4.2. DERET PANGKAT - Matematika Teknik 2 – Bab 6 – Deret Pangkat, Taylor, & Fourier

4. 2. DERET PANGKAT

Deret pangkat dari (x-m) merupakan deret t ak hingga yang bent uk umumnya adalah :

( 4-1 )

C₁, C₂, . . . = konst ant a disebut koef isien deret m = konst ant a disebut t it ik pusat

(cent er) deret z = Variabel

i = Bilangan int eger posit ip

Bila m = 0, t erbent uk deret pangkat khusus (part icul ar) dari z

( 4-2 )

i 2

i 0 1 2

i 0

C (z

m)

C

C (z

m)

C (z

m)

...

∞

=

−

=

+

−

+

−

+

∑

i 2 2

i 0 1 2 3

i 0

C z

C

C z

C z

C z

...

∞

=

=

+

+

+

+

4. 2. 1. Konvergensi Deret Teorema 1

Jika deret pangkat ( pers 4-1) konvergen pada t it ik z = a, maka deret it u akan konvergen unt uk set iap z bila :

Ini menunuj ukkan bahwa set iap z berada di dalam lingkaran yang melewat i z_o di sekit ar a.

Misal deret pangkat ( pers 4-1) konvergen unt uk z_o, berlaku :

Bila diimplemant asikan unt uk z =z_o, maka deret j adi dibat asi, misal :

Sehingga dapat dibent uk

n n

n n

n n 0

z-a

z-a

C (z-a)

= C (z -a)

⎛

⎜

⎞

⎟

< M

C_n(z_o – a)n → _{0 unt uk n} → ∞

| C_n(z_o – a)n _{| < M unt uk set iap n = 0, 1, 2. . . . .}

Karena it u :

( 4-3 )

Jika diasumsikan | z-a| < | z_o – a| , maka dapat dibent uk pert idaksamaan (inequal it y) :

Dengan pert idaksamaan di at as t erbukt i bahwa deret (pers. 4-1 ) akan konvergen j ika :

Ruas kanan pers (4-3) adalah deret geomet ris yang konvergen.

Ruas kiri pers. (4-3) j uga merupakan deret yang konvergen.

n n

n n

n = 0 n = 0 0 n = 0 0

z - a z - a

C ( z - a ) = M = M

z - a z - a

∞ ∞ ∞

∑

∑

∑

0

z - a

< 1

z - a

Dari t eorema 1:

Unt uk seluruh z di dalam lingkaran, dengan radius R dan pusat a, berlaku :

Deret akan konvergen bila

( 4-4 )

Deret akan divergen bila

Disebut Lingkaran Konvergensi bila

R disebut Radius Konvergensi

A. B.

Gbr. 4. 1. Lingkaran dan int erval konvergensi

| z-a | < R

a R

x y

| z-a | > R

| z-a | = R

Teorema 2 (Radius Konvergensi)

Bila t erdapat urut an (squence)

, n= 1, 2, . . .

Akan kovergence dengan limit L dan radius R pun akan konvergen pula, j ika :

( 4-5a )

Termasuk di dalamnya L = 0 ket ika R = ∞

Bila sequencenya t idak konvergen t api nilainya t erbat as, berlaku rumus Cauchy - Hadamard

( 4-5b )

adalah t it ik limit t erbesar dari sequence.

Bila sequence t ak t erbat as, maka R = 0 dan deret hanya akan konvergen pada z = a.

n n

c

1

R

L

=

1

R

=

A

Teorema 3 (Produk Cauchy dari Deret Pangkat ) Produk Cauchy (Cauchy Product ) dari 2 buah deret pangkat merupakan konvergensi mut lak set iap z di dalam lingkaran konvergen dari masing-masing deret konvergen.

Bila j umlah masing-masing deret t ersebut g(z) dan h(z), maka Produk Cauchy berj umlah :

( 4-6 )

Cont oh Soal :

1. Konvergensi pada sebuah pringan. Deret geomet ri

Konvergen mut lak ket ika | z| < 1 dan divergen ket ika | z| > 1.

2. Konvergensi pada seluruh bidang t erbat as. Deret Pangkat

m 2 3

m

z

1 z

z

z ...

∞

= + +

+

∑

s(z) = g(z)h(z)

n 2 3

z

z

z

1 z

...

n!

2!

3!

∞

= + +

+

Persamaan t ersebut akan konvergen mut lak unt uk set iap bidang (t erbat as) z ,

3. Konvergen hanya pada t it ik pusat

konvergen hanya pada t it ik z = 0, t et api divergen unt uk set iap z ≠ 0, karena :

z ≠ 0 (f ixed)

4. Produk Cauchy

Deret geomet ris 1 + z + z2 _{+ z}3 _{+ . . .}

berj umlah 1/ (1-z) ket ika | z| < 1

= 1 + 2z + 3z2 _{+ . . . =}

(

)

n 1 n n z z n 1 !

= 0 ; n n+ 1 z n ! + ∞ + → → ∞

∑

(

)(

)

2

k m 2 2

k 0 m 0

1

z

z

1 z z .... 1 z z ....

1 z

∞ ∞ = =

⎛

⎞ =

= + +

+ +

⎜

−

⎟

⎝

⎠

∑ ∑

n 1 n m

(n

1)! . z

(n

1) z

; n

n ! . z

+

∞

+

=

+

→ ∞

→ ∞

∑

n 2 3

n

n !.z

1

z

2z

6z

...

∞

= + +

+

+

∑

(

)

n

n 1 .z ; ( z

1)

∞

+

<

4. 2. 2 REPRESENTASI FUNGSI DENGAN DERET PANGKAT

Misalkan adalah deret pangkat t ak t ent u dengan radius R ≠ 0, konvergen.

Jumlah f ungsi ini merupakan f ungsi z ; f (z)

( 4-7 )

Teorema 1 (Kontinyuitas)

Fungsi f (z) dengan R > 0 akan kont inyu pada z = 0

( 4-8 )

Teorema 2 (Teorema identitas deret pangkat)

Misalkan t erdapat 2 buah deret :

dan

n n n 0

c z

∞ =

∑

n n n 0

a . z

∞

→

∑

n 2 3

n 0 1 2 3 n 0

f(z)

c .z

c

c

c z

c z

... ( z

R)

∞

=

=

∑

= + +

+

+

<

0 z 0

lim f(z) = f(0) = c

→

n n n 0

b . z

∞

→

Bila kedua deret ident ik, maka :

a_n = b_n ( 4-9 )

unt uk seluruh n = 0, 1, 2. . . .

a₀ + a₁z + a₂z2 _{+ . . . = b}

0 + b1z + b2z2 + . . . ( 4-10 )

Unt uk | z| < R

( 4-11 )

Disebut sebagai deret pengembangan dari deret pangkat t ersedia.

Teorema 3 (Differensiasi)

Deret pengembangan dari deret pangkat

memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret asli (original) nya.

n 1 2

n 1 2 3

n

n.c . z

c + 2 c z + 3 c z +...

∞

−

=

Teorema 4 (Integrasi)

Misalkan sebuah deret pangkat

Deret pangkat t ersebut dibent uk oleh pengint e-grasian deret c + c₁z + c₂z2 _{+ . . . . t ahap demi}

t ahap, memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret originaknya.

Teorema 5 (Fungsi Analitis. Penurunan)

Deret pangkat dengan radius konvergensi R ≠ 0 merepresent asikan f ungsi analit is pada set iap t it ik di dalamnya hingga membent uk lingkaran konvergensi. Penurunan f ungsi ini akan diben-t uk oleh dif erensiasi derediben-t original diben-t ahap demi t ahap ; Seluruh deret yang dibent uk memiliki radius konvergensi yang sama dengan deret originalnya.

( 4-12a )

n n

n 1

n

b

a

na

(b a)A

b a

−

−

−

=

−

−

n 1 2 3

n 1 2

0 n 0

c

c

c

.z

c z

z

z

n 1

2

3

∞

+

=

=

+

+

+

+

dan

( 4-12b )

( 4-13 )

n-1 = koef isien t erbesar 1, 2, 3 . . . , n-1. n = j umlah t ahapan (t erm).

Deret dalam pers. (4-13) berhubungan erat dengan penurunan kedua deret yang memper-hit ungkan t it ik pada R₀.

Penurunan ke m f ungsi f (m)(z) direpresent asi-kan oleh :

( 4-14 )

n - 2 n - 3 n - 4 n - 2

n 2

A = b

+ 2 ab

+ 3 a b

+...+ (n-1) a

(m) n m

n n m

f

(z)

n( n-1 ) ...( n - m + 1 ) c z

∞

−

=

=

∑

( )

n - 2

n 0

n 2

z c

n n-1

R

∞

=

4. 2. 3. SOLUSI PD DENGAN DERET PANGKAT

Menyelesaikan PD dengan mencari harga-harga koef isien yang t ak diket ahui set elah f ungsi PD berubah bent uk menj adi deret pangkat .

Langkah-langkah peneyelesaian PD :

1. Represent asikan f ungsi persamaan dalam bent uk deret pangkat x at au (x-m).

2. Dif erensialkan (t ingkat pert ama) f ungsi y di at as, sehingga berbent uk :

3. Dif erensilkan kembali (t ingkat kedua dst ) f ungsi y t ersebut .

4. Samakan dengan nol (Nolkan) semua koef i-sien yang t ak diket ahui set elah dalam bent uk deret pangkat . Selesaikan PD.

2 3 m

0 1 2 3 m

m 0

y

c

c x

c x

c x

...

c x

∞

=

=

+

+

+

+

=

∑

2 m 1

1 2 3 m

m 0

y' c

2c x 3c x

...

mc x

∞

−

=

= +

+

+

=

∑

m 2

2 3 m

m 0

y'' 2c

6c x ...

m(m 1)c x

∞

−

=

Cont oh Soal dan Penyelesaian

1. Carilah solusi dari PD berikut ini : y’ – y = 0

Jawab :

Penyelesaian dengan pendekat an deret pangkat .

(c₁ + 2c₂x + 3c₃x2 _{+ . . . ) – (c}

0+ c1x + c2x2 +

c₃x3 _{+. . . ) = 0}

(c₁-c₀) + (2c₂-c₁) x + (3c₃-c₂) x2 _{+ . . . = 0}

Samakan koef isien-koef isien persamaan dengan nol

c₁ - c₀ = 0 ; 2c₂ - c₁ = 0 ; 3c₃ - c₂ = 0

c₁ = c₀ ; c₂ = c₁/ 2 = c₀/ 2! ; c₃ = c₂/ 3 = c₀/ 3!

2 3

0 0

0 0

c

z

y c

c x

x

x

...

2!

3!

= +

+

+

+

2 3 z

0 0

1

1

y c (1 x

x

x

... x e

2!

3!

2. Carilah solusi dari PD berikut ini

y” + y = 0

Jawab :

Penyelesaian dengan pendekat an deret pangkat .

(2c₂ + 3. 2c₃x + 4. 3c₄x2 _{+ . . . ) + (c}

0+ c1x + c2x2

+ c₃x3 _{+. . . ) = 0}

(2c₂ + c₀)+(3. 2c₃ + c₁)x +(4. 3c₄ + c₂)x2 _{+ . . . = 0}

2c₂ + c₀ = 0 ; 3. 2c₃ + c₁ = 0 ; 4. 3c₄ + c₂= 0

c₂ = -( c₀ / 2! ) ; c₃ = -(c₁/ 3! )

c₄ = -[ c₂/ (4. 3)] = -(c₀ / 4! )

2 3 4

0 1 0

0 1

c

c

c

y

c

c x

x

x

x

...

2!

3!

4!

Solusi Umum : y = cos x + sin x

3. Carilah solusi dari PD berikut ini

(x+1)y’ – (x+2)y = 0

Jawab :

Penyelesaian dng pendekat an deret pangkat .

(x+1)(c₁ + 2c₂x + 3c₃x2 _{+…. . ) -(x+2)(c}

0 + c1x +

c₂x2 _{+ …. . ) = 0}

c₁ x + 2c₂x2 _{+ 3c}

3x3 + 4c4x4 + 5c5x5 +. . + mcmxm

+ c₁+ 2c₂x + 3c₃x2 _{+ 4c}

4x3+ 5c5x4 + 6c5x5 +

(m+1)c_m+1xm _{+ …. c}

0 x - c1x2 - c2x3 - c3x4 - c4x5 –

. . . - c_m-1xm _{- …2c}

0 -2c1x - 2c2x2 - 2c3x3 -2c4x4

-. -. -. -2c_mxm _{-… = 0}

2 3 4

0

3 5

1

1

1

1

y

c (1

x

x

x

... ....)

2!

3!

4!

1

1

c (x-

x +

x -...+...)

3!

5!

c₁ - 2c₀=0 ; 2c₂ – c₁ – c₀=0 ………dst

mc_m+ + (m+1)c_m+1 – c_m-1xm _{- 2c}

m = 0 ( 4-15 )

c₁ = 2c₀ ; ( 4-16a )

( 4-16b )

m = konst ant a int eger = 1, 2………

[

]

m 1 0 m 1 m

1

c

c x

c

(2 m)c

m 1

Rumus (4-16b) disebut Rumus Rekursi.

Dengan rumus ini dapat dihit ung c2, c3, …dst . , dapat pula menggunakan t abel di bawah ini :

m _C

m-1 (2-m)Cm Jumlah S+1

C_m+1 sebagai f ungsi C₀

1 _C

0 C1 C0+C1 2

C₁= 2 C₀

2 _C

1 0 C1 3

3 _C

2 -C3 C2-C3 4

… …. ………… ………… …… ………… …………

S 1

Jumlah C

S 1

+ = ₊

0 1

C C

2 + 2 C₂ 3 C₀ 2

=

1

C

3 3 0

2 C C

3

=

4 0

5 C C

24

= 3

2 C

C

Solusi umum, lihat persamaan umum soal no. 1 dan t abel rekursi

at au

y= c₀ ( 1 + x ) ex

SOAL-SOAL LATIHAN (DERET PANGKAT) Carilah solusi PD di bawah ini dengan pendekat an deret pangkat

1. y’ = 3y 6. ( 1-x2 _{) y’ = y}

2. y’ + 2y = 0 7. y” - y = 0 3. y’ – 2xy = 0 8. y” - y’ = 0 4. y’ – xy = 0 9. y” + 9y = 0 5. (1-x)y’ =y 10. y” + 2y’ = 0

2 3 4

0

3

2

5

y

c (1 2x

x

x

x

....)

2

3

2

4. 3. DERET TAYLOR 4. 3. 1 Konsep Dasar

Bila f (z) berada di dalam domain D dan z = a pada set iap t it ik di dalam lingkat ran C, dan

sebuah lingkaran denan pusat a, maka menurut Cauchy:

(4. 3-1)

Z = sembarang t it ik di dalam lingkaran C Z* = variabel kompleksint egrasi

c

1

f (z*)

f (z)

d(z)

2 i z * z

=

π

∫

−

z

z*

a C

x y

Jika pada pers. (4. 3-1) dikembangkan 1/ (z*-z) sebagai f ungsi z-a, maka didapat kan :

(4. 3-2)

Selanj ut nya diasumasikan z* pada lignkaran dan z di dalam lingkaran C.

Sehingga (4. 3-3)

Dari persamaan deret geomet ris

; q ≠ 1

Sehingga dapat dibuat hubungan

n 1 n

1

q

1 q ... q

1 q

1 q

+

= + +

+

+

−

−

n 1

2 n

1 q

1 q q

... q

1 q

+

−

+ + +

+

=

−

(

)

1

1

1

z a

z * z

z * a

(z a)

z * a

1

z * a

=

=

−

−

− − −

−

⎛

−

⎞

⎜

−

⎟

⎝

⎠

z

a

1

z *

a

Jika didef inisikan q =(z-a)/ (z*-a), maka :

Subst it usikan ke dalam pers. (4. 3-1) dan

keluarkan (z-a) dari t anda int egral, sehingga :

(4. 3-4) Bagian akhir dari f unsi di at as adalah :

(4. 3-5)

(

)

(

)

(

)

2 C C n n n 1 C

1

f (z*)

z

a

f (z*)

f (z)

dz *

dz *

....

2 i

z * a

2 i

z * a

z

a

f (z*)

dz * R (z)

2 i

z * a

+

−

=

+

+

π

−

π

−

−

+

+

π

−

∫

∫

∫

(

) (

)

n 1

n _{n 1}

C

(z a)

f (z*)

R (z)

dz*

2 i

z a

z* z

+ +

−

=

π

∫

−

−

[

]

[

]

(

)

2 n n 1

1

1

(z

a) /(z * a)

z

a

z

a

z

a

1

...

z * a

z * a

z * a

(z a) /(z * a)

z * z /(z * a)

Dengan penurunan dan analit is, maka f ungsi di at as berkembang menj adi :

( 4. 3-6)

Persamaan (4. 3-6) adalah rumus Taylor at au Deret Taylor dengan pusat a.

Bent uk umum Deret Taylor adalah sebagai berikut :

( 4. 3-7)

Bila a = 0, maka deret (pers. 4. 3-7) disebut dengan Deret Maclaurin.

( )

(m)

m

m 0

f

(a)

f(z)

z a

m!

∞

=

=

∑

−

(

)

(

)

2

n (n)

z a

z a

f (z)

f (a)

f '(a)

f ''(a) ...

1!

2!

z a

f

(a)

n!

−

−

=

+

+

+

Dari persamaan-persamaan di at as diket ahui bahwa pada Deret Taylor f ungsi f (z) dapat di-t urunkan berdasarkan variabel bebasnya sampai pada t ingkat t ak hingga.

Teorema Taylor

1. Bila f (z) t erlet ak di dalam domain D dan z=a adalah sembarang t it ik di dalam

domain D t ersebut , maka f (z)

sebenarnya merupaka bent uk deret pangkat .

2. Set iap deret pangkat dengan radius konvergen t idak nol (R_c = 0), maka

deret pangkat t ersebut adalah deret Taylor.

4. 3. 2. Fungsi-fungsi Elementer Deret Taylor

a. Deret Geomet ris

; | z| <1 (4. 3-8)

n 2

n 0

1

z

1 z z

...

1 z

∞

=

=

= + + +

b. Fungsi Eksponensial

(4. 3-9)

c. Fungsi Trigonomet ri dan Hiperbolik

(4. 3-10)

(4. 3-11)

2n 2 4

n = 0

z

z

z

cosh z

= 1 +

+

+ ...

(2n)!

2!

4!

∞

=

∑

2n+1 3 5

n

n = 0

z

z

z

sin z

(-1)

= z -

+

- + ...

(2n+1)!

3!

5!

∞

=

∑

n 2

z

n=0

z

z

e

1 z

...

n!

2!

∞

=

∑

= + +

+

2n 2 4

n

n 0

z

z

z

cos z

(1)

1

...

(2n)!

2!

4!

∞

=

=

∑

= −

+

− +

2n + 1 3 5

n=0

z

z

z

sinh z

= z +

+

+ ...

( 2n + 1 ) !

3!

5!

∞

d. Fungsi Logarit mik

(4. 3-12)

(4. 3-13)

(4. 3-14)

Unt uk seluruh persamaan di at as | z| < 1

2 3 n

z

z

z

ln(1 z)

z ....

+

2

3

n

+

= −

+

− +

2 3 n

1

z

z

z

ln(1 z) ln

=

z

...

1 z

2

3

n

−

−

=

+

+

+

+

−

3 5 n

(1 z)

z

z

z

ln

2 z ...

(1 z)

3

5

n

⎛

⎞

+

=

+

+

+

+

⎜

⎟

Cont oh Soal dan Penyelesaian

1. f (x) = ex _{, uraikan menurut deret Maclaurin}

pada t it ik x=0 Jawab :

f (x) = ex _{f (0) = 1}

f ’ (x) = ex _{f ’ (0) = 1}

f ’ ’ (x) = ex _{f ’ ’ (0) = 1}

2. f (x) = sin x, uraikan dengan deret Taylor pada x = (π/ 4) !

Jawab :

f (x) = sin x f (π/ 4) = ½ √2 f ’ (x) = cos x f ’ (π/ 4) = ½ √2 f ’ ’ (x) = -sin x f ’ ’ (π/ 4) = -½ √2 f ’ ’ ’ (x) = sin x f ’ ’ ’ (π/ 4) = -½ √2

x

f '(0)

f ''(0)

e = f(0) +

x +

...

1!

2!

+

2 3

x

x

x

sin x = f (x - π/ 4)

SOAL-SOAL LATIHAN ( DERET TAYLOR )

Uraikan dengan deret Taylor at u Maclaurin 1. cos 2x , a = 1 7. ex _{, a=1}

2. sin x2 _{, a = 0 8. e}x _{, a=0}

3. cos x , a = - π/ 4 9. 1/ (a-x) , a=1 4. sin x , a = π/ 2 10. 1/ (a-x) , a = ½ 5. cos2 _{x , a = 0 11. 1/ z , a = - 1}

6. sin2 _{x , a = 0 12. e}x _{, a=} π

2

f '( )

f "( )

4

4

sin x = f( ) +

(x- ) +

(x- ) +....

4

1!

4

2!

4

π

π

π

π

π

2

3 n

1 1

2 2

1 _{2 2}

sin x = 2 + (x - ) - (x - ) -

2 1! 4 2! 4

1 1

2 2

2 2

(x - ) + ...+ (x - )

3! 4 n! 4

π π

4. 4. DERET FOURIER

Bila t erdef inisikan suat u f ungsi (t ) yang

periodik dengan harga real pada sumbu x dan periode T sert a kont inyu pada int erval :

( 0, T )

dan (-T/ 2, T/ 2)

Maka f ungsi t ersebut dapat dit uliskan dengan :

(4. 4-1) dengan :

(4. 4-2)

(4. 4-3)

(4. 4-4)

n = 1, 2, 3, . . . .

T

n 0

0

2

B

f (t) sin n.

t dt

T

=

∫

ω

[

n o n o

]

n 1

Ao

f (t)

A cos n.

t

B sin n.

t

2

∞

=

=

+

∑

ω +

ω

T

o

0

2

A

f (t) dt

T

=

∫

T

n 0

0

2

A

f (t) cos n.

t dt

T

Cont oh :

Int erval :

Periode T dit ent ukan ; T = 8

T

0

0

2

A

f (t) dt

T

=

∫

( -4 , 4 )

8 ; 0 < t < 4

f (t) =

( 0 , 8 )

-8 ; -4 < t < 0

⎫

⎧

⎬

⎨

⎭

⎩

4 0

0 4

2

=

8 dt

8 dt

T

₋

⎡

⎤

+ −

⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

∫

∫

⎦

[

]

4 0

0 4

2

= ( ) .8 (t)

t

= 2 4 - ( 0+4 ) = 0

8

⎡

⎣

−

−

⎤

⎦

8

-4 4

8 -8

[

n o n o

]

n 1

Ao

f (t)

A cos n.

t

B sin n.

t

2

∞ =

=

+

∑

ω +

ω

[

]

4 0 n 0 4

2

2

2

B

8 sin

n.t dt

8 sin

n.t dt

8 8

8

16

1 cos n

n

−

⎡

π

π

⎤

=

⎢

−

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦

=

−

π

π

∫

∫

4 0 n 0 4

2

2

2

A

8 cos n

t dt

8 cos n

t dt

0

8

8

₋

8

⎡

π

π

⎤

=

⎢

−

⎥

=

⎢

⎥

⎣

∫

∫

⎦

n 1

16

f (t)

(1 cos n. ) sin

n

t

n.

4

16

2

3

2

5

2 sin

t

sin

t

sin

t

....

4

3

4

5

4

4. 4. 1. FUNGSI DENAP DAN FUNGSI GANJIL A. Fungsi Genap

Fungsi genap f (t ) dalam Deret Fourier

merupakan f ungsi cosinus, lihat pers. 4. 4. -1

( 4. 4-5 )

B. Fungsi Ganj il

Fungsi ganj il f (t ) dalam Deret Fourier merupakan f ungsi sinus, lihat pers. 4. 4. -1

( 4. 4-6 )

4. 4. 2. DIFERENSIAL DAN INTEGRAL A. Diferensial

Bila :

[

n o n o

]

n 1

Ao

f (t)

A cos n.

t B sin n.

t

2

∞

=

=

+

∑

ω +

ω

[

n o n o

]

n 1

d

f '(t)

A cos n.

t

B sin n.

t

dt

∞

=

=

∑

ω +

ω

T

n 0

2

Bn

f (t) sin n.

t dt

T

=

∫

ω

T

n n

0

2

A

f (t) cos n.

t dt

T

=

∫

ω

B. Integral

(4. 4-8)

SOAL-SOAL LATIHAN

Uraikan dengan deret Fourier :

1. f (t ) = 1 (-1<t <1), f (t ) = 0 (1<t <3), T = 4 2. f (t ) = 1 (-π/ 8 <t < π/ 8), f (t ) = π/ 4 – 1

(-π/ 8 < t < 3π/ 8) , T = π/ 2. 3.

4.

5. f (t ) = | sin t | (-π < t < π) 6. f (t ) = e-| t | _(-π _{< t <} π₎

7. f (t ) = | sin t | (-π < t < π) 8. f (t ) = t3 _(-π _{< t <} π₎

(

)

[

]

t₂ t₂

2 1

n o n o

n 1

t₁ t₁

Ao t

t

f (t)

A cos n.

t B sin n.

t dt

2

∞

=

−

=

+

∑

ω +

ω

∫

∫

0 - < t < 0

f(t) =

t 0 < x <

π

⎧

⎨

π

⎩

t- 0 < t < 0

f(t) =

-t < t < 2

π

⎧

⎨

π

π