BENTUK KANONIK JORDAN DALAM MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR

(1)

Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 6, No. 01(2017), hal 1 – 8.

1

BENTUK KANONIK JORDAN DALAM MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR

Umi Salmah, Mariatul Kiftiah, Fransiskus Fran INTISARI

Bentuk kanonik Jordan merupakan matriks Jordan yang similar dengan matriks asalnya. Bentuk kanonik Jordan dapat diaplikasikan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear. Penelitian ini bertujuan untuk menentukan bentuk kanonik Jordan dari suatu matriks AM_n dan mengaplikasikan bentuk kanonik Jordan dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear. Langkah pertama untuk menentukan bentuk kanonik Jordan adalah menentukan persamaan karakteristik untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen. Selanjutnya, menentukan multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometri serta vektor eigen tergeneralisasi. Kemudian, menentukan matriks tak singular S dan inversnya serta bentuk

kanonik Jordan 1

.

JSAS Setelah mendapatkan bentuk kanonik Jordan J, langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear d A

dt  

y

y g adalah menentukan solusi wdengan n 

d J dt   w w dan   n

J  merupakan blok Jordan dari J. Langkah selanjutnya, menentukan y_hSwdan 1

p Ny Ny dt 



_

y g

sehingga mendapatkan solusi umum sistem persamaan diferensial linear yy_hy_p. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa vektor eigen tergeneralisasi dapat digunakan untuk menentukan bentuk kanonik Jordan dan bentuk kanonik Jordan dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear.

Kata Kunci: vektor eigen tergeneralisasi, sistem persamaan diferensial PENDAHULUAN

Suatu matriks adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks. Suatu matriks AM_n dapat didiagonalisasi apabila dimensi ruang eigen sama dengan pangkat tertinggi dari faktor polinomial karakteristik. Dimensi ruang eigen disebut juga dengan multiplisitas geometri dan jumlah kemunculan ₀ sebagai faktor pada polinomial karakteristik disebut juga dengan multiplisitas aljabar [1].

Konsep yang digunakan untuk mendiagonalisasi suatu matriks yaitu similaritas. Suatu matriks

n

BM dikatakan similar dengan matriks AM_n jika ada matriks tak singular SM_n sedemikian sehingga BS AS1 [3]. Jika matriks AM_n dapat didiagonalisasi, maka matriks A tersebut similar dengan matriks diagonal. Akan tetapi, jika matriks AM_n tidak dapat didiagonalisasi, maka matriks

A tersebut similar dengan matriks yang hampir diagonal atau yang disebut dengan matriks Jordan [2].

Matriks Jordan yang similar dengan matriks A disebut sebagai bentuk kanonik Jordan [3].

Salah satu cara untuk mendapatkan bentuk kanonik Jordan yaitu dengan menggunakan vektor eigen tergeneralisasi. Vektor eigen tergeneralisasi tersebut digunakan untuk memperluas basis ruang eigen dan memperoleh n vektor eigen yang bebas linear, sehingga multiplisitas geometri sama dengan multiplisitas aljabarnya. Jika multiplisitas aljabar telah sama dengan multiplisitas geometri, maka matriks tersebut dapat ditentukan bentuk kanonik Jordannya yaitu JS AS1 _{dengan S merupakan}

matriks tak singular yang kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen tergeneralisasi. Bentuk kanonik Jordan tersebut dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear.

Penelitian ini bertujuan untuk menentukan bentuk kanonik Jordan dari matriks AM_n dengan menggunakan vektor eigen tergeneralisasi dan mengaplikasikan bentuk kanonik Jordan dalam

(2)

menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear. Matriks yang digunakan pada penelitian ini yaitu matriks AMn

 

dan sistem persamaan diferensial yang digunakan yaitu sistem persamaan

diferensial biasa linear orde pertama dengan koefisien konstan.

Langkah pertama dalam penelitian ini adalah menentukan bahwa matriks yang digunakan merupakan matriks AM_n

 

. Langkah selanjutnya, menentukan persamaan karakteristik dengan persamaan P( ) det(IA)0._{Dengan memfaktorkan persamaan karakteristik diperoleh nilai} eigen yang bersesuaian dengan matriks A. Kemudian mensubstitusikan nilai eigen pada persamaan



AI



x=0 diperoleh vektor eigen. Selanjutnya, menentukan multiplisitas aljabar sama dengan

multiplisitas geometri atau belum. Kemudian menentukan vektor eigen tergeneralisasi dengan persamaan (AI)px0 dan (AI)p1x0, p 2, 3,... sampai multiplisitas aljabar sama dengan multiplisitas geometri. Setelah itu membentuk matriks tak singular S yang kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen tergeneralisasi. Kemudian menentukan invers dari matriks tak singular S sehingga didapat bentuk kanonik Jordan J S1AS. Setelah mendapatkan bentuk kanonik Jordan, langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear d A

dt  

y

y g yaitu menentukan solusi w dari

 

. n d J dt   w

w Kemudian, menentukan y_hSw dan y_p N_y

_

N_y1gdt dengan N_y SM_w sehingga mendapatkan solusi umum sistem persamaan diferensial linear yy_hy_p.

BENTUK KANONIK JORDAN

Bentuk kanonik Jordan merupakan matriks Jordan yang similar dengan matriks asalnya. Matriks Jordan terdiri dari blok-blok Jordan. Blok Jordan J_n( ) merupakan matriks segitiga atas berukuran n n dengan diagonal utama , superdiagonal bernilai 1, dan semua entri lainnya adalah 0 yang didefinisikan sebagai berikut:

1 0 0 0 1 0 ( ) 0 0 1 0 0 0 n J                               

Jika n  pada Persamaan (1), maka 1 J₁( ) 

_{ }

 artinya blok Jordan tersebut berukuran 1 1 dengan entri nilai eigen .

Matriks Jordan JM_n merupakan penjumlahan langsung dari blok Jordan Jn_i

 

 dengan ukuran i

blok Jordan n_i dan nilai eigen  yang bersesuaian dengan blok Jordan dan _i i1, 2,...,k sebagai berikut: 1 2 1 2 ( ) 0 0 0 ( ) 0 0 0 ( ) k n n n k J J J J                          dengan n₁n₂...nk n.

Jika setiap blok Jordan Jn_i

 

 pada Persamaan (2) berdimensi satu, yaitu semua i n  dan ki 1  , n

maka matriks Jordan J berbentuk matriks diagonal.

(1)

(3)

Teorema 1 [3] Diberikan AM_n

_{ }

, maka terdapat matriks tak singular SM_n sedemikian sehingga ASJS1.

Akibat 2 [3] Diberikan AMn

 

dan 0, maka terdapat matriks tak singular SS( ) Mn

sedemikian sehingga 1 2 1 2 1 ( , ) 0 0 0 ( , ) 0 0 0 ( , ) k n n n k J J A S S J               _ _              dengan n₁n₂...n_k  dan n 0 0 0 0 ( , ) 0 0 . 0 0 0 m m J M                                    

Setelah diberikan definisi dan teorema yang berkaitan dengan bentuk kanonik Jordan, selanjutnya dibahas struktur dari matriks Jordan. Dengan mengetahui struktur matriks Jordan, suatu matriks A dapat ditentukan matriks Jordannya. Struktur matriks Jordan tersebut sebagai berikut:

1. Jumlah n pada blok Jordan adalah jumlah vektor eigen yang bebas linear dari matriks .J

2. Jumlah blok Jordan yang sesuai dengan nilai eigen adalah multiplisitas geometri dari nilai eigen yang bersesuaian.

3. Jumlah ukuran dari semua blok Jordan yang sesuai dengan nilai eigen yang diberikan adalah multiplisitas aljabar dari nilai eigen.

Contoh 3 Diberikan matriks Jordan J sebagai berikut:

4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 J                             

Pada matriks Jordan tersebut dapat diketahui bahwa,

a. Matriks A9 9 mempunyai nilai eigen yang berbeda yaitu 14,23,   . 3 2

b. Multiplisitas geometri dengan masing-masing nilai eigen berbeda yaitu 

_{ }

4 2,

_{ }

3 1,

_{ }

2 2. c. Multiplisitas aljabar dengan masing-masing nilai eigen berbeda yaitu 

_{ }

4 5,

_{ }

3 2,

_{ }

2 2.

VEKTOR EIGEN TERGENERALISASI

Suatu matriks AM_n belum tentu memiliki n vektor eigen yang bebas linear, agar matriks tersebut memiliki n vektor eigen yang bebas linear diperlukan vektor eigen tergeneralisasi. Vektor eigen tergeneralisasi digunakan untuk memperluas basis dan memperoleh n vektor eigen yang bebas linear.

(4)

Definisi 4 [4] Vektor x disebut vektor eigen tergeneralisasi jika

(AI)px0 dan (AI)p1x0

Jika p  , maka (1 AI)x0 dan x0 dengan x merupakan vektor eigen.

Pada vektor eigen tergeneralisasi terdapat rantai vektor eigen tergeneralisasi yang didefinisikan sebagai berikut: p  x x 1 ( ) ( ) p  AI AI p x x = x 2 2 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) p p p A I A I A I A I              x x = x x x = x 

Himpunan vektor x x₁, ₂,...,x disebut rantai vektor eigen tergeneralisasi dengan panjang p. Pada _p

vektor eigen tergeneralisasi terdapat ruang eigen tergeneralisasi yang dinotasikan dengan E yang p

didefinisikan sebagai berikut:







p 0, 1, 2,



p n

E_  x AI x p 

Contoh 5 Menentukan bentuk kanonik Jordan dari matriks A.

2 2 1 1 1 1 1 2 2 A       _  _      Penyelesaian

1. Menentukan persamaan karakteristik dari matriks A





det  I A 0 0 0 2 2 1 det 0 0 1 1 1 0 0 0 1 2 2          _{ } _ _     _ _ __ _ _      

Dengan menggunakan ekspansi kofaktor diperoleh,



2



1 1 2 1 2 1 0 2 2 2 2 1 1                  

Sehingga, persamaan karakteristik matriks A yaitu 3 2

( ) 3 3 1 0.

P        2. Menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A.

Dengan memfaktorkan persamaan karakteristik, diperoleh nilai eigen dari matriks A yaitu  . 1 Untuk  pada persamaan 1



AI



x=0 diperoleh,



AI



x=0 1 2 3 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 x x x               _  __ __{ }            

Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan diperoleh,

1 2 3 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x                                .

(5)

Sehingga, x₁ 2x₂x₃. Misalkan x₂r x, ₃s r s, ,  , maka 2 2 1 1 0 , , 0 1 r s r r s r s s           _  _   _                  

x = dengan ruang eigen berdimensi 2.

3. Menentukan multiplisitas aljabar dan mutiplisitas geometri dari matriks A.





3

( ) 1 0

P     , maka multiplisitas aljabar



(1)3.

Ruang eigen  berdimensi 2, maka multiplisitas geometri (1)2   . 2

4. Berdasarkan langkah 3, (1)(1), maka selanjutnya menentukan vektor eigen tergeneralisasi sebagai berikut: 2 (AI) x=₀ 1 2 3 1 2 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 1 1 2 1 = 0 0 0 = 0 . 1 2 1 1 2 1 0 0 0 0 x x x                      __  _{ }  __ __ __{  } _{ } __ _ _{ }_ _ _ _ __{  } _{ }               x

Misalkan x₁r x, ₂s x, ₃ dengan t r s t , , , maka

1 2 3 1 0 0 = 0 1 0 , , , 0 0 1 x r x s r s t r s t x t                                                       

x dengan ruang eigen berdimensi 3.

Menurut definisi vektor eigen tergeneralisasi, ambil x₂E tetapi ₁2 x₂E yaitu ₁1 x2



1 0 0



T, maka



AλI



x₂x₁ 1 2 1 1 1 1 2 1 0 1 1 2 1 0 1               _  _{  } _ _             

Ambil x₃E tetapi ₁1 x bebas linear dengan ₃ x₁ yaitu 3



2 1 0



T

 

x

5. Menentukan matriks tak singular S yang kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen tergeneralisasi yaitu 1 1 2 1 0 1 1 0 0 S       _ _    

6. Menentukan invers dari matriks tak singular S.

S I     1 1 2 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1            

Dengan menggunakan operasi baris diperoleh,

1 I S     1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 2 1 0 0 1 0 1 1          _   

(6)

Sedemikian sehingga, 1 0 0 1 1 2 1 0 1 1 S      _  _     _

7. Menentukan bentuk kanonik Jordan dari matriks A dengan JS AS1 _yaitu

 

2 1 1 0 0 1 2 2 1 1 1 2 1 1 0 1 0 1 2 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 2 2 1 0 0 0 0 1 J J S AS J                        _  _{ }  _{ } __ __{ } _                    

APLIKASI BENTUK KANONIK JORDAN

Salah satu aplikasi bentuk kanonik Jordan adalah menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear. Dalam penelitian ini, bentuk kanonik Jordan diterapkan untuk menyelesaikan sistem persamaan diferensial biasa linear orde pertama dengan koefisien tetap. Diberikan sistem persamaan diferensial linear orde pertama sebagai berikut:

d A dt   y y g dengan ,



1, 2,...,



,



1, 2,...,



. T T n n n

A M y y y y g g g g Persamaan (3) dapat diselesaikan dengan menentukan bentuk kanonik Jordan dari matriks koefisien A.

Jika 1

ASJS dengan bentuk kanonik Jordan J dari matriks A, maka

 

n d J dt   w w

Persamaan (4) didapat dengan mensubstitusikan ASJS1 pada Persamaan (3) dan memisalkan

1

S yw . Jika bentuk kanonik Jordan J berbentuk matriks diagonal, maka entri-entri dari w yaitu



1, 2,...,



T n

w w w



w yang sesuai dengan blok Jordan J_n

 



berbeda di J digabungkan. Sehingga, untuk nilai eigen real dari persamaan n

n dw w dt  mempunyai solusi t n n

w c e dan nilai eigen kompleks  _n a_ni b_n mempunyai solusi a tn



cos





sin





n n n n

w c e b t i b t . Akan tetapi, jika bentuk kanonik Jordan J tidak berbentuk matriks diagonal, maka entri-entri dari w yang sesuai dengan blok Jordan Jn

 

 berbeda di J tidak digabungkan. Sehingga cukup dengan menganggap bahwa bentuk

kanonik Jordan J adalah blok Jordan tunggal [3]. Persamaan (4) dapat diuraikan sebagai berikut:

1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 n n n n w w d w w dt w w                 _                       1 1 2 1 1 n n n n n dw w w dt dw w w dt dw w dt             (3) (4)

(7)

Persamaan tersebut diselesaikan dengan cara menyelesaikan persamaan dari bawah ke atas. Dimulai dari persamaan terakhir yaitu:

n n dw w dt  mempunyai solusi w_n c e_n t. Dilanjutkan dengan 1 1 n n n dw w w dt      mempunyai solusi w_n_₁c te_n tc_n_₁et. Dilanjutkan dengan 2 2 1 n n n dw w w dt       mempunyai solusi 2 2 1 2 2 t t t n n n n t w c e c te c  e

dan seterusnya. Sehingga diperoleh,





1 1 _... _, _{0,1, 2,...,} _1. ! 1 ! k k t n n n k n k c c w t t c e k n k k        _    _     

Solusi w

_

w w₁, ₂,...,wn

_

T tersebut dapat dibentuk menjadi matriks yang diperoleh dari Persamaan (5)

dengan mensubstitusikan k0,1, 2,,n1 yang didefinisikan sebagai berikut yaitu wM_w_{c dengan}













2 3 1 2 2 3 1 2! 3! 1 ! 0 1 2! 2 ! 0 0 1 3 ! 0 0 0 1 0 0 0 0 1 n n t _n w t t t t n t t t n M e _t t n t                      _ _  _                         dan 1 2 n c c c              c  .

dengan M merupakan matriks fundamental dari sistem dan c merupakan vektor dengan konstanta _w

1, 2,..., n. c c c Teorema 6 [5] Fungsi 1 p Ny Ny dt  

_

y g

adalah solusi dari sistem

. d A dt   y y g

Contoh 7 Menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear berikut: 1 1 2 3 3 2 1 2 3 4 3 1 2 3 2 2 12 2 2 20 t t t dy y y y e dt dy y y y e dt dy y y y e dt               (5)

(8)

Penyelesaian

Berdasarkan Contoh 5, matriks tak singular S dan inversnya serta bentuk kanonik Jordan J diperoleh,

1 1 1 2 0 0 1 1 1 0 1 0 1 , 1 2 1 , 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 S S J                                      _

Langkah selanjutnya, menentukan solusi w dengan

 

n d J dt   w w

 

1 2 2 1 1 1 0 1 w d J w dt      _ __ _     w w 2 2 2 t dw w c e dt   1 1 2 1 2 1 1 2 t t t dw w w w c e w c e c te dt       

 

  

1 1 1 3 d J w dt   w w 3 3 3 t dw w c e dt   sehingga diperoleh, 1 2 1 2 2 3 3 t t t t c e c te w w c e w c e          _ _         __ __ w .

Kemudian menentukan y_h dari sistem persamaan diferensial linear dengan y_h Sw sebagai berikut:

1 2 2 3 1 1 2 1 0 1 1 0 0 t t t h t c e c te S c e c e             _ _          y w

diperoleh y_h dari sistem persamaan diferensial linear tersebut yaitu

1 2 2 3 1 2 3 1 2 2 t t t t t t t h t t c e c te c e c e c e c te c e c e c te                     y

Setelah itu, menentukan y_p dari sistem persamaan diferensial linear dengan y_pN_y

_

N_y1gdt

sebagai berikut:





1 1 p Ny Ny dt SMw SMw dt   

_



_

y g g 0 1 1 2 1 0 1 0 0 1 0 0 ₀ ₀ 2 0 t t t w t t t t t t t t t t e te SM e e e te e e e te e e te           _ _       _{ }_ __                  

(9)





1 1 1 w w SM  M S 0 ₀ ₀ ₁ 0 0 1 2 1 0 1 1 0 0 t t t t e te e e       _ _ _  _{ } _  _{ }  _  _{ } _ _       2 2 0 t t t t t t t t t te te e te e e e e e                          

Mensubstitusikan SM_w,



SM_w



1, dan g pada y_p SM_w

_

_

SM_w

_

1gdt sedemikian sehingga,





1 p SMw SMw dt  

_

y g 3 4 2 2 2 12 0 0 20 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e te e e te te e te e e te e e e e e dt e te e e e                                                        



2 2 2 3 3 1 2 3 2 2 3 3 1 80 20 12 6 2 9 3 2 20 12 3 0 ₂₀ 6 3 t t t t t t t t t t t t t t t t t t te e e te c e te e e e te e t e e c e te e e c              _ _  _{ } _    _{ }    _  _{ } _      _{ } _      

diperoleh y_p dari sistem persamaan diferensial linear yaitu

2 3 4 1 2 2 3 2 4 1 2 3 2 3 4 1 2 1 20 6 2 2 9 1 20 2 9 1 80 6 2 9 t t t t t t t t t t t t t p t t t t t te t e e e c e c e c te c e t e e c e c te c e t e e e c e c te                           _ _ _ _ _      y

Langkah selanjutnya, menentukan solusi umum dari sistem persamaan diferensial linear y yaitu

h p   y y y 2 3 4 1 2 2 3 1 2 2 3 2 4 1 2 3 1 2 3 1 2 ₂ ₃ ₄ 1 2 1 20 6 2 2 9 2 1 20 2 9 1 80 6 2 9 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t te t e e e c e c e c te c e c e c e c te c e c e c te c e t e e c e c te c e c e c te t e e e c e c te                 _ _   _ _     _      _   _ _       _ _         

Sehingga, solusi umum dari sistem persamaan diferensial tersebut yaitu

2 3 4 1 2 2 3 2 4 1 2 3 2 3 4 1 2 1 20 2 2 2 4 6 2 9 1 20 2 2 2 2 9 1 80 2 2 6 2 9 t t t t t t t t t t t t t t t t t t c e c e c te c e te t e e e c e c te c e t e e c e c te t e e e                           _ _ _ _ _      y

(10)

PENUTUP

Berdasarkan pembahasan yang telah dipaparkan, maka dapat ditarik kesimpulan, yaitu:

1. Dalam menentukan bentuk kanonik Jordan dengan menggunakan vektor eigen tergeneralisasi dapat dilakukan dengan langkah menentukan persamaan karakteristik dari matriks A, sehingga diperoleh nilai eigen dan vektor eigen. Selanjutnya, menentukan multiplisitas aljabar dan multiplisitas geometri serta vektor eigen tergeneralisasi, kemudian menentukan matriks tak singular S dan inversnya. Sehingga diperoleh bentuk kanonik Jordan 1

.

JS AS

2. Aplikasi bentuk kanonik Jordan dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial linear

d A dt  

y

y g dapat dilakukan dengan cara mensubstitusikan blok Jordan Jn

 

 pada persamaan

 

, n d J dt   w

w sehingga diperoleh solusi w. Selanjutnya, mensubstitusikan solusi w pada persamaan yhSw kemudian menentukan ,

1 p Ny Ny dt





_

y g sehingga diperoleh solusi umum sistem persamaan diferensial linear yy_hy_p.

DAFTAR PUSTAKA

[1]. Anton, H., & Rorres, C. Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi Jilid 1. Kedelapan ed. Jakarta: Erlangga; 2004.

[2]. Aprilliantiwi. Matriks Jordan dan Aplikasinya pada Sistem Linier Waktu Diskrit. Jurnal Matematika. 2012; 15(1), 1-6.

[3]. Horn, R. A., & Johnson, C. Matrix Analysis. New York: Press Syndicate of the University of Cambridge; 1988.

[4]. Chen, C.-T. Linear System Theory and Design. Third ed. New York: Oxford University Press; 1999.

[5]. Weintraub, S. H. Jordan Canonical Form: Application to Differential Equations. San Rafael: Morgan and Claypool, 2008.

UMI SALMAH : FMIPA Untan, Pontianak, umisalmah@student.untan.ac.id MARIATUL KIFTIAH : FMIPA Untan, Pontianak, kiftiahmariatul@math.untan.ac.id FRANSISKUS FRAN : FMIPA Untan, Pontianak, frandly88@gmail.com