02 Tatakarya pada

tahun 2005, Pendidikan Sekolah Menengah Pertama (SMP) diselesaikan di SMP

Negeri 1 Abung Surakarta pada tahun 2008, Pendidikan Sekolah Menengah Atas

(SMA) diselesaikan di SMA Negeri Abung Semuli pada tahun 2011.

Tahun 2011 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika, Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur

Ujian Masuk Lokal. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah bergabung di

Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) yang diamanahkan menjadi

anggota biro kesekretariatan periode 2012-2013 dan dilanjutkan menjadi anggota

bidang keilmuan periode 2013-2014. Pada tahun 2012 penulis mengikuti Karya

Wisata Ilmiah (KWI) di Desa Sukabanjar, Kecamatan Kota Agung Timur,

Kabupaten Pesawaran. Pada tahun 2014 penulis melaksanakan Kerja Praktek (KP)

di Badan Pusat Statistik Kota Metro. Penulis melakukan Kuliah Kerja Nyata

(KKN) Tematik di Dusun Gunung Sari, Desa Mulyo Sari, Kecamatan Padang

(8)

MOTO

Bara g siapa ya g menghendaki kehidupan dunia maka wajib baginya memiliki ilmu, dan barang siapa yang menghendaki kehidupan Akherat, maka wajib baginya memiliki ilmu, dan barang siapa yang menghendaki keduanya maka

wajib bagi ya e iliki il u.

(HR. Turmudzi)

Ja ga udah berputus ada jika menghadapi kesulitan, karena setiap tetes air

huja ya g jer ih berasal dari gu pala gu pala awa ya g gelap.

(windayanti)

ja ga berpura –pura jika tidak a pu, berterus tera g itu lebih baik

(windayanti)

padi se aki berisi se aki eru duk

(9)

PERSEMBAHAN

Kupersembahkan karya kecilku ini kepada Bapak dan Mamak tercinta yang dengan tulus memberi cinta, doa, semangat, dan pengorbanan untuk ananda

dalam menyelesaiakan skripsi ini. Serta adikku Puji Asriani tercinta.

Keluarga Besarku tercinta

(10)

SANWACANA

Alhamdulillahi robbil’alamin, Puji syukur penulis panjatkan kehadiran Allah

SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini yang berjudul : “ Kekonvergenan Dari Solusi

Persamaan Diferensial Linear Orde Pertama Dengan Teorema Picard’s”.

Sholawat serta salam semoga selalu tercurahkan kepada suri tauladan kita Nabi

Muhammad SAW yang di harapkan safaatnya di yaumil akhir.

Penulis menyadari bahwa terselesaikannya skripsi ini tidak terlepas dari dukungan

dan bantuan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini Penulis mengucapkan

terimakasih kepada:

1. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku Dosen Pembimbing I, yang telah sabar

membimbing penulis dan memberikan saran serta nasehat-nasehat sehingga

bisa menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak Drs.Tiryono Ruby, M.Sc.,Ph.D. selaku Dosen Pembimbing II serta

Ketua Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Lampung yang telah

memberikan bimbing, saran dan nasehat-nasehat dalam menyelesaikan skripsi

ini.

3. Bapak Agus Sutrisno, M.Si. selaku Dose Penguji, yang telah memberikan

saran yang membangun dalam proses penyelesaian skripsi ini. Ibu Dian

(11)

4. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung.

5. Seluruh dosen dan staff Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

6. Bapak dan Mamak serta adikku Puji Asriani tercinta yang telah memberi

dukungan , semangat, do’a, dan kasih sayang yang tulus untuk penulis.

7. Mbah dan Mbok tercinta Keluarga besarku yang telah memberikan semangat

dan motovasi.

8. Adik sepupu Wahyu, Yusuf, Faris, Susi dan Reni yang telah memberi

semangat dan motivasi.

9. Anis, Yeni, Nafisah, Sabrina, Arista, Rusmi, dan Ita yang telah memberi

semangat untuk menyelesaikan skripsi ini.

10.Helmi, dan Wesly yang telah memberi masukan dan saran untuk

menyelesaikan skripsi ini.

11.Teman-teman jurusan Matematika angkatan 2011 yang memberi semangat

untuk penyelesaian skripsi ini.

12. Iis Sugiarti dan Agus yang telah memberi semangat serta motivasi.

13.Semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi ini,

yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Semoga skripsi ini bisa bermanfaat bagi pembaca yang membutuhkan.

Bandar Lampung, Maret 2015 Penulis,

(12)

DAFTAR ISI

Halaman

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang ... 1

B. Rumusan Masalah ... 3

C. Batasan Masalah ... 3

D. Tujuan Penelitian ... 4

E. Manfaat Penelitian ... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 5

A. Persamaan Diferensial ... 5

B. Persamaan Diferensial Biasa ... 6

C. Persamaan Diferensial Linear ... 8

D. Persamaan Diferensial Non Linear ... 10

E. Masalah Nilai Awal (MNA) ... 10

F. Barisan dan Deret ... 12

G. Kriteria Kekonvergenan ... 13

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ... 17

A. Waktu dan Tempat Penelitian ... 17

(13)

Halaman

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 19

BAB V SIMPULAN DAN SARAN ... 29

(14)

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang mengalami perkembangan secara

terus-menerus dari tahun ke tahun, semakin berkembangnya ilmu pengetahuan

matematika maka akan mempermudah dalam menyelesaikan suatu permasalahan

pada bidang sains khususnya diferensial.

Turunan atau disebut dengan “differensial” memiliki penerapan dalam semua

bidang sains. Di bidang fisika, turunan dari perpindahan terhadap waktu adalah

kecepatan benda, dan turunan kecepatan terhadap waktu adalah percepatan.

Di bidang kimia, laju dari reaksi kimia adalah suatu turunan. Dalam bidang riset

operasi, turunan merupakan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan

mendisain pabrik. Dan permasalahan-permasalahan lainnya yang terjadi yang

berhubungan dengan ilmu matematika.

Persamaan ini diperkenalkan pertama kali oleh Leibniz pada tahun 1676.

Persamaan deferensial sering muncul dalam model matematika yang

menggambarkan suatu permasalahan. Sehingga , Persamaan diferensial

merupakan suatu persamaan yang memuat variable bebas, variable tak bebas, dan

derivative-derivatif dari variable tak bebas terhadap variable bebas. Persamaan

(15)

2 yaitu persamaan diferensial linear dan persamaan diferensial non linear.

Persamaan diferensial linear adalah persamaan diferensial yang variabel-variabel

terikat dan turunannya paling tinggi berpangkat satu dan tidak terdapat fungsi

transenden dalam bentuk peubah tak bebas, serta an(x) adalah fungsi kontinu.

Persamaan diferensial non linear adalah jika F tidak berbentuk polinom dalam

y, y’, … , y (m) dan F tidak berbentuk polinom berpangkat lebih dari 2 dalam

y, y’ ,…, y(m).

Metode yang digunakan dalam penyelesaian persamaan diferensial linear orde

pertama ini yaitu menggunakan teorema Picard dan syarat Lipschitz. Dengan

menggunakan teorema Picard’s persamaan diferensial linear orde pertama harus

menggunakan masalah nilai awal . Dalam menggunakan

teorema Picard’s maka persamaan akan membentuk

suatu deret dari suatu iterasi Picard.

y(x) = ∫ ,

y1(x) = ∫

y2(x) = ∫

y3(x) = ∫

y4(x) = ∫

y5(x) = ∫

(16)

3 yn(x) = ∫

yn+1(x) = ∫

Kemudian dalam metode iterasi Picard deret ke ( n+1) ini akan didapat

persamaan

yn+1(x) = ∫

dan didapat barisan hampiran :

, ,...

Sehingga dalam persamaan diferensial yang berbentuk deret tersebut apakah

konvergen atau tidak. Pengujian suatu deret tersebut menggunakan syarat

Lipschitz. Jika syarat Lipschitz terpenuhi maka memperoleh bentuk umumnya.

Kemudian dari bentuk umum yang di peroleh dari syarat Lipschitz uji

menggunakan kriteria kekonvergesi. Penulis menggunakan salah satu untuk

kriteria kekonvergenan yaitu deret mutlak

| |

| | .

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, rumusan masalah dalam penulisan ini adalah

mununjukan apakah penyelesaian tersebut konvergen atau divergen dengan

menggunakan persamaan diferensial linear orde pertama pada teorema Picard’s.

C. Batasan Masalah

Penelitian ini dibatasi pada penyelesaian persamaan diferensial linear dengan orde

(17)

4 D. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui penyelesaian suatu persamaan

diferensial linear orde pertama dan melihat kekonvergenan dari penyelesaian

persamaan diferensial linear orde pertama dengan menggunakan teorema Picard’s.

E. Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini adalah mengetahui kekonvergenan dari persamaan

diferensial linear orde pertama menggunakan iterasi Picard dalam bentuk barisan

(18)

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

A. Persamaan Diferensial

Definisi 2.1 Persamaan diferensial

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat variabel bebas, variabel

tak bebas, dan derivatif-derivatif dari variabel tak bebas terhadap variabel bebas-n

(Marwan dan Said, 2009).

Contoh persamaan diferensial :

y’ + xy = 3

y” + 5y’ + 6y = cos x

y” = ( 1 + y’2

) (x2 + y2)

Dari contoh di atas fungsi yang tak diketahui dinyatakan dengan y dan dianggap

(19)

6 Menurut peubah bebas, persamaan differensial dapat dibedakan menjadi dua

macam yaitu persamaan differensial biasa dan parsial sedangkan persamaan

differensial dilihat dari bentuk fungsi atau pangkatnya juga dibedakan menjadi

dua yaitu persamaan differensial linear dan persamaan differensial non linear

(Marwan dan Said, 2009).

B. Persamaan Diferensial Biasa

Definisi 2.2 Persamaan Differensial Biasa

Persamaan diferensial yang mempunyai turunan hanya tergantung pada satu

variabel bebas, maka persamaan diferensial tersebut dikatakan persamaan

contoh tersebut merupakan persamaan diferensial biasa, karena vareabel tak bebas

y hanya bergantung pada variable bebas x.

Definisi 2.3

Suatu persamaan diferensial biasa orde-n adalah suatu persamaan yang dapat

ditulis dalam bentuk:

(20)

7 Persamaan di atas menyatakan hubungan antara peubah bebas x, fungsi u dan

turunanya u’, u”, u”’, …un

. untuk selanjutnya akan digunakan variabel y sebagai

, sehingga dapat ditulis dalam bentuk :

(Marwan dan Said, 2009).

Definisi 2.4 Persamaan Diferensial Biasa Orde Pertama

Suatu persamaan diferensial biasa orde pertama adalah persamaan yang memuat

satu variabel bebas, biasanya dinamakan x, satu variabel tak bebas dinamakan y,

dan derivative

. Suatu persamaan diferensial biasa orde pertama dapat

dinyatakan dalam bentuk:

.

Dengan adalah fungsi kontinu pada x dan y.

Secara umum, persamaan diferensial linier orde pertama mempunyai bentuk

umum :

dengan p dan g adalah fungsi kontinu pada interval

( Panggabean, 2008).

Berikut ini diberikan pengertian order dan derajat persamaan diferensial

Definisi 2.5 Tingkat (order)

Persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari derivatif yang terdapat dalam

persaman diferensial.

Definisi 2.6 Derajat (degree)

Persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari derivatif tingkat tertinggi yang

(21)

8

turut derivative pertama, kedua, ketiga, …, dan derivative ke-n. Dari variable tak

(22)

9 a. Variabel-variabel terikat dan turunannya paling tinggi berpangkat satu dan tidak

terdapat fungsi transenden dalam bentuk peubah tak bebas, serta an(x) adalah

fungsi kontinu.

b. Tidak mengandung bentuk perkalian antara sebuah variabel terikat dengan

variabel terikat lainnya, atau turunan yang satu dengan turunan lainnya, atau

variabel terikat dengan sebuah turunan (Marwan dan Said, 2009).

Jadi istilah linear berkaitan dengan kenyataan bahwa tiap suku dalam persamaan

diferensial itu, peubah-peubah y, y', , ynberderajat satu atau nol.

Bentuk umum persamaan differensial linear orde-n adalah:

an (x) yn + an-1 (x) yn-1+ … + a1(x)y’ + a0(x)y = f(x)

dimana a0 , a1,…, an , f merupakan fungsi dari x.

Contoh :

1.

2.

3.

4.

(23)

10 D. Persamaan Differensial Non Linear

Definisi 2.8 Persamaan Differensial Non Linear

Persamaan differensial yang bukan persamaan differensial linier (Pamuntjak dan

Santosa, 1990).

Dengan demikian persamaan differensial F( x, y’, …, y(m)

) = 0 adalah persamaan

differensial tak linier, jika salah satu dari berikut dipenuhi oleh F :

-F tidak berbentuk polinom dalam y, y’, , y (m)

- F tidak berbentuk polinom berpangkat lebih dari 2 dalam y, y’, , y (m)

Contoh :

1. yy’ + xy’’ = 0 ; persamaan diferensial tak linier karena

F(x, y, y’, y’’) = yy’ + xy’’ polinom berbangkat dua dalam y, y’, y’’.

Definisi 2.9 Masalah nilai awal suatu masalah yang melibatkan satu atau lebih fungsi yang tidak diketahui beserta turunannya dalam sebuah persamaan yang

memenuhi syarat awal yang diberikan.

Dengan definisi di atas, MNA untuk sistem persamaan diferensial orde pertama

diberikan dalam bentuk berikut ini

(24)

11 Persamaan ( ) pada interval akan mempunyai

penyelesaian tunggal jika fungsi F memenuhi syarat Lipschitz.

Teorema 2.1 Jika persamaan ( ) pada interval dan F

memenuhi syarat Lipschitz yaitu ada sebuah konstanta k sedemikian sehingga

| | | |

Untuk semua dan semua , kemudian ada fungsi y(x) yang

terdiferensial dan kontinu sedemikian hingga

( )

dengan syarat awal, ( Joseph, 2008).

Iterasi Picard untuk masalah nilai awal

Secara umum, permasalahan persamaan diferensial selalu melibatkan masalah

nilai awal, yang dapat ditulis sebagai berikut:

( )

Dengan kondisi awalnya dapat disebut sebagai masalah nilai awal.

Metode iterasi Picard digunakan untuk penyelesaian secara hampiran persamaan

diferensial dengan nilai awal.

( ) (2.1)

Dua ide yang mendasari metode ini. Pertama Integrasikan ke dua sisi (2.1)

(25)

12 Kemudian dalam metode iterasi Picard ini akan didapat persamaan pada interval

y1(x) = ∫

y2(x) = ∫

y3(x) = ∫

y4(x) = ∫

y5(x) = ∫

y6(x) = ∫

yn(x) = ∫

yn+1(x) = ∫ (2.3)

( Joseph, 2008).

F. Barisan dan Deret

Definisi 2.10 Barisan

Barisan adalah himpunan dari bilangan u1, u2, u3, … , un. dengan susunan aturan yang

pasti.

Contoh:

Barisan (xn ) dengan (xn ) = .

(xn ) =

(26)

13

Untuk menyelidiki konvergensi suatu deret dapat dilakukuan dengan menguju

(test) terhadap dirinya sendiri “ kriteria konvergensi” atau “test konvergensi”.

Definisi 2.12 Tes Rasio

Andaikan ∑ sebuah deret yang sukunya positif dan andaikan

(27)

14

seperti deret geometri dengan pembanding Deret geometri akan konvergen

(28)

15 Jadi untuk semua , yang berarti bahwa

tidak

mungkin sama dengan nol. Maka uji cob suku-n, deret ∑

iii. Diketahui jika ∑ divergen sedangkan ∑ konvergen. Untuk deret yng

pertama,

Jadi, uji hasilbagi ini tidak dapat membedakan deret yang konvergen dengan deret

(29)

16 i. Jika deret divergen

ii. Jika deret konvergen

iii. Jika pengujian ini tidak memberikan kepastian.

(30)

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

A. Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2014/2015 di Jurusan

Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Lampung.

B. Metodologi Penelitian

Metodologi penelitian yang digunakan dalam penulisan ini adalah studi literatur.

Studi literatur yaitu melakukan penelusuran dengan penelaahan terhadap beberapa

literatur yang mempunyai relevansi dengan topik pembahasan.

Langkah umum dalam penulisan ini adalah:

a. Merumuskan masalah

b. Mengumpulkan bahan atau sumber dan informasi dengan cara membaca dan

memahami literatur yang berkaitan dengan teorema Picard dan sistem

persamaan differensial biasa linear orde pertama.

c. Setelah mempelajari teorema Picard’s dan sistem persamaan differensial

linear, langkah selanjutnya melakukan dan menguraikan pembahasan

penyelesaian sistem persamaan differensial linear menggunakan iterasi

(31)

18 d. Dari hasil iterasi Picard yang berbentuk deret, uji bentuk deret dengan

teorema Lipschitz

e. Dari teorema Lipschit diperoleh bentuk umumnya dan uji lagi dengan

kriteria kekonvergenan.

f. Kemudian memberikan contoh dan penyelesaiannya dari sistem persamaan

differensial linear dengan menggunakan masalah nilai awal pada iterasi

(32)

BAB V SIMPULAN DAN SARAN

A. SIMPULAN

Kesimpulan dari hasil pembahasan pada bab IV, yaitu dari permasalahan

persamaan diferensial linear orde pertama dengan masalah nilai awal

menggunakan iterasi Picard terbentuk suatu deret dan memenuhi syarat lipschitz

| | | |

selalu konvergen. Karena teorema Picard menjamin kekonvergenan dari

Persamaan Diferensial Linear Orde Pertama.

C. SARAN

Penelitian ini hanya menggunakan persamaan diferensial linear orde pertama,

untuk penelitian selanjutnya penulis mengharapkan pembaca dapat meneruskan

(33)

DAFTAR PUSTAKA

Finizio, N. dan G. Ladas. 1988. Persamaan Diferensial Biasa Dengan Penerapan Modern. Erlangga. Bandung.

Gazali, Wikaria dan Soedadyatmodjo. 2007. Kalkulus. Edisi ke-2. Graham Ilmu.

Yogyakarta.

Linear Algebra and Series. New York and London. Academic Press, INC.

Marwan dan Munzir, Said. 2009. Persamaan diferensial. Ed. Ke-1. Graha Ilmu, Yogyakarta.

Panggabean.A.B . 2008. Kakulus. Yogyakartia.

Purcell,J. And Verberg, D.1992. Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2. Erlangga. Jakarta.

Purcell,J. And Verberg, D. 2003. Calculus. Prentice Hall Inc., New Jersey, USA.

Trench, William F and Bernard Kolman. 1972. Multivariable Calculus with

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...