TATAP MUKA III
UKURAN PEMUSATAN DATA
(MEAN, MEDIAN DAN MODUS)
▸ Baca selengkapnya: rpp mean, median modus sd kelas 6
(2)Ukuran data Ukuran Pemusatan data Ukuran letak data Ukuran penyebaran data Mean Median Modus Median Kuartil Desil Persentil Jangkauan
Jangkauan antar kuartil Simpangan rata-rata
Simpangan Baku atau ragam
UKURAN DATA
MEAN
•
Apakah Mean?
Mean merupakan salah satu ukuran untuk
memberikan gambaran yang lebih jelas dan
singkat tentang sekumpulan data.
Mean dipelajari dalam materi Statistika, yaitu
dalam sub materi ukuran pemusatan data.
•
Istilah lain
rata-rata atau rerata atau rataan
•
Jenis Mean
1. rata-rata hitung,
2.rata-rata ukur dan
3. rata-rata harmonis
PERNAHKAH MENDENGAR
PERNYATAAN INI?
Berapa rata-rata nilai ulangan statistika di
kelasmu?
Tinggi badan rata-rata siswa kelas XII adalah
156 cm
Berapa keuntungan rata-rata yang diperoleh
petani padi setiap musim dalam satu tahun?
Berapa rata-rata jumlah kendaraan bermotor
yang melintasi Jalan Jenderal Sudirman setiap
menit?
1. Data tunggal
3. Data berkelompok
2. Data berbobot
RATA
RATA--RATA HITUNG
RATA HITUNG
LAMBANG
LAMBANG
Rata
Rata--rata hitung dilambangkan dengan eks bar
rata hitung dilambangkan dengan eks bar
X
RATA-RATA HITUNG
DATA TUNGGAL
n
x
....
x
x
x
x
1
2
3
nn
Σx
x
in
x
Σ
x
i n 1 i
= banyak data
= jumlah data (jumlah
data ke-1 sampai dengan data ke-n)
n
Jika terdapat n buah data yang terdiri dari
x
1, x
2, x
3, … x
n,
rata-rata hitung data tersebut dapat didefinisikan sebagai
berikut.
atau
atau
i
Σx
Nilai ulangan matematika 5 siswa kelas
X Akuntansi adalah
8, 5, 7, 10, dan 5.
Rata-rata hitung nilai siswa tersebut
adalah ….
a. 4
b. 5
c. 6
d. 7
e. 8
Contoh soal 1
Pembahasan soal 1
Dik : Data = 8, 5, 7,10, 5 n = banyak data = 5 = jumlah data = 8 + 5 + 7 + 10 + 5 = 35 Ditanya : rata-rata Jawab : = = 7X
5 35 iΣx
n
Σx
x
i
Berat badan 10 orang
siswa adalah z, 48, 50,
44, 46, 50, 56, 57, 44, dan
45 kg. Jika berat badan
rata-rata ke 10 siswa
tersebut 50 kg, nilai yang
benar untuk z adalah ….
Kg.
a. 70 b. 65 c. 60 d. 55 e. 45Contoh soal 2
Diketahui : banyak data = n = 10 Rata-rata = 50 Jumlah data = z + 48+50+44+46+50 +56+57+44+45 = z + 440 10 440 z Ditanya : z Jawab : 50 = z + 440 = 50 . 10 z + 440 = 500 z = 500 – 440 z = 60
Pembahasan soal 2
iΣx
n
Σx
x
i
LATIHAN 1
1. Tentukanlah rata-rata tinggi badan anggota paskibra dari 8 siswa putri berikut 164, 165, 163, 160, 167, 165, 160, dan 160 cm
2. Rata-rata hasil ulangan matematika 15 siswa adalah 6,8. Jika 5 siswa mengikuti ujian susulan maka nilai rata-ratanya menjadi 7,0. Berapa nilai rata-rata kelima siswa yang mengikuti ujian susulan tersebut?
i
Σx
n Σx x i X 8 1304 x Dik : n = 8 xi= 164, 165, 163, 160,164, 165, 163, 160, 167, 165, 160, dan 167, 165, 160, dan 160 cm 160 cmDitanya : rata-rata tinggi badan Jawab : = 164+165+163+160164+165+163+160 +167+165+160+160 +167+165+160+160 = 1304 = 163 cm
Diketahui : 5 siswa = 6,8 20 siswa = 7,0 Ditanya : 5 siswa X X X Rata-rata 5 siswa : = 38/5 = 7,6 5 Σ Σ 15 1 i 20 1 i 5 x Σ x i 5 1 i siswa 5 5 102 140 Jawab : 6,8 x 15 = 102 7,0 x 20 = 140
15
x
Σ
x
i 15 1 i siswa 15
20
x
Σ
x
i 15 1 i siswa 20
15
x
Σ
6,8
i 15 1 i
20
x
Σ
7,0
i 20 1 i
RATA-RATA HITUNG
DATA TUNGGAL BERBOBOT
n .x f Σ x i i n 1 i
n
.x
f
....
.x
f
.x
f
.x
f
x
1 1
2 2
3 3
n n= Jumlah hasil perkalian setiap data dan frekuensinya fi = Frekuensi data ke-i
x i = Data ke-i fi = n = banyak data i i
.x
Σf
i i iΣf
.x
Σf
x
Jika nilai n buah data adalah x1, x2, x3, … xn, dan masing-masing frekuensinya adalah f1, f2, f3, … fn , nilai rata-rata hitung sekumpulan data tersebut didefinisikan sebagai berikut.
atau
Tabel penjualan 10 buah kios Tabel penjualan 10 buah kios pakaian pada minggu
pakaian pada minggu
pertama bulan Desember 2008 pertama bulan Desember 2008
Pakaian Pakaian terjual terjual (x (xii)) Banyak Kios Banyak Kios (f (fii)) 70 70 22 80 80 33 90 90 44 100 100 11
Rata-rata pakaian yang terjual pada tabel di samping adalah
a. 70 b. 71 c. 72 d. 73 e. 74
Contoh soal 3
Pembahasan contoh soal 3
Ditanya : Rumus rata-rata Jawab : = = 84
i i if
.x
f
x
10 840 Pakaian Pakaian terjual terjual (x (xii)) Banyak Kios Banyak Kios (f (fii)) 70 70 22 80 80 33 90 90 44 100 100 11 ffi. i. xxii 140 140 240 240 360 360 100 100 10 10 884040 Diketahui :LATIHAN 2
1. Tabel 1 berisi data Panjang bahan yang dibutuhkan siswa untuk merancang pakaian pesta. Hitunglah berapa panjang rata-rata bahan yang dibutuhkan oleh siswa?
Tabel 1.
Banyak buah
Banyak buah Banyak MusimBanyak Musim (f (fii)) 30 30 22 40 40 33 50 50 xx 60 60 11 75 75 22 Panjang bahan Panjang bahan (dalam Meter) (dalam Meter) Jumlah Siswa Jumlah Siswa 3 3 55 3,5 3,5 1010 4 4 33 5 5 22 2.
2. Tabel 2 memperlihatkan Tabel 2 memperlihatkan
banyaknya buah mangga banyaknya buah mangga yang dihasilkan. Berapakah yang dihasilkan. Berapakah x dan berapa banyk musim x dan berapa banyk musim yang dilalui jika rata
yang dilalui jika rata--rata rata pohon tersebut pohon tersebut menghasilkan 49 buah? menghasilkan 49 buah? Tabel 2 Tabel 2
1
Ditanya
Ditanya : Rata: Rata--rata rata Jawab Jawab :: = = = = 3,6 3,6 Diketahui : Diketahui : x xii ffii xxii.f.fii 30 30 22 6060 40 40 33 120120 50 50 xx 50x50x 60 60 11 6060 75 75 22 150150
i i i f .x f xDiketahui :
Diketahui :
x xii ffii xxii.f.fii 3 3 55 1515 3,5 3,5 1010 3535 4 4 33 1212 5 5 22 1010 2020 7272
i i if
.x
f
x
20 72 Ditanya : x Jawab : 49 = 49(8+x) =390 + 50x 392 + 49x = 390 + 50x 49x – 50x = 390 – 392 -x = -2 x = 2 musimbanyak musim : 2 + 3+ 2+ 1 + 2 = 10 musim
x 8 150 60 50x 120 60
2
2
RATA-RATA HITUNG
DATA KELOMPOK
Berikut ini adalah rumus-rumus untuk menentukan Rata-rata hitung data berkelompok. 1. dengan rumus sigma
1. dengan rumus sigma
2. dengan rumus coding 2. dengan rumus coding
3. dengan rata 3. dengan rata--rata dugarata duga
.I n .c f x x 0
i i n .d f x x 0
i i , xi = Titik tengah= ½ . (batas bawah + batas atas)
ci = Kode titik tengah
I = Interval kelas = Panjang kelas =
x0 = Titik tengah pada frekuensi terbesar di = xi – x0
i i i f .x f xterkecil
ukuran
satuan
b
b
n
n1 Menentukan rataMenentukan rata--rata hitung data berkelompok akan rata hitung data berkelompok akan lebih mudah apabila data disajikan dalam bentuk tabel lebih mudah apabila data disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi.
Contoh soal 4
Tabel pendapatan 50 Tabel pendapatan 50
Pedagang kaki lima pada Pedagang kaki lima pada tanggal 1 Januari 2009 tanggal 1 Januari 2009 NO NO Pendapatan Pendapatan (dalam puluhan (dalam puluhan ribu rupiah) ribu rupiah) ffii 1 1 1 1 –– 55 66 2 2 6 6 –– 1010 2020 3 3 11 11 -- 1515 1010 4 4 16 16 -- 20 20 99 5 5 21 21 -- 2525 55
R
ata-rata pendapatan harian
pedagang kaki lima pada
tabel di samping adalah Rp …
a.
97.000
b. 107.000
c.
117.000
d. 127.000
NO NO XX ffii 1 1 1 1 –– 55 66 2 2 6 6 –– 1010 2020 3 3 11 11 -- 1515 1010 4 4 16 16 -- 20 20 99 5 5 21 21 -- 2525 55
50
585
x
= 11,7 Penghasilan rata-rata pedagang = 11,7 x 10.000 = Rp 117.000 X x1 = ½ (1+5) = ½ . 6 = 3 x2 = ½ (6+10) = ½ . 16 = 8Batas atas
Batas bawah
Pembahasan contoh soal 4
Dengan rumus sigma
i i if
.x
f
x
x xii ffii.x.xii 18 18 160 160 130 130 162 162 115 115
5050 585585 3 3 8 8 13 13 18 18 23 23 x3 = ? x4 = ? x5 = ?ffii.c.cii NO NO XX ffii 1 1 1 1 –– 55 66 2 2 6 6 –– 1010 2020 3 3 11 11 -- 1515 1010 4 4 16 16 -- 20 20 99 5 5 21 21 -- 2525 55
fi.ci = 37n
= 505
.
50
37
8
x
= 8 + 3,7 = 11,7 Penghasilan rata-rata pedagang = 11,7 x 10.000 = Rp 117.000 XPembahasan contoh soal 4
Dengan rumus coding
.I n .c f x x 0
i i x0. = 8Kelas dengan frekuensi terbesar
0 = Kode pada frekuensi terbesar
X0 = nilai tengah pada frekuensi terbesa
I
= (6 – 1)/1 = 5 x xii 3 3 8 8 13 13 18 18 23 23 c ci i 20 20 88 00 --11 1 1 2 2 3 3 --66 0 0 10 10 18 18 15 15
5050 3737 ffii.c.ciiffii.d.dii NO NO XX ffii 1 1 1 1 –– 55 66 2 2 6 6 –– 1010 2020 3 3 11 11 -- 1515 1010 4 4 16 16 -- 20 20 99 5 5 21 21 -- 2525 55
fi.di = 185n
= 50.
50
185
8
x
= 8 + 3,7 = 11,7 Penghasilan rata-rata pedagang = 11,7 x 10.000 = Rp 117.000 X n .d f x x 0
i i x0. = 8Kelas dengan frekuensi terbesar d
i = Nilai tengah – Nilai dugaan = xi –x0
X0 = nilai dugaan x xii 3 3 8 8 13 13 18 18 23 23 d di i 20 20 88 --55 0 0 5 5 10 10 15 15 --3030 0 0 50 50 90 90 75 75
5050 185185 ffii.d.dii Pembahasan dengan rata-rata duga d1 = 3 – 8 = -5 d2 = 8 – 8 = 0 d3 = ?, d4 =? dan d5 = ?LATIHAN 3
1. Hitunglah Jarak rata-rata yang ditempuh siswa dari rumah ke sekolah (tabel 3) dengan :
A. Rumus sigma B. Rumus Coding
C. Rumus Rata-rata duga Tabel 3
Tabel 3 Jarak
Jarak FrekuensiFrekuensi 1 1 -- 1010 4040 11 11 –– 2020 2525 21 21 –– 3030 2020 31 31 -- 4040 1515
A. Rumus sigma A. Rumus sigma x x fifi xixi fi.xifi.xi 1 1 -- 1010 4040 5,55,5 220220 11 11 –– 2020 2525 15,515,5 387,5387,5 21 21 –– 3030 2020 25,525,5 510510 31 31 -- 4040 1515 35,535,5 532,5532,5 100100 16501650
i i i f .x f x B. Rumus coding B. Rumus coding X X fifi xixi CCii fi.xifi.xi 1 1 –– 1010 4040 5,55,5 00 00 11 11 –– 2020 2525 15,515,5 11 2525 21 21 –– 3030 2020 25,525,5 22 4040 31 31 –– 4040 1515 35,535,5 33 4545 100100 110110 C. Rumus rataC. Rumus rata--rata duga rata duga
X X fifi xixi DDii fi.difi.di 1 1 –– 1010 4040 5,55,5 00 00 11 11 –– 2020 2525 15,515,5 1010 250250 21 21 –– 3030 2020 25,525,5 2020 400400 31 31 –– 4040 1515 35,535,5 3030 450450 100100 11001100 Rata-rata = = 1650/100 = 16,5 KM Rata-rata = = 5,5 + 11 = 16,5 KM
10
.
100
110
5,5
x
.I n .c f x x 0
i i n .d f x x 0
i i Rata-rata : = 5.5 + 11 = 16.5 KM100
1100
5.5
x
MODUS
Nilai yang paling sering muncul atau Nilai yang frekuensinya paling
tinggi
A. Modus untuk Ungrouped Data
Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus)
Bisa terjadi data tanpa modus
Contoh :
a. Sumbangan PMI warga Depok:
Rp.7500 8000 9000 8000 3000 5000 8000
Modus : Rp. 8000
b. Berat 5 orang bayi : 3.6 3.5 2.9 3.1 3.0 (Tidak Ada Modus)
c. Umur Mahasiswa : 19 18 19 18 23 21
19 21 18 20 22 17
Modus : 18 dan 19
Modus untuk Grouped Data
Kelas Modus : Kelas di mana Modus berada Kelas dengan frekuensi tertinggi
Tepi Batas Bawah kelas ke i = Batas Bawah kelas ke i + Batas Atas kelas ke (i-1) 2
Tepi Batas Atas kelas ke i = Batas Atas kelas ke i + Batas Bawah kelas ke (i+1) 2
A. Median untuk Ungrouped Data
Median Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar
Letak Median Letak Median dalam gugus data yang telah tersortir Letak Median =
n = banyaknya data
n
1
2
MEDIAN, KUARTIL, DESIL PERSENTIL
n
1
2
n 2 n 2• Jika banyak data (n) ganjil dan tersortir, maka: Median = Data ke
• Jika banyak data (n) genap dan tersortir, maka:
MEDIAN (GROUPED DATA)
Nilainya merupakan pendekatan
Median Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending) menjadi 2 bagian yang sama besar
Letak Median =
n
n : banyak data2
Kelas Median : Kelas di mana Median berada
Kelas Median didapatkan dengan membandingkan Letak Median dengan Frekuensi Kumulatif
CONTOH MEDIAN (GROUPED DATA)
Median = Data ke-25 terletak di kelas 24-31
Kelas Median = 24 - 31 TBB Kelas Median = 23.5 TBA Kelas Median = 31.5
CONTOH MEDIAN (GROUPED DATA)
f
M= 17
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Median = 10
s = 25 - 10 = 15
Frek. Kumulatif sampai Kelas Median = 27
s’ = 27 - 25 = 2
KUARTIL (GROUPED DATA)
Kelas Kuartil ke-q : Kelas di mana Kuartil ke-q berada
Kelas Kuartil ke-q didapatkan dengan membandingkan Letak Kuartil ke-q dengan Frekuensi Kumulatif
CONTOH KUARTIL (GROUPED DATA)
Kuartil ke-3 = Data ke-37.5 terletak di kelas 40 - 47
Kelas Kuartil ke-3 = 40 - 47 TBB Kelas Kuartil ke-3 = 39.5 TBA Kelas Kuartil ke-3 = 47.5
f Q = 10
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Kuartil ke-3 = 34 s = 37.5 - 34 = 3.5 Frek. Kumulatif sampai Kelas Kuartil ke-3 = 44 s’ = 44 - 37.5 = 6.5
CONTOH DESIL (GROUPED DATA)
Desil ke-9 = Data ke-45 terletak di kelas 48 - 55
Kelas Desil ke-9 = 48 - 55 TBB Kelas Desil ke-9 = 47.5 TBA Kelas Desil ke-9 = 55.5
f D = 3
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Desil ke-9 = 44 s = 45 - 44 = 1 Frek. Kumulatif sampai Kelas Desil ke-9 = 47 s’ = 47 - 45 = 2
PERSENTIL (GROUPED DATA)
Kelas Persentil ke-p : Kelas di mana Persentil ke-p berada
Kelas Persentil p didapatkan dengan membandingkan Letak Persentil ke-p dengan Frekuensi Kumulatif
CONTOH PERSENTIL (GROUPED DATA)
Persentil ke-56 = Data ke-28 terletak di kelas 32 - 39
Kelas Persentil ke-56 = 32 - 39 TBB Kelas Persentil ke-56 = 31.5 TBA Kelas Persentil ke-56 = 39.5
f P = 7
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Persentil ke-56 = 27 s = 28 - 27 = 1 Frek. Kumulatif sampai Kelas Persentil ke-56 = 34 s’ = 34 - 28 = 6