BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI

BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI

Matematikawan terbesar pada abad pertengahan adalah Leonardo dari Pisa, Italia (1180 – 1250). Ia lebih dikenal dengan nama Fibo-nacci. Artinya, “anak Bonaccio”. Menara Pisa yang terkenal sampai sekarang dibangun pada masa hidupnya, tetapi ia belum sempat mengagumi kemegahannya.

Meskipun Leonardo lahir di Pisa, tetapi ia lebih banyak menyerap ilmu pengetahuan dari orang-orang Timur, karena ia ikut ayahnya yang bekerja di Aljazair.

Dialah salah seorang yang telah berjasa memperkenalkan angka Hindu-Arab dengan sistem desimal dan angka nolnya, meskipun pada saai tu banyak ditentang.

Ia menulis sebuah buku Aljabar, Liber Abaci (Buku tentang Abacus), yang sebenarnya merupakan buku pegangan bagi pedagang dalam aritmetika dan aljabar. Buku yang diselesaikannya pada tahun 1202 itu memuat masalah sebagai berikut:

Misalkan pertumbuhan jumlah kelinci mengikuti keadaan sebagai berikut.

Sepasang kelincui menjadi dewasa dalam waktu satu bulan, dan setiap bulan berikutnya berturut-turut setiap bulan melahirkan sepasang anak kelinci, jantan dan betina. Bila tidak ada kelinci yang mati, bagaimanakah perkembangan jumlah pasangan kelinci itu pada setiap awal bulan?

Situasi tersebut dapat digambarkan dengan diagram sebagai berikut:

Fibonacci

awal bulan ke-

Tambah Jumlah

1 1

2 +0 1

3 +1 2

4 +1 3

5 +2 5

6 +3 8

7 +5 13

8 +8 21

Terlihat, bahwa banyaknya pasangan kelinci pada setiap awal bulan berturut-turut adalah:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... (1) Barisan di atas disebut barisan Fibonacci. Dimulai dari suku ketiganya, setiap suku barisan itu dapat diperoleh dari menjumlahkan dua suku tepat sebelumnya. Jika suku-suku barisan Fibonacci dilambangkan dengan Fn, maka diperoleh bentuk umum:

Fn+2 = Fn+1 + Fn ; F1 = 1 dan F2 = 1. ... (2) Fibonacci sendiri tidak banyak menyelidiki lebih lanjut tentang barisan dari masalah yang dikemukakannya itu. Ia juga tidak memberi nama barisannya sebagai Barisan Fibonacci. Nama itu Barisan Fibonacci baru muncul pada abad ke-19 dan diperkenalkan oleh Lucas, seorang matematikawan Perancis. Lucas mengembangkan barisan semacam atau yang mempunyai sifat seperti Barisan Fibonacci, yang selanjutnya disebut Barisan Lucas, yaitu:

1, 3, 4, 7, 11, 18, ... (3)

Sifat dasarnya sama dengan Barisan Fibonacci. Yang berbeeda suku keduanya. Jika suku ke-n Barisan Lucas dapat dilambangkan dengan Ln maka:

Ln+2 = Ln+1 + Ln ; L1 = 1 dan L2 = 3. ... (4)

Hubungan Barisan Fibonacci dan Barisan Lucas

Limapuluh suku pertama Barisan Fibonacci dan Barisan Lucas adalah sebagai berikut:

Tabel 1. Limapuluh suku pertama Barisan Fibonacci dan Barisan Lucas

F1 1 L1 1 F26 121393 L26 271443 F2 1 L2 3 F27 196418 L27 439204 F3 2 L3 4 F28 317811 L28 710647 F4 3 L4 7 F29 514229 L29 1149851 F5 5 L5 11 F30 832040 L30 1860498 F6 8 L6 18 F31 1346269 L31 3010349 F7 13 L7 29 F32 2178309 L32 4870847 F8 21 L8 47 F33 3524578 L33 7881196 F9 34 L9 76 F34 5702887 L34 12752043 F10 55 L10 123 F35 9227465 L35 20633239 F11 89 L11 199 F36 14930352 L36 33385282 F12 144 L12 322 F37 24157817 L37 54018521 F13 233 L13 521 F38 39088169 L38 87403803 F14 377 L14 843 F39 63245986 L39 141422324 F15 610 L15 1364 F40 102334155 L40 228826127 F16 987 L16 2207 F41 165580141 L41 370248451 F17 1597 L17 3571 F42 267914296 L42 599074578 F18 2584 L18 5778 F43 433494437 L43 969323029 F19 4181 L19 9349 F44 701408733 L44 1568397607 F20 6765 L20 15127 F45 1134903170 L45 2537720636 F21 10946 L21 24476 F46 1836311903 L46 4106118243 F22 17711 L22 39603 F47 2971215073 L47 6643838879 F23 28657 L23 64079 F48 4807526976 L48 1074995712 F24 46368 L24 10368 F49 7778742049 L49 17393796002 F25 75025 L25 16776 F50 1258626902 L50 2814375312 Dari tabel di atas terlihat di antaranya bahwa:

L2= F1 + F3, yaitu: 3 = 1 + 2

L3 = F2 + F4, yaitu: 4 = 1 + 3 L4 = F3 + F5, yaitu: 7 = 2 + 5 L5 = F4 + F6, yaitu: 11 = 3 + 8

M

L49 = F48 + F50, yaitu:

17393796001 = 4807526976 + 12586269025 Dapat diduga bahwa: Ln = Fn–1 + Fn+1 ... (5) Diperoleh juga bahwa untuk n ≥ 3,

F3 × L3 = F6, yaitu: 2 × 4 = 8 F4 × L4 = F8, yaitu: 3 × 7 = 21 F5 × L5 = F10, yaitu: 5 × 11 = 55 F6 × L6 = F12, yaitu: 8 × 18 = 144 F7 × L7 = F14, yaitu: 13 × 29 = 377 F8 × L8 = F16, yaitu: 21 × 47 = 987

M

F25 × L25 = F16, yaitu:

75025 × 167761 = 12586269025 Dapat diduga bahwa, untuk n ≥ 3 berlaku hubungan:

Fn × Ln = F2n, ... (6) Persamaan Diophantus (yaitu persamaan yang hanya memperhatikan bilangan rasional positif sebagai jawabannya) dengan bentuk 5x² + 4 = y² ternyata penyelesaiannya adalah bilangan-bilangan bulat hanya apabila x dan y adalah Bilangan Fibonacci dan y adalah Bilangan Lucas dengan nomor suku yang sama.

Misalnya untuk n = 1, maka x = 1 dan y = 1 n = 2, maka x = 1 dan y = 3 n = 3, maka x = 2 dan y = 4

Bila dipilih satu di antara + 4 atau – 4, akan dipenuhi hubungan:

5Fn2 + 4 = Ln2 ... (7) Perhatikan contoh berikut:

n = 1, 5F12 – 4 = L12 , yaitu 5 × 1 – 4 = 1² n = 2, 5F22 + 4 = L22 , yaitu 5 × 1 +4 = 3² n = 3, 5F32 – 4 = L32 , yaitu 5 × 2² – 4 = 4²

n = 4, 5F42 + 4 = L42 , yaitu 5 × 3² + 4 = 7² n = 5, 5F52 – 4 = L52 , yaitu 5 × 5² – 4 = 11² n = 6, 5F62 + 4 = L62 , yaitu 5 × 8² + 4 = 18²

M

n = 49, 5F492 – 4 = L492 , yaitu 5 × 7778742049² – 4

5 × 60508827864880718401 – 4

= 302544139324403592005 – 4

= 302544139324403592001

= 17393796001²

n = 50, 5F502 + 4 = L502 , yaitu 5 × 12586269025² + 4

5 × 158414167969674450625 + 4

= 792070839848372253125 + 4

= 792070839848372253129

= 28143753123²

Dengan kata lain, kuadrat sebuah suku Barisan Bilangan Lucas dikurangi 4 (jika nomor sukunya ganjil ) atau ditambah 4 (jika nomor sukunya genap), besarnya adalah lima kali kuadrat suku Barisan Bilangan Fibonacci pada nomor baris yang sama.

Ternyata juga bahwa hanya 1 dan 3 saja bilangan-bilangan yang merupakan suku persekutuan antara kedua barisan.

Barisan Fibonacci dan Bilangan Keemasan

Dari suku-suku Barisan Fibonacci pada Tabel 1 diperoleh pula hasil bagi dua suku berurutan seperti pada Tabel 2 sebagai berikut.

Fⁿ F^{n :} F^n–1 F^{n :} Fⁿ⁺¹ Fⁿ F^{n :} F^n–1 F^{n :} Fⁿ⁺¹ F¹ 1 1.000000000 F²¹ 10946 1.618033999 0.618033990 F² 1 1.000000000 0.500000000 F²² 17711 1.618033985 0.618033988 F³ 2 2.000000000 0.666666667 F²³ 28657 1.618033990 0.618033989 F⁴ 3 1.500000000 0.600000000 F²⁴ 46368 1.618033988 0.618033989 F⁵ 5 1.666666667 0.625000000 F²⁵ 75025 1.618033989 0.618033989 F⁶ 8 1.600000000 0.615384615 F²⁶ 121393 1.618033989 0.618033989 F⁷ 13 1.625000000 0.619047619 F²⁷ 196418 1.618033989 0.618033989 F⁸ 21 1.615384615 0.617647059 F²⁸ 317811 1.618033989 0.618033989 F⁹ 34 1.619047619 0.618181818 F²⁹ 514229 1.618033989 0.618033989 F¹⁰ 55 1.617647059 0.617977528 F³⁰ 832040 1.618033989 0.618033989

F¹¹ 89 1.618181818 0.618055556 F³¹ 1346269 1.618033989 0.618033989 F¹² 144 1.617977528 0.618025751 F³² 2178309 1.618033989 0.618033989 F¹³ 233 1.618055556 0.618037135 F³³ 3524578 1.618033989 0.618033989 F¹⁴ 377 1.618025751 0.618032787 F³⁴ 5702887 1.618033989 0.618033989 F¹⁵ 610 1.618037135 0.618034448 F³⁵ 9227465 1.618033989 0.618033989 F¹⁶ 987 1.618032787 0.618033813 F³⁶ 14930352 1.618033989 0.618033989 F¹⁷ 1597 1.618034448 0.618034056 F³⁷ 24157817 1.618033989 0.618033989 F¹⁸ 2584 1.618033813 0.618033963 F³⁸ 39088169 1.618033989 0.618033989 F¹⁹ 4181 1.618034056 0.618033999 F³⁹ 63245986 1.618033989 0.618033989 F²⁰ 6765 1.618033963 0.618033985 F⁴⁰ 102334155 1.618033989 0.618033989 Terlihat bahwa untuk setiap n yang semakin besar nilai Fn : Fn–1 untuk n yang berurutan selalu naik dan turun secara bergantian dan semakin mendekati atau sama dengan1,618033989, nilai pendekatan sampai dengan

delapan tempat desimal dari

1,6180339887498948482045868343656... Sebaliknya nilai Fn

: Fn+1 yang nilainya juga bergantian naik dan turun, semakin mendekati atau sama dengan 0,618033989, nilai pendekatan sampai dengan 8 tempat desimal dari bilangan 0,6180339887498948482045868343656. Untuk setiap nilai n ganjil dan semakin besar, nilai Fn : Fn–1 dan Fn : Fn+1

cenderung turun mendekati nilai batasnya dari atas, sedangkan untuk setiap nilai n genap, nilai Fn : Fn–1 dan Fn : Fn+1 cenderung naik mendekati nilai batasnya dari bawah.

Kedua nilai batas tersebut selisihnya adalah 1.

Bilangan 1,6180339887498948482045868343656...

dikenal sebagai bilangan keemasan. Bilangan itu dilambangkan dengan Φ (phi).

Jadi Φ = 1,6180339887498948482045868343656...

Rumus Umum Suku ke-n Barisan Fibonacci.

Untuk menentukan rumus suku ke-n Barisan Fibonacci, berikut ini disampaikan penjabaran menurut Binet.

Jika diperhatikan nilai perbandingan antara suku- sukunya yang berurutan, tampak adanya faktor yang mempengaruhi besar nilai sebuah suku, yaitu oleh bilangan yang diperoleh dari hasil bagi dua suku yang dikenal sebagai Φ tersebut di atas. Barisan yang setiap hasil bagi un : un–1

merupakan konstanta adalah barisan geometri dengan suku umumnya adalah un = ar^n–1.

Untuk menentukan rumus umum barisan Fibonacci kita berasumsi bahwa Fn merupakan suatu fungsi suatu variabel, misalnya x, yang berderajat n, sehingga:

Fn = Cxⁿ ...

(8)

Daaari (2) dan (8) diperoleh hubungan:

Cx^{n+ 2} = Cx^{n+ 1} + Cxⁿ

Jika kedua ruas dibagi Cxⁿ diperoleh:

x² = x + 1 ⇔ x² – x – 1 = 0 x1,2 =

2 4 1 1± +

x1 = 2

5

1 + dan x2 = 2

5 1 −

Bentuk umum suku ke-n dari Fn dapat diubah menjadi Fn = Ax₁ⁿ+Bxⁿ₂

atau: Fn = A

n 2

5 1











 + + B

n 2

5 1











 − ... (9)

dengan F1 = F2 = 1.

Jika nilai F1 dan F2 disubstitusikan ke persaman (9) diperoleh:

n = 1 ⇒ A 2

5 1 + + B

2 5

1 − = 1 ... (10)

n = 2 ⇒ A

2 2

5 1











 + + B

2 2

5 1











 − = 1

A 4

5 2 6 + + B

4 5 2

6 − = 1

A 2

5 3 + + B

2 5

3 − = 1 ... (11)

Dari (10) dan (11) diperoleh A = 5

1 dan B = – 5

1 , sehingga

Fn = 5

1 ⁿ

2 5 1











 +

− 5

1 ⁿ

2 5 1











 −

atau

Fn = 5 1

5 2

) 5 1 ( ) 5 1 (

n

n n− −

+ ... (12)

Karena x1 = 2

5

1 + = 1,61803398... = Φ, maka φ 1 =

5 1

2

+ =

2 1 5 − = –

2 5

1 − . Bentuk (11) dapat diubah menjadi: Fn =

5 ) ( ¹ⁿ n

−φ

− φ

... (13)

Dengan cara rumus suku ke-n barisan Lucas 1, 3, 4, 7, 11, 18, ... adalah

Ln =

n 2

5 1











 +

−

n 2

5 1











 −

... (14)

Barisan Dua Langkah

Misalkan disusun barisan dengan suku ketiga diperoleh melalui cara yang sama seperti pada Barisan Fibonacci, sedangkan kedua suku awalnya dipilih sembarang bilangan. Jika suku ke-n-nya dilambangkan dengan un, maka barisannya dikenal dengan Barisan Dua Langkah (Two Steps Sequence), yang rumus umumnya:

un+2 = un+1 + un ; ...

(15)

u1 dan u2 bilangan tertentu.

Contoh:

1)

1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, ...

2)

3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, ...

3)

4, 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, ...

4)

5, 3, 8, 11, 19, 30, 49, 79, ...

5)

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ...

Fakta pertama dari berisan dua langkah ternyata sangat unik. Perhatikanlah barisan yang terbentuk dari hasil pengurangan setiap suku dengan suku di depannya.

Kemudian dengan melakukan hal serupa, akan diperoleh hasil yang berbeda hanya pada beberapa suku pertama, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, ...

1)

1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, ...

3 1 4 5 9 14 23 –2 3 1 4 5 9 ...

5 –2 3 1 4 ...

Setiap barisan memiliki bagian barisan:

1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, ...

2)

3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, ...

–1 3 2 5 7 12 19 ...

4 –1 3 2 5 7 ...

–5 4 –1 3 2 ...

Setiap barisan memiliki bagian barisan:

3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, ....

Hal di atas sesungguhnya bukan hal yang mengejutkan.

Perhatikan kembali secara umum:

un+2 = un + un+1

⇔ uⁿ⁺²– un+1 = un

Dengan mengganti n → n – 1 diperoleh:

un+1– un = un–1

Ini menunjukkan bahwa barisan yang sukiu-sukunya yang berurutan terbentuk oleh hasil pengurangan setiap suku dengan suku di depannya adalah juga barisan dua langkah.

Fakta berikutnya menunjukkan, bahwa ternyata berapa pun suku pertama dan kedua ditentukan, untuk n yang semakin besar nilai un+1 : un semakin mendekati Φ dan un : un +1

semakin mendekati 1 – Φ = φ

1. Dengan demikian maka

setiap barisan dua langkah memiliki sifat yang sama, yaitu )

F : F (

lim _{n 1 n}

n +

∞

→

= Φ dan lim(F_n:F_{n 1})

n +

∞

→

= φ 1

Barisan dua langkah pada contoh terakhir di atas yaitu:

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ...

dinamakan Barisan Lucas, sesuai nama penyusun awalnya dan pemberi nama bagi Barisan Fibonacci.

Barisan Lucas

Seperti dissebutkan di atas, Barisan Lucas adalah barisan dua langkah dengan suku pertama dan kedua berturut- turut 1 dan 3.

Berikut ini dipaparkan 40 pasangan pertama suku-suku Barisan Fibonacci dan Barisan Lucas.

Fn Ln

Fn Ln

F1 1 L1 1 F21 10946 L21 24476

F2 1 L2 3 F22 17711 L22 39603

F3 2 L3 4 F23 28657 L23 64079

F4 3 L4 7 F24 46368 L24 103682

F5 5 L5 11 F25 75025 L25 167761 F6 8 L6 18 F26 121393 L26 271443 F7 13 L7 29 F27 196418 L27 439204 F8 21 L8 47 F28 317811 L28 710647 F9 34 L9 76 F29 514229 L29 1149851 F10 55 L10 123 F30 832040 L30 1860498 F11 89 L11 199 F31 1346269 L31 3010349 F12 144 L12 322 F32 2178309 L32 4870847 F13 233 L13 521 F33 3524578 L33 7881196 F14 377 L14 843 F34 5702887 L34 12752043 F15 610 L15 1364 F35 9227465 L35 20633239 L16 987 L16 2207 F36 14930352 L36 33385282 F17 1597 L17 3571 F37 24157817 L37 54018521 F18 2584 L18 5778 F38 39088169 L38 87403803 F19 4181 L19 9349 F39 63245986 L39 14142232 F20 6765 L20 15127 F40 10233415 4

5

L40 22882612 7

Fakta yang tampak pada tabel di atas di antaranya:

F1 + F3 = 1 + 2 = 3 = L2

F2 + F4 = 1 + 3 = 4 = L3

F3 + F5 = 2 + 5 = 7 = L4

F4 + F6 = 3 + 8 = 11 = L5

F5 + F7 = 5 + 13 = 18 = L6

Dapat diduga bahwa: Fn + Fn+2 = Ln+1

Perhatikan juga yang berikut ini:

Fn Ln F2n

1 1 1 1 = F2

2 1 3 3 = F4

3 2 4 8 = F6

4 3 7 21 = F8

5 5 11 55 =

F10

6 8 18 144 =

F12

7 13 29 377 =

F14

M

Dengan memperhatikan paparan di atas dapat diduga bahwa: Fn× Ln = F2n (n ∈ A)

Salah satu sifat yang dapat diamati di antaranya ialah:

Sifat-sifat Barisan Fibonacci

Telah ditunjukkan bahwa Barisan Fibonacci termasuk barisan dua langkah yang rumus rekursifnya Fn+2 = Fn + Fn+1, rumus umum suku ke-n adalah Fn =

5 2

) 5 1 ( ) 5 1 (

n

n n− −

+ dengan F1 = F2 = 1.

Dari hubungan di atas diperoleh:

Fn = Fn–1 + Fn–2

= (Fn–2 + Fn–3) + Fn–2 (mengganti Fn–1 dengan Fn–2 + Fn–3)

= 2 Fn–2 + Fn–3

= 2(Fn–3 + Fn–4) + Fn–3(mengganti Fn–2 dengan Fn–3 + Fn–

4)

= 3 Fn–3 + 2Fn–4

= 3(Fn–4 + Fn–5)+ 2Fn–4 (mengganti Fn–3 dengan Fn–4 + Fn–5)

Dengan memperhatikan bentuk di atas dan dari rumus rekursifnya diperoleh bahwa: F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8, F7 = 13, dan seterusnya Dapat diduga pula bahwa:

Fn = Fk+1 Fn–k + Fk Fn–k–1, untuk 1 ≤ k < n

atau F^m+n = Fm+1 Fⁿ + F^m Fn–1. ... (16)

Jika m = n maka diperoleh:

Fn+n = Fn+1 Fn + Fn Fn–1. F2n = Fn (Fn+1 + Fn–1)

Rumus-rumus:

1. F²ⁿ = Fⁿ(Fn+1 + Fⁿ) ... (17) Bukti:

F2n =

5 2

) 5 1 ( ) 5 1 (

n 2

n 2 n

2 − − +

=

5 2

) 5 1 ( ) 5 1 (

n

n n− −

+ ×

n

n n

2

) 5 1 ( ) 5 1

( + + −

= Fⁿ×××× 5

5 2

) 5 1 ( 2 ) 5 1 ( ) 5 1 (

n

n n

n

− × +

−

− +

Fⁿ(Fn+1 + Fⁿ)

=

5 2

) 5 1 ( ) 5 1 (

n

n n− −

+ ×

















− +

−

+ + − −

+

+ +

5 2

) 5 1 ( ) 5 1 ( 1

n

1 n 1

n

n n n

5 2

) 5 1 ( ) 5 1 (

=

( ) ( ) ( ) ( )

2 1 n 2

n n

n n 2

) 5 ( 2

) 5 1 ( 5 1 )(

5 1 ( ) 5 1 )(

5 1 ( 5 1 ) 5 1 )(

5 1 ( ) 5 1 )(

5 1 (

+

−

− + +

− +

−

−

− +

− +

+ +

( ) ( )

(

ⁿ

)

²

n n n

2

5 2

) 5 1 ( ) 5 1 ( ) 5 1 )(

5 1 ( 2 ) 5 1

(+ − + − + + + −

2. F¹ + F2 + F3 + …+ Fⁿ = Fn+2 – 1 Bukti:

Diandaikan rumus di atas benar untuk n = k, maka F1 + F2 + F3 + …+ Fk= Fk+2 – 1

Dibuktikan rumus benar untuk n = k + 1.

Berarti harus dibuktikan bahwa:

F1 + F2 + F3 + …+ Fk + Fk+1 = Fk+3 – 1 Bukti:

F1 + F2 + F3 + …+ Fk + Fk+1

= Fk+2 – 1+ Fk+1

= Fk+1+Fk+2– 1; sedangkan Fk+1+Fk+2= Fk+3

= Fk+3– 1

(terbukti) Dicoba untuk n = 1:

F1 = F3 – 1; sedangkan pada barisan Fibonacci F1 = 1 dan F3 = 2

1 = 2 – 1 benar

Karena benar untuk n = k dan n = k + 1 serta benar untuk n = 1 maka benar untuk setiap nilai n.

Rumus-rumus berikuit ini dapat Anda buktikan sendiri kebenarannya seperti kedua contoh di atas.

3. F²ⁿ⁺¹ = (Fn+1)² +( Fⁿ)² 4. F²ⁿ = (Fn+1)² – ( Fn–1)²

5. F¹ + F3 + F5 + …+ F2n–1 = F2n – 1 6. F² + F4 + F6 + …+ F2n = F2n+1 – 1

7. Fⁿ⁺¹ ×××× Fn–1 – Fⁿ² = (–1)ⁿ

Fn+1 – Fn = Fn–1

Fn+1 – Fn

=

5 2

) 5 1 ( ) 5 1 (

1 n

1 n 1

n +

+ +

− −

+

–

5 2

) 5 1 ( ) 5 1 (

n

n n− − +

=

5 2 . 2

) 5 1 )(

5 1 ( ) 5 1 )(

5 1 (

n

n

n

− − −

+

+

–

5 2

) 5 1 ( ) 5 1 (

n

n n− − +

=

5 2 . 2

) 5 1 ( 2 ) 5 1 ( 2 ) 5 1 )(

5 1 ( ) 5 1 )(

5 1 (

n

n n

n

n

− − − − + + −

+ +

=

5 2 . 2

) 5 1 )(

5 1 ( ) 5 1 )(

5 1 (

n

n

n

+ + −

+ +

−

=

5 2 . 2

) 5 1 )(

5 1 )(

5 1 ( ) 5 1 )(

5 1 )(

5 1 (

n

1 n 1

n−

+ + − −

−

+ +

+

−

=

5 2 . 4

) 5 1 )(

5 1 ( ) 5 1 )(

1 5 (

1 n

1 n 1

n

−

−

−

+ − −

+

−

=

5 2

) 5 1 ( ) 5 1 (

1 n

1 n 1

n

−

−

−

− − +

= Fn–1

Beberapa catatan:

1. Dapat ditunjukkan, bahwa Fⁿ genap hanya bila n kelipatan 3.

2. Untuk setiap n, nilai satuan pada Fn+60 dan Fn sama.

3. Dua Bilangan Fibonacci berurutan merupakan pasangan prima relatif (pembagi persekutuannya hanya sebuah, yaitu 1).

4. Untuk setiap Bilangan Fibonacci Fⁿ yang merupakan bilangan prima, maka n pastilah juga prima.