Variabel Kompleks (VARKOM)

Pertemuan 10 : Fungsi Entire, Fungsi Analitik, Fungsi Differentiable,

pengantar Integral

Oleh : Team Dosen Varkom S1-TT

Team Dosen Varkom S1-TT

Versi : September 2018

Tujuan dari Kuliah kali ini adalah

• Menjelaskanfungsi entire,fungsi analitik, danfungsi differentiable

• Menjelaskan macam-macam titik singular

• Menjelaskan lintasan bebas dan lintasan yang mengelilingi titik singular

• Pengantar Integral

Materi ini adalah pengantar ke integral kompleks

1 Differentiable, Analitik, dan Entire

2 Integrasi Kompleks

1 Tinjau suatu fungsi terurai : f(x+iy) =U(x , y) +iV(x , y)

2 Tinjau pula bidang-z: |z| < ∞

3 Tinjau suatu titikz₀pada bidang-z tersebut.

y

x z₀

4 Fungsif(x+iy)disebutdifferentiablediz0 =x₀+iy₀, jikaPCR terpenuhi di titik tersebut.

Contoh 1:

Tentukan apakahf(x+iy) =x²−y²+x+i(2xy +y) differentiable diz=1+i.

Jawab:

1 Periksa PCR:

U_x =2x+1;U_y = −2y ;V_x =2y;V_y =2x+1

2 U_x =V_y danU_y = −V_x dengan demikian syarat PCR terpenuhi.

3 PCR terpenuhi untuk setiap(x,y)padabidang-zdengan demikianf(x+iy) differentiabledi setiap titik pada bidang-z termasuk diz=1+i.

Contoh 2:

Tentukan apakahf(x+iy) =x²−y²+i(xy)differentiable di z=1+i.

Jawab:

1 Periksa PCR:

U_x =2x ;U_y = −2y ;V_x =y;V_y =x

2 SyaratU_x =V_y memberikan2x=xdanU_y = −V_x memberikan−2y =y

3 PCR hanya terpenuhi untukx=0dany=0, jadif(x+iy)hanya differentiablediz =0+i0dan tidak di titik lain termasuk di z =1+i

Contoh 3:

Tentukan apakahf(x+iy) =2x²+i(5y)differentiable di z=1+i.

Jawab:

1 Periksa PCR:

U_x= ... U_y= ... V_x= ... V_y= ...

2 ...

3 ...

Contoh 4:

Tentukan apakahf(x+iy) =2e^xcos y+5−i 2e^xsin y differentiable diz=1+i.

Jawab:

1 Periksa PCR:U_x= ... U_y= ... V_x= ... V_y= ...

2 ...

3 ...

Contoh 4:

Tentukan apakahf(x+iy) =2e^xcos y+5−i 2e^xsin y differentiable diz=1+i.

Jawab:

1 Periksa PCR:U_x= ... U_y= ... V_x= ... V_y= ...

2 ...

3 ...

Contoh 5:

Tentukan apakahf(z) =zdifferentiable diz =1+i. Jawab:

f(z) =z→f(x+iy) =x−iy

1 Periksa PCR:U_x= ... U_y= ... V_x= ... V_y= ...

2 ...

3 ...

1 Tinjau suatu fungsi terurai :f(z)atau f(x+iy) =U(x , y) +iV(x , y)

2 Tinjau bidang-z:|z| < ∞

3 Tinjau suatu daerahD pada bidang-z tersebut.

y

x D

4 Fungsif(x+iy)disebutanalitik diD, jikaf(x+iy) differentiable pada setiap titik diD.

1 Suatu fungsif(z)atauf(x+iy)disebutentirejikaf(z)atau f(x+iy)tersebutdifferentiablepada semua titik pada bidang z.

2 Dengan kata lain,fungsi entireadalahfungsi analitikpada semuaD:|z| < ∞

y

x

D

1 Pada umumnya fungsi elementerf(z)adalah entire.

Contoh: f(z) =2z ; f(z)=2z²+5 ; f(z) =sin(z) f(z) =e^z ....

2 Pada umumnya fungsi elementer yang melibatkan sekawan kompleksztidak analitik karena itu tidak entire.

Contoh: f(z) =2z ; f(z)=z+z ; f(z) =sin(z) f(z) =e^z ....

3 fungsi pecahan/rasionalf(z)= _Q(z)^P(z) pada umumnyaanalitik pada setiap daerah kecuali padaQ(z)=0.

4 zyang menyebabkanQ(z) = 0disebut titik singular.

Contoh: Tentukan titik singular dari:

f ( z ) =

_(z+1)(z+2)^5z 2

Jawab:

1 Q(z) =(z+1)(z+2)²

2 Nilai z yang menyebabkan Q(z) =0 adalah : z= −1dan z = −2

3 Titik singular diz = −1disebut titik singularorde 1.

4 Titik singular diz=-2disebut titik singularorde 2.

Contoh lain: Tentukan titik singular dari:

f ( ^z ) =

_z3(z+2z+1)(z−5)^5(z+7)

Jawab:

1 Q(z) = · · ·

2 Nilai z yang menyebabkan Q(z) =0 adalah : z= · · ·dan z = · · ·danz= · · ·

3 Titik singular diz = · · · disebut titik singularorde ...

4 Titik singular diz=... disebut titik singularorde ...

5 Titik singular diz=... disebut titik singularorde ...

Tinjautiga fungsi: Fungsi entire (misalf₁(z) =2z +5), fungsi analitik dengan titik singular (Misalf₂(z) = _z−z¹

0), dan Fungsi tidak analitik (Misalf₃(x+iy) =2x+i5y).

Fungsi entire Fungsi analitik dengan singular Fungsi tidak analitik y

x

D y

x

y

x l1

l2

l1

l2

z0

l3

l1

l2

l3 l3

Lintasan l₁, l₂ dan l₃ seperti gambar. Akan dilihat bahwa Integrasi (R

) f₁(z), f₂(z), f₃(z)pada pada masing-masing lintasan memiliki karakteristik berbeda.

Integrasi kompleksf(z)pada lintasanl : Z

l

f(z)dz

menyatakan penjumlahan

f(z₁)∆z₁+f(z₂)∆z₂+ · · · +f(z_N)∆z_N Dengan∆z_isangat kecil (Nsangat besar)

z_i titik tengah potongan∆z_i

f(z_i): nilai f(z)di z_ititik tengah potongan∆z_i

∆z

₁

∆z

₂

∆z

3

∆z

N

f (z

1

)

f (z

N

)

f (z

2

) f (z

3

)

Teknik menghitung integrasi:

Z

l

f(z)dz

1 Tulis persamaan lintasanl dalam parametert: z=r(t) +i s(t)

2 Turunkanzterhadapt: ^dz_dt =r⁰(t)+i s⁰(t)

3 Ataudz=r⁰(t)dt+i s⁰(t)dt

4 substitusiz =r(t) +i s(t)padaf(z).

5

Z

l

f(z)dz = Z _tB

tA

f(r(t) +i s(t))(r⁰(t)dt+i s⁰(t)dt)

6 Pisahkan integrasi menjadi bagian riil dan imaginer dan selesaikan seperti integrasi biasa.

Contoh : hitung

Z

l

(2z+5)dz

dengan lintasan garis lurus dari(0, 0)ke(4, 2).Jawab:

1 Tulis persamaan lintasanl dalam parametert: z=2t+i t ; 0≤t ≤2

2 Turunkanzterhadapt: ^dz_dt =2+i

3 Ataudz=2 dt+i dt

4 R

l(2z+5)dz = R₂

0(2(2t−it) +5)(2dt+idt)=R₂

0(4t+5−i2t)(2dt+idt)

5 Pisahkan kedua integral ini menjadi bagian riil dan imaginer:

R

l(2z+5)dz =R2

0[2(4t+5) +2t]dt+iR2

0(4t+5−4t)dt= R2

0[10t+10]dt+iR2

0 5dt= · · ·

Contoh : hitung

Z

l

(2z+5)dz

dengan lintasan garis lurus dari(0, 0)ke(4, 0), dilanjutkan dari (4,0) ke (4,2). Jawab:

1 Tulis persamaan lintasanl dalam parametert, terdapat dua potongan lintasan: z= · · · ·; 0≤t ≤4 dan

z = · · · +i· · · ·; 4≤t ≤6

2 · · · ·

3 · · · ·

4 · · · ·

Pertanyaan: apakah Z

l1

(2z+5)dz

dengan lintasanl₁ garis lurus dari(0, 0)ke(4, 0), dilanjutkan dari (4,0) ke (4,2).

sama hasilnya dengan:

Z

l2

(2z+5)dz

dengan lintasan l₂ garis lurus dari(0, 0)ke(4, 2)?

1 Apakahf(x+iy)berikut entire?

1 f (x + iy ) = x²− y²+ x + 2 + i(2xy + y )

2 f (x + iy ) = 2xy + i(x²− y²)

3 f (x + iy ) = x + y + i(xy )

2 Apakahf(z)berikut entire?

1 f (z) = zz

2 f (z) = z²+ 2z

3 f (z) = ze^z

4 f (z) = tan z

5 f (z) = _z+^z₂

3 Hitung integral

Z

l

zdz dengan

1 lintasan l garis lurus dari(0, 0)ke(2, 4)

2 lintasan l lintasan z = t²+ t, 0 ≤ t ≤ 2