• Interpolasi Linier
• Interpolasi Kuadratik
• Interpolasi Polinomial
• Interpolasi Lagrange
• Regresi Linier
• Regresi Eksponensial
• Regresi Polinomial
Interpolasi digunakan untuk menaksir nilai antara
(intermediate value) diantara titik titik data yang
tepat.
Metode yang sering digunakan adalah interpolasi polinomial yang terdiri dari beberapa orde sbb :
Interpolasi Linier (orde 1)
Interpolasi Kuadratik (orde 2)
! : menentukan titik antara dari " # $
dengan menggunakan garis lurus.
−
−
=
−
−
Sehingga :
(
−
)
−
−
+
=
Semakin kecil interval P1 & P2 semakin baik hasil interpolasi.
Algoritma interpolasi linier :
1. Tentukan 2 titik P1 dan P2 dg koordinat masing masing ( 1, 1) dan ( 2, 2)
2. Tentukan nilai dari titik yang akan dicari (Q) 3. Hitung nilai dengan :
4. Nilai titik yang baru (Q) adalah : ( , )
(
−
)
Contoh :
Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi linier serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data : a. ln(1) dan ln(6)
b. ln(1) dan ln(4) Jawab (a) :
1= 1, 1 = ln(1) = 0
2= 6, 2 = ln(6) = 1,791759
= 2
Nilai eksak = ln(2) = 0,693147 → ε = 48,4%
0 1 2 3 4 5 6 7 0.5
0 0.5 1 1.5 2
y = ln(x)
(
)
=− − + =
Jawab (b) :
1= 1, 1 = ln(1) = 0
2= 4, 2 = ln(4) = 1,386294
= 2
Nilai eksak = ln(2) = 0,693147 → ε = 33,3%
0 1 2 3 4 5 6 7 0.5
0 0.5 1 1.5 2
y = ln(x)
(
)
=%
! : menentukan titik antara dari & # $
dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.
Bentuk umum persamaan utk interpolasi kuadratik :
(
−
)
+
(
−
)(
−
)
+
=
P0(x0,y0)
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
Q(x,y)
... (1)
%
Bentuk umum tersebut jika ditulis dalam fungsi kuadrat sbb :
dimana :
Bagaimana mendapatkan nilai 0, 1 dan 2 ?
+
+
=
=
−
−
=
−
−
%
Untuk = 0, persamaan (1) menjadi :
0 = 0 ... (2)
Untuk = 1 dan substitusi pers. (2) kedalam (1) :
Untuk = 2 dan substitusi pers. (2) dan (3) kedalam (1) :
−
−
=
... (3)−
−
−
−
−
−
=
... (4)%
Selain menggunakan bentuk umum persamaan (1) dengan nilai 0, 1 dan 2 pada persamaan (2) s/d (4), untuk menghitung nilai pada interpolasi kuadratik bisa juga menggunakan persamaan sbb :
(
)(
)
(
)(
)
(
(
)(
)(
)
)
(
)(
)
(
−
)(
−
)
−
−
+
−
−
−
−
+
−
−
−
−
%
Algoritma interpolasi kuadratik :
1. Tentukan 3 titik input P0( 0, 0), P1( 1, 1) dan P2( 2, 2)
2. Tentukan nilai dari titik yang akan dicari (Q)
3. Hitung nilai dengan :
4. Nilai titik yang baru (Q) adalah : ( , )
(
)(
)
(
)(
)
(
(
)(
)(
)
)
(
(
−)(
)(
−)
)
− − +
− −
− − +
− −
− − =
%
Contoh :
Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi kuadratik serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1), ln(4) dan ln(6)
Jawab :
0= 1, 0= ln(1) = 0
1= 4, 1= ln(4) = 1,386294
2= 6, 2= ln(6) = 1,791759
= 2
Harga harga tsb dimasukkan
kedalam rumus sehingga diperoleh :
ŷ= 0.565844
Nilai eksak = ln(2) = 0,693147 → ε = 18,4%
0 1 2 3 4 5 6 7 0.5
0 0.5 1 1.5 2
'
! : menentukan titik antara dari # $
dg menggunakan pendekatan fungsi polinomial. Metode yang bisa digunakan untuk memperoleh hasilnya adalah interpolasi polinomial beda terbagi Newton (divided difference interpolation polynomial
by Newton).
Bentuk umum persamaan interpolasi polinomial Newton :
(
)
(
)(
)
(
−
)(
−
) (
−
−)
+
+
−
−
+
−
+
=
'
dimana :
[…,…] disebut ( $
( )
−
= = =
=
→ beda terbagi hingga ke 1
→ beda terbagi hingga ke 2
'
Cara menghitung “( $ ( ) ” :
− − =
− − =
− − = →
− − =
− − −
−
Simbol :
'
Langkah langkah perhitungan interpolasi polinomial beda terbagi Newton :
1. Tentukan titik input untuk interpolasi orde –1.
2. Buat ( *( $ ( ) + untuk mendapatkan koefisien
3. Masukkan koefisien kedalam bentuk umum persamaan interpolasi polinomial Newton :
4. Tentukan nilai dari titik yang akan dicari dan hitung nilai dari persamaan interpolasi polinomial Newton tsb.
(
)
(
)(
)
(
−)(
−) (
− −)
+
+ − −
+ − +
'
Tabel beda terbagi hingga :
1
3 2 0
− − =
− − =
− − =
− − =
− − =
− − =
'
Contoh :
Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6)
Jawab :
0= 1, 0 = ln(1) = 0
1= 4, 1 = ln(4) = 1,386294
2= 5, 2 = ln(5) = 1,609438
'
Tabel beda terbagi hingga :
0,020411 0,223144
1,386294 4
1
0,182322 ,-./",01
1,791759 6
3
1,609438 5
2
,-,,21// 3,-,402&0
, 1
0
'
Sehingga persamaan interpolasi polinomialnya adalah :
Masukkan harga harga kedalam persamaan :
= 2, = 1, = 4, = 5
Sehingga diperoleh : ŷ = 0,628769
Nilai eksak = ln(2) = 0,693147 → ε = 9,3%
(
)
(
)(
)
(
−)(
−)(
−)
+
− −
− − +
Metode lain utk mendapatkan interpolasi polinomial adalah model interpolasi Lagrange yg mengguna kan fungsi polinomial dalam kombinasi deret.
Bentuk umum persamaan interpolasi Lagrange :
∏
∑
≠ = =
− − =
=
dengan :
Dari persamaan tersebut dpt dirumuskan beberapa interpolasi orde sbb :
• Interpolasi linier (orde 1) :
• Interpolasi kuadratik (orde 2) :
− − +
− − =
(
)(
)
(
)(
)
(
(
)(
)(
)
)
(
)(
)
(
−)(
−)
− −
+
− −
− −
+ − −
− −
• Interpolasi kubik (orde 3) :
dimana :
+ +
+ =
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
(
(
)(
)(
)(
)(
)
)
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
(
(
−)(
)(
−)(
)(
−)
)
− −
− = −
− −
− −
− =
− −
−
− −
− = −
− −
− −
− =
Contoh :
Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6)
Jawab :
0= 1, 0 = ln(1) = 0
1= 4, 1 = ln(4) = 1,386294
2= 5, 2 = ln(5) = 1,609438
,-/"12/0
ŷ =
1,075056 0.6
1,791759 6
3
3,218876 2
1,609438 5
2
2,772589 2
1,386294 4
1
0 0.4
0 1
0
Nilai eksak y= ln(2) = 0,693147 → εr = 9,3%
'
Ada cara lain untuk mendapatkan persamaan polinomial pada interpolasi polinomial, yaitu dengan cara menyusun sistem persamaan linier simultan dari nilai nilai dan yang diketahui.
Jika ada titik data yaitu P1( 1, 1) s/d Pn( , ) maka:
− −
− −
− −
− −
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
+
+
+
'
Penyelesaian persamaan linier simultan tersebut adalah nilai nilai 0, 1, 2, …, yang merupakan koefisien dari persamaan polinomial sbb :
Sehingga dengan memasukkan nilai pada persamaan tersebut akan didapatkan nilai dari titik yang akan dicari.
− −
+
+
+
+
=
'
Penyelesaian persamaan linier simultan tersebut dapat menggunakan metode metode yang telah dipelajari, seperti metode eliminasi Gauss atau metode eliminasi Gauss Jordan dengan menyusun matriks sbb :
'
Contoh :
Taksirlah nilai ln(2) dengan interpolasi polinomial serta hitunglah kesalahan relatifnya jika digunakan data ln(1), ln(4), ln(5) dan ln(6)
Jawab :
0= 1, 0 = ln(1) = 0
1= 4, 1 = ln(4) = 1,386294
2= 5, 2 = ln(5) = 1,609438
3= 6, 3 = ln(6) = 1,791759
'
Dengan metode Gauss Jordan, Augmented matrix :
B2 B1 B3 B1 B4 B1
'
B1 B2
B3 4B2
B4 5B1
− − − − −
B3/4
'
B1+4B3 B2 5B3
B4 10B3
− − −
'
B1 20B4 B2+29B4 B3 10B4
− −
− −
−
'
Sehingga diperoleh persamaan polinomial sbb :
Untuk = 2, diperoleh : ŷ= 0,628769
Nilai eksak = ln(2) = 0,693147 → ε = 9,3% + −
+ −
