• Tidak ada hasil yang ditemukan

KETUNGGALAN TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN PADA RUANG METRIK-G LENGKAP

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "KETUNGGALAN TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN PADA RUANG METRIK-G LENGKAP"

Copied!
88
0
0

Teks penuh

(1)

UNIVERSITAS INDONESIA

KETUNGGALAN TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN

PADA RUANG METRIK- LENGKAP

Tesis

NURUL HUDA

1006734565

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PROGRAM MAGISTER MATEMATIKA

DEPOK

(2)

UNIVERSITAS INDONESIA

KETUNGGALAN TITIK TETAP UNTUK

PEMETAAN PADA RUANG METRIK- LENGKAP

Tesis

diajukan sebagai salah satu syarat

untuk memperoleh gelar Magister Sains

NURUL HUDA

1006734565

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PROGRAM MAGISTER MATEMATIKA

DEPOK

JANUARI 2012

(3)

ii

Tesis ini adalah hasil karya sendiri,

dan semua sumber baik yang dikutip maupun dirujuk

telah saya nyatakan dengan benar.

(4)

iii

Tesis ini diajukan oleh :

Nama

: Nurul Huda

NPM

: 1006734565

Program Studi

: Magister Matematika

Judul Tesis

: KETUNGGALAN TITIK TETAP UNTUK

PEMETAAN PADA RUANG METRIK-

LENGKAP

Telah berhasil dipertahankan dihadapan Dewan Penguji dan diterima sebagai bagian

persyaratan yang diperlukan untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program

Studi Magister Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Universitas Indonesia.

DEWAN PENGUJI

Pembimbing

: Prof. Dr. Belawati H. Widjaja

Penguji

: Prof. Dr. Djati Kerami

Penguji

: Dr. Hengki Tasman, M.Si.

Penguji

: Dr. Kiki Ariyanti Sugeng

Ditetapkan di

: Depok

(5)

iv

Alhamdulillah, segala puji hanya bagi Allah SWT Tuhan yang Maha Kuasa, yang

telah melimpahkan segala rahmat dan karunia-NYA sehingga penulis dapat

menyelesaikan tesis ini. Penulisan tesis ini dilakukan dalam rangka memenuhi syarat

untuk mencapai gelar Magister Sains Program Studi Magister Matematika pada

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia.

Saya sadar bahwa penyelesaian tesis ini tidak terlepas dari bantuan dan dukungan

dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin

mengucapkan terima kasih kepada pihak-pihak yang telah berjasa dalam penulisan

tesis ini maupun selama penulis kuliah. Ucapan terima kasih tercurah kepada;

(1) Ibu Prof. Dr. Belawati Widjaja, selaku dosen pembimbing tesis yang teramat

banyak memberikan nasihat, bantuan, masukan dan dorongan semangat kepada

penulis dalam menyelesaikan tesis ini;

(2) Bapak Prof. Dr. Djati Kerami, selaku Ketua Program Studi Magister Matematika

dan Ibu Bevina D Handari, P.HD selaku Sekretaris Program Studi Magister

Matematika;

(3) Bapak Dr. Hengki Tasman, M.Si., selaku Dosen Pembimbing Akademik yang

selalu memberi nasihat dan dorongan kepada penulis;

(4) Bapak Dr. Yudi Satria, M.T, selaku ketua Departemen Matematika FMIPA UI

dan Ibu Rahmi Rusin S.Si, M.Sc.Tech, selaku Sekretaris Departemen

Matematika FMIPA UI;

(5) Seluruh Staf Pengajar di Program Studi Magister Matematika FMIPA UI, atas

arahan, bimbingan, dan ilmu pengetahuan yang telah diberikan selama

perkuliahan;

(6) Pemerintah melalui DIKTI yang telah memberikan beasiswa kepada penulis

berupa beasiswa BPPS selama penulis melaksanakan pendidikan di Universitas

Indonesia

(7) Bapak Drs. Heri Budi Santoso, M.Si, selaku Dekan FMIPA Unlam;

(8) Bapak Drs. Faisal, M.Si, selaku Ketua Prodi Matematika FMIPA Unlam dan Ibu

Naimah Hjriati, S.Si, M.Si, selaku Sekretaris Prodi Matematika FMIPA Unlam

(6)

v

(9) Orangtua tercinta (H. Abdullah Idris dan Hj. Muchyati) dan Orangtua istri

tercinta (Wiranto & Mardiyah Yuli T.) yang telah memberikan dukungan moral,

materiil, serta doa yang tidak pernah berhenti;

(10) Istriku tercinta Agustin Eka Widyayanti, A.Md dan anak-anakku tersayang

Annur Zahra Fuadiyah, Muhammad Shaquille Gibran, atas segala cinta,

perhatian, dukungan, kesabaran, semangat, dan doa;

(11) Kakak-kakakku Mba Maisaroh, Mba Siti Mufidah, Mas Nur Hidayat, Mas

Sobihan serta Adikku Novel Saputra Dwi Fuadillah yang senantiasa memberi

semangat dan dukungan;

(12) Teman teman seperjuangan Muzayyin Ahmad, Zulfi Amri, M. Haryono, Subian

Saidi, M. Aziz Abdillah, Supriadi, Sigit Supriadi, Setiawan yang senantiasa

memberi semangat dan dorongan;

(13) Kepada semua teman yang telah memberi semangat terutama

teman-teman magister angkatan 2010 di Matematika UI.

(14) Kepada semua pihak yang telah membantu penulis dalam pengerjaan tesis ini,

yang namanya tidak bisa disebutkan satu-persatu, penulis ucapkan terima kasih.

Akhir kata, saya berharap kepada Alloh Yang Maha Kuasa berkenan membalas

segala kebaikan semua pihak yang telah membantu. Semoga tesis ini dapat

bermanfaat bagi yang membacanya, terutama untuk pengembangan ilmu

pengetahuan.

Penulis

2012

(7)

vi

Sebagai civitas akademik Universitas Indonesia, saya yang bertanda tangan di bawah

ini:

Nama

:

Nurul Huda

NPM

:

1006734565

Program Studi

:

Magister Matematika

Departeman

:

Matematika

Fakultas

:

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jenis Karya

:

Tesis

demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada

Universitas Indonesia, Hak Bebas Royalti Noneksklusif (Non-exclusive Royalti Free

Right) atas karya ilmiah saya berjudul :

“KETUNGGALAN TITIK TETAP UNTUK PEMETAAN

PADA RUANG METRIK- LENGKAP”

beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Non

eksklusif ini Universitas Indonesia berhak untuk menyimpan, mengalih

media/formatkan, mengelola dalam bentuk data (database), merawat, dan

mempublikasikan tugas akhir saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai

penulis/pencipta dan sebagai Hak Cipta.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

(8)

vii

Nama

: Nurul Huda

Program Studi

: Magister Matematika

Judul Tesis

: Ketunggalan Titik Tetap Untuk Pemetaan Pada

Ruang Metrik- Lengkap

Titik disebut titik tetap dari pemetaan jika dan hanya jika ( )

= , sebagai

contoh jika pemetaan didefinisikan dengan ( )

=

− 3 + 4, maka 2 adalah

titik tetap dari karena (2) = 2. Ruang Metrik- adalah pasangan ( , ) dengan

adalah himpunan tak kosong dan adalah metrik (jarak) pada (didefinisikan

pada

× × ) dengan : × × →

sedemikian hingga untuk

setiap , , ,

∈ , memenuhi syarat berikut:

(G1) (

, , ) = 0 jika =

= , (G2) 0 < ( , , ) dengan ≠ ,

(G3)

( , , ) ≤ ( , , ) dengan ≠ ,(G4) ( , , ) = ( , , ) =

( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ), (G5) ( , , ) ≤ ( , , ) +

( , , ). Ruang Metrik− ( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap jika setiap

barisan -Cauchy di (

, )adalah -konvergen di ( , ). Suatu pemetaan :

pada Ruang Metrik- lengkap disebut pemetaan kontraktif jika terdapat konstanta

, 0 ≤

< 1 sedemikian hingga ( ( ), ( ), ( ) ≤

( , , ). Tidak semua

pemetaan memiliki titik tetap. Dari hasil penelitian diperoleh sifat-sifat dari Ruang

Metrik- lengkap dan syarat cukup agar diperoleh ketunggalan titik tetap untuk

pemetaan kontraktif pada Ruang Metrik- lengkap.

Kata kunci : Ketunggalan, titik tetap, kontraktif, Ruang Metrik- lengkap

ix+78 halaman;

(9)

viii

Name

: Nurul Huda

Study Program

: Magister Of Mathematics

Judul Tesis

: The Uniqueness of Fixed Point for Mapping

On Complete Metric- Space

Point is called a fixed point of the mapping if and only if ( )

= , for example

if the mapping defined by ( )

=

− 3 + 4, then 2 is a fixed point of

because (2) = 2. Metric- Space is a pair ( , ) where is a nonempty set and

is a metric (distance) on (defined on

× × ) with : × × →

such that for every

, , ,

∈ , satisfy the following requirement:(G1) ( , , ) =

0 if =

= , (G2) 0 < ( , , ) for ≠ , (G3) ( , , ) ≤ ( , , )

for

≠ ,(G4) ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) =

( , , ), (G5) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ). Metric- Space ( , ) is a

complete Metric- Space if every -Cauchy sequence in

( , ) is -convergent in ( , ). A mapping :

→ on a complete Metric-

Space is called contractive mapping if there are constants

, 0 ≤

< 1, such that

( ( ), ( ), ( )) ≤

( , , ). Not every mapping has a fixed point, from the

research results obtained by the properties of the complete Metric- Space and

sufficient condition in order to obtain uniqueness of fixed point for contractive

mapping in complete Metric- Space.

Key words

: Uniqueness, Fixed Point, Contractive, Complete Metric- Space

ix+78 pages;

(10)

ix

HALAMAN JUDUL ...

i

HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS ...

ii

LEMBAR PENGESAHAN ...

iii

KATA PENGANTAR ...

iv

LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI ILMIAH ...

vi

ABSTRAK ... vii

ABSTRACT... viii

DAFTAR ISI ... ix

1. PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Perumusan Masalah... 3

1.3 Tujuan Penelitian ... 3

1.4 Manfaat Penelitian... 3

1.5 Batasan Penelitian ... 3

1.6 Metode Penelitian... 3

2. TINJAUAN PUSTAKA ... 4

2.1 Ruang Metrik ... 4

2.2 Ruang Metrik-2 ... 5

2.3 Ruang Metrik- ... 6

2.4 Ruang Metrik- ... 8

2.5 Tipe-tipe Pemetaan... 16

2.5.1 Pemetaan Kontraktif... 16

2.5.2 Pemetaan Ekspansif... 16

2.6 Titik Tetap... 17

3. PEMBAHASAN ... 18

3.1 Sifat-Sifat Ruang Metrik- Lengkap ... 18

3.2 Ketunggalan Titik Tetap untuk Pemetaan Pada Ruang Metrik-

Lengkap ... 25

4. KESIMPULAN DAN SARAN ... 74

4.1 Kesimpulan ... 74

4.2 Saran ... 77

(11)

1 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

Seiring dengan perkembangan teknologi dalam era globalisasi saat ini, konsep-konsep matematika juga mengalami perkembangan. Hal ini dikarenakan munculnya berbagai masalah dan fenomena baik dunia nyata maupun abstrak yang semakin komplek, sehingga dibutuhkan pengembangan konsep-konsep matematis untuk menangani masalah-masalah tersebut. Sebagai contoh adalah teorema titik tetap. Titik ∈ disebut titik tetap dari pemetaan jika dan hanya jika : → dengan ( ) = . Sebagai contoh jika pemetaan : → didefinisikan dengan ( )= − 3 + 4, maka 2 ∈ adalah sebuah titik tetap dari karena (2) = 2. Tidak semua pemetaan memiliki titik tetap, sebagai contoh jika : → dengan ( ) = + 1, maka tidak memiliki titik tetap. Penggunaan teorema titik tetap diantaranya untuk menentukan solusi dari sistem persamaan linear aljabar dan untuk menentukan solusi khusus persamaan differensial.

Sejarah teorema titik tetap berawal dari masa kira-kira tahun 1500 SM di Mesopotamia. Pertama kali muncul adalah masalah bagaimana menentukan nilai yang memenuhi persamaan = , untuk suatu bilangan asli. Sebagai contoh jika = 4 maka = 2. Setelah itu muncul masalah lain yaitu untuk nilai

bilangan riil. Untuk memudahkan dalam penyelesaian, persamaan tersebut diubah dalam bentuk lain yaitu − = 0 yang selanjutnya ditulis menjadi + − = . Masalah terakhir tersebut yang kemudian melatarbelakangi munculnya masalah yang dikenal dengan Fixed Point Problem (FPP).

Langkah-langkah untuk mendapatkan titik tetap adalah sebagai berikut: diambil sebarang titik , kemudian untuk mendapatkan nilai digunakan pendekatan = + − , langkah akan berakhir jika nilai konvergen ke suatu titik . Pada perkembangan selanjutnya muncul masalah yang lebih abstrak yaitu ( )= untuk sebarang ( ) pemetaan dalam , untuk

menyelesaikan masalah tersebut lahirlah teorema titik tetap (fixed point theorem). Pada abad XIX seorang Matematikawan asal Prancis yang bernama H. Poincare (1854-1912) menemukan pendekatan titik tetap. Pada perkembangannya,

(12)

L.E.Y. Brouwer (1881-1966) seorang Matematikawan asal Belanda berhasil membuktikan titik tetap untuk pemetaan dengan domain dan kodomain berupa interval, persegi, piringan, bola, dan titik tetap dalam dimensi-n. Pada masa berikutnya Spencer (1906-1980) berhasil membuktikan lemma kombinatorial pada penguraian segitiga yang sangat berguna dalam teorema titik tetap. Teorema ini telah banyak dikembangkan dalam analisis fungsional untuk menyelidiki ketunggalan titik tetap dari pemetaan-pemetaan dengan domain Ruang Metrik,

Ruang hasil kali dalam, Ruang Bernorm, Ruang Hilbert, Ruang Banach serta

perluasan pada masing-masing konsep ruang tersebut. (Suwarno, 2011) Pada awalnya diperkenalkan Metrik pada sebuah himpunan tidak kosong , dan pasangan ( , ) disebut Ruang Metrik (Metric Space). Pada tahun enampuluhan Gahler memperkenalkan Metrik baru ∗ pada sebuah himpunan tidak kosong yang disebut Metrik-2 ( 2-Metric) dan pasangan ( , ∗) disebut Ruang Metrik-2 (2-Metric Space) . Pada tahun 1992 Led Baphure Dhage pada

disertasinya memperkenalkan Metrik baru pada himpunan tidak kosong yang disebut Metrik- ( − Metric) dan pasangan ( , ) disebut Ruang

Metrik-( -Metric Space). Pada tahun 2006 Zead Mustafa dan Brailey Sims

memperkenalkan Metrik yang lebih baru lagi pada himpunan tidak kosong yang disebut Metrik- ( − Metric ) dan pasangan ( , )disebut Ruang

Metrik- ( - Metric Space).

Dengan adanya pengertian jarak (metrik), maka dalam Ruang Metrik ( , ), ( , ∗), ( , ), maupun ( , ) dapat ditinjau pengertian kekonvergenan suatu barisan dalam masing-masing Ruang Metrik tersebut. Kemudian akan diperhatikan Ruang-ruang Metrik yang khusus, yaitu Ruang Metrik yang memiliki sifat istimewa yaitu Ruang Metrik yang lengkap. Selanjutnya akan diperhatikan pemetaan dari Ruang Metrik ke dirinya sendiri, maka timbul masalah keberadaannya titik tetap. Titik tetap adalah sebuah pemetaan dari

Ruang Metrik ke dirinya sendiri, bisa ada atau tidak ada. Bila ada, bisa tunggal

(13)

1.2 Perumusan Masalah

Masalah yang akan diteliti dalam penelitian tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Bagaimana sifat-sifat dari Ruang Metrik- lengkap

2. Apabila diberikan suatu pemetaan pada Ruang Metrik- lengkap, syarat cukup apa yang harus dipenuhi agar pemetaan itu memiliki titik tetap tunggal pada Ruang Metrik- lengkap.

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dari penelitian tugas akhir ini adalah :

1. Membahas/ mengkaji sifat-sifat dari dari Ruang Metrik- lengkap 2. Membahas/ mengkaji syarat cukup agar suatu pemetaan pada Ruang

Metrik- lengkap memiliki ketunggalan titik tetap pada Ruang Metrik-

lengkap.

1.4 Manfaat Penelitian

Penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi dalam perkembangan matematika dibidang matematika analisis terutama dalam penyelesaian masalah ketunggalan titik tetap.

1.5 Batasan Penelitian

Dalam penelitian tugas akhir ini, masalah yang akan diteliti dibatasi hanya pada konsep titik tetap dan pemetaan kontraktif pada Ruang Metrik- lengkap.

1.6 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan dengan mempelajari karya-karya ilmiah yang disajikan dalam bentuk buku, jurnal, makalah, tesis, disertasi ataupun artikel yang relevan dengan topik penelitian, kemudian berdasar konsep-konsep yang ada dilakukan pengembangan dari hasil yang sudah ada untuk pembuktikan teorema ketunggalan titik tetap pada Ruang Metrik- lengkap.

(14)

4

Dalam bab ini disajikan definisi-definisi tentang Ruang Metrik,

Ruang Metrik-2, Ruang Metrik- , Ruang Metrik- , dan Pemetaan

Kontraktif dan Pemetaan Ekspansif pada Ruang Metrik- , serta definisi Titik Tetap.

2.1 Ruang Metrik ( , )

Disini akan diberikan definisi dan contoh dari Ruang Metrik ( , )

Definisi 2.1 (V.S. Pugachev and I.N. Sinitsyn, 1999)

Ruang Metrik adalah pasangan ( , ) dengan adalah himpunan yang tidak kosong dan : × → adalah Metrik (jarak) pada sedemikian

sehingga untuk setiap , , ∈ , terpenuhi:

(M1) ( , ) ≥ 0 dan ( , ) = 0 ⟺ = (Sifat Non Negatif) (M2) ( , ) = ( , ) (Sifat Simetri)

(M3) ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) (Sifat Ketaksamaan Segitiga).

Contoh:

(1) : × → dengan ( , ) = | − |

Maka dapat dibuktikan bahwa ( , ) adalah Ruang Metrik, karena memenuhi sifat (M1), (M2) dan (M3).

(M1) Jelas ( , ) = | − | ≥ 0 , ∀ , ∈

( , ) = | − | = |0| = 0 ⟺ = (Sifat non negatif) (M2) Karena ( , ) = | − | = |−( − )| = | − | = ( , )

(Berdasarkan sifat Nilai Mutlak) Maka ( , ) = ( , ) (Sifat Simetri) (M3) ( , ) ≤ ( , ) + ( , )

( , ) = | − | ≤ | − | + | − | = ( , ) + ( , ) Maka ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) (Sifat Ketaksamaan Segitiga) (2) : × → dengan

( , ) = ( − ) + ( − ) + ⋯ + ( − ) ∀ ∈ dan ∀ ∈ dengan = ( , , … , )

(15)

dan = ( , , … , ) Maka ( , ) adalah sebuah Ruang Metrik. (3) himpunan tak kosong, : × →

dengan ( , ) = 0 ; = 1 ; ≠ ∀ , ∈

Maka ( , ) adalah sebuah Ruang Metrik yang disebut Ruang Metrik Diskrit.

2.2 Ruang Metrik-2

Disini akan diberikan definisi dan contoh dari Ruang Metrik-2

Definisi 2.2 (Z. Mustafa and B. Sims, 2006)

Misal adalah sebuah himpunan tak kosong, pemetaan ∗: × × → yang bersifat bahwa untuk semua , , , ∈ berlaku:

(A1) Untuk , ∈ , dengan ≠ , terdapat ∈ , sedemikian sehingga ∗( , , ) ≠ 0

(A2) ∗( , , ) = 0 jika = atau = atau =

(A3) ∗( , , ) =( , , ) =( , , ) =( , , ) =( , , ) =( , , ) (Sifat Simetri)

(A4) ∗( , , ) ≤ ∗( , , ) +( , , ) +( , , )

Maka pemetaan ∗ disebut Metrik-2 pada , dan pasangan ( ,) disebut Ruang Metrik-2.

Contoh:

Ambil = { , , } dan

: × × sebagai berikut:

Bila ∈ , ∈ dan ∈ maka akan terbentuk segitiga , dan definisikan ∗( , , ) = luas ⊿ .

Maka dapat dibuktikan bahwa pemetaan ∗ merupakan sebuah Metrik-2 dan ( , ∗) adalah sebuah Ruang Metrik-2 .

Bukti:

Untuk menunjukkan bahwa pemetaan ∗ adalah sebuah Metrik-2 maka harus memenuhi 4 sifat yaitu (A1), (A2), (A3) dan (A4) .

(16)

(A1) Untuk ∈ , ∈ dengan ≠ , maka pasti terdapat ∈ , sedemikian sehingga ∗( , , ) ≠ 0

(A2)Jika = atau = atau = maka ∗( , , ) = 0

(A3) ∗( , , ) =( , , ) =( , , ) =( , , ) =( , , ) =( , , ) (Sifat Simetri)

(A4) ∗( , , ) ≤ ∗( , , ) +( , , ) +( , , ) untuk sembarang ∈ .

Karena Sifat (A1), (A2), (A3) dan (A4) maka pemetaan ∗ merupakan sebuah Metrik-2 dan ( ,) adalah sebuah Ruang Metrik-2

2.3 Ruang Metrik-

Disini akan diberikan definisi dan contoh dari Ruang Metrik-

Definisi 2.3 (Z. Mustafa and B. Sims, 2006)

Bila adalah sebuah himpunan tidak kosong, pemetaan : × × → yang bersifat bahwa untuk semua , , , ∈ berlaku:

(D1) ( , , ) = 0 jika dan hanya jika = =

(D2) ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) (Sifat Simetri)

(D3) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) (D4) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ).

Maka pemetaan disebut Metrik- pada , dan pasangan ( , ) disebut

Ruang Metrik- . Contoh:

(1) Misal ( , ) adalah sebuah Ruang Metrik dan : × × → dengan ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} untuk ∈ , ∈ , ∈ .

Maka dapat dibuktikan bahwa ( , ) adalah Ruang Metrik- .

Bukti:

Untuk menunjukkan bahwa adalah sebuah Metrik- , maka harus memenuhi 4 sifat yaitu (D1), (D2), (D3) dan (D4).

(D1) ( , , ) = 0

(17)

⟺ = = (berdasarkan sifat (M1) (D2) ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )}

Maka berdasarkan sifat (M2) ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) (Sifat Simetri) (D3) ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} Kemungkinan nilai ( , , ) adalah (i) ( , , ) = ( , )

(ii) ( , , ) = ( , ) (iii) ( , , ) = ( , ) Untuk (i) Berdasarkan sifat (M3)

( , ) ≤ 2 ( , ) = ( , ) + ( ( , ) + ( , )) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , )

Dengan cara serupa dapat pula dibuktikan (D3) untuk (ii) dan (iii). Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ).

Maka (D3) terbukti.

(D4) Berdasarkan sifat (M1) dan (M2) diperoleh:

( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) Berdasarkan sifat (M3) diperoleh:

( , ) ≤ ( , ) + ( , )

Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ). Maka (D4) terbukti.

(18)

Karena Sifat (D1), (D2), (D3) dan (D4) terpenuhi, maka merupakan

Metrik- , dan ( , ) adalah sebuah Ruang Metrik- . (2) himpunan tak kosong, dengan

( , , ) = 0 ; =1 ; ≠ = untuk , , ∈ Maka ( , ) adalah Ruang Metrik-

2.4 Ruang Metrik-

Definisi 2.4 (H. Obiedat and Z. Mustafa, 2010)

Bila adalah himpunan tak kosong, dan : × × → memenuhi syarat berikut, untuk semua , , , ∈ :

(G1) ( , , ) = 0 jika = = (G2) ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) (Sifat Simetri) (G3) ( , , ) > 0 untuk ≠ (G4) ( , , ) ≤ ( , , ) untuk ≠ (G5) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) untuk semua , , , ∈ (Sifat Ketaksamaan Segiempat)

Maka pemetaan disebut Metrik- pada , dan pasangan ( , ) di sebut

Ruang Metrik- . Contoh:

(1) Misalkan ( , ) adalah sebuah Ruang Metrik, dan : × × → dengan ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ), untuk , , ∈ , maka dapat dibuktikan bahwa ( , ) adalah sebuah Ruang Metrik- .

Bukti:

Untuk menunjukkan ( , ) adalah sebuah Ruang Metrik- , maka akan ditunjukkan bahwa : × × → memenuhi lima sifat yaitu (G1), (G2), (G3), (G4), dan (G5)

(G1) Akan ditunjukkan bahwa ( , , ) = 0 jika = =

Jika = = maka ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) = 0 (Berdasarkan (M1))

(19)

Maka (G1) terpenuhi.

G2) Akan ditunjukkan bahwa Sifat Simetri berlaku pada ( , ) ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , )

Berdasarkan sifat (M2) ( , ) = ( , ), ( , ) = ( , ) dan ( , ) = ( , )

Maka diperoleh ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) .

Jadi Sifat Simetri berlaku pada( , ). Jadi (G2) terpenuhi.

(G3) Akan ditunjukkan ( , , ) > 0 untuk ≠ ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) = 2 ( , )

Berdasarkan sifat (M1) dan (M2), maka 2 ( , ) > 0, bila ≠ Maka ( , , ) > 0, bila ≠

Jadi (G3) terpenuhi.

(G4) Akan ditunjukkan ( , , ) ≤ ( , , ) untuk ≠ Berdasarkan sifat (M2) dan (M3) untuk ≠ diperoleh:

( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) = 2 ( , ) = ( , ) + ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) + ( , ) = ( , , ).

Maka ( , , ) ≤ ( , , ) untuk ≠ . Jadi (G4) terpenuhi.

(G5) Akan ditunjukkan bahwa Sifat Ketaksamaan Segiempat berlaku pada ( , )

( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , )

( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) = 2 ( , ) sifat (M2) ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , )

Berdasarkan sifat (M3) ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) dan ( , ) ≤ ( , ) + ( , )

(20)

Maka ( , , ) = ( , ) + ( , ) + ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) + ( , ) + ( ( , ) + ( , ) = 2 ( , ) + ( , ) + ( , ) + ( , )

≤ ( , , ) + ( , , ) .

Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Maka Sifat Ketaksamaan Segiempat berlaku pada ( , ) Maka (G5) terpenuhi.

Karena sifat (G1), (G2), (G3), (G4) dan (G5) terpenuhi, maka : × × → adalah sebuah Metrik- dan ( , ) merupakan Ruang Metrik- .

(2) Misalkan ( , ) ruang sebuah Ruang Metrik, dan : × × → dengan ( , , ) = max { ( , ), ( , ), ( , )} untuk , , ∈ . Maka dapat dibuktikan bahwa ( , ) adalah Ruang Metrik- .

Bukti:

Untuk menunjukkan ( , ) adalah sebuah Ruang Metrik- , maka akan ditunjukkan bahwa : × × → memenuhi lima sifat yaitu (G1), (G2), (G3), (G4), dan (G5)

(G1) Akan ditunjukkan bahwa ( , , ) = 0 jika = =

Jika = = maka ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} = 0 (Berdasarkan (M1))

Maka ( , , ) = 0 jika = = . Maka (G1) terpenuhi.

(G2) Akan ditunjukkan bahwa Sifat Simetri berlaku pada ( , ) ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )}

Berdasarkan sifat (M2) ( , ) = ( , ), ( , ) = ( , ) dan ( , ) = ( , )

(21)

= ( , , ) = ( , , ) . Jadi Sifat Simetri berlaku pada( , ).

Jadi (G2) terpenuhi.

(G3) Akan ditunjukkan ( , , ) > 0 untuk ≠

( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , )

Berdasarkan sifat (M1) dan (M2), maka ( , ) > 0, bila ≠ Maka ( , , ) > 0, bila ≠

Jadi (G3) terpenuhi.

(G4) Akan ditunjukkan ( , , ) ≤ ( , , ) untuk ≠ Berdasarkan sifat (M2) dan (M3) untuk ≠ diperoleh:

( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )}

Untuk ≠ kemungkinan nilai ( , , ) adalah: (i) max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) (ii) max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) (iii) max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) Untuk (i) ( , , ) = ( , ) ( , , ) = ( , ) Maka ( , ) ≤ ( , ) Maka ( , , ) ≤ ( , , ) Untuk (ii) Karena ≠ maka ( , ) ≠ 0

( , , ) = ( , ) ( , , ) = ( , ) Maka ( , ) ≤ ( , ) Maka ( , , ) ≤ ( , , ) Untuk (iii) ( , , ) = ( , ) ( , , ) = ( , ) Maka ( , ) ≤ ( , ) Maka ( , , ) ≤ ( , , ). Maka (G4) terpenuhi.

(G5) Akan ditunjukkan bahwa Sifat Ketaksamaan Segiempat berlaku pada ( , )

(22)

( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )}

( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) sifat (M2) ( , , ) = max{ ( , ), ( , ), ( , )}

Kemungkinan nilai ( , , ) adalah:

(i) max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) (ii) max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) (iii) max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) Kemungkinan nilai ( , , ) adalah:

(iv) max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) (v) max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) (vi) max{ ( , ), ( , ), ( , )} = ( , ) Untuk (i) dan (iv) Berdasarkan sifat (M3)

( , ) ≤ ( , ) + ( , )

Diperoleh ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Untuk (i) dan (v) Berdasarkan sifat (M3)

( , ) ≤ ( , ) + ( , )

Maka ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) , karena ( , ) ≤ ( , ) Diperoleh ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Untuk (i) dan (vi) Berdasarkan sifat (M3) ( , ) ≤ ( , ) + ( , )

Maka ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) , karena ( , ) ≤ ( , ) Diperoleh ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ).

Untuk (ii) dan (iv) Berdasarkan sifat (M3) ( , ) ≤ ( , ) + ( , )

Maka ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) , karena ( , ) ≤ ( , ) Diperoleh ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Untuk (ii) dan (v) Berdasarkan sifat (M3) ( , ) ≤ ( , ) + ( , )

Maka ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) , karena ( , ) ≤ ( , ) dan ( , ) ≤ ( , ) Diperoleh ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

(23)

( , ) ≤ ( , ) + ( , )

Maka ( , ) ≤ ( , ) + ( , ), karena ( , ) ≤ ( , ) dan ( , ) ≤ ( , ) Diperoleh ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ).

Untuk (iii) dan (iv) Berdasarkan sifat (M3) ( , ) ≤ ( , ) + ( , )

Maka ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) , karena ( , ) ≤ ( , ) Diperoleh ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Untuk (iii) dan (v) Berdasarkan sifat (M3) ( , ) ≤ ( , ) + ( , )

Maka ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) , karena ( , ) ≤ ( , ) Diperoleh ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Untuk (iii) dan (vi) Berdasarkan sifat (M3) ( , ) ≤ ( , ) + ( , )

Diperoleh ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ). Maka (G5) terpenuhi.

Karena sifat (G1), (G2), (G3), (G4) dan (G5) terpenuhi, maka : × × → adalah sebuah Metrik- dan ( , ) merupakan Ruang Metrik- . (3) Misal = { , , } : × × → dengan ( , , ) = 0 jika = = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = 22, ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = 27, ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = 30, ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = 35,

(24)

Bukti:

Untuk menunjukkan ( , ) adalah sebuah Ruang Metrik- , maka akan ditunjukkan bahwa : × × → memenuhi lima sifat yaitu (G1), (G2), (G3), (G4), dan (G5)

(G1) Akan ditunjukkan jika = = maka ( , , ) = 0 Jika = = , maka ( , , ) = 0 jika (diketahui) Maka (G1) terpenuhi.

(G2) Akan ditunjukkan bahwa Sifat Simetri berlaku pada ( , ) ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = 35

Maka ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , ) = ( , , )

Maka Sifat Simetri berlaku pada ( , ) Jadi (G2) terpenuhi.

(G3) Akan ditunjukkan ( , , ) > 0 untuk ≠ . Untuk ≠ , diperoleh: ( , , ) = 22 > 0 ( , , ) = 27 > 0 ( , , ) = 22 > 0 ( , , ) = 30 > 0 ( , , ) = 27 > 0 ( , , ) = 30 > 0 Maka ( , , ) > 0 , untuk ≠ Maka (G3) terpenuhi.

(G4) Akan ditunjukkan ( , , ) ≤ ( , , ) untuk ≠ Untuk ≠ , diperoleh: ( , , ) = 22 ≤ ( , , ) = 35 ( , , ) = 22 ≤ ( , , ) = 22 ( , , ) = 27 ≤ ( , , ) = 27 ( , , ) = 27 ≤ ( , , ) = 35 ( , , ) = 22 ≤ ( , , ) = 35 ( , , ) = 22 ≤ ( , , ) = 22

(25)

( , , ) = 30 ≤ ( , , ) = 35 ( , , ) = 30 ≤ ( , , ) = 30 ( , , ) = 27 ≤ ( , , ) = 35 ( , , ) = 27 ≤ ( , , ) = 27 ( , , ) = 30 ≤ ( , , ) = 35 ( , , ) = 30 ≤ ( , , ) = 30 Maka ( , , ) ≤ ( , , ) untuk ≠ Maka (G4) terpenuhi.

(G5) Akan ditunjukkan Sifat Ketaksamaan Segiempat berlaku pada ( , ) ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 35 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 22 + 30 = 52 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 27 + 30 = 57 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 35 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 22 + 30 = 52 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 27 + 30 = 57 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 22 + 27 = 49 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 35 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 30 + 27 = 57 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 22 + 27 = 49 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 35 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 30 + 27 = 57 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 27 + 22 = 49 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 30 + 22 = 52 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 35 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 27 + 22 = 49 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 30 + 22 = 52 ( , , ) = 35 ≤ ( , , ) + ( , , ) = 35

Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) untuk semua , , , ∈ Maka Sifat Ketaksamaan Segiempat berlaku pada ( , )

Jadi (G5) terpenuhi.

Karena sifat (G1), (G2), (G3), (G4) dan (G5) terpenuhi, maka : × × → adalah sebuah Metrik- dan ( , ) merupakan Ruang Metrik- .

(26)

Definisi 2.5 (Z. Mustafa, H. Obiedat and F. Awawdeh, 2008)

Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- , maka ( , ) disebut Simetri jika ( , , ) = ( , , ) untuk setiap , ∈ .

2.5 Pemetaan Kontraktif dan Pemetaan Ekspansif 2.5.1 Pemetaan Kontraktif

Definisi 2.6 (Suwarno, 2011)

Bila( , ) adalah Ruang Metrik- dan : → adalah pemetaan. Maka disebut Pemetaan Kontraktif jika terdapat konstanta , 0 ≤ < 1 sehingga

( ( ), ( ), ( )) ≤ ( , , ) .

Secara geometri, hal ini berarti bahwa jarak antara peta dari , dan , jaraknya lebih dekat dari jarak antara , dan itu sendiri.

Contoh:

Misal pada Ruang Metrik- ( , ), didefinisikan pemetaan ( , , ) = max{| − |, | − |, | − |} dan : ( , ) → ( , )

dengan ( )= ; 0 ≤ < ; ≤ ≤ 1 untuk = [0,1]

Maka adalah Pemetaan Kontraktif pada Ruang Metrik- ( , ).

2.5.1 Pemetaan Ekspansif

Definisi 2.7 (Z. Mustafa, F. Awawdeh and W. Shatanawi, 2010)

Misal( , ) adalah Ruang Metrik- dan : → adalah pemetaan. Maka disebut Pemetaan Ekspansif jika terdapat konstanta , ≥ 1 sedemikian hingga ( ( ), ( ), ( )) ≥ ( , , ).

Contoh:

Misal pada Ruang Metrik- ( , ), didefinisikan Pemetaan ( , , ) = max{| − |, | − |, | − |} dan : ( , ) → ( , )

(27)

dengan ( )= 5 ; ≤ 3 5 + 2 ; > 3

Maka adalah Pemetaan Ekspansif pada Ruang Metrik- ( , ).

2.6 Titik Tetap

Definisi 2.8 (Suwarno, 2011)

Pemetaan : → disebut mempunyai Titik Tetap jika ( ) = .

Contoh:

( ) = − 3 + 4,

(28)

18 3.1 Sifat-Sifat Ruang Metrik- Lengkap

Berikut akan dijabarkan sifat-sifat dari Ruang Metrik- lengkap

Proposisi 3.1.1 (Z. Mustafa and B. Sims, 2006)

Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- , maka untuk semua , , , ∈ berlaku: (1) Jika ( , , ) = 0 maka = = (2) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) (3) ( , , ) ≤ 2 ( , , ) (4) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) (5) ( , , ) ≤ ( ( , , ) + ( , , ) + ( , , )) (6) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) (7) | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} (8) | ( , , ) − ( , , )| ≤ ( , , ) (9) | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} (10) | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} . Bukti:

(1) Akan dibuktikan jika ( , , ) = 0 maka = = .

Bukti:

Misalkan = = tidak benar. Maka kemungkinan yang ada adalah: (i) ≠ , = , dan ≠ (ii) ≠ , ≠ , dan = (iii) ≠ , ≠ , dan ≠ (iv) = , ≠ , dan ≠

Jika (i) atau (iii) yang terjadi, maka

berdasarkan sifat (G3) ≠ → ( , , ) > 0

berdasarkan sifat (G4) ≠ → ( , , ) ≤ ( , , ) Jadi ( , , ) > 0

Ini bertentangan dengan ( , , ) = 0 Maka (i) dan (iii) tidak mungkin terjadi.

(29)

Jika (ii) yang terjadi, maka

berdasarkan sifat (G3) ≠ → ( , , ) > 0 berdasarkan sifat (G4) ≠ → ( , , ) ≤ ( , , ) berdasarkan sifat (G2) ( , , ) = ( , , )

Maka ( , , ) > 0

Ini bertentangan dengan ( , , ) = 0 Maka (ii) tidak mungkin terjadi. Jika (iv) yang terjadi, maka

berdasarkan sifat (G3) ≠ → ( , , ) > 0 berdasarkan sifat (G4) ≠ → ( , , ) ≤ ( , , ) berdasarkan sifat (G2) ( , , ) = ( , , )

Maka ( , , ) > 0

Ini bertentangan dengan ( , , ) = 0 Maka (iv) tidak mungkin terjadi.

Jadi terbukti bahwa yang mungkin terjadi adalah = = . Terbukti.

(2) Akan dibuktikan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Bukti:

Berdasarkan sifat (G5) untuk sembarang , , dan di berlaku ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Maka dengan mengambil sebagai dan , sebagai , dan tetap, diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Dan berdasarkan sifat (G2) diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ). Terbukti.

(3) Akan dibuktikan ( , , ) = 2 ( , , )

Bukti:

Berdasarkan sifat (G5) untuk sembarang , , dan di berlaku ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Maka dengan mengambil sebagai dan , dan sebagai dan , diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Dan berdasarkan sifat (G2) diperoleh: ( , , ) ≤ 2 ( , , ). Terbukti.

(30)

(4) Akan dibuktikan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Bukti:

Berdasarkan sifat (G5) untuk sembarang , , dan di berlaku ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Sedangkan dari (G2) ( , , ) = ( , , )

Dan berdasarkan sifat (G4) diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) untuk ≠ Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) untuk ≠ .

Bila = , ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ). Terbukti.

(5) Akan dibuktikan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , )

Bukti:

Berdasarkan sifat (4) diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Berdasarkan sifat (G2) diperoleh:

( , , ) = ( , , ) = ( , , ) ( , , ) = ( , , ) dan ( , , ) Maka 3 ( , , ) ≤ 2( ( , , ) + ( , , ) + ( , , )) Jadi ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) . Terbukti. (6) Akan dibuktikan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) Bukti:

Berdasarkan sifat (G5) untuk sembarang , , dan di berlaku ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Berdasarkan sifat (G2) diperoleh: ( , , ) = ( , , )

Berdasarkan sifat (G5) diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Berdasarkan sifat (G2) diperoleh: ( , , ) = ( , , )

Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) Terbukti.

(31)

(7) Akan dibuktikan | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )}

Bukti:

Berdasarkan sifat nilai mutlak yang akan dibuktikan akan terbukti bila dapat dibuktikan:

− max { ( , , ), ( , , )} ≤ ( , , ) − ( , , ) ≤ max { ( , , ), ( , , )} Atau ( , , ) − max { ( , , ), ( , , )} ≤ ( , , )

≤ ( , , ) + max { ( , , ), ( , , )} Sedangkan disini terdapat 2 kasus:

(i) max { ( , , ), ( , , )} = ( , , ) (ii) max { ( , , ), ( , , )} = ( , , ) Untuk kasus (i) harus dibuktikan:

(ia) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) dan (ib) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Untuk (ia) harus dibuktikan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Berdasarkan sifat (G5) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Berdasarkan sifat (G2) dapat diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Sedangkan untuk kasus (i) ( , , ) ≤ ( , , )

Jadi ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) atau ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Jadi (ia) terbukti.

Untuk (ib) gunakan sifat (G5) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Maka berdasarkan sifat (G2) diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) atau ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Jadi (ib) terbukti.

Dengan demikian kasus (i) telah terbukti. Untuk kasus (ii) harus dibuktikan:

(iia) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) dan (iib) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Untuk (iia) gunakan sifat (G5) pula ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka berdasarkan sifat (G2) diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Jadi (iia) terbukti.

(32)

Untuk (iib), gunakan sifat (G5) pula, ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka berdasarkan sifat (G2) diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Sedangkan pada kasus (ii), berlaku ( , , ) ≤ ( , , )

Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka (iib) terbukti.

Dengan demikian kasus (ii) juga telah terbukti.

(8) Akan dibuktikan | ( , , ) − ( , , )| ≤ ( , , )

Bukti:

Berdasarkan (7) | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} Berdasarkan sifat (G4) diperoleh:

( , , ) = ( , , ) ≤ ( , , ) untuk ≠ ( , , ) = ( , , ) ≤ ( , , ) untuk ≠ Maka max { ( , , ), ( , , )} ≤ ( , , ) Maka | ( , , ) − ( , , )| ≤ ( , , ) Terbukti.

(9) Akan dibuktikan | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )}

Bukti:

Berdasarkan (7) | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} Dengan mengganti dengan , dengan , dengan , dan dengan , maka diperoleh: | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} Jadi | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )}

Terbukti.

(10) Akan dibuktikan | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )}

Bukti:

Berdasarkan (7) | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} Dengan mengganti dengan , dan dengan ,

maka diperoleh: | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )} atau | ( , , ) − ( , , )| ≤ max { ( , , ), ( , , )}

(33)

Definisi 3.1.2 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009)

Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- , maka barisan ( ) ⊆ disebut G-Cauchy jika untuk setiap > 0, terdapat ∈ sedemikian hingga ( , , ) < , untuk setiap , , ≥ jika ( , , )→ ( , , ) = 0.

Definisi 3.1.3 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009)

Misal ( , ) adalah Ruang Metrik− , misal ( ) adalah barisan dari titik-titik pada , ( ) dikatakan G-konvergen ke jika , → ( , , ) = 0 artinya untuk setiap > 0, terdapat ∈ sedemikian hingga ( , , ) < untuk setiap , ≥ . Selanjutnya disebut titik limit dari barisan ( ) ditulis

( )

→ .

Proposisi 3.1.4 (Z. Mustafa and B. Sims, 2006)

Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- , maka pernyataan berikut equivalen; (1) ( ) adalah G-konvergen ke

(2) ( , , ) = 0 (3) ( , , ) = 0

Bukti:

(1) ⟶ (2) Dari definisi 3.1.2 karena ( ) adalah G-konvergen ke maka , → ( , , ) = 0 maka → ( , , ) = 0

(2) ⟶ (3) dengan menggunakan sifat (G4) maka ( , , ) = 0 (3) ⟶ (1) karena → ( , , ) = 0 maka ( ) adalah G-konvergen ke . Terbukti.

Proposisi 3.1.5 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009)

Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- , maka pernyataan berikut equivalen; (1) Barisan( ) adalah G-Cauchy.

(2) Untuk setiap > 0, terdapat ∈ sedemikian hingga ( , , ) < untuk setiap , ≥ .

(34)

Bukti:

(1) → (2)Barisan ( ) adalah G-Cauchy, jika untuk setiap > 0 terdapat ∈ sedemikian hingga ( , , ) < untuk setiap , , ≥ jika

( , , )→ ( , , ) = 0. Menurut (G3) ( , , ) ≤ ( , , ) <

Definisi 3.1.6 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009)

Misal ( , ) dan ( , ) adalah Ruang Metrik- dan misal : ( , ) → ( , ) suatu pemetaan, maka dikatakan G-kontinu pada titik ∈ jika diberikan sebarang > 0 terdapat > 0 sedemikian sehingga ( , , ) < ∀ , ∈ , mengakibatkan ( ( ), ( ), ( )) < .

Pemetaan dikatakan G-kontinu pada jika dan hanya jika G-kontinu pada setiap ∈ .

Teorema 3.1.7

Suatu pemetaan kontraktif pada Ruang Metrik- adalah pemetaan kontinu.

Bukti:

Misal ( , ) adalah Ruang Metrik-

Misal : → adalah suatu pemetaan kontraktif. Maka untuk setiap , , ∈ berlaku:

( ( ), ( ), ( )) ≤ ( , , ) untuk 0 ≤ < 1 Ambil sembarang > 0

Pilih = > 0

Jika ( , , ) < = mak ( ), ( ), ( ) ≤ ( , , ) = . ≤ Jadi jika ( , , ) < maka ( ), ( ), ( ) ≤ .

Maka kontinu. Terbukti.

Proposisi 3.1.8 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009)

Misal ( , ) dan ( , ) adalah Ruang Metrik- dan misal : → adalah G-kontinu pada titik ∈ jika dan hanya jika kapanpun ( ) adalah

(35)

Proposisi 3.1.9 (Z. Mustafa and B. Sims, 2006)

Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- , maka pemetaan ( , , ) adalah kontinu bersama (Joinly continuous) di semua 3 variabel.

Bukti:

Misal ( ), ( ), ( ) adalah G-konvergen ke , dan secara bersamaan (respectively)

Berdasarkan sifat (G5) diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ),

Jadi ( , , ) − ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) Dan ( , , ) − ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) Dengan mengkombinasi (3) dari Proposisi 3.1.5 , diperoleh

| ( , , ) − ( , , )| ≤ 2( ( , , ) + ( , , ) + ( , , )) Jadi ( , , ) → ( , , )sepanjang , , → ∞ (proposisi 3.1.8) Terbukti.

Definisi 3.1.10 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009)

Sebuah Ruang Metrik- ( , ) dikatakan Ruang Metrik- lengkap jika setiap barisan G-Cauchy di ( , ) adalah G-konvergen di ( , ).

3.2 Ketunggalan Titik Tetap Untuk Pemetaan Pada Ruang Metrik- Lengkap

Teorema 3.2.1 (Z. Mustafa,F. Awawdeh and W. Shatanawi, 2010)

Misal( , ) adalah Ruang Metrik− lengkap dan misal : → adalah suatu pemetaan. Jika memenuhi syarat berikut:

Untuk setiap , , ∈ berlaku:

( ( ), ( ), ( )) ≤ ( , , ) (3.2.1) dengan ∈ [0, 1), maka mempunyai titik tetap tunggal ∈ dan G-kontinu pada .

(36)

Bukti:

Misal memenuhi syarat (3.2.1) dan misal ∈ adalah sebarang titik,untuk = 1,2, … didefinisikan barisan ( ) dengan

= ( ) = ( ) = ( ) ⋮ = ( ) = ( ). Maka untuk = , ( )= = , ( )= = , ( )= Maka menurut (3.2.1) ( , , ) ≤ ( , , ) (3.2.2) Berarti untuk = 1,2,3, … , ( , , ) ≤ ( , , ) atau ( , , ) ≤ ( , , ) ( , , ) ≤ ( , , ) atau ( , , ) ≤ ( , , ) ⋮ dst ( ), , ≤ , ( ), ( ) atau ( , , ) ≤ , ( ), ( ) Jadi ( , , ) ≤ ( , , ) (3.2.3) Maka, untuk semua , ∈ , < , dengan menggunakan ketaksamaan segiempat dan (3.2.3) maka diperoleh

( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ( , , )

(37)

dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) ⋮ dst ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) Jadi ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) ≤ ( + + ⋯ + ) ( , , ) ≤ ( , , ).

Karena lim → = 0 untuk 0 < < 1 Maka lim → = 0

Maka lim( , )→ ( , , ) = 0

Untuk , , ∈ berdasarkan (G5) diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Karena lim( , )→ ( , , ) = 0 dan lim( , )→ ( , , ) = 0 Maka lim( , , )→ ( , , ) = 0

Jadi ( ) adalah barisan G-Cauchy.

Dengan menggunakan sifat lengkap dari ( , ), maka terdapat ∈ sedemikian hingga ( ) merupakan G-konvergen ke .

Misalkan ( ) ≠ maka:

, ( ), ( ) ≤ ( , , )

dengan mengambil limit sepanjang → ∞ dan kenyataan bahwa pemetaan G kontinu pada semua variabelnya, maka diperoleh: , ( ), ( ) ≤

( , , ).

(38)

Jadi adalah titik tetap untuk pemetaan .

Untuk membuktikan ketunggalan, Andaikan terdapat dengan ≠ sedemikian hingga ( )= maka menurut (3.2.1) mengakibatkan ( , , ) ≤ ( , , ) Jadi ( , , ) ≤ ( , , )mengakibatkan = jika 0 ≤ < 1.

Jadi tunggal.

Untuk melihat bahwa adalah G-kontinu pada ,

Misal ( ) ⊆ barisan, sedemikian hingga lim ( ) = , maka: ( ), ( ), ( ) ≤ ( , , )

Dengan mengganti ( )= , diperoleh

( ), , ( ) ≤ ( , , ) (3.2.4) diperoleh lim ( ( ), , ( )) = 0

Sesuai proposisi(3.1.4 ) maka barisan ( ) adalah G-konvergen ke = ( ). Sesuai proposisi (3.1.8 ) mengakibatkan adalah G-kontinu pada .

Teorema Akibat 3.2.2 (Penelitian)

Misal( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap dan misal : → adalah pemetaan. Jika memenuhi syarat:

Untuk suatu ∈ dan untuk setiap , , ∈ berlaku:

( ( ), ( ), ( )) ≤ ( , , ) (3.2.5) dengan ∈ [0, 1), maka mempunyai titik tetap tunggal ∈ dan G-kontinu pada .

Bukti:

Dari teorema 3.2.1, diperoleh mempunyai titik tetap tunggal ∈ , sedemikian hingga ( ) = . Tetapi ( ) = ( ) = ( ) =

( ) . Jadi ( ) adalah titik tetap yang lain untuk dan karena ketunggalan ( )= .

Dari teorema 3.1.7, bahwa suatu pemetaan kontraktif pada Ruang Metrik- adalah pemetaan kontinu, maka G-kontinu pada .

(39)

Teorema 3.2.3 (Z. Mustafa,F. Awawdeh and W. Shatanawi, 2010)

Misal( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap dan misal : → adalah suatu pemetaan. Jika memenuhi syarat berikut:

Untuk setiap , , ∈ berlaku:

( ( ), ( ), ( ) ≤ ( , , ) (3.2.6) dengan ∈ [0, 1), maka mempunyai titik tetap tunggal ∈ dan G-kontinu pada .

Bukti:

Misal memenuhi syarat (3.2.6) dan misal ∈ adalah sebarang titik, untuk = 1,2, … didefinisikan barisan ( ) dengan

= ( ) = ( ) = ( ) ⋮ = ( ) = ( ). Maka untuk = , ( )= = , ( )= = , ( )= Maka menurut (3.2.6) ( , , ) ≤ ( , , ) (3.2.7) Berarti untuk = 1,2,3, … , ( , , ) ≤ ( , , ) atau ( , , ) ≤ ( , , ) ( , , ) ≤ ( , , ) atau ( , , ) ≤ ( , , ) ⋮ dst ( ), , ≤ , ( ), ( ) atau ( , , ) ≤ , ( ), ( ) Jadi ( , , ) ≤ ( , , ) (3.2.8) Maka, untuk semua , ∈ , < , dengan menggunakan ketaksamaan segiempat dan (3.2.8) maka diperoleh

(40)

( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) ⋮ dst ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) Jadi ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) ≤ ( + + ⋯ + ) ( , , ) ≤ ( , , ).

Karena lim = 0 untuk 0 < < 1 Maka lim → = 0

Maka lim( , )→ ( , , ) = 0

Untuk , , ∈ berdasarkan (G5) diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Karena lim( , )→ ( , , ) = 0 dan lim( , )→ ( , , ) = 0 Maka lim( , , )→ ( , , ) = 0

Jadi ( ) adalah barisan G-Cauchy.

Dengan menggunakan sifat lengkap dari ( , ), maka terdapat ∈ sedemikian hingga ( ) merupakan G-konvergen ke .

(41)

Misalkan ( ) ≠ maka:

, ( ), ( ) ≤ G( , , )

dengan mengambil limit sepanjang → ∞ dan kenyataan bahwa pemetaan G kontinu pada semua variabelnya, maka diperoleh: , ( ), ( ) ≤

( , , ).

Ini kontradiksi jika 0 ≤ < 1. Maka = ( ). Jadi adalah titik tetap untuk pemetaan .

Untuk membuktikan ketunggalan, Andaikan terdapat dengan ≠ sedemikian hingga ( )= maka menurut (3.2.6) mengakibatkan ( , , ) ≤ ( , , ) Jadi ( , , ) ≤ ( , , ) mengakibatkan = jika 0 ≤ < 1.

Jadi tunggal.

Untuk melihat bahwa adalah G-kontinu pada ,

Misal ( ) ⊆ barisan, sedemikian hingga lim ( ) = , maka: ( ), ( ), ( ) ≤ ( , , )

Dengan mengganti ( )= , diperoleh:

( ), , ( ) ≤ ( , , ) (3.2.9) diperoleh lim → ( ( ), , ( )) = 0

Sesuai proposisi(3.1.4 ) maka barisan ( ) adalah G-konvergen ke = ( ). Sesuai proposisi (3.1.8 ) mengakibatkan adalah G-kontinu pada .

Teorema Akibat 3.2.4 (Penelitian)

Misal( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap dan misal : → adalah pemetaan. Jika memenuhi syarat berikut:

Untuk suatu ∈ dan untuk setiap , ∈ berlaku:

( ( ), ( ), ( )) ≤ ( , , ) (3.2.10) dengan ∈ [0, 1), maka mempunyai titik tetap tunggal ∈ dan adalah G-kontinu pada .

Bukti:

Dari teorema 3.2.3, diperoleh mempunyai titik tetap tunggal ∈ , sedemikian hingga ( ) = . Tetapi ( ) = ( ) = ( ) =

(42)

( ) . Jadi ( ) adalah titik tetap yang lain untuk dan karena ketunggalan ( )= .

Dari teorema 3.1.7, bahwa suatu pemetaan kontraktif pada Ruang Metrik- adalah pemetaan kontinu, maka G-kontinu pada .

Teorema 3.2.5 (Z. Mustafa and B. Sims, 2009)

Misal( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap dan misal : → adalah suatu pemetaan. Jika memenuhi syarat berikut:

Untuk setiap , , ∈ berlaku:

( ), ( ), ( ) ≤ max ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ( , , ), , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) ⎭⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (3.2.11)

dengan ∈ 0, , maka mempunyai titik tetap tunggal ∈ dan G-kontinu pada .

Bukti:

Misal memenuhi syarat (3.2.11) dan misal ∈ adalah sebarang titik, untuk = 1,2, … didefinisikan barisan ( ) dengan

= ( ) = ( ) = ( ) ⋮ = ( ) = ( ). Maka untuk = , ( )= = , ( )= = , ( )= Maka menurut (3.2.11) ( , , ) ≤ max ⎩ ⎨ ⎧ ( , ( , ), ( , , ), , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ) ⎭⎬ ⎫

(43)

Maka ( , , ) ≤ { ( , , ), ( , , ), ( , , )} Maka ( , , ) ≤ max{ ( , , ), ( , , )}(3.2.12) Berdasarkan sifat (G5), ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka (3.2.12) menjadi ( , , ) ≤ max { ( , , ) + ( , , ), ( , , )} Sedangkan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka ( , , ) ≤ { ( , , ) + ( , , )} Ini mengakibatkan ( , , ) ≤ ( , , ) (3.2.13) Misal = , karena ∈ 0, , 0 ≤ < 1 − < 1 − ≤ 1 − 0 < 1 − ≤ 1 Karena 0 ≤ < dan < 1 − ≤ 1 Maka < < Maka 0 < < 1 maka 0 < < 1.

Dan pertaksamaan (3.2.14) menjadi ( , , ) ≤ ( , , ) Berarti untuk = 1,2,3, … , ( , , ) ≤ ( , , ) atau ( , , ) ≤ ( , , ) ( , , ) ≤ ( , , ) atau ( , , ) ≤ ( , , ) ⋮ dst ( ), , ≤ , ( ), ( )

(44)

atau ( , , ) ≤ , ( ), ( )

Jadi ( , , ) ≤ ( , , ) (3.2.15) Maka, untuk semua , ∈ , < , dengan menggunakan ketaksamaan

segiempat dan (3.2.15) maka diperoleh

( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) ⋮ dst ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) Jadi ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) ≤ ( + + ⋯ + ) ( , , ) ≤ ( , , ).

Karena lim → = 0 untuk 0 < < 1 Maka lim → = 0

Maka lim( , )→ ( , , ) = 0

Untuk , , ∈ berdasarkan (G5) diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

(45)

Maka lim( , , )→ ( , , ) = 0 Jadi ( ) adalah barisan G-Cauchy.

Dengan menggunakan sifat lengkap dari ( , ), maka terdapat ∈ sedemikian hingga ( ) merupakan G-konvergen ke .

Misalkan ( ) ≠ maka: , ( ), ( ) ≤ max ( , , ), ( , , ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , ( , , ) Maka , ( ), ( ) ≤ max ( , , ), ( , , ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) , ( , , )

dengan mengambil limit sepanjang → ∞ dan kenyataan bahwa pemetaan G kontinu pada semua variabelnya, maka diperoleh:

, ( ), ( ) ≤ max ( , , ), ( , , ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) , ( , , ) Maka , ( ), ( ) ≤ ( , ( ), ( )).

Ini kontradiksi jika 0 ≤ < . Maka = ( ). Jadi adalah titik tetap untuk pemetaan .

Untuk membuktikan ketunggalan, andaikan terdapat dengan ≠ sedemikian hingga ( )= maka menurut (3.2.11) mengakibatkan ( , , ) ≤

max ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), Maka ( , , ) ≤ max{ ( , , ), ( , , )} maka ( , , ) ≤ ( , , ).

dengan cara yang sama diperoleh ( , , ) ≤ ( , , )

Jadi ( , , ) ≤ ( , , )mengakibatkan = jika 0 ≤ < . Jadi tunggal.

Untuk melihat bahwa adalah G-kontinu pada ,

(46)

( ), ( ), ( ) ≤ max ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ( , , ), ( , ( ), ( )), , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) ⎭⎪ ⎬ ⎪ ⎫ Maka ( ), ( ), ( ) ≤ max ( , , ), ( , ( ), ( )), , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , ( , ( ), ( ))

Dengan mengganti ( )= , diperoleh

( ), , ( ) ≤ max ( , , ), ( , ( ), ( )), ( , , ), ( , , ), ( , ( ), ( )) Maka ( ), , ( ) ≤ max ( , , ), , ( ), ( ) , ( , , ), ( , ( ), ( )) Menurut sifat (G2) ( ), , ( ) = ( , ( ), ( )) Maka ( ), , ( ) ≤ max ( , , ), , ( ), ( ) , ( , , ) Berdasarkan (G5) , ( ), ( ) ≤ ( , , ) + ( , ( ), ( )) Maka ( ), , ( ) ≤ max ( , , ), ( , , ) + ( , ( ), ( )) ( , , ) Sedangkan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , ( ), ( )) Maka ( ), , ( ) ≤ max ( , , ), ( , , ) + ( , ( ), ( )) (3.2.16) Dan (3.2.16) mengakibatkan beberapa kasus:

(1) ( ), , ( ) ≤ ( , , ), (2) ( ( ), , ( ) ≤ ( , , ), (3) ( ( ), , ( )) ≤ ( , , )

Untuk masing-masing kasus diperoleh lim → ( ( ), , ( )) = 0

Sesuai proposisi(3.1.4) maka barisan ( ) adalah G-konvergen ke = ( ). Sesuai proposisi (3.1.8) mengakibatkan adalah G-kontinu pada .

(47)

Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap dan misal : → adalah pemetaan. Jika memenuhi syarat berikut:

Untuk suatu ∈ dan untuk setiap , , ∈ berlaku: ( ), ( ), ( ) ≤ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ( , , ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (3.2.17)

dengan ∈ 0, , maka mempunyai titik tetap tunggal ∈ dan G-kontinu pada .

Bukti:

Dari teorema 3.2.5, diperoleh mempunyai titik tetap tunggal ∈ , sedemikian hingga ( ) = . Tetapi ( ) = ( ) = ( ) =

( ) . Jadi ( )adalah titik tetap yang lain untuk dan karena ketunggalan ( )= .

Dari teorema 3.1.7, bahwa suatu pemetaan kontraktif pada Ruang Metrik- adalah pemetaan kontinu, maka G-kontinu pada .

Teorema 3.2.7 (Penelitian)

Misal( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap dan misal : → adalah pemetaan. Jika memenuhi syarat berikut:

Untuk setiap , , ∈ berlaku:

( ), ( ), ( ) ≤ max ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ( , , ), , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) .⎭⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (3.2.18)

dengan ∈ 0, , maka mempunyai titik tetap tunggal ∈ dan G-kontinu pada .

Bukti:

Misal memenuhi kondisi (3.2.18) dan misal ∈ adalah sebarang titik, dan didefinisikan barisan ( )dengan

(48)

= ( ) = ( ) = ( ) ⋮ = ( ) = ( ). Maka untuk = , ( )= = , ( )= = , ( )= Maka menurut (3.2.18) ( , , ) ≤ max ⎩ ⎨ ⎧ ( , ( , ), ( , , ), , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ⎭⎬ ⎫ Maka ( , , ) ≤ { ( , , ), ( , , ), ( , , )} Maka ( , , ) ≤ max{ ( , , ), ( , , )}(3.2.19) Menurut (G5), ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka (3.2.19) menjadi ( , , ) ≤ max { ( , , ) + ( , , ), ( , , )} Sedangkan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka ( , , ) ≤ { ( , , ) + ( , , )} Ini mengakibatkan ( , , ) ≤ ( , , ) (3.2.20) Misal = , karena ∈ 0, , 0 ≤ < 1 − < 1 − ≤ 1 − 0 < 1 − ≤ 1 Karena 0 ≤ < dan < 1 − ≤ 1 Maka < < Maka 0 < < 1

(49)

maka 0 < < 1.

Dan pertaksamaan (3.2.20) menjadi ( , , ) ≤ ( , , ) Berarti untuk = 1,2,3, … , ( , , ) ≤ ( , , ) atau ( , , ) ≤ ( , , ) ( , , ) ≤ ( , , ) atau ( , , ) ≤ ( , , ) ⋮ dst ( ), , ≤ , ( ), ( ) atau ( , , ) ≤ , ( ), ( ) Jadi ( , , ) ≤ ( , , ) (3.2.21) Maka, untuk semua , ∈ , < , dengan menggunakan ketaksamaan

segiempat dan (3.2.21) maka diperoleh

( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) ⋮ dst ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , )

(50)

≤ ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) Jadi ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

+ ( , , ) + ⋯ + ( , , ) ≤ ( + + ⋯ + ) ( , , ) ≤ ( , , ).

Karena lim = 0 untuk 0 < < 1 Maka lim → = 0

Maka lim( , )→ ( , , ) = 0

Untuk , , ∈ berdasarkan (G5) diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Karena lim( , )→ ( , , ) = 0 dan lim( , )→ ( , , ) = 0 Maka lim( , , )→ ( , , ) = 0

Jadi ( ) adalah barisan G-Cauchy.

Dengan menggunakan sifat lengkap dari ( , ), maka terdapat ∈ sedemikian hingga ( ) merupakan G-konvergen ke .

Misalkan ( ) ≠ maka: , ( ), ( ) ≤ max ( , , ), ( , , ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , ( , , ), , ( ), ( ) Maka , ( ), ( ) ≤ max ( , , ), ( , , ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) , ( , , ) dengan mengambil limit sepanjang → ∞ dan kenyataan bahwa pemetaan G kontinu pada semua variabelnya, maka diperoleh:

, ( ), ( ) ≤ max ( , , ), ( , , ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) , ( , , ) Maka , ( ), ( ) ≤ ( , ( ), ( )).

Ini kontradiksi jika 0 ≤ < . Maka = ( ). Jadi adalah titik tetap untuk pemetaan .

(51)

Untuk membuktikan ketunggalan, Andaikan terdapat dengan ≠ sedemikian hingga ( )= maka menurut (3.2.18) diperoleh:

( , , ) ≤ max ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ) Maka ( , , ) ≤ max{ ( , , ), ( , , )} Maka ( , , ) ≤ ( , , ).

dengan cara yang sama diperoleh ( , , ) ≤ ( , , )

Jadi ( , , ) ≤ ( , , )mengakibatkan = jika 0 ≤ < . Jadi tunggal.

Untuk melihat bahwa adalah G-kontinu pada ,

Misal ( ) ⊆ barisan, sedemikian hingga lim ( ) = , maka:

( ), ( ), ( ) ≤ max ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ( , , ), ( , ( ), ( )), , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) ⎭⎪ ⎬ ⎪ ⎫ Maka ( ), ( ), ( ) ≤ max ( , , ), ( , ( ), ( )), , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , Dengan mengganti ( )= , diperoleh

( ), , ( ) ≤ max ( , , ), ( , ( ), ( )), ( , , ), ( , ( ), ( )) ( , , ) Maka ( ), , ( ) ≤ max ( , , ), , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , ( , , ) Menurut sifat (G2) ( ), , ( ) = ( , ( ), ( )) Maka ( ), , ( ) ≤ max ( , , ), , ( ), ( ) , ( , , ) Berdasarkan (G5) , ( ), ( ) ≤ ( , , ) + ( , ( ), ( )) Maka ( ), , ( ) ≤ max ( , , ), ( , , ) + ( , ( ), ( )) ( , , ) Sedangkan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , ( ), ( ))

(52)

Maka ( ), , ( ) ≤ max ( , , ),

( , , ) + ( , ( ), ( )) (3.2.22) Dan (3.2.22) mengakibatkan beberapa kasus:

(1) ( ), , ( ) ≤ ( , , ), (2) ( ( ), , ( ) ≤ ( , , ), (3) ( ( ), , ( )) ≤ ( , , )

Untuk masing-masing kasus diperoleh lim ( ( ), , ( )) = 0

Sesuai proposisi(3.1.4) maka barisan ( ) adalah G-konvergen ke = ( ). Sesuai proposisi (3.1.8) mengakibatkan adalah G-kontinu pada .

Teorema Akibat 3.2.8 (Penelitian)

Misal ( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap dan misal : → adalah pemetaan. Jika memenuhi syarat berikut:

Untuk suatu ∈ dan untuk setiap , , ∈ berlaku: ( ), ( ), ( ) ≤ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ( , , ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) ⎭⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (3.2.23)

dengan ∈ 0, , maka mempunyai titik tetap tunggal ∈ dan G-kontinu pada .

Bukti:

Dari teorema 3.2.7, diperoleh mempunyai titik tetap tunggal ∈ , sedemikian hingga ( ) = . Tetapi ( ) = ( ) = ( ) =

( ) . Jadi ( )adalah titik tetap yang lain untuk dan karena ketunggalan ( )= .

Dari teorema 3.1.7, bahwa suatu pemetaan kontraktif pada Ruang Metrik- adalah pemetaan kontinu, maka G-kontinu pada .

Teorema 3.2.9 (Penelitian)

Misal( , ) adalah Ruang Metrik- lengkap dan misal : → adalah pemetaan. Jika memenuhi syarat berikut:

(53)

Untuk setiap , , ∈ berlaku: ( ), ( ), ( ) ≤ max ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ ( , , ), , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , ( , ( ), ( ), ( , ( ), ( ), ( , ( ), ( ))⎭⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (3.2.24)

dengan ∈ 0, , maka mempunyai titik tetap tunggal ∈ dan G-kontinu pada .

Bukti:

Misal memenuhi kondisi (3.2.24) dan misal ∈ adalah sebarang titik, dan didefinisikan barisan ( ) dengan

= ( ) = ( ) = ( ) ⋮ = ( ) = ( ). Maka untuk = , ( )= = , ( )= = , ( )= Maka menurut (3.2.24) ( , , ) ≤ max ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ ( ,( , ), ( , , ), , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ) ( , , ), ( , , ) ( , , ) ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ Maka ( , , ) ≤ max{ ( , , ), ( , , ), ( , , )} Maka ( , , ) ≤ max { ( , , ), ( , , )} (3.2.25) Menurut (G5), ( , , ) ≤ { ( , , ) + ( , , )} Maka (3.2.25) menjadi ( , , ) ≤ max { ( , , ) + ( , , ), ( , , )}

(54)

Sedangkan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka ( , , ) ≤ { ( , , ) + ( , , )} Ini mengakibatkan ( , , ) ≤ ( , , ) (3.2.26) Misal = , karena ∈ 0, , 0 ≤ < 1 − < 1 − ≤ 1 − 0 < 1 − ≤ 1 Karena 0 ≤ < dan < 1 − ≤ 1 Maka < < Maka 0 < < 1 maka 0 < < 1.

Dan pertaksamaan (3.2.26) menjadi ( , , ) ≤ ( , , ) Berarti untuk = 1,2,3, … , ( , , ) ≤ ( , , ) atau ( , , ) ≤ ( , , ) ( , , ) ≤ ( , , ) atau ( , , ) ≤ ( , , ) ⋮ dst ( ), , ≤ , ( ), ( ) atau ( , , ) ≤ , ( ), ( ) Jadi ( , , ) ≤ ( , , ) (3.2.27) Maka, untuk semua , ∈ , < , dengan menggunakan ketaksamaan

segiempat dan (3.2.27) maka diperoleh

( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

(55)

dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) ⋮ dst ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) dan ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) Maka ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) Jadi ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , ) + ( , , ) + ⋯ + ( , , ) ≤ ( + + ⋯ + ) ( , , ) ≤ ( , , ).

Karena lim = 0 untuk 0 < < 1 Maka lim = 0

Maka lim( , )→ ( , , ) = 0

Untuk , , ∈ berdasarkan (G5) diperoleh: ( , , ) ≤ ( , , ) + ( , , )

Karena lim( , )→ ( , , ) = 0 dan lim( , )→ ( , , ) = 0 Maka lim( , , )→ ( , , ) = 0

Jadi ( ) adalah barisan G-Cauchy.

Dengan menggunakan sifat lengkap dari ( , ), maka terdapat ∈ sedemikian hingga ( ) merupakan G-konvergen ke .

(56)

, ( ), ( ) ≤ max ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ ( , , ), ( , , ), , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , , ( ), ( ) , ( , , ), , ( ), ( ) , ( , , ), , ( ), ( ) ⎭⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎫ Maka , ( ), ( ) ≤ max ( , , ), ( , , ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) , ( , , )

dengan mengambil limit sepanjang → ∞ dan kenyataan bahwa pemetaan G kontinu pada semua variabelnya, maka diperoleh:

, ( ), ( ) ≤ max ( , , ), ( , , ), , ( ), ( ) , ( ), ( ) , ( , , ) Maka , ( ), ( ) ≤ ( , ( ), ( )).

Ini kontradiksi jika 0 ≤ < . Maka = ( ). Jadi adalah titik tetap untuk pemetaan .

Untuk membuktikan ketunggalan, andaikan terdapat dengan ≠ sedemikian hingga ( )= maka menurut (3.2.24) mengakibatkan ( , , ) ≤

max ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ) Maka ( , , ) ≤ max{ ( , , ), ( , , )} maka ( , , ) ≤ ( , , ).

dengan cara yang sama diperoleh ( , , ) ≤ ( , , )

Jadi ( , , ) ≤ ( , , )mengakibatkan = jika 0 ≤ < . Jadi tunggal.

Untuk melihat bahwa adalah G-kontinu pada ,

Referensi

Dokumen terkait

Berdasarkan latar belakang dan pelaksanaan kegiatan di atas dapat disimpulkan sebagai berikut: Pelaksanaan pengabdian dilaksanakan dalam lima tahapan yaitu observasi, sosialisasi dan

Kepala DinaslBadan » Garnbaran umum keadaanPAD dikota Baubau selama 5 tahun terakhir Garnbaran umum keseluruhan jenis pajak yang belum memenuhi target sebagaimana yang diharapkan

Digitize menggunakan strategi promosi via internet yaitu media sosial, dengan penekanan pada pembuatan konten yang menarik dan up-to-date serta dibagikan pada waktu yang

Dari perhitungan estimasi biaya diatas sebagai asumsi biaya awal proyek di tahun 2018 di dapat jumlah biaya sebesar Rp 1.174.985.714, kemudian dibuat perhitungan nilai

Supriyono Agus, 2011, Pengaruh Pemberian Madu terhadap Gambaran Histopatologi Lambung Studi pada Tikus Putih Jantan Galur Wistar yang Diinduksi Indometasin, Sains

Untuk membuat tampilan yang lebih lengkap, Anda dapat menggabungkan layout manager yang Untuk membuat tampilan yang lebih lengkap, Anda dapat menggabungkan layout manager yang

Kajian ini dilakukan untuk mengetahui respon larva terhadap suhu dan salinitas yang berbeda, sehingga dapat diketahui jumlah energi yang dialokasikan serta tingkat konsumsi

Tidak dikerjakan lebih lanjut selain dicanai panas, lain dari pada dicanai keempat sisinya atau dilewatkan pada kotak tertutup dengan lebar melebihi 150 mm dan ketebalan tidak