Studi Penerapan Bus Sekolah di Jombang Menggunakan Aljabar Max-Plus

(1)

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014

1167

Studi Penerapan Bus Sekolah di Jombang

Menggunakan Aljabar Max-Plus

Nahlia Rakhmawati

Dosen Pendidikan Matematika STKIP PGRI Jombang rakhmanahlia.stkipjb@gmail.com

ABSTRAK

Pada penelitian ini dirancang 3 jalur bus sekolah, yang tidak hanya mencakup kompleks sekolah tetapi juga fasilitas umum di wilayah kecamatan Jombang. Dari jalur yang dirancang, disusun sebuah model sistem jaringan bus sekolah menggunakan aljabar max-plus, yang kemudian dianalisa kestabilan dari beberapa skenario realisasi dari sistem jaringan bus sekolah tersebut. Akhirnya, diperoleh sebuah desain penjadwalan dan keberangkatan bus sekolah di masing-masing jalur.

Kata Kunci : Rancangan, Sistem Jaringan Bus Sekolah, Aljabar Max-Plus.

Pendahuluan

Kebutuhan masyarakat akan transportasi umum yang nyaman, bebas macet, bebas kecelakaan, cepat dan sehat sepertinya memang perlu terus dicanangkan. Karena jika transportasi lancar, maka semua bidang kehidupan akan semakin membaik.

Angkutan umum di kota Jombang tersedia dengan trayek yang beragam. Untuk transportasi intra wilayah kabupaten, terdapat Angkutan Perdesaan dengan 24 trayek, yang menjangkau ke semua kecamatan. Pertumbuhan jumlah penduduk kabupaten Jombang 1,38% per tahun akan berakibat langsung pada meningkatnya jumlah kendaraan umum dan permintaan akan angkutan umum tersebut, demikian pula kabupaten

Jombang yang sedang berkembang dan memberikan kesempatan yang tinggi terhadap kebutuhan akan kendaraan umum. Hal ini dapat mendorong jumlah kendaraan dan permintaan akan pelayanan angkutan umum.

Pada penelitian ini dikaji mengenai pengadaan bus sekolah sebagai salah satu solusi untuk mengatasi kemacetan utamanya di jam pulang sekolah. Penyebab utama kemacetan dalam kota Jombang adalah kegiatan menjemput anak pada jam pulang sekolah. Mengingat siswa berasal dari seluruh penjuru kabupaten Jombang, maka orang tua yang siaga sudah stand by menunggu di depan sekolah dengan memarkir kendaraan di depan lingkungan sekolah. Dan karena sekolah di Jombang kebanyakan

(2)

1168

memusat atau berada pada satu wilayah

tertentu, maka dapat dibayangkan bagaimana situasi jalan yang mayoritas digunakan untuk parker kendaraan.

Penelitian ini dibatasi oleh studi kasus yang digunakan yaitu wilayah kecamatan Jombang, dengan jalur bus sekolah yang dirancang melingkari wilayah Jombang Pusat yang melewati banyak perkantoran, fasilitas umum, sekolah dan pusat perdagangan. Karena berdasarkan tata kota Jombang saat ini masih terdapat arteri sekunder di beberapa jalan ramai (pusat kegiatan), maka hanya digunakan jalur satu arah untuk semua jalur yang akan dirancang.

Aljabar max-plus digunakan untuk menganalisa kemungkinan realisasi dari jalur yang dirancang dengan melihat kestabilan dari sistem yang dibentuk berdasarkan jalur yang dirancang.

Definisi 2.1. Definisi aljabar max-plus

(Subiono, 2012)

 

Diberikan dengan adalah himpunan

semua bilangan real dan . Pada didefinisikan operasi berikut : def def R R R R         

 





, , max , dan . Selanjutnya ditunjukkan , ,

merupakan semiring dengan elemen netral dan elemen satuan 0,

def def x y R x y x y x y x y R e             

 







 









 















karena untuk setiap , , berlaku :

. max , max , ,

max max , , max , , max , max ,

max , max , . x y z R i x y x y y x y x x y z x y z x y z x y z x y z x x x x x                         

















 





 







 







 







 



. , 0 0 . . . . max , max , , max , max , . ii x y x y y x y x x y z x y z x y z x y z x e x x e x x iii x x x x iv x y z x y z x z y z x z y z x y z x y z x y x z x y x z                                                             

Algoritma untuk menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks AR_maxn n dilakukan secara berulang dari bentuk persamaan linear

(3)

1169



1



 

, 0,1, 2,3, x k  A x k k  (*)

Perilaku periodik dari persaan (*) baik untuk matriks A yang tak

tereduksi maupun yang tereduksi erat kaitannya dengan apa yang dinamakan vektor waktu sikel yang didefinisikan sebagaimana teorema berikut ini:

Teorema(*) Bila untuk sebarang

keadaan awal x

 

0  sistem persamaan (2.1) memenuhi

 

x p  c x q untuk beberapa bilangan bulat pdan q dengan

0

p q dan beberapa bilangan real c , maka

 

_

_

lim T k x k k      dengan c p q   . Selanjutnya  adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan vektor eigen diberikan oleh

 

_

_





1 1 p q p q i i  x q i           v . Metode Penelitian Langkah-langkah penyelesaian masalah yang digunakan antara lain: 1. Studi literatur;

2. Pengumpulan data dan informasi yang diperlukan dalam perancangan jalur;

3. Perancangan 3 jalur bus sekolah; 4. Penyusunan Graph dari Jalur bus

sekolah yang telah dirancang; 5. Analisis Pemodelan Jalur Bus

Sekolah Menggunakan Aljabar Max-Plus.

6. Analisis Penjadwalan Bus Sekolah Menggunakan Aljabar Max-Plus. 7. Menyusun time table untuk

keberangkatan bus sekolah di masing-masing jalur.

Hasil dan Pembahasan

Jalur yang dirancang adalah: 1. Jalur 1

Jl. Gatot Subroto – Jl. Basuki Rahmat – Jl. Pattimura – Jl. Kusuma Bangsa – Jl. Urip

Sumohardjo – Jl. Wahid Hasyim – Jl. Gus Dur – Jl. Gatot Subroto. 2. Jalur 2

Jl. KH. Wahid Hasyim – Jl. A. Yani – Jl. Kapten Tendean – Jl. Dr. Wahidin Sudiro Husodo – Jl. KH. Wahid Hasyim.

3. Jalur 3

Jl. Basuki Rahmat – Jl. Yos Sudarso – Jl. A. Yani – Jl.

Kusuma Bangsa – Jl. Pattimura – Jl. Basuki Rahmat.

(4)

1170

Terdapat 4 titik pertemuan pada

ketiga jalur yaitu: Ringin Contong (RC), Pasar Legi (PL), Makam Pahlawan (MP) dan perempatan

STIKES (STIKES) yang

memungkinkan penumpang untuk berpindah jalur. Keempat titik pertemuan ini dijadikan node untuk menyusun graph jalur bus sekolah sedangkan waktu tempuh antar titik pertemuan dijadikan sebagai bobot arc. Graph berarah dari jalur bus sekolah adalah sebagai berikut:

Gambar 1. Graph berarah disertai node untuk jalur bus sekolah

Model yang diinginkan dari jalur bus sekolah yang dirancang adalah:





 





 

0 1 1 0 x k Ax k d k y k Cx k x x           (1) Vektor x k

 

menunjukkan waktu keberangkatan ke-k untuk semua bus termasuk bus tambahan. Vektor

 



       



'

1 , , n , n1 , , n r

x k  x k x k x_ k x_ k ,

dengan 1, 2, , n menunjukkan bus yang sebenarnya, dan n1, ,nr menunjukkan variabel tambahan yang menunjukkan bus tambahan. Vektor



1



d k adalah jadwal keberangkatan untuk keberangkatan ke-k1. Kondisi awal untuk permasalahan ini adalah

 

0

x , meskipun keberangkatan ke-0 tidak mempunyai intrepretasi yang jelas. Oleh karena itu, yang dapat diamati adalah hanya yang terjadi dengan x₁, ,x_n, dan matriks hasil adalah C



en n r



. Sehingga y k

 

adalah waktu keberangkatan yang teramati dari bus yang sebenarnya.

Karena keterbatasan data mengenai jarak dan waktu tempuh masing-masing titik pertemuan di setiap jalur, maka pada penelitian ini dimisalkan hanya ada 1 bus yang beroperasi di masing-masing titik pertemuan sebagaimana ditunjukkan oleh tabel berikut ini.

Tabel 1. Jarak antar Titik Pertemuan, Waktu Tempuh dan Alokasi Jumlah Bus

(5)

1171

jarak waktu temp uh jumlah bus (km) (menit) y ang berop erasi x1 UNDAR STIKES 5.1 12.14 1 x2 STIKES M P 1 2.24 1 x3 M P RC 1.3 3.07 1 x4 RC UNDAR 1.3 3.07 1 x5 RC PL 2.4 5.46 1 x6 PL STIKES 1 2.24 1 x7 STIKES RC 1 2.24 1 x8 BRAVO PL 6 14.24 1 x9 PL M P 3 7.12 1 x10 M P STIKES 2.6 6.14 1 x11 STIKES BRAVO 0.6 1.26 1 variabel dari ke

Aturan sinkronisasi diberikan sebagai berikut:

Jalur 1

a. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari STIKES menuju MP menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari UNDAR menuju ke STIKES, dan kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari MP menuju ke STIKES, serta kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari PG menuju ke STIKES.

b. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari MP menuju ke RC menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari STIKES menuju ke MP dan kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari PG menuju ke MP. c. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari

RC ke UNDAR menunggu kedatangan bus ke-(k) dari MP menuju ke RC dan kedatangan bus ke-(k) dari STIKES menuju ke RC. Jalur 2

a. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari RC menuju ke PL menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari STIKES menuju ke RC dan kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari MP menuju ke RC.

b. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari PL menuju STIKES menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari RC menuju ke PL dan kedatangan bus ke-(k) dari BRAVO menuju ke PL.

c. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari STIKES menuju ke RC menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari PL menuju ke STIKES, menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari UNDAR menuju ke STIKES, dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari MP menuju ke STIKES. Jalur 3

a. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari PL menuju ke MP menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari BRAVO menuju ke PL dan bus yang berangkat ke-(k) dari RC menuju ke PL.

b. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari MP menuju ke STIKES menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari PL menuju ke MP dan

(6)

1172

kedatangan bus yang berangkat

ke-(k) dari STIKES menuju ke MP. c. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari

STIKES menuju ke BRAVO menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari MP ke STIKES, menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari PL menuju ke STIKES dan menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari UNDAR menuju ke STIKES.

Berdasarkan data pada tabel 1 dan aturan sinkronisasi seperti yang telah diuraikan, maka dapat dikonstruksi model keseluruhan jalur bus sekolah yaitu sebagai berikut:

i. Jalur 1





 









 









 









 





1 4 1 2 1 6 10 2 3 2 9 3 4 3 7 4 1 3.07 1 1 12.14 7.12 2.24 1 1 2.24 2.24 1 1 3.07 6.14 1 x k x k d k x k x k x k x k d k x k x k x k d k x k x k x k d k  _  _   _   _{ }  _ _  _   _   _{ }  _    _   _{ }  _   (2) ii. Jalur 2





 









 









 





5 3 7 5 6 5 8 6 7 1 6 10 7 1 3.07 6.14 1 1 1.26 5.46 1 1 12.14 7.12 2.24 1 x k x k x k d k x k x k x k d k x k x k x k x k d k  _   _{ }  _    _   _{ }  _    _   _{ }  _ _  _  (3) iii. Jalur 3





 









 









 









 





8 11 8 9 5 8 9 10 2 9 10 11 1 6 10 11 1 14.24 1 1 1.26 5.46 1 1 2.24 2.24 1 1 12.14 7.12 2.24 1 x k x k d k x k x k x k d k x k x k x k d k x k x k x k x k d k  _  _   _   _{ }  _    _   _{ }  _    _   _{ }  _ _  _  (4)

Selanjutnya, model (2), (3) dan (4) di atas dapat dinyatakan dalam bentuk umum model aljabar max-plus sebagai berikut:













1 1 1 1 M p p x k A x k p d k          (5)

dengan A_p adalah matriks berukuran

n n dan n adalah jumlah variabel. Matriks A_p adalah matriks yang berkaitan dengan x k



 1 p



dan M

(7)

1173

dalam hal ini adalah jumlah bus

maksimum diantara semua jalur.

Berdasarkan Tabel 1, jumlah variabel adalah 11 variabel dan jumlah bus maksimum dimisalkan 1 bus pada semua jalur, maka n11dan M 1. Sehingga ada sebuah matriks A

berukuran 11 11 . Matriks A adalah

sebagai berikut: 3.07 12.14 7.12 2.24 2.24 2.24 3.07 6.14 3.07 6.14 1.26 5.46 12.24 7.12 2.24 14.24 1.26 5.46 2.24 2.24 12.14 7.12 2.24 A                                                                                                                                      Berdasarkan teorema (*), menginspirasi suatu algoritma untuk mendapatkan nilai eigen sekaligus vektor eigen dari suatu matriks persegi

A yang dikenal dengan Algoritma Power (Subiono, 2010), yaitu sebagai

berikut:

1. Mulai dari sebarang vektor awal

 

0

x .

2. Iterasi persamaan (*) sampai ada bilangan bulat p q 0 dan bilangan real c sehingga suatu perilaku periodik terjadi, yaitu

 

x p  c x q .

3. Hitung nilai eigen c p q  

 .

4. Hitung vektor eigen

 

_

_





1 1 p q p q i i  x q i           v .

Dengan menggunakan bantuan Scilab

dan Maxplus toolbox, diperoleh

8.94

 . Interpretasi dari nilai eigen ini adalah bahwasanya periode keberangkatan bus di masing-masing titik pertemuan adalah setiap 8.97 menit sekali.

Selanjutnya jadwal

keberangkatan bus dapat disusun menggunakan vektor eigen matriks A

sebagai keadaan awal (waktu keberangkatan awal), yaitu:

0 8.67 3.79 5.87 5.87 10.49 8.67 13.97 10.49 3.79 8.67 vx                                    Kesimpulan

1. Aljabar max-plus dapat diterapkan dalam penyusunan model rencana jaringan bus sekolah di Jombang. Model yang disusun menggunakan aljabar max-plus ini menghasilkan bentuk model



1



 



1



(8)

1174

dengan analisa penyusunan jadwal

regular dilakukan pada matriks A .

2. Model jaringan bus sekolah menghasilkan periode keberangkatan bus di masing-masing titik pertemuan adalah setiap 8.94 menit sekali.

Pustaka

Mubarok, Rendy M, (2013), Analisis

Kinerja Angkutan Umum

Kabupaten Jombang, Tugas

Akhir S1 Teknik Sipil, Universitas Jember.

Profil Kabupaten/Kota Jombang.

Diakses melalui

www.jombangkab.go.id.

Subiono, (2010), Linear Equation in

Max – Plus Algebra and Its

Application, Mathematics

Department of Sepuluh Nopember Institute of Technology, Surabaya.

Subiono, (2012), Aljabar Maxplus dan

Terapannya, Buku Ajar Mata

Kuliah Pilihan Pasca Sarjana Matematika, ITS, Surabaya. Subiono, dan A. Dieky, (2012), Max-Plus Algebra Toolbox ver. 1.1.0, Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.