STKIP Kusuma Negara Jakarta Pokjar Kampus YAPIN Cihuni Analisa Real

PENDAHULUAN

Analisis riil merupakan cabang dari analisis matematika yang membahas himpunan bilangan riil dan fungsi-fungsi dalam bilangan riil. Analisis riil dapat dianggap sebagai kalkulus yang lebih mendalam, dan juga pembahasan secara lebih mendalam mengenai konsep barisan dan limit barisan, kekontinuan, turunan, integral, dan barisan dari fungsi-fungsi.

Penjelasan analisis riil pada buku-buku pelajaran tingkat lanjut biasanya dimulai dengan pembuktian sederhana mengenai teori dasar himpunan, pendefinisian konsep-konsep fungsi yang jelas, dan pengenalan kepada bilangan-bilangan asli dan pentingnya teknik pembuktian menggunakan induksi matematika.

Lalu dilanjutkan dengan pengenalan bilangan riil baik secara aksioma, ataupun melalui pembentukan dengan barisan Cauchy, ataupun potongan Dedekind (Dedekind Cut) pada bilangan rasional. Hasil yang mendasar kemudian dapat diperoleh, yang terpenting adalah sifat-sofat dari nilai mutlak seperti pertidaksamaan segitiga dan pertidaksamaan Bernoulli.

Konsep kekonvergenan, sebagai dasar analisis, diperkenalkan melalui limit dan barisan. Beberapa hukum yang mengatur proses pelimitan dapat diturunkan, dan beberapa limit dapat dihitung. Deret tak hingga, yang merupakan barisan yang khusus, juga dipelajari. Deret pangkat digunakan untuk mendefinisikan dengan jelas beberapa fungsi yang penting, seperti fungsi eksponensial dan fungsi-fungsi trigonometri. Beberapa tipe penting dari subhimpunan bilangan riil, seperi himpunan-himpunan terbuka, himpunan-himpunan tertutup, himpunan-himpunan kompak, dan sifat-sifatnya dijelaskan kemudian.

dijelaskan dengan lebih terperinci. Teorema yang penting disini adalah teorema nilai tengah.

Kemudian, integrasi (Riemann dan Lebesgue) dan pembuktian teorema dasar kalkulus dapat dilakukan, dengan menggunakan teorema nilai tengah.

Pada pencapaian ini, adalah sangat berguna untuk mempelajari ide dari kekontinuan dan kekonvergenan dengan lebih abstrak, agar kemudian dapat memperhitungkan ruang dari fungsi-fungsi. Ini dapat dilakukan dalam topologi himpunan titik dan menggunakan ruang metrik. Konsep-konsep seperti kekompakan, kelengkapan, ketersambungan, kekontinuan yang seragam, keterpisahan, peta Lipschitz, peta kontraktif, dapat didefinisikan dan diperiksa.

Limit-limit dari fungsi-fungsi dapat diambil untuk mengubah orde dari integral, turunan, dan limit. Ide dari kekonvergenan yang seragam sangat penting dalam hal ini. Adalah sangat berguna untuk memiliki pengetahuan yang mendasar mengenai ruang-ruang vektor yang normal dan ruang hasil kali dalam. Barisan Taylor dapat juga dijelaskan di sini.

BARISAN DAN DERET

BARISAN adalah urut-urutan bilangan dengan aturan tertentu. Suku-suku suatu barisan adalah nilai-nilai dari suatu fungsi yang daerah definisinya himpunan bilangan asli (n = natural = asli)

Contoh:

1. Un = 2n – 1

adalah suku ke-n dari suatu barisan, dimana n



N = {1,2,3,...}

2. Diketahui barisan 1/3 , 1/6 , 1/9

Rumus suku ke-n barisan ini adalah Un = 1/3n

DERET adalah jumlah dari suku-suku suatu barisan. Deret disimbolkan dengan Sn , dimana Un = Sn – Sn-1.

Contoh :

Tentukan Un jika Sn = 4n2 + 3n

Jawab :

Un = Sn – Sn-1

= 4n2 _{+ 3n – (4(n – 1)}2 _{+ 3(n - 1))}

= 4n2 _{+ 3n – (4(n}2 _{– 2n + 1) + 3n - 3)}

= 4n2 _{+ 3n – 4n}2 _{+ 8n - 4 – 3n + 3}

= 8n - 1

BARISAN ARITMATIKA

U1, U2, U3, ...Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika

U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1

U1, U2, U3 ..., Un

Rumus Suku ke-n :

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b)  Fungsi linier dalam n

DERET ARITMATIKA

a + (a+b) + (a+2b) + . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

a = suku awal

b = beda

n = banyak suku

Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku

Sn = 1/2 n(a+Un)

= 1/2 n[2a+(n-1)b]

= 1/2bn² + (a - 1/2b)n  Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:

1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")

2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0

Barisan aritmatika akan turun jika b < 0

4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1), dst.

5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt  Ut = Sn / n

6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah : a - b , a , a + b

BARISAN GEOMETRI

U1, U2, U3, ..., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika

U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = Un / Un-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , ...arn-1

U1, U2, U3,...,Un

Suku ke n Un = arn-1 fungsi eksponen (dalam n)

DERET GEOMETRI

a = suku awal

r = rasio

n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(rn_{-1)/r-1 , jika r>1}

= a(1-rn_{)/1-r , jika r<1  Fungsi eksponen (dalam n)}

Keterangan:

1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap

2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku Un > Un-1

3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku

Un < Un-1

Bergantian naik turun, jika r < 0

4. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1

5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

6. Ut = u1xun = u2xun1 , dst

7. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/ r, a, ar

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U1 + U2 + U3 + ...



 1 n

n

U _{= a + ar + ar² ...}

dimana n  dan -1 < r < 1 sehingga rn _{ 0}

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

Jumlah tak berhingga S∞ = a/(1-r)

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk

-1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar2 _{+ ar}3 _{+ ar}4 _{+ ...}

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar2 _+ar4_{+ ... S}

ganjil = a / (1-r²)

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar3 _{+ ar}5 _{+ ... S}

genap = ar / 1 -r²

BARISAN TAK HINGGA

Suatu barisan apabila banyaknya suku-suku terbatas, maka barisan tersebut dikatakan BARISAN BERHINGGA, sebaliknya apabila banyaknya suku-suku suatu barisan tak berhingga maka dikatakan BARISAN TAK HINGGA.

Suku ke-n dari suatu barisan disimbolkan dengan lambang Un , sedangkan jumlah dari suku-suku suatu barisan yaitu U1 + U2 + ... + Un = Sn, dimana Sn menyatakan jumlah suku-suku suatu barisan yang disebut dengan DERET.

LIMIT SUATU BARISAN

Sebuah bilangan L dikatakan menjadi limit dari suatu barisan tak hingga u1, u2, u3, ....apabila untuk setiap bilangan positip ε yang diberikan (betapapun kecilnya) dapat ditemukan sebuah bilangan N sedemikian rupa sehingga |un – L| < ε untuk semua bilangan bulat n > N

Contoh :

Un = 2 + _n1

Penyelesaian :

  x lim _U

n = limx  2 + _n

1

= 2 + _1 = 2 + 0 = 2

TEORI LIMIT

1. nlim_ (an ± bn) = nlim an ± nlim  bn

3. nlim_

TERBATAS, BARISAN MONOTON

Suatu barisan dikatakan TERBATAS apabila ada sebuah bilangan positip M, tidak tergantung pada n, sedemikian rupa sehingga |un| ≤ M untuk n = 1,2,3...

3 , ₂5 , 7₃ , 9₄ , ...terbatas, karena harga mutlak setiap suku tidak pernah

melampaui 3

2, 4, 6, 8, ... tidak terbatas

Contoh :

Buktikan bahwa barisan yang diberikan Un = 3 ₂1 

 n

n

adalah terbatas dan

monoton naik !

Penyelesaian :

Barisan terbatas oleh 3 ( sembarang bilangan lebih besar dari 3 ), karena

2 1 3

  n

n

≤ 3  3n+1 ≤ 3n+6 atau 1 ≤ 6 yang mana benar untuk semua nilai n.

Barisan monoton naik apabila Un+1 ≥ Un; _{( 1) 2}

1 ) 1 ( 3

 

 

n n

≥ 3 ₂1 

 n

n

 (3n+4)(n+2) ≥

(n+3)(3n+1) atau 3n2_{+10n+8 ≥ 3n}2_{+10n+8 atau 8 ≥ 3 yang mana benar untuk}

semua nilai n

Sebuah barisan dikatakan MONOTON NAIK bila Un+1 ≥ Un, sedangkan barisan

dikatakan MONOTON TURUN bila Un+1 ≤ Un

Contoh :

3,2,1,0,-1,-2,... barisan monoton turun

1,2,3,4,5,... barisan monoton naik

Suatu deret tak hingga dikatakan KONVERGEN apabila _x Sn  

lim _{= S, bilangan}

berhingga, sebaliknya dikatakan DIVERGEN.

Contoh :

deret : 1₂ + ₂2

1

+ ₂3

1

+ ... Sn = 1 - ₂n

1

  x lim_S

n = limx 1 - ₂n

1 = 1

deret KONVERGEN

deret : 1 – 1 + 1 – 1 + 1 - ... Sn = 1 untuk n ganjil

Sn = 0 untuk n genap

  x

lim _{Sn tidak ada}

deret DIVERGEN

Apabila deret KONVERGEN maka suku ke-n harus mempunyai limit NOL untuk

n ∞, tetapi apabila suku ke-n tidak mempunyai limit NOL untuk n ∞, maka

UJI PERBANDINGAN UNTUK KONVERGENSI

Apabila dari beberapa suku, setiap suku positip dari sebuah deret yang diberikan

lebih kecil atau sama dengan suku yang bersesuaian dari deret KONVERGEN

yang diketahui maka deret yang diberikan adalaj KONVERGEN

Apabila dari beberapa suku, setiap suku positip dari sebuah deret yang diberikan

lebih besar atau sama dengan suku yang bersesuaian dari deret DIVERGEN

yang diketahui maka deret yang diberikan adalaj DIVERGEN

Dua deret yang berguna dalam tes perbandingan

1. Deret GEOMETRI : a + ar + ar2 _{+ ...}

KONVERGEN bila |r| < 1

DIVERGEN bila |r| ≥1

2. Deret P : ₁p

1

+ ₂p

1

+ ₃p 1

+ ... p konstan

KONVERGEN bila p > 1

DIVERGEN bila p ≤ 1

UJI RASIO UNTUK KONVERGENSI

Untuk deret U1 + U2 + U3 + ...dengan tanda yang sama atau campuran, ambil :

  x lim

n n

u

u 1 = R

KONVERGEN bila R < 1

DIVERGEN bila R > 1

UJI GAGAL bila R = 1

UJI AKAR UNTUK KONVERGENSI

Untuk deret U1 + U2 + U3 + ...dengan tanda yang sama atau campuran, ambil :

  x lim n

n

U = L

KONVERGEN bila L < 1

DIVERGEN bila L > 1

UJI GAGAL bila L = 1

UJI INTEGRAL

Jika fungsi f adalah bernilai positip, kontinu dan menurun untuk x ≥ 1, kemudian :

KONVERGEN jika

_

 1

) (x

f dx KONVERGEN

DIVERGEN jika

_



1 ) (x

f _{dx DIVERGEN}

Contoh :

Deret : 1 + ₂1 + ₃1 + ... + _n1 + ...

Penyelesaian :





1 1

x dx = tlim 



t

x 1

1 dx

= limt_{ } ln x t

1

= limt_{ } [ln t - ln 1]

= ln ∞ - 0

= ∞ DIVERGEN

DERET BERGANTI TANDA

Deret berganti tanda adalah sebuah deret yang suku-sukunya bergantian positip dan negatip.

Contoh :

1 – ½ + 1/3 – ¼ + ...

 Un1 < Un

 _nlim_ Un = 0

KONVERGENSI MUTLAK DAN BERSYARAT

Deret KONVERGEN MUTLAK apabila deret dibentuk dengan membuat semua tanda positip KONVERGEN, sedangkan sebuah deret KONVERGEN yang bukan konvergen mutlak adalah KONVERGEN BERSYARAT.

Contoh :

 1 - 1₂ + ₂2

1 - ₃

2 1

+ ... adalah KONVERGEN MUTLAK karena 1 + 2 1

+

2

2 1

+ ₃

2 1

+ ... KONVERGEN

 1 -

2 1

+

3 1

- ₄1 + ... adalah KONVERGEN tetapi tidak KONVERGEN

MUTLAK karena 1 +

2 1

+

3 1

+ ₄1 + ... DIVERGEN. Sehingga deret

bergantian tanda tersebut adalah KONVERGEN BERSYARAT.

DERET PANGKAT

Sebuah deret berbentuk c0 + c1x + c2x2 + ... + cnxn + ... dimana koefisien-koefisien c0, c1, c2, ... adalah konstan, disebut DERET PANGKAT dalam x.

Contoh :

1 + x +

2 2

x ₊

3 3

Himpunan nilai-nilai x yang membuat deret pangkat konvergen disebut INTERVAL KONVERGENSI. Interval tersebut bisa diperoleh dengan menggunakan uji perbandingan ditambah dengan uji lainnya yang diterapkan pada titik akhir interval.

Contoh :

Carilah interval konvergensi deret

Deret Taylor dan Deret McLaurin

Fungsi f merepresentasikan deret kuasa pada (x – c) sedemikian hingga :





jika fungsi f diturunkan sampai turunan ke-n, diperoleh :

1

Jika disubstitusikan c pada x, diperoleh :

0





Deret yang terjadi dinamakan deret Taylor untuk f(x) di c

Jika c = 0, sehingga deret menjadi :

...

Deret yang terjadi dinamakan deret McLaurin untuk f(x).