RESUME MATERI
DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK
Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Ekonomi Dosen pengampu: Ardhi Prabowo
Disusun oleh:
Kelompok 5
Zuliyana Dewi Anidaningtyas 4101414001 Annisa Luthfi Fadhilah Ma’ruf 4101414002 Nurfeti Dwi Susilowati 4101414014 Ummi Hanna Kholifah 4101414018 Ertin Aini Farhatin 4101414044 Muhammad Nur Chalim 4101414101
Rombel 3
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2016
DIFERENSIAL FUNGSI MAJEMUK
A. Diferensiasi Parsial
Sebuah fungsi yang hanya mengandung satu variabel bebas hanya akan memiliki satu macam turunan. Apabila y=f (x ) maka turunannya hanyalah turunan y terhadap x, dengan kata lain y'=dy
dx .
Sedangkan jika sebuah fungsi mengandung lebih dari satu variabel bebas maka turunannya akan lebih dari satu macam pula, sesuai dengan jumlah macam variabel bebasnya. Jadi, jika sebuah fungsi mempunyai n macam variabel bebas maka ia akan memiliki n macam turunan. Jika y=f (x , z ) maka akan terdapat dua macam turunan, yaitu turunan y terhadap x atau
∂ y
∂ x dan turunan y terhadap z
∂ y
∂ z
Dengan demikian : 1 y=f (x , z )
a
¿fx( xz)=∂ y
¿ ∂ x
b y '{¿fz( xz)=∂ y
∂ z¿ dy=∂ y
∂ x dx+∂ y
∂ zdz
2 p=f(q , r , s)
¿ a f¿
¿q(q , r , s)=∂ p
¿ ∂ q b¿ p'
{
fr(q , r , s )=∂ p∂ r¿c¿fs(q , r , s)=∂ p
∂ s ¿ dp=∂ p
∂ q dq+∂ p
∂ r dr+∂ p
∂ s ds
∂ y
∂ x dan
∂ y
∂ z dalam butir 1 serta
∂ p
∂ q ,
∂ p
∂ r dan
∂ p
∂ s dalam butir 2 masing-masing dinamakan derivatif parsial. Sedangkan
(
∂ y∂ x)
dx ,(
∂ y∂ z)
dz ,(
∂ y∂q)
dq ,(
∂ y∂ r)
dr , dan(
∂ y∂ s)
dsdinamakan diferensial parsial. Adapun dy dan dp dinamakan diferensial total.
1
∂ y
∂ x=3 r2−8 xz−6 z2 2
∂ y
∂ z=10 z−4 x2−12 xz +8
Dalam menurunkan y terhadap x yang dilambangkan dengan
∂ y
∂ x , hanya suku-suku yang mengandung variabel x yang diperhitungkan;
sedangkan suku-suku yang tidak mengandung variabel x dianggap sebagai konstanta dan turunannya adalah nol. Dilain pihak, dalam menurunkan y terhadap z yang dilambangkan dengan
∂ y
∂ z hanya suku-suku yang mengandung variabel z yang diperhitungkan; sedangkan suku-suku yang tidak mengandung variabel z dianggap sebagai konstanta dan turunannya adalah nol.
Sesungguhnya
∂ y
∂ x dari y=f (x , z ) adalah turunan dari f (x , z) terhadap x dengan anggapan hal-hal lain tetap atau konstan (dalam ekonomi dikenal dengan subutan asumsi ceteris paribus). Oleh karena itu dalam menurunkan y=f (x , z ) terhadap x hanya suku-suku yang mengandung variabel x saja yang diturunkan.
B. Derivatif dari Derivatif Parsial
Seperti halnya fungsi dengan satu variabel bebas, fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas pun dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan kata lain masing-masing turunan parsialnya masih mungkin diturunkan lagi. Turunan berikut dari turunan parsial tadi sudah barang tentu bisa sangat bervariasi, tergantung dari bentuk turunan parsial tersebut. Apabila suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang tinggal mengandung satu macam variabel bebas, maka turunan berikutnya hanya ada satu macam. Akan tetapi bila suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang masih mengandung beberapa macam variabel bebas, maka turunan berikutnya masih dapat dipecah-pecah lagi menjadi beberapa turunan parsial pula.
Contoh : y=x3+5 z2−4 x2z−4 xz2+8 z−7 1
∂ y
∂ x=3 x2−8 xz−6 z2 2
∂ y
∂ z=10 z−4 x2−12 xz +8
Dalam contoh ini baik
∂ y
∂ x maupun
∂ y
∂ z masih dapat diturunkan secara parsial lagi, baik terhadap x maupun terhadap y.
(1a)
∂ y
∂ x terhadap x :
∂2y
∂ x2=6 x−8 z (1b)
∂ y
∂ x terhadap z :
∂2y
∂ x ∂ z=−8 x−12 z (2a)
∂ y
∂ z terhadap x :
∂2y
∂ z ∂ x=−8 x−12 z (2b)
∂ y
∂ z terhadap z :
∂2y
∂ z2=10−12 x
Ternyata turunan parsial kedua (1a), (1b), (2a), dan (2b) masih dapat diturunkan secara parsial lagi baik terhadap x maupun terhadap z.
(1a.1)
∂2y
∂ x2 terhadap x :
∂3y
∂ x3=6
(1a.2)
∂2y
∂ x2 terhadap z :
∂3y
∂ x2∂ z=−8 (1b.1) ∂2y
∂ x ∂ z terhadap x :
∂3y
∂ x2∂ z=−8
(1b.2)
∂2y
∂ x ∂ z terhadap z :
∂3y
∂ x ∂ z2=−12
(2a.1)
∂2y
∂ z ∂ x terhadap x :
∂3y
∂ z ∂ x2=−8 (2a.2) ∂2y
∂ z ∂ x terhadap z :
∂3y
∂ z2∂ x=−12
(2b.1)
∂2y
∂ z2 terhadap x :
∂3y
∂ z2∂ x=−12
(2b.2)
∂2y
∂ z2 terhadap z :
∂3y
∂ z3=0
Sekarang turunan-turunan parsial ketiga ini tidak dapat lagi diturunkan secara parsial, karena masing-masing hanya tinggal mengandung konstanta.
C. Nilai Ekstrim: Maksimum dan Minimum
Nilai – nilai ekstrim (optimum) dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari satu variabel bebas dapat dicari dengan pengujian sampai derivatif keduanya :
Syarat di atas adalah syarat yang diperlukan (necessary condition) agar fungsinya mencapai titik ekstrim. Guna mengetahui apakah titik ekstrim itu berupa titik maksimum ataukah titik minimum, dibutuhkan syarat yang mencukupkan (sufficient condition), yakni :
Dalam hal
∂2y
∂ x2 dan
∂2y
∂ z2 = 0, tidak bisa ditegaskan mengenai nilai ekstrimnya. Untuk kasus semacam ini diperlukan penyelidikan dan pengujian lebih lanjut.
Contoh :
1 Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi berikut ini merupakan titik maksimum ataukah titik minimum : y=−x
2+12 x−z2+10 z −45
∂ y
∂ x=−2 x+12 ∂ y
∂ z=−2 z+10 Untuk y = f(x,x),
Maka y akan mencapai titik ekstrimnya jika :
∂ y
∂ x=0 dan
∂ y
∂ z=0
Maksimum bila
∂2y
∂ x2<0 dan
∂2y
∂ z2<0
∂2y >0 ∂2y >0
−2 x +12=0, x=6 −2 z +10=0, x=5 y=−(6)2+12(6)−(5 )2+10(5)−45
¿−36+72−25+50−40=16
∂2y
∂ x2<0 ∂2y
∂ x2=−2<0
Karena
∂2y
∂ x2 dan
∂2y
∂ z2 < 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum dengan ymaks = 16.
2 Selidiki apakah titik ekstrim dari fungsi p=3 q
2−18 q+r2−8 r+50 merupakan titik maksimum ataukah titik minimum.
∂ p
∂ q=6 q−18 ∂ p
∂ r=2 r +8
6q−18=0,q=3 2r −8=0, r=4
p=3(3)2−18(3 )+( 4)2−8(4 )+50
¿27−54 +16−32+50=7
∂2p
∂ q2=6>0 ∂2p
∂ r2=2>0
Karena
∂2p
∂ q2 dan
∂2p
∂ r2 > 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum dengan pmin = 7.
D. Optimasi Bersyarat
Dalam kenyataan sering kali kita harus mengekstrimkan atau mengoptimumkan suatu fungsi, yakni mencari nilai maksimum atau nilai minimumnya, tetapi terkekang oleh suatu fungsi lain yang harus dipenuhi.
Dengan kata lain fungsi yang hendak dioptimumkan tadi menghadapi suatu
kendala (constraint). Kasus optimasi bersyarat semacam ini banyak dijumpai dalam bidang ekonomi. Misalnya seseorang hendak memaksimumkan utilitas, atau tingkat kepuasannya, tetapi terikat pada fungsi pendapatan; atau sebuah perusahaan ingin memaksimumkan labanya, namun terikat pada fungsi produksi.
1. Pengganda Langrange
Perhitungan nilai ekstrim sebuah fungsi yang menghadapi kendala berupa sebuah fungsi lain, dapat diselesaikan dengan Metoda Lagrange.
Caranya ialah dengan membentuk sebuah fungsi baru, disebut fungsi Langrange, yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan ditambah hasil kali pengganda langrange λ dengan fungsi kendalanya.
Misalnya hendak dioptimumkan z = f(x,y) dengan syarat harus terpenuhi u = g(x,y) maka fungsi lagrangenya :
Nilai ekstrim F(x,y,�) dapat dicari dengan memformulasikan masing – masing derivatif-parsial pertamanya sama dengan nol.
Pengganda Langrange � adalah suatu variabel tak-tentu yang hanya bersifat sebagai pembantu. Syarat di atas merupakan syarat yang diperlukan untuk menghitung nilai ekstrim dari fungsi baru yang dibentuk, dan karenanya disebut sebagai syarat yang diperlukan atau necessary condition. Akan tetapi untuk mengetahui jenis nilai ekstrim tersebut, maksimum ataukah minimum, masih harus disidik melalui derivatif- parsial keduanya, yang merupakan syarat yang mencukupkan atau sufficient condition. Dalam hal ini nilai ekstrim tadi adalah :
F(x,y,�) = f(x,y)
Fx(x,y,�) = fx + g� x
= 0
Contoh :
1 Tentukan nilai ekstrim z dari fungsi z = 2x+2y dengan syarat x2 + y2 = 8. Jelaskan jenis nilai ekstrimnya.
Fungsi langrange : F = 2x + 2y + �(x2 + y2-8) = 2x + 2y + �x2 + �y2 - �8 Agar F ekstrim, F’ = 0
Fx = 2 + 2 �x = 0, diperoleh = - � 1 x
……….(1) Fy = 2 + 2 �y = 0, diperoleh = - �
1 y
……….(2)
Berdasarkan (1) dan (2) : -
1
x = - 1 y ,
atau x=y
Menurut fungsi kendala : x2 + y2 = 8 y2 + y2 = 8
2y2 = 8 y2 = 4 y = ± 2 Karena y = ±2, x = ±2
z = 2x + 2y = ±8 Jadi nilai ekstrim z = ± 8 Penyidikan nilai ekstrimnya :
Untuk x = 2 dan y = 2, � = - 1 2 Fxx = 2� = -1 < 0
Maksimum bila Fxx < 0 dan Fyy
< 0
Fyy = 2 = -1 < 0�
Karena Fxx dan Fyy < 0, nilai ekstrimnya adalah nilai maksimum dengan Zmaks = 8
Untuk x = -2 dan y = -2, � = 1 2 Fxx = 2� = 1 > 0
Fyy = 2 = 1 > 0�
Karena Fxx dan Fyy > 0, nilai ekstrimnya adalah nilai minimum dengan Zmin = -8
2 Optimumkan z = xy dengan syarat x + 2y = 10 F = xy + (x + 2y – 10) �
= xy + x + 2 x – 10 A � �
Syarat yang diperlukan agar F optimum F’ = 0 Fx = y + = 0, diperoleh = -y� �
Fy = x + 2 = 0, diperoleh = -� � 1 2 x
y = - 1
2 x, berarti 2y = x x + 2y = 10
2y + 2y = 10, diperoleh y = 2,5. Selanjutnya x = 5.
Jadi, z optimum pada x = 5 dan y = 2,5; dengan Zopt = xy = (5)(2,5) = 12,5.
2. Kondisi Kuhn Tucker
Metoda Kuhn-Tucker merupakan pengembangan lebih lanjut dari optimasi bersyarat. Jika dalam metoda pengganda Lagrange kita mengoptimumkan sebuah fungsi terhadap kendala yang berbentuk persamaan, maka dalam metoda Kuhn-Tucker kita mengoptimumkan sebuah fungsi terhadap sebuah fungsi yang berbentuk pertidaksamaan.
Bentuk permasalahannya biasanya berupa :
a. Maksimumkan fungsi tujuan f ( x , y ) terhadap kendala g( x , y )≤0
b. Minimumkan fungsi tujuan f ( x , y ) terhadap kendala g (x , y )≥0 Prosedur penyelesaiannya dapat ditempuh melalui dua macam cara, yakni melalui metoda lagrange yang dimodifikasi kemudian diuji dengan kondisi(persyaratan) Kuhn-Tucker atau secara langsung dengan menggunakan metoda Kuhn-Tucker Sendiri.
Prosedur metoda Kuhn-Tucker melalui metoda Lagrange yang dimodifikasi dilakukan sebagai berikut:
1. Anggap kendala perstidaksamaannya sebagai suatu persamaan.
Kemudian selesaikan masalahnya dengan metoda Lagrange yang biasa hingga diperoleh nilai optimum yang dicari (khusus dalam hal ini fungsi baru Lagrangenya harus dibentuk dengan cara F( x , y , λ)=f ( x , y )− λg(x , y ) ; jadi tidak boleh F(x , y , λ)=f(x , y)+λg(x , y)
2. Lakukan pengujian terhadap nilai λ . Jika λ>0
berarti nilai optimum yang diperoleh ( berdasarkan kendala yang telah dimodifikasikan) tadi juga merupakan nilai optimum berkenaan fungsi kendala yang berbentuk pertidaksamaan. Jika λ ≤0 berarti optimasi fungsi tujuan f ( x , y ) tanpa menyertakan fungsi kendala g(x , y ) sudah dengan sendirinya akan memenuhi kendalanya.
[dalam hal λ ≤0
kendala yang bersangkutan dikatakan bersifat tidak mengikat, oleh karenanya dapat diabaikan, dalam hal λ>0 kendalanya disebut mengikat]
Sedangkan prosedur metoda Kuhn-Tucker secara langsung dilakukan sebgai berikut:
1. Rumuskan permasalahannya, misalkan maksimumkan f(x , y ) terhadap g (x , y )<0
atau meminimumkan f ( x , y ) terhadap g(x , y )>0
2. Tetapkan kondisi Kuhn-Tucker:
a.
∂ f(x , y )
∂ x −λ∂ g(x , y)
∂ x =0