• Tidak ada hasil yang ditemukan

Perumusan Ensembel Mekanika Statistik Kuantum. Part-2

N/A
N/A
Info
Unduh - Bebas
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "Perumusan Ensembel Mekanika Statistik Kuantum. Part-2"

Copied!
36
0
0

Memuat.... (Lihat teks lengkap sekarang)

Unduh sekarang ( 36 Halaman )

Teks penuh

(1)

Perumusan Ensembel

Mekanika Statistik Kuantum

(2)

Menghitung Banyak Status Keadaan

β€’ Asumsi : partikel tak punya spin (spinless!)-> apa

konsekuensinya?

β€’ Karena TAK ADA INTERAKSI maka tingkat-tingkat energy yg

bisa dimiliki system adalah tingkat energy PARTIKEL

TUNGGAL. Yang membedakan adalah berapa banyak partikel bisa menempati suatu tingkat energy tsb.

β€’ Energi level system = Energy level dari 1 partikel! (non

interacting!)

β€’ Energi system = total energy berdasarkan okupansi partikel

pada level energy partikel tunggal:

πœ–π’‘ = 𝑝

2

2π‘š dengan 𝒑 =

2πœ‹β„ 𝐿 𝒏

(3)

Menghitung Banyak Status Keadaan

β€’ Spesifikasi keadaan system ideal diberikan oleh set jumlah okupansi { np} dengan np: jumlah partikel dengan momentum p. β€’ Kendala system: 𝐸 = 𝒑 π‘›π’‘πœ–π’‘ 𝑁 = 𝒑 𝑛𝒑

β€’ Untuk kasus spinless boson dan fermion set {np} sudah secara unik menspesifikasi keadaan system.

β€’ Nilai yang diijinkan untuk masing-masing adalah: 𝑛𝒑 = 0,1,2,3, … π‘π‘œπ‘ π‘œπ‘›

(4)

Gas Ideal di Ensembel Mikrokanonik

Mekanika Kuantum

β€’ Untuk Boltzmann :

𝑛𝒑 = 0,1,2,3, … tetapi {np} menyatakan 𝑁!

𝑛1!𝑛2!…. keadaan

system! Permutasi partikel dengan momentum yg berbeda (p) berbeda tak menghasilkan distribusi baru.

β€’ Tingkat energy system N partikel adalah tingkat energy partikel tunggal.

β€’ Pendekatan : spektrum energi tsb akan dibagi dalam sel-sel, tiap sel mengandung sejumlah level (tingkat) energi yg

(5)

Teknik Menghitung Banyak Keadaan Sistem

β€’ Konstrain:

𝑖 𝑛𝑖 = 𝑁 dan π‘–π‘›π‘–πœ–π‘– = 𝐸

β€’ Banyak cara mendistribusi N partikel ke sel-sel tsb, tiap kali menghasilkan satu macam distribusi n : W {ni}

β€’ Maka banyak keadaan status microstate terkait:

Ξ“ 𝑁, 𝑉, 𝐸 =

{𝑛𝑖}

π‘Š{𝑛𝑖} β€’ Penjumlahan dilakukan terhadap

berbagai cara mendistribusikan {ni} yg berbeda yg memenuhi konstrain di atas.

ο₯ Sel-3 ο₯3 Sel-2 ο₯2 Sel-1 ο₯1 g3 ; n3 g2 ; n2 g1 ; n1 Jumlah level Okupan si

Misal untuk sel ke-i :

Rata-rata level energi bernilai ο₯i Banyak level di sel tsb: gi >>1

(6)

Boson

β€’ Sedangkan W{ni}:

π‘Š 𝑛𝑖 =

𝑖

𝑀𝑖

β€’ Dengan wi : banyak cara mendistribusikan partikel identik

indistinguishable sejumlah ni di dalam sel ke-i yang memiliki

jumlah level gi.

β€’ Nilai wi bergantung pada jenis partikel : Fermion atau Boson. β€’ Kasus Boson:

– Tiap level boleh berisi partikel : 0,1,2,dst

– Persoalan : diberikan ni boson untuk menempati level energi yg berbeda sebanyak gi dalam sel-i.

(7)

Boson

– Pertanyaan : ada berapa banyak cara berbeda untuk

mendistribusikan boson tsb di sel-i tsb yg punya gi subsel? – Persoalan tsb bisa dipandang sbg:

Diberikan ni partikel dan (gi-1) partisi. Carilah banyaknya cara berbeda untuk mendistribusikan ni partikel dan (gi-1) partisi tsb.

β€’ Jumlah partisi gi-1, sebab jumlah level (β€œruang”) : gi

Partikel ke: 1 2 3 4 ….. n Partisi ke: 1 2 gi-1

(8)

Boson

β€’ Banyak cara mendistribusikan ni partikel + (gi-1) partisi : (ni+gi-1)!

β€’ Akan tetapi : partikel identik (undistinguishable) demikian juga partisi!, maka permutasi ni diantara partikel dalam satu sel dan permutasi diantara (gi-1) partisi tidak menghasilkan konfigurasi distinc yg baru, jadi:

β€’

𝑀𝑖 = 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 βˆ’ 1 ! 𝑛𝑖! 𝑔𝑖 βˆ’ 1 !

(9)

Fermion

Ini berarti Total seluruh keadaan yang distinct untuk satu

distribusi {ni} tertentu dari bosons adalah: (artinya seluruh n

sudah didistribusikan dulu n1 berapa, n2 berapa dst)

π‘Šπ΅πΈ 𝑛𝑖 = π‘Šπ‘–π΅πΈ = 𝑖 𝑀𝑖 = 𝑖 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 βˆ’ 1 ! 𝑛𝑖! 𝑔𝑖 βˆ’ 1 ! β€’ Kasus Fermion:

– Tiap level hanya boleh diisi maksimum 1 partikel, jadi okupansi tiap level:0 atau 1.

– Karena sel ke-i memiliki gi level yang akan ditempati ni partikel (tentu ni tidak bisa > gi), berarti akan ada ni level yg berisi 1 partikel dan sisanya (gi-ni) kosong.

(10)

Fermion

β€’ Kita bisa memandang ini spt di Boson, akan tetapi:

Jumlah obyek yg akan didistribusikan, justru total jumlah levelnya : gi

β€œObyek” tsb akan dipartisi jadi 2 kelompok saja: kelompok satu masing-masing berisi 1 partikel (ni), sisanya (gi-ni) tidak ada partikel.

β€’ Jadi ada g! cara berbeda mendistribusi obyek tsb. Tetapi permutasi dalam tiap kelompok : isi (ni) dan kosong (gi-ni) tidak menghasilkan keadaan baru. Sehingga banyaknya cara yang berbeda diberikan oleh:

(11)

Fermion

𝑀𝑖 =

𝑖

𝑔𝑖!

𝑛𝑖! 𝑔𝑖 βˆ’ 𝑛𝑖 !

Ini berarti Total seluruh keadaan yang distinct untuk satu distribusi

{ni} tertentu dari Fermion adalah: (artinya seluruh n sudah

didistribusikan dulu n1 berapa, n2 berapa dst)

π‘ŠπΉπ· 𝑛𝑖 = π‘Šπ‘–πΉπ· = 𝑖 𝑀𝑖 = 𝑖 𝑔𝑖! 𝑛𝑖! 𝑔𝑖 βˆ’ 𝑛𝑖 ! Level: 1 2 3 4 ….. gi kosong (gi-ni) berisi (ni buah)

(12)

Boltzon

β€’ Kasus : Boltzon (Partikel maxwell boltzmann: hipotetik) β€’ Untuk partikel Boltzmann mula-mula anggap mereka

terbedakan (distinguishable) dan mereka bisa menempati status keadaan yang sama seperti boson.

β€’ Untuk sel ke-i, ada gi level (subsel) dan terdapat ni partikel terbedakan yg harus didistribusikan ke gi tsb, jelas banyaknya cara berbeda untuk mendistibusikannya adalah:

– Partikel ke-1, bisa menempati salah satu dari gi level,

– Partikel ke-2, juga bisa menempati salah satu dari gi level – Partikel ke-n, juga bisa menempati salah satu dari gi level

(13)

Boltzon

β€’ Total cara berbeda mendistribusikan ni partikel dalam gi level adalah :

𝑔𝑖 𝑛𝑖

β€’ Banyak cara membagikan N total partikel ke dalam berbagai sel yang masing-masing berisi n1, n2 dst dan permutasi dalam tiap sel tidak menghasilkan keadaan baru adalah (kombinasi):

𝑁! 𝑛1! 𝑛2! …

β€’ Faktor koreksi berikutnya (Gibbs) : 1/N!, karena permutasi

diantara partikel tsb sendiri (N buah) tidak akan menghasilkan status keadaan baru.

(14)

Boltzon

β€’ Sehingga total banyak konfigurasi {ni} yang berbeda bagi Boltzon ini adalah:

π‘Šπ‘€π΅ 𝑛𝑖 = 1 𝑁! 𝑁! 𝑛1! 𝑛2! … 𝑔1 𝑛1 𝑔2𝑛2 … = 𝑖 𝑔𝑖𝑛𝑖 𝑛𝑖!

(15)

Problem of The most Probable Distribution

β€’ Setelah mengetahui banyaknya cara berbeda

mendistribusikan partikel identic N buah, maka selanjutnya mesti dicari distribusi {ni*} seperti apa yang akan

menghasilkan W yg terbesar.

β€’ Dengan kata lain berapa nilai masing-masing ni di tiap sel agar W paling besar!

β€’ Entropi S diberikan oleh :

𝑆 = π‘˜ ln (

{𝑛𝑖}

(16)

Problem of The most Probable Distribution

β€’ Nilai log ruas kanan, untuk N besar sekali bisa didekati

dengan 1 suku saja yaitu : the largest W{ni}=W{n*i}, dengan

{n*i} adalah distribusi {ni} yang akan menghasilkan the

largest W : THE MOST PROBABLE STATE! Tetapi dengan

tetap memenuhi dua kendala : total partikel dan energy β€’ Jadi :

𝑆 β‰ˆ π‘˜ ln π‘Š{π‘›π‘–βˆ—} β€’ Konstrain:

(17)

Metoda Lagrange Multiplier

β€’ Memakai metoda Lagrange multiplier, maka kondisi untuk mendapatkan Wmax tsb diungkapkan oleh:

𝛿 ln π‘Š{𝑛𝑖} βˆ’ 𝛼Σ𝑖𝛿𝑛𝑖 + π›½Ξ£π‘–πœ–π‘–π›Ώπ‘›π‘– = 0 β€’ Dengan 𝛼 , 𝛽 adalah parameter.

– Asumsi: ni dan gi >>1 sehingga Aproksimasi Stirling boleh dipakai. Maka:

Kasus : Distribusi Bose Einstein:

π‘Šπ΅πΈ 𝑛𝑖 =

𝑖

𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 βˆ’ 1 ! 𝑛𝑖! 𝑔𝑖 βˆ’ 1 !

(18)

Distribusi Bose-Einstein

Maka: ln π‘Šπ΅πΈ = 𝑖 ln 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 βˆ’ 1 ! βˆ’ ln 𝑛𝑖! βˆ’ ln 𝑔𝑖 βˆ’ 1 ! ln π‘Šπ΅πΈ β‰ˆ 𝑖 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 βˆ’ 1 ln 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 βˆ’ 1 βˆ’ (𝑛𝑖 + 𝑔𝑖

(19)

Problem of The most Probable Distribution

l𝑛 π‘Šπ΅πΈ β‰ˆ 𝑖 𝑛𝑖 ln 1 + 𝑔𝑖 𝑛𝑖 + 𝑔𝑖 ln 1 + 𝑛𝑖 𝑔𝑖 𝛿ln π‘Šπ΅πΈ β‰ˆ 𝑖 𝛿𝑛𝑖 ln 1 + 𝑔𝑖 𝑛𝑖 Substitusi ke : 𝛿 ln π‘Š{𝑛𝑖} βˆ’ 𝛼Σ𝑖𝛿𝑛𝑖 + π›½Ξ£π‘–πœ–π‘–π›Ώπ‘›π‘– = 0 𝑖 ln 1 + 𝑔𝑖 𝑛𝑖 βˆ’ 𝛼 βˆ’ π›½πœ–π‘– 𝛿𝑛𝑖 = 0 Berarti ln 1 + 𝑔𝑖 𝑛𝑖 βˆ’ 𝛼 βˆ’ π›½πœ–π‘– = 0

(20)

Distribusi BE, FD dan MB

Jadi distribusi Boson yang terkait W terbesar (most probable):

𝑛𝑖 = 𝑔𝑖

𝑒𝛼+π›½πœ–π‘– βˆ’ 1 ≑ 𝑛𝑖

βˆ—(𝐡𝐸)

Dapat dibuktikan dengan cara yg serupa untuk gas Fermion dan Boltzmann didapatkan, the most probable distribution-nya: 𝑛𝑖 = 𝑔𝑖 𝑒𝛼+π›½πœ–π‘– + 1 ≑ 𝑛𝑖 βˆ—(𝐹𝐷) 𝑛𝑖 = 𝑔𝑖 𝑒𝛼+π›½πœ–π‘– ≑ 𝑛𝑖 βˆ—(𝑀𝐡)

(21)

Distribusi BE, FD dan MB

Dapat dibuktikan bahwa hubungan parameter 𝛼, 𝛽 dengan thermodinamika adalah :

𝛼 = βˆ’ πœ‡

π‘˜π‘‡ dan 𝛽 = 1 π‘˜π‘‡

Sehingga dengan definisi fugacity :𝑧 = π‘’π›½πœ‡ :

π‘›π‘–βˆ— 𝐡𝐸 = 𝑔𝑖

π‘§βˆ’1π‘’π›½πœ–π‘– βˆ’ 1

π‘›π‘–βˆ— 𝐹𝐷 = 𝑔𝑖

π‘§βˆ’1 π‘’π›½πœ–π‘– + 1

(22)

Distribusi BE, FD dan MB

Pelabelan thd sel ke-i yg memiliki degenrasi gi dapat diganti ke pelabelan momentum (yg unik), sehingga:

π‘›π‘–βˆ— 𝐡𝐸 = 𝑔𝑖 π‘§βˆ’1π‘’π›½πœ–π‘– βˆ’ 1 β†’ 𝑛𝒑 βˆ— 𝐡𝐸 = 1 π‘§βˆ’1π‘’π›½πœ–π’‘ βˆ’ 1 π‘›π‘–βˆ— 𝐹𝐷 = 𝑔𝑖 π‘§βˆ’1 π‘’π›½πœ–π‘– + 1 β†’ 𝑛𝒑 βˆ— 𝐹𝐷 = 1 π‘§βˆ’1π‘’π›½πœ–π’‘ + 1 π‘›π‘–βˆ—(𝑀𝐡) = 𝑔𝑖𝑧𝑖 π‘’βˆ’π›½πœ–π‘– β†’ 𝑛 𝒑 βˆ— 𝑀𝐡 = π‘§π‘’βˆ’π›½πœ–π’‘

Pelabelan momentum p ini identic dengan menggunakan bilangan gelombang k, sebab 𝒑 = β„π’Œ

(23)

Okupansi dan Jumlah Partikel

Jumlah total partikel N akan diberikan oleh : 𝑁 =

𝑖

π‘›π‘–βˆ— =

𝒑

π‘›π’‘βˆ— Untuk Boson dan Fermion :

𝒑

1

π‘§βˆ’1π‘’π›½πœ–π’‘ Β± 1 = 𝑁

Dalam limit thermodinamika N besar, spectrum energy nyaris kontinu:

πœ–π’‘ = 𝑝

2

(24)

Okupansi dan Jumlah Partikel

Maka 𝒑 β†’ 𝑑𝑝 4πœ‹π‘2 𝑁 β‰ˆ 0 ∞ 4πœ‹π‘2𝑑𝑝 π‘§βˆ’1𝑒𝛽𝑝2/2π‘š Β± 1 β†’ 0 ∞ 4πœ‹π‘2𝑑𝑝 π‘’βˆ’π›½πœ‡π‘’π›½π‘2/2π‘š Β± 1 Substitusi π‘₯2 = 𝛽𝑝2 2π‘š : 𝑁 β‰ˆ 4πœ‹ 2π‘š 𝛽 3/2 0 ∞ π‘₯2𝑑π‘₯ π‘’βˆ’π›½πœ‡π‘’π‘₯2 Β± 1

Pada limit suhu tinggi 𝛽 β†’ 0 , N yang berhingga menuntut integralnya οƒ  0.

(25)

Okupansi dan Jumlah Partikel

Agar integralnya kecil (οƒ 0), maka penyebutnya οƒ  ∞:

Untuk 𝛽 β†’ 0, maka π‘’βˆ’π›½πœ‡π‘’π‘₯2 Β± 1 β†’ ∞ , π‘’βˆ’π›½πœ‡π‘’π‘₯2 β†’ ∞ atau π‘’βˆ’π›½πœ‡ β†’ ∞.

Hal ini berarti dalam kasus 𝛽 β†’ 0 atau suhu tinggi maka distribusi Fermion dan Boson menjadi seperti Maxwell Boltzmann saja.

Jika suhu tinggi (𝛽 β†’ 0) maka okupansi level tertentu sebanding dengan:

π‘’βˆ’π›½(πœ–π‘βˆ’πœ‡)

Jika 𝛽 kecil maka okupansi keadaan dengan energy tinggi akan sedikit, artinya dalam hal ini tak berpengaruh antara boson ataupun fermion, sebab tersedia jauh lebih banyak status keadaan dibandingkan partikel yg akan menempati.

(26)

Perbandingkan Okupansi rata-rata

Distribusi Fermion, Boson dan Boltzon

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -2 -1 0 1 2 3 4 (ο₯-) FD BE MB

Nampak bahwa pada (ο₯-) besar distribusi FD,BE

mendekati MB.

Padahal MB (klasik) adalah model yg cukup bagus untuk T tinggi, berarti:

πœ– βˆ’ πœ‡ π‘˜π‘‡ ≫

Supaya bisa besar, padahal T tinggi maka  <0 dan

(27)

Pengaruh Spin partikel

β€’ Jika partikel memiliki spin S, maka status keadaan partikel tunggal dengan momentum tertentu p mesti dilengkapi dengan spin-nya

(p,S).

β€’ Dalam banyak aplikasi kita hanya perlu memperhatikan jumlah total status keadaan yang perlu dijumlahkan, misalnya untuk N:

𝑁 = 𝑠 𝒑 𝑛𝑠,𝒑 = (2𝑆 + 1) 𝒑𝑛𝒑

β€’ Dengan s=-S,-S+1,…,S.

β€’ Misal untuk spin S=1/2, maka 𝑠 = βˆ’1

2 ,

1

2, jadi ada (2S+1)=

(2(1/2)+1)=2 keadaan terkait spin tsb.

(28)

Entropi

– Ungkapan Entropi-nya berbentuk (BE): 𝑆 β‰ˆ π‘˜ ln π‘Š π‘›βˆ— = π‘˜ 𝑖 π‘›π‘–βˆ— ln 1 + 𝑔𝑖

π‘›π‘–βˆ— + 𝑔𝑖 ln 1 + π‘›π‘–βˆ— 𝑔𝑖

– Untuk Fermion, ungkapan entropinya dapat dibuktikan menjadi: 𝑆 β‰ˆ π‘˜ ln π‘Š π‘›βˆ— = π‘˜ 𝑖 π‘›π‘–βˆ— ln 𝑔𝑖 π‘›π‘–βˆ— βˆ’ 1 βˆ’ 𝑔𝑖 ln 1 βˆ’ π‘›π‘–βˆ— 𝑔𝑖 – dan Maxwell-Boltzmann 𝑆 β‰ˆ π‘˜ ln π‘Š π‘›βˆ— = π‘˜ 𝑖 π‘›π‘–βˆ— ln 𝑔𝑖 π‘›π‘–βˆ—

(29)

Entropi

– Untuk hasil terakhir ini telah dilakukan aproksimasi : gi, ni >>1.

Jika secara eksplisit, ni/gi untuk masing-masing distribusi, maka entropi:

BE: 𝑆 β‰ˆ π‘˜ 𝑖 π‘›π‘–βˆ—(𝛼 + π›½πœ–π‘–) βˆ’π‘”π‘– ln 1 βˆ’ π‘’βˆ’π›Όβˆ’π›½πœ–π‘–

FD : 𝑆 β‰ˆ π‘˜ 𝑖 π‘›π‘–βˆ—(𝛼 + π›½πœ–π‘–) +𝑔𝑖 ln 1 + π‘’βˆ’π›Όβˆ’π›½πœ–π‘–

MB: 𝑆 β‰ˆ π‘˜ 𝑖 π‘›π‘–βˆ—(𝛼 + π›½πœ–π‘–)

– Nilai ni untuk masing-masing distribusi spt yg diturunkan sebelumnya!

(30)

Entropi

– Atau dengan substitusi nilai π‘›π‘–βˆ—, untuk Boson: 𝑆 β‰ˆ π‘˜ 𝑖 𝑔𝑖 (βˆ’π‘™π‘› 𝑧+π›½πœ–π‘–) π‘§βˆ’1π‘’π›½πœ–π‘–βˆ’1 βˆ’ ln 1 βˆ’ 𝑧𝑒 βˆ’π›½πœ–π‘– Untuk Fermion: 𝑆 β‰ˆ π‘˜ 𝑖 𝑔𝑖 (βˆ’π‘™π‘› 𝑧+π›½πœ–π‘–) π‘§βˆ’1π‘’π›½πœ–π‘–+1 + ln 1 + 𝑧𝑒 βˆ’π›½πœ–π‘– Maxwell-Boltzmann: 𝑆 β‰ˆ π‘˜π‘§ 𝑖 π‘”π‘–π‘’βˆ’π›½πœ–π‘–(βˆ’π‘™π‘› 𝑧 + π›½πœ– 𝑖)

Fungsi thermodinamika diperoleh dengan eliminasi z dari persamaan di atas, dengan memanfaatkan kendala bagi

𝑁 =

𝑖

(31)

Contoh : Gas Boltzmann

– Kita pakai untuk Boltzon, mulai dari 𝑁 = 𝑖 π‘›π‘–βˆ— = 𝑧 𝑖 𝑔𝑖 π‘’βˆ’π›½πœ–π‘– = 𝑧 𝒑 π‘’βˆ’π›½πœ–π’‘

Untuk hasil terakhir tsb karena gi adalah degenerasi level energy πœ–π‘–, ketika dinyatakan dlm momentum maka tiap p unik, jadi tidak ada degenerasi!

– Bagaimana mengubah Ξ£ β†’ ?

Volume elementer di ruang fasa (q,p) = h, jadi banyak status keadaan:

𝑖

β†’ 𝑉 β„Ž3

(32)

Contoh : Gas Boltzmann

𝑁 β‰ˆ 𝑧𝑉 β„Ž3 0 ∞ 4πœ‹π‘2 π‘’βˆ’π›½π‘ 2 2π‘š 𝑑𝑝 = 𝑧𝑉 πœ†3

Dengan  adalah thermal wavelength πœ† = β„Ž

2πœ‹π‘šπ‘˜π‘‡, dengan

ini bisa juga dituliskan (𝑣 = 𝑉/𝑁): 𝑧 = πœ†

3

𝑣

Energi system 𝐸 = π‘›π‘–πœ–π‘–: (dengan bantuan N di atas) 𝐸 = 𝑖 π‘§π‘”π‘–πœ–π‘–π‘’βˆ’π›½πœ–π‘– = 𝑧 𝒑 πœ–π’‘π‘’βˆ’π›½πœ–π’‘ β‰ˆ 𝑧𝑉 β„Ž3 0 ∞ 4πœ‹π‘2 𝑝 2 2π‘š 𝑒 βˆ’π›½π‘2π‘š2 𝑑𝑝 = 3 2 π‘π‘˜π‘‡

(33)

Entropi

β€’ Maxwell-Boltzmann: 𝑆/π‘˜ β‰ˆ 𝑧 𝑖 π‘”π‘–π‘’βˆ’π›½πœ–π‘–(βˆ’π‘™π‘› 𝑧 + π›½πœ– 𝑖) Atau 𝑆/π‘˜ β‰ˆ 𝑧 𝒑 π‘’βˆ’π›½πœ–π’‘(βˆ’π‘™π‘› 𝑧 + π›½πœ– 𝒑) 𝑆 π‘˜ β‰ˆ 𝛽𝑧 𝒑 πœ–π’‘π‘’βˆ’π›½πœ–π’‘ βˆ’ (ln 𝑧)𝑧 𝒑 π‘’βˆ’π›½πœ–π’‘ 𝑆 π‘˜ β‰ˆ 𝛽𝐸 βˆ’ 𝑁 ln 𝑧

(34)

Entropi

𝑆 π‘˜ β‰ˆ 3 2 π‘π‘˜ βˆ’ 𝑁 ln 𝑧 Dengan 𝑧 = πœ†3 𝑣 : 𝑆 π‘˜ β‰ˆ 3 2 π‘π‘˜ βˆ’ 𝑁 ln( πœ†3 𝑣 ) 𝑆 π‘˜ β‰ˆ 3 2 π‘π‘˜ βˆ’ 𝑁 𝑙𝑛 𝑁 𝑉 β„Ž2 2πœ‹π‘š π‘˜π‘‡ 3/2

(35)

Interpretasi

Ambil misalnya (BE):

𝑆 β‰ˆ π‘˜ 𝑖 π‘›π‘–βˆ—(𝛼 + π›½πœ–π‘–) βˆ’π‘”π‘– ln 1 βˆ’ π‘’βˆ’π›Όβˆ’π›½πœ–π‘–

Suku Ξ£π‘–π‘›π‘–βˆ— = 𝑁 , total partikel dan Ξ£π‘–π‘›π‘–βˆ—πœ–π‘– = 𝐸 total energi. Sehingga:

𝑆

π‘˜ β‰ˆ 𝛼𝑁 + 𝛽𝐸 βˆ’

𝑖

𝑔iln(1 βˆ’ π‘’βˆ’π›Όβˆ’π›½πœ–π‘–)

Dapat dibuktikan bahwa arti parameter  dan  adalah : 𝛼 = βˆ’ πœ‡ π‘˜π‘‡ dan 𝛽 = 1 π‘˜π‘‡ sehingga: 𝑇𝑆 β‰ˆ βˆ’πœ‡π‘ + 𝐸 βˆ’ π‘˜π‘‡ 𝑖 𝑔iln(1 βˆ’ π‘’βˆ’π›Όβˆ’π›½πœ–π‘–)

(36)

Interpretasi

Atau: E βˆ’ 𝑇𝑆 + πœ‡π‘ = π‘˜π‘‡ 𝑖 𝑔iln(1 βˆ’ π‘’βˆ’π›Όβˆ’π›½πœ–π‘–)

– Dari thermodinamika diperoleh hubungan: 𝐴 + πœ‡π‘ = 𝑃𝑉

– Sehingga (BE):

𝑃𝑉 = βˆ’π‘˜π‘‡ 𝑖 𝑔iln(1 βˆ’ π‘’βˆ’π›Όβˆ’π›½πœ–π‘–)

– Hasil serupa diperoleh juga untuk FD : 𝑃𝑉 = π‘˜π‘‡

𝑖

𝑔iln(1 + π‘’βˆ’π›Όβˆ’π›½πœ–π‘–)

– Dan MB: (gas ideal klasik) 𝑃𝑉 = π‘˜π‘‡

𝑖

𝑔iπ‘’βˆ’π›Όβˆ’π›½πœ–π‘– = π‘˜π‘‡

𝑖

Referensi

Unduh sekarang ( PDF - 36 Halaman - 0.97 MB )

Dokumen terkait