1 BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa fakultas ekonomi dalam menentukan biaya optimum produksi dan
penentuan keuntungan maksimum. Atau menentukan panjang maksimum suatu balok oleh mahasiswa fakultas teknik, dan sebagainya.
Suatu fungsi juga sangat banyak macamnya. Salah satu cara untuk memperbanyak fungsi yaitu dengan membalikkan (invers) fungsi tersebut. Invers yaitu balikan suatu fungsi. Bagaimana mahasiswa bisa mencari turunan suatu fungsi yang semakin banyak itu? Apakah harus dicari dengan cara menghitung yang cukup panjang? Apakah tidak ada cara yang lebih mudah dan cepat untuk menghitungnya?
Semakin banyak fungsi akan menyulitkan kita dan membuat kita menjadi lebih lama untuk mencari differensial atau turunannya. Karena hal ini, orang berusaha mencari cara cepat mencari turunan pada fungsi balikan. Sehingga pada kesempatan kali ini akan kami coba mengemukakan tentang mencari turunan invers suatu fungsi dengan cara lebih cepat. Yaitu menggunakan teorema turunan fungsi invers. Hal ini akan memudahkan kita untuk menemukan diferensiasi fungsi invers tanpa membalikkan fungsinya terlebih dahulu dan kemudian mencari inversnya. Sehingga mahasiswa akan lebih mudah dalam menentukan turunan suatu invers.
2 1.2 Rumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud dengan fungsi balikan? 2. Bagaimana cara menentukan suatu fungsi balikan?
3. Apakah setiap fungsi yang monoton murni pada daerah asalnya pasti mempunyai balikan?
4. Bagaiman cara mencari turunan fungsi balikan?
5. Mengapa jika 𝑓(𝑥) = 0 di suatu 𝑥 dalam 𝐼, maka tidak berlaku teorema fungsi balikan?
1.3 Tujuan
1. Mengetahui apa yang dimaksud dengan fungsi balikan. 2. Mengetahui cara menentukan suatu fungsi balikan.
3. Mengetahui setiap fungsi yang monoton murni pada daerah asalnya pasti mempunyai balikan atau tidak.
4. Mengetahui cara mencari turunan fungsi balikan.
5. Mengetahui jika 𝑓(𝑥) = 0 di suatu 𝑥 dalam 𝐼, maka tidak berlaku teorema fungsi balikan.
1.4 Manfaat
1. Agar mahasiswa mengetahui apa yang dimaksud dengan fungsi balikan. 2. Agar mahasiswa mengetahui cara menentukan suatu fungsi balikan.
3. Agar mahasiswa mengetahui setiap fungsi yang monoton murni pada daerah asalnya pasti mempunyai balikan atau tidak.
4. Agar mahasiswa mengetahui cara mencari turunan fungsi balikan.
3 BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Fungsi Balikan
Jika 𝑓 adalah fungsi dari himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵, maka invers fungsi 𝑓 adalah
fungsi dari himpunan 𝐵 ke himpunan 𝐴.
Gambar 1. Sebuah fungsi 𝑓 dan inversnya 𝑓−1.
Jika sebuah input 𝑥 dimasukkan ke dalam fungsi 𝑓 menghasilkan sebuah output 𝑦, 𝑦
kemudian dimasukkan ke dalam fungsi invers 𝑓−1 menghasilkan output 𝑥. 𝑓 adalah fungsi yang domainnya adalah himpunan 𝑋, dan kodomainnya adalah
himpunan 𝑌. Kemudian, jika ada kebalikan dari fungsi 𝑓 adalah 𝑓−1 dengan domain
𝑌 dan kodomain 𝑋, dengan aturan. Jika 𝑓(𝑥) =𝑦, maka 𝑓−1 𝑦 =𝑥
Tidak semua fungsi mempunyai invers. Tetapi, fungsi yang tidak mempunyai invers itu akan mempunyai invers jika kita membatasi himpunan nilai-nilai 𝑋-nya. Fungsi yang mempunyai invers adalah fungsi bijektif, yaitu:
Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif. Sehingga sering dinyatakan sebagai "sebuah fungsi bijective jika dan hanya jika memiliki fungsi invers".
4 2.2 Cara Menentukan Fungsi Balikan
Hal yang berkaitan adalah pencarian rumus untuk 𝑓−1(𝑥) untuk melakukan itu, kita tentukan terlebih dahulu 𝑓−1(𝑦), kemudian kita menukarkan 𝑥 dan 𝑦 dalam rumus yang dihasilkan. Jadi diusulkan untuk melakukan tiga langkah berikut untuk pencarian 𝑓−1(𝑥)
1. Langkah 1 : Selesaikan persamaaan 𝑦 =𝑓(𝑥) untuk 𝑥 dalam bentuk 𝑦. 2. Langkah 2 : Gunakan 𝑓−1(𝑦) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan
dalam 𝑦.
3. Langkah 3 : Gantilah 𝑦 dengan 𝑥.
Perhatikan bahwa kita telah menukar peranan 𝑥 dan 𝑦. Sedikit pemikiran meyakinkan kita bahwa menukar peranan 𝑥 dan 𝑦 pada grafik adalah mencerminkan grafik terhadap garis 𝑦= 𝑥. Jadi, grafik 𝑦= 𝑓−1(𝑥) adalah gambar cermin grafik 𝑦 =
𝑓(𝑥) terhadap garis 𝑦= 𝑥.
Contoh soal
5 Jawab :
Langkah 1 : menyelesaikan persamaaan 𝑦= 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 dalam bentuk 𝑦.
𝑦= − 1
𝑥−3
𝑥 −3 =−1
𝑦 𝑥=−1𝑦+ 3
Langkah 2 : menggunakan 𝑓−1(𝑦) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam
𝑦
𝑓−1 𝑦 = −1
𝑦 + 3
Langkah 3 : mengganti 𝑦 dengan 𝑥.
𝑓−1 𝑥 = −1
𝑥+ 3
2.3 Keberadaan Fungsi Balikan
Teorema
Jika 𝑓 monoton murni pada daerah asalnya, maka 𝑓 memiliki balikan.
Fungsi monoton
Misalkan 𝑓(𝑥) terdefinisi pada suatu himpunan 𝑅. Untuk semua 𝑥1,𝑥2 ∈ 𝑅, fungsi
𝑓 𝑥 dikatakan:
monoton naik, jika 𝑥1 <𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2)
monoton turun, jika untuk 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 >𝑓(𝑥2) monoton tak naik, jika untuk 𝑥1 <𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 ≥ 𝑓(𝑥2) monoton tak turun, jika untuk 𝑥1 <𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 ≤ 𝑓(𝑥2) monoton datar, jika untuk 𝑥1 ≠ 𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 =𝑓(𝑥2)
6 Yang dimaksud monoton murni atau monoton tegas adalah fungsi monoton naik atau fungsi monoton turun.
Monoton naik jika 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 <𝑓 𝑥2 . Monoton turun jika 𝑥1 < 𝑥2 maka 𝑓 𝑥1 >𝑓 𝑥2 .
Kita ambil fungsi monoton naik untuk menunjukkan bahwa fungsi monoton murni memiliki invers.
Perhatikan pengertian fungsi naik. untuk 𝑥1 <𝑥2 maka berlaku 𝑓 𝑥1 <𝑓(𝑥2) untuk setiap 𝑥1,𝑥2 pada daerah asalnya.
Pernyataan tersebut ekuivalen dengan pernyataan jika 𝑥1 ≠ 𝑥2 maka berlaku
𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓(𝑥2) untuk setiap 𝑥1,𝑥2 pada daerah asalnya.
Dengan kata lain pernyataan tersebut adalah pengertian dari fungsi satu-satu.
Bukti teorema
Jika f monoton murni pada daerah asalnya, maka f memiliki balikan
Kita ambil 𝑓:𝐴 → 𝐵
Jika 𝑓 monoton murni maka 𝑓 satu-satu dan onto
Kita akan membuktikan salah satu dari fungsi monoton murni yaitu fungsi monoton naik.
Bukti untuk 𝒇 satu-satu.
Diketahui 𝑓 monoton naik ⟷ 𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2) Dengan kata lain : 𝑥1 ≠ 𝑥2 → 𝑓 𝑥1 ≠ 𝑓(𝑥2)
Terbukti 𝑓 satu-satu.
Bukti untuk onto
7 Onto artinya 𝑓 𝐴 = 𝐵, yang ekuivalen dengan 𝑓 𝐴 ⊆ 𝐵 dan 𝐵 ⊆ 𝑓(𝐴)
Untuk 𝑓 𝐴 ⊆ 𝐵 sudah sangat jelas. Sekarang akan dibuktikan untuk 𝐵 ⊆ 𝑓(𝐴) Andaikan
∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ∉ 𝑓 𝐴
Maka ∃𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, ∋ 𝑓 𝑥1 < 𝑏<𝑓 𝑥2
Untuk lim𝑥→𝑥1𝑥= 𝑐= lim𝑥→𝑥2𝑥 , 𝑥1 ≠ 𝑐 ≠ 𝑥2 Maka lim𝑥→𝑥1𝑓 𝑥 = lim𝑥→𝑥2𝑓(𝑥) =𝑓(𝑐)
Menurut teorema apit 𝑓 𝑐 < 𝑏<𝑓 𝑐 maka haruslah 𝑓 𝑐 =𝑏
∴ ∃ 𝑐 ∈ 𝐴 ∋ 𝑓 𝑐 =𝑏
∴ 𝑏 ∈ 𝑓(𝐴)
Kontradiksi bahwa 𝑏 ∉ 𝑓 𝐴 Jadi, 𝑓 adalah Onto.
Contoh soal
Perlihatkan bahwa 𝑓 memiliki balikan. Untuk 𝑓(𝑥) = 2𝑥7− 𝑥5+ 12𝑥. Jawab :
Dengan menggunakan teorema turunan pertama untuk kemonotonan fungsi. Kita dapatkan turunan pertamanya yaitu
𝑓′(𝑥) = 14𝑥6 −5𝑥4 + 12
Dimana nilai 𝑓′ 𝑥 selalu lebih besar nol untuk setiap 𝑥.
𝑓′ 𝑥 = 14𝑥6−5𝑥4+ 12 > 0 untuk semua 𝑥
Jadi 𝑓 naik pada seluruh garis real. sehingga 𝑓 memiliki balikan di sana.
8 2.4 Turunan Fungsi Balikan
Pada bagian ini kita akan mencoba menbahas lebih dalam tentang hubungan turunan suatu fungsi dengan turunan inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers. Pada bagian ini pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton murni.
Teorema
Andaikan 𝑓 terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang 𝐼. Jika 𝑓′(𝑥)≠ 0 di suatu 𝑥 tertentu dalam 𝐼. Maka 𝑓−1 terdiferensiasikan di titik yang berpadanan 𝑦=𝑓 𝑥 dalam daerah hasil 𝑓 dan
(𝑓−1)′ 𝑦 = 1
𝑓′(𝑥)
Gambar 2. Turunan 𝑓 invers
Menurut definisi invers. Yaitu, jika 𝑓 𝑥 =𝑦, maka 𝑓−1 𝑦 =𝑥. Dengan melakukan substitusi kita dapatkan 𝑓−1 𝑓 𝑥 =𝑥.
Untuk lebih mudah memahami teorema. Perhatikan gambar disamping!
Kita anggap, 𝑓−1 𝑥 =𝑔(𝑥).
Garis singgung fungsi 𝑓 𝑥 di 𝑎 adalah turunan pertama 𝑓 𝑥 di 𝑎 yaitu 𝑓′(𝑎)
9 Kita perhatikan untuk 𝑓−1 𝑓 𝑥 = 𝑥
Kita lakukan diferensiasi. Diperoleh :
𝑑
Diketahui 𝑔 monoton murni, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap
𝑦 ∈ [𝑟,𝑠] dengan 𝑦 ≠ 𝑏, maka 𝑔(𝑦)≠ 𝑔 𝑏 . dengan kata lain 𝐻 ∶ [𝑟,𝑠] → 𝑅, well define. Demikian halnya jika 𝑦=𝑓(𝑔 𝑦 ) dan 𝑏=𝑓(𝑔 𝑏 ) maka
berdasarkan definisi fungsi 𝐻diperoleh
𝐻 𝑦 = 𝑦 − 𝑏
11
Ketika kita membuktikan seperti itu. Mungkin kita akan kebingungan dengan langkah-langkah yang ada tersebut.
Sehingga kelompok kami menyajikan bukti menurut kelompok kami sendiri. Yang mungkin akan lebih mudah kita pahami.
Bukti mudahnya menurut kelompok kami
Andaikan 𝑓 terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang 𝐼. Jika 𝑓′(𝑥)≠ 0 di suatu 𝑥 tertentu dalam 𝐼. Maka 𝑓−1 terdiferensiasikan di titik
Dengan definisi limit, kita peroleh
𝑓−1 ′ 𝑓 𝑎 = lim
𝑥→𝑎
𝑓−1 𝑓 𝑥 − 𝑓−1 𝑓 𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎) Karena 𝑓−1 𝑓 𝑥 =𝑥 dan 𝑓−1 𝑓 𝑎 = 𝑎
Maka kita bisa menuliskan
𝑓−1 ′ 𝑓 𝑎 = lim
𝑥→𝑎
13 Kita selesaikan dengan menggunakan teorema (𝑓−1)′ 𝑦 = 𝑓′1
(𝑥)
(𝑓−1)′ 2 = 1
𝑓′(3)
(𝑓−1)′ 2 = 11 4
(𝑓−1)′ 2 = 4
Bagaimana jika kita menyelesaikannya dengan cara mencari inversnya kemudian kita turunkan?
𝑓 𝑥 = 𝑥+ 1 𝐷𝑓 = −1,∞ 𝑅𝑓 = [0,∞)
𝑓−1 𝑥 =𝑥2+ 1 𝐷𝑓 = 0,∞ 𝑅𝑓 = [−1,∞)
𝑓−1 ′ 𝑥 = 2𝑥 (𝑓−1)′ 2 = 4 Hasilnya sama.
2.5 Mengapa 𝑓′(𝑎) ≠0 ?
Syarat 𝑓′(𝑎)≠ 0 sangatlah penting . Apabila 𝑓′(𝑎) ≠0 maka fungsi invers 𝑔tidak terdiferensial di 𝑏=𝑓 𝑎 . Artinya, jika 𝑔terdiferensial di titik 𝑏=𝑓 𝑎 dan jika 𝑓 invers fungsi 𝑔, maka dapat diterapkan teorema tersebut pada fungsi 𝑔untuk dapat menyimpulkan bahwa fungsi 𝑓terdiferensial di titik 𝑎= 𝑔(𝑏) dan diperoleh
𝑔′ 𝑏 = 1
𝑓′ 𝑎 ↔ 1 = 𝑔′ 𝑏 . 𝑓′ 𝑎 = 0
Terjadi kontradiksi, oleh karena itu 𝑔tak terdiferensial di titik 𝑏=𝑓 𝑎 .
Lebih jelas terlihat jika kita masukkan 𝑓′ 𝑎 = 0 ke dalam 𝑔′ 𝑏 = 𝑓′1
𝑎
14 Contoh
Diberikan fungsi bernilai real 𝑓yang didefinisikan dengan
𝑓 𝑥 = 𝑥3 , ∀𝑥 ∈ 𝑅
Diperoleh 𝑓−1 𝑥 =𝑥
1
3 ,∀𝑥 ∈ 𝑅 , 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 , dan 𝑓−1 ′ 𝑥 = 𝑔′ 𝑥 =𝑥
−2 3
3 Ambil titik = 0 , diperoleh 𝑏= 𝑓(𝑎) = 0 dan 𝑓′(𝑎) = 0.
Dengan demikian 1 =𝑔′ 𝑏 . 𝑓′ 𝑎 = 0
Terjadi kontradiksi, sehinggga dapat disimpulkan bahwa 𝑓−1 𝑥 =𝑥
1
3 ,∀𝑥 ∈ 𝑅
15
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
Suatu fungsi dapat diperbanyak. Salah satunya dengan cra membalikkannya (inversnya). Langkah-langkah untuk membalikkan suatu fungsi yaitu :
1. Langkah 1 : Selesaikan persamaaan 𝑦=𝑓(𝑥) untuk 𝑥 dalam bentuk 𝑦. 2. Langkah 2 : Gunakan 𝑓−1(𝑦) untuk menamai ungkapan yang dihasilkan
dalam 𝑦.
3. Langkah 3 : Gantilah 𝑦 dengan 𝑥.
Sehingga fungsi tersebut akan semakin banyak. Dengan banyaknya fungsi-fungsi yang kita punya. Dan untuk mencari turunan suatu invers. Kita mempunyai teorema. Dengan adanya teorema turunan fungsi balikan. Yaitu :
Teorema
Andaikan 𝑓 terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang 𝐼. Jika 𝑓′(𝑥)≠ 0 di suatu 𝑥 tertentu dalam 𝐼. Maka 𝑓−1 terdiferensiasikan di titik
yang berpadanan 𝑦=𝑓 𝑥 dalam daerah hasil 𝑓 dan (𝑓−1)′ 𝑦 = 1
𝑓′(𝑥)
itu akan sangat membantu kita untuk mendapatkan turunan dengan lebih cepat. Sehingga akan memudahkan kita dalam menentukan turunan suatu fungsi. Tetapi kita juga sangat perlu untuk memperhatikan syarat-syaratnya. Yaitu fungsi tersebut harus kontinu dan fungsi tersebut monoton murni.
3.2 Saran
Perlu diperhatikan dalam menentukan turunan dari invers suatu fungsi. Karena disitu terdapat syarat fungsi yaitu harus kontinu dan monoton murni. Terkadang kita tetap melakukan itu padahal fungsi tersebut tidak kontinu. Sehinga perlu adanya ketelitian. Dan disarankan melihat syaratnya dalam menggunakan suatu teorema. Karena
