PENGURAIAN PENDAPATAN GABUNGAN DUA PRODUK DARI SUATU PERUSAHAAN

PENGURAIAN PENDAPATAN GABUNGAN DUA

PRODUK DARI SUATU PERUSAHAAN

Thomas J. Kakiay

Fakultas Ilmu Komputer Universitas Gunadarma Jl. Margonda 100 Pondok Cina Depok

ABSTRAK

Penguraian pendapatan atau pendapatan dalam usaha kehidupan sehari-hari dari suatu perusahaan sangat tergantung juga pada model optimasi yang terbaik untuk digunakan.

Distribusi marginal dapat digunakan untuk memodelkan dan menguraikan pendapatan gabungan. Distribusi probabilitas marginal dapat menjelaskan beberapa variabel acak untuk menentukan satu nilai angka tertentu dari distribusi marginal tersebut.

Gabungan pendapatan dua produk A dan B dari suatu perusaha-an dapat diuraikperusaha-an melalui fungsi gabungperusaha-an probabilitas bivariat pada semua nilai yang dapat diperhitungkan. Pendapatan dari masing-ma-sing produk dengan demikian dapat diperhitungkan dengan cara oenguraian melalui distribusi gabungan pada fungsi densitas masing-masing.

Penguraian distribusi marginal gabungan pendapatan dari kedua produk selanjutnya akan bermanfaat dalam penentuan nilai rata-rata (ekspektasi) dan internal kepercayaan dari gabungan pendapatan kedua produk tersebut.

Kata Kunci : Gabungan Pendapatan, Distribusi Marginal PENDAHULUAN

Dalam kehidupan sehari-hari pe-rusahaan besar maupun kecil akan selalu membahas dan meneliti pen-dapatan dari hasil jerih payah yang sudah dapat dilaksanakan.

Pendapatan yang dihasilkan pe-rusahaan dari produk-produknya da-pat juga dikaitkan dan diuraikan me-lalui suatu distribusi probabilitas mar-ginal yang dapat menguraikan ba-nyaknya variabel acak untuk

menen-tukan satu nilai angka tertentu dari distribusi marginal tersebut.

Sebagai variabel acak diskret, x dan y dapat diuraikan melalui ga-bungan dari fungsi probabilitas biva-riat pada semua nilai yang dimung-kinkan dan akan dapat dijabarkan se-perti variabel random yang dihasilkan dari probabilitas univariat fung-si x.

Demikian juga apabila x dan y adalah variabel random kontinu, ma-ka proses kumulatif dengan integral-nya melalui fungsi probabilitas

densitas bivariat yang diperoleh dari semua nilai yang mungkin dapat di-hasilkan dari univariat probabilitas densitas fungsi x.

PEMBAHASAN

Penguraian fungsi distribusi pro-babilitas densitas bivariate

merupa-kan gabungan dari dua distribusi den-sitas sebagai variabel random x dan y. Variabel random x dan y ini meru-pakan produk 1 dan 2.

Beberapa definisi akan diperlu-kan sebelum melakudiperlu-kan penguraian.

1. Definisi – I

Diberikan x dan y adalah dua variabel random diskret dengan fungsi gabungan probabilitas: p (x, y), maka fungsi probabilitas marginal dari x dan y akan dirumuskan dengan :

pX (x) =

∑

y

y

x

p

(

,

)

pY (y) =

∑

x

y

x

p

(

,

)

2. Definisi – II

Diberikan X dan Y adalah dua variabel random kontinu dengan fungsi gabungan probabilitas densitas f(x, y), maka fungsi probabilitas densitas marginal dari X dan Y dirumuskan dengan :

fx(x) =

∫

∞ ∞ −

dy

y

x

f

(

,

)

fy(y) =

∫

∞ ∞ −

dx

y

x

f

(

,

)

Dengan demikian akan dapat disusun variabel random gabungan kontinu yang menunjukan fungsi distribusi kumulatif [F(x,y)]. F (x,y) disebut juga dengan distribusi kumulatif marginal dari x dan y. Fungsi distribusi kumulatif ini dapat diuraikan sebagai berikut:

p(X ≤ x) = Fx(x) =

∫ ∫

∞ − ∞ ∞ − x x

t

y

dy

dt

f

(

,

)

(1) (2)

Fx(x) =

∫

∞ − x x

t

dt

f

(

)

(3) = F(x, ∞) p(Y ≤ y) = Fy(y) =

∫ ∫

∞ − ∞ ∞ − y

dt

dx

t

x

f

(

,

)

Fy(y) =

∫

∞ − y y

t

dt

f

(

)

(4) = F(∞, y)

Distribusi kumulatif marginal dari x

dapat diuraikan dengan menyata-kan y sebagai batas atas dan di dalam fungsi distribusi gabungan dari x dan y. Demikian juga dapat dilakukan untuk variabel random y dalam fungsi distribusi margi-nal.

Dalam kejadian statistikal in-dependen apabila kedua variabel random x dan y bergabung dalam probabilitas gabungan distribusi adalah sama dengan hasil dari probabilitas marginal kedua dis-tribusi tersebut, dan juga harus dapat dinyatakan sebagai dua variabel random yang indepen-den. Dengan demikian perlu juga konsistensi dalam pengertian un-tuk statistikal independen dari variabel random dengan Joint Probabilitas P(a < x < b, c < y < d) adalah sama dengan hasilnya dari probabilitas individual yaitu : P(a < x < b) dan P(c < y < d) sebagai pengertian lainnya.

3. Definisi – III

Diberikan x dan y adalah dua va-riabel random yang mempunyai distribusi gabungan dapat dikata-kan sebagai bebas secara statis-tik bila dan hanya bila :

p(x, y) = pX(x) . pY(y) → untuk x

dan y → Diskret

f(x, y) = fX(x) . fY(y) → untuk x

dan y → Kontinu

Untuk semua x dan y, dimana p(x, y) dan f(x, y) secara berturut-turut adalah probabilitas bivariate dan fungsi densitas dinyatakan bahwa px(x), py(y), fx(x) dan fY(y)

adalah probabiltas marginal atau-pun fungsi-fungsi densitas yang sebenarnya.

Selanjutnya bila diberikan va-riabel random kontinu dengan fungsi gabungan probabilitas densitasnya f(x, y), maka untuk nilai ekspektasi dari suatu fungsi linear dari x dan y dapat dirumus-kan dengan:

E(ax + by) =

∫ ∫

∞ ∞ − ∞ ∞ −

+

by

f

x

y

dy

dx

ax

).

(

,

)

(

=

∫

∫

∫ ∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ⋅ + ⋅ f x y dydx b y f x y dydx x a ( , ) ( , ) = aE(x) + bE(y) (5)

Rumus (5) menunjukkan bahwa variabel x dan y mempunyai nilai a dan b yang konstan. Varians dari fungsi linear x dan y adalah :

Var(ax + by) = E(ax + by)2 _{– [E(ax + by)]}2

= E(a2_x2 _{+ 2abxy + b}2_y2_{) – [aE(x) + bE(y)]}2

= a2_E(x2_{) + 2abE (x,y) + b}2 _E(y2_{) – a}2_E(x2_{) - 2abE (x) E(y) - b}2

[E(y)]2

= a2_{var (x) + b}2_{var (y) + 2a.b Cov(x,y)}

= 0

Proses perumusan ini akan menghasilkan 2 a.b Cov(x,y) = 0, karena kedua variabel random x dan y adalah bebas secara sta-tistik yang dapat dirumuskan menjadi :

Var(ax + by) = a2 _{Var(x) + b}2 _Var(y)

(6)

• Ekspektasi dari dua variabel random gabungan distribusi probabilitas.

•

Varians dari dua variabel ran-dom gabungan distribusi pro-babilitas.

Rumus (5) digunakan untuk menghitung ekspektasi dua varia-bel random gabungan distribusi probabilitas. Persamaan (6) digu-nakan untuk menghitung varians

dua variabel random gabungan distribusi probabilitas.

ILUSTRASI

Penggabungan distribusi probabilitas marginal ini telah digunakan untuk menghitung pendapatan dari 2 produk yang dihasilkan oleh suatu perusahaan. Kedua produk disimbol-kan sebagai A dan B. Berdasardisimbol-kan pengalaman beberapa bulan sebe-lumnya volume penjualan produk A tidak mempunyai pengaruh sama sekali pada volume penjualan produk B. Pendapatan bulanan dari produk A sebesar 10% dalam bentuk dolar, dan 15% dalam bentuk dolar dari produk B. Selanjutnya diketahui rata-rata penjualan produk A sebesar $10.000 per bulan, dengan standar deviasinya $ 2.000 dan demikian juga rata-rata penjualan dari produk B sebesar $ 8.000 per bulan dengan standar deviasi sebesar $ 1.000. Data ini akan digunakan untuk me-nentukan rata-rata gabungan

distri-busi marjinal penjualan produk A dan B, varians dam standar deviasi, serta selang kepercayaan untuk x = 5%. Penentuan rata-rata gabungan pen-dapatan dilakukan menggunakan persamaan (5). Data ekspektasi pen-dapatan per unit produk A dan B telah diketahui dan diringkaskan sebagai berikut:

E(x) = 10.000 ; E(y) = 8.000 S.D (x) = 2.000 ; S.D (y) = 1.000 a = 0,10 ; b = 0,15

Nilai rata-rata fungsi linearnya adalah:

E(ax + by) = aE(x) + bE(y)

= 0,10(10.000) + 0,15(8.000)

= 1.000) +1.200 = 2.200

Perhitungan ini menunjukkan bahwa rata-rata gabungan pendapatan pro-duk A dan B perusahaan tersebut adalah US$ 2.200.

Standar deviasi pendapatan gabung-an produk A dgabung-an B dihitung menggu-nakan rumus (6).

Var(ax + by) = a2 _{Var(x) + b}2 _Var(y)

= (0,10)2 _(2.000)2 _{+ (0,15)}2 _(1.000)2

= (0,01) (4.000.000) + (0,0225) (1.000.000) = 40.000 + 22.500

= 62.500

Varians pendapatan gabungan ada-lah US$ 62.500. Sedangkan standar deviasi adalah 250

Selang kepercayaan rata-rata ga-bungan pendapatan dihitung meng-gunakan rumus di bawah. Rumus itu daoat digunakan dengan asumsi data yang diperoleh berdistribusi normal. Data yang dikumpulkan cukup ba-nyak (n ≥ 30), dengan demikian asumsi kenormalan dipenuhi.

C.I. =

X

±

(

σ

⋅

Z

)

C.I. = 2.200 ± (250 ∗ 0,96) C.I. = 2.200 ± 240

Selang kepercayaan bagi rata-rata gabungan pendapatan kedua produk adalah US$ 1.980 – US$ 2.440.

PENUTUP

Pendapatan gabungan dua pro-duk dapat dihitung menggunakan prinsip fungsi distribusi probabilitas densitas bivariaat. Fungsi distribusi probabilitas densitas bivariat dibentuk dari fungsi probabilitas marjinal dan fungsi probabilitas densitas marjinal.

DAFTAR PUSTAKA

George C. Canavos. 1984. Applied

Probability and Statistical Me-thods. Little, Brown and

Com-pany. Copyright and Printed Bos-ton, USA.

Lawrence L. Lapin. 1973. Statistic

For Modern Business Deci-sions. Harcourt Brace.

Jovano-vich Inc. New York, USA.

Lyman Ott, 1984. An Introduction to

Statistical Methods and Data Analysis. Second Edition.

Dux-burry Press. PWS Publishers. 20 Park Plaza. Boston. USA.

Meyers.1970. Introduction

Probabi-lity and Statistical Application.

Second Edition. Additional Wes-ley Publishing Company, Inc. Copyright Washington. USA. 1970.

Mosteller. F., R.E.K. Rourke, and. G.B. Thomas Jr. 1973.

Probability With Statistical Applications. Second Edition.

Addision Wasley Publishing Company. Massachusetts. USA.