Algoritma Cross Entropy untuk Penentuan Rute Kendaraan dengan
Penjemputan dan Pengantaran yang Mempertimbangkan Jendela
Waktu dan Durasi Maksimum
Andriansyah, Suhendrianto, Prima Denny Sentia
Program Studi Teknik Industri, Jurusan Teknik Mesin dan Industri, Fakultas Teknik, Universitas Syiah Kuala
Darussalam, Banda Aceh, 23111, Telp. (0651)7552222 E-mail: andriansyah@unsyiah.ac.id
Intisari
Permasalahan dalam penelitian ini adalah penentuan rute kendaraan dengan penjemputan dan pengantaran yang mempertimbangkan jendela waktu dan durasi maksimum (MRKJAJWDM) yang sering terdapat pada perusahaan yang bergerak dalam bidang jasa kurir dengan layanan door-to-door. Layanan tersebut merupakan layanan penjemputan dan pengantaran barang di hari yang sama dari satu lokasi ke lokasi yang lain. Setiap kendaraan yang melakukan perjalanan memiliki durasi maksimum dimana pada waktu yang telah ditentukan, kendaraan harus kembali ke depot asalnya. Secara analitik, model
Integer Linear Programming (ILP) berbasis dua indeks diselesaikan dengan algoritma Branch-and-Bound (B) menggunakan perangkat lunak optimisasi. Algoritma
B-and-B membutuhkan waktu yang sangat lama untuk mendapatkan solusi global optimum karena merupakan salah satu metode pemecahan secara analitik. Pada penelitian ini telah dikembangkan algoritma Cross Entropy (CE) sebagai algoritma pembanding untuk menyelesaikan permasalahan dengan skala besar karena penyelesaian secara analitik membutuhkan waktu penyelesaian yang sangat lama. Algoritma CE yang dikembangkan mampu menyelesaikan beberapa data dengan solusi yang sama dengan solusi global optimum yang didapatkan oleh algoritma B-and-B. Secara rata-rata, gap kualitas solusi algoritma CE dan B-and-B adalah 0,18% untuk data 20 lokasi pelanggan dengan kecepatan 150,98 kali lebih baik dan 0,00% untuk data 40 lokasi pelanggan dengan kecepatan 56,12 kali lebih baik.
Kata kunci: MRKJAJWDM, ILP, Branch-and-Bound, Cross Entropy
1. Pendahuluan
Transportasi merupakan salah satu komponen yang penting dalam keilmuan Supply Chain
Management (SCM). Sama halnya dengan komponen-komponen yang lain, untuk mendapatkan
jaringan SCM yang efektif dan efisien, biaya yang berhubungan dengan transportasi juga harus diminimalisir. Salah satu permasalahan yang menjadi kajian dalam transportasi adalah Masalah Rute Kendaraan (MRK) atau Vehicle Routing Problem (VRP). MRK merupakan salah satu permasalahan dalam bidang distribusi dan transportasi yang bertujuan untuk mendapatkan biaya transportasi minimum. Salah satu cara untuk meminimumkan biaya tersebut adalah dengan membentuk rute-rute kendaraan yang optimum. Dalam beberapa dekade, permasalahan ini terus berkembang dengan berbagai varian, misalnya MRK dengan jendela waktu (time windows), MRK dengan penjemputan dan pengantaram (pickup and delivery) dan beberapa varian lainnya (Toth & Vigo, 2014).
Penelitian ini akan membahas masalah salah satu varian MRK yang sering ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Varian ini dapat ditemukan pada perusahaan-perusahaan yang bergerak dalam bidang transportasi khususnya perusahaan dengan layanan door-to-door. Varian ini adalah
penentuan rute kendaraan dengan penjemputan dan pengantaran yang mempertimbangkan jendela waktu dan durasi maksimum (MRKJAJWDM) atau Vehicle Routing Problem with Pickup
and Delivery and Time Windows (VRPPDTW). Permasalahan ini dapat didefinisikan sebagai
berikut: terdapat himpunan lokasi pelanggan yang memiliki karakteristik lokasi penjemputan dan lokasi pengantaran dengan jumlah yang sama. Lokasi-lokasi ini memiliki informasi mengenai jumlah barang yang akan diangkut, diantar dan rentang waktu untuk melakukan pelayanan, serta waktu yang dibutuhkan untuk pelayanan tersebut. Lokasi depot merupakan lokasi awal keberangkatan kendaraan yang akan ditugaskan untuk mengunjungi semua lokasi pelanggan. Setiap kendaraan yang ditugaskan hanya akan melayani pelanggan tepat satu kali. Setiap kendaraan memiliki kapasitas maksimum yang tidak boleh dilanggar dan kendaraan yang ditugaskan harus kembali ke depot pada waktu yang telah ditentukan. Ada dua pembatas yang menjadi ciri khas dari varian ini yaitu pembatas pairing dan pembatas precedence. Pembatas
pairing membatasi dalam satu solusi rute, harus terdapat lokasi penjemputan dan pasangannya
(lokasi pengantaran) dimana barang akan dikirimkan. Pembatas precedence membatasi dalam satu solusi rute lokasi penjemputan harus dilayani terlebih dahulu sebelum lokasi pasangannya. Sebagai ilustrasi, Gambar 1 menjelaskan solusi yang memenuhi pembatas ini, P1 adalah lokasi penjemputan 1, P2 adalah lokasi penjemputan 2, D1 adalah lokasi pengantaran 1, D2 adalah lokasi pengantaran 2. Lokasi P1 akan mengirimkan barangnya ke lokasi D1, dan lokasi P2 akan mengirimkan barangnya ke lokasi D2. Beberapa penelitan yang telah membahas masalah MRKJAJWDM adalah Berbeglia et al. (2007), Parragh et al. (2008a), dan Parragh et al. (2008b) yang melakukan survei serta klasifikasi terhadap MRKJAJWDM.
P1 D1 P2 P3 Depot Depot (a) D1 P1 P2 D2 Depot Depot (b) P1 P2 D2 D1 Depot Depot (c)
Gambar 1. (a) Rute yang tidak memenuhi pembatas pairing. (b) Rute yang tidak memenuhi pembatas precedence (c) Rute yang memenuhi pembatas pairing dan precedence
Sebagai generalisasi permasalahan Pickup and Delivery Problem (PDP), MRKJAJWDM dapat diformulasikan dalam bentuk dua indeks dan tiga indeks. Ropke & Cordeau (2009), Battarra et al. (2010) dan Cherkesly et al. (2014) mengembangkan formulasi dalam bentuk tiga indeks. Lu & Dessouky (2004), Benavent et al. (2015) dan Furtado et al. (2015) mengembangkan formulasi dalam bentuk dua indeks. Keunggulan dari formulasi dalam bentuk dua indeks berdasarkan penelitian-penelitian tersebut adalah komputasi yang lebih singkat jika diselesaikan secara analitik. Furtado et al. (2015) melakukan perbandingan model matematis yang dikembangkannya dengan model matematis Battarra et al. (2010) dan model matematis Lu & Dessouky (2004) dimana model matematis yang dikembangkannya memiliki performansi yang lebih baik, jika diselesaikan secara analitik. Penelitian serupa juga telah dilakukan oleh Baldacci et al. (2011) yang mengembangkan algoritma Branch-and-Cut-and-Price. Algoritma tersebut merupakan salah satu algoritma analitik yang memiliki efisiensi lebih bagus daripada algoritma B-and-B.
Formulasi matematis yang digunakan dalam penelitian ini adalah formulasi yang dikembangkan oleh Furtado et al. (2015). Formulasi ini akan diselesaikan secara analitik menggunakan algoritma B-and-B yang ada pada perangkat lunak optimisasi. Untuk permasalahan skala besar, algoritma B-and-B membutuhkan waktu komputasi yang relatif sangat lama untuk
satu algoritma metaheuristik untuk memecahkan permasalahan tersebut yaitu algoritma Cross
Entropy (CE). Ada beberapa penelitian yang mengembangkan algoritma metaheuristik untuk
permasalahan serupa, Bent & Hentenryck (2006) mengembangkan algoritma Simulated
Annealing-Large Neighborhood Serach (SA-LNS) dan Hosny (2011) yang membandingkan
algoritma SA dan Genetic Algorithm (GA).
CE merupakan algoritma metaheuristik yang relatif baru yang dapat menunjukkan performansi yang bagus untuk memecahkan permasalahan kombinatorial (Santosa & Aminuddin, 2012). Chepuri dan Homem-De-Mello (2005) mengembangkan algoritma CE untuk menyelesaikan kasus VRP dengan karakteristik permintaan stokastik. Berdasarkan literatur, belum ada penelitian yang mengembangkan algoritma CE untuk permasalahan MRKJAJWDM. Algoritma ini sangat bergantung pada solusi sampel yang dibangkitkan. Semakin banyak sampel maka akan meningkatkan waktu komputasinya. Pada penelitian ini solusi yang didapatkan oleh algoritma CE akan dibandingkan dengan solusi yang didapatkan algoritma B-and-B yang bersifat global optimum. Dengan perbandingan tersebut dapat dilihat bahwa algoritma CE memiliki performansi yang bagus baik dari segi kualitas solusi maupun waktu komputasi.
2. Metodologi 2.1. Definisi Masalah
Terdapat sebuah jaringan 𝐺 = (𝑉, 𝐴), dimana 𝑉 = 𝑃 ∪ 𝐷 ∪ {0, 2𝑛 + 1} yang merupakan himpunan lokasi pemberhentian. 𝑃 = {1, … , 𝑛} adalah himpunan lokasi pelanggan penjemputan, 𝐷 = {𝑛 + 1, … , 2𝑛} adalah himpunan lokasi pelanggan pengantaran dan {0, 2𝑛 + 1} adalah depot. 𝐴 merupakan himpunan busur (𝑖, 𝑗) antara setiap pasangan lokasi (𝑖, 𝑗) ∈ 𝑉. Busur (𝑖, 𝑗) ∈ 𝐴 yang terhubung menyatakan jarak lokasi 𝑖 dan lokasi 𝑗 (𝑑𝑖𝑗), dan durasi perjalanan (𝑡𝑖𝑗). Untuk
setiap permintaan pelanggan, terdapat beban barang yang harus dijemput di lokasi 𝑖 ∈ 𝑃 dan harus diantarkan ke lokasi (𝑖 + 𝑛) ∈ 𝐷. Pada penelitian ini dinotasikan 𝑞𝑖> 0 untuk beban yang
dijemput di lokasi pelanggan 𝑖 ∈ 𝑃 dan 𝑞𝑖+𝑛= −𝑞 untuk beban yang dikirim ke lokasi (𝑖 + 𝑛) ∈
𝐷, serta 𝑞𝑖= 0 jika 𝑖 ∈ {0, 2𝑛 + 1}. Setiap kendaraan yang digunakan memiliki kapasitas
maksimum 𝑄 dan durasi maksimum 𝑇 yang tidak boleh dilanggar. Setiap lokasi pelanggan mempunyai rentang waktu pelayanan [𝑒𝑖, 𝑙𝑖] dan waktu pelayanan 𝑠𝑖 yang dibutuhkan kendaraan.
Fungsi tujuan dari MRKJAJWDM adalah menemukan solusi dengan biaya minimum yang diwakili oleh jarak.
Notasi-notasi yang digunakan untuk model matematis pada MRKJAJWDM adalah terdiri dari indeks model, himpunan model, parameter model, variabel keputusan model dan kriteria performansi. Notasinya adalah sebagai berikut:
Indeks model:
𝒊 dan 𝒋 = Indeks lokasi Himpunan-himpunan model:
𝑽 = Himpunan semua lokasi pemberhentian. 𝑨 = Himpunan busur.
𝑷 = Himpunan lokasi penjemputan. 𝑫 = Himpunan lokasi pengantaran. Parameter-parameter model:
𝒅𝒊𝒋 = Jarak antara lokasi i dan lokasi j (km).
𝒕𝒊𝒋 = Waktu tempuh antara lokasi i dan lokasi j (menit).
𝒔𝒊 = Waktu yang dibutuhkan untuk melayani pelanggan i (menit).
𝒆𝒊 = Jam buka pelayanan pada lokasi pelanggan i (menit).
𝒍𝒊 = Jam tutup pelayanan pada lokasi pelanggan i (menit).
𝒒𝒊 = Permintaan/muatan barang oleh pelanggan i (kg).
𝑸 = Kapasitas maksimum kendaraan (kg). 𝑴 = Bilangan yang sangat besar (tanpa satuan). 𝒏 = Jumlah pemesanan (tanpa satuan). Variabel keputusan model:
𝑨𝒊 = Waktu dimulainya pelayanan pada pelanggan i (menit).
𝑾𝒊= Jumlah muatan kendaraan ketika berada di lokasi i (kg).
𝒗𝒊 = Pengindeks rute kendaraan yang mengunjungi lokasi i (tanpa satuan).
𝒙𝒊𝒋 = Variabel keputusan yang bernilai 1 jika busur (i,j) dilalui oleh kendaraan dan 0 jika sebaliknya.
Kriteria performansi model: 𝒁 = Total jarak perjalanan
Model matematis MRKJAJWDM dapat diformulasikan menggunakan dua indeks. Formulasi model dalam penelitian ini menggunakan dasar model matematis Furtado et al. (2015).
Meminimumkan: 𝑍 = ∑ 𝑑𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗 (𝑖,𝑗)∈𝐴 (1) Dengan pembatas: ∑ 𝑥𝑖𝑗 𝑖∈𝑉 ∀𝑗 ∈ 𝑃 ∪ 𝐷 (2) ∑ 𝑥𝑖𝑗 𝑗∈𝑉 ∀𝑖 ∈ 𝑃 ∪ 𝐷 (3) 𝐴𝑗≥ 𝐴𝑖+ 𝑠𝑖+ 𝑡𝑖𝑗− 𝑀(1 − 𝑥𝑖𝑗) ∀𝑖 ∈ 𝑉, ∀𝑗 ∈ 𝑉 (4) 𝑊𝑗≥ 𝑊𝑖+ 𝑞𝑗− 𝑀(1 − 𝑥𝑖𝑗) ∀𝑖 ∈ 𝑉, ∀𝑗 ∈ 𝑉 (5) 𝑊𝑖 = 0 ∀𝑖 ∈ {0,2𝑛 + 1} (6) 𝑒𝑖 ≤ 𝐴𝑖 ≤ 𝑙𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝑃 ∪ 𝐷 (7) 𝐴𝑖+ 𝑠𝑖+ 𝑡𝑖𝑗(𝑥𝑖𝑗) ≤ 𝑇 ∀𝑖 ∈ 𝑉, ∀𝑗 ∈ {0,2𝑛 + 1} (8) max {0, 𝑞𝑖} ≤ 𝑊𝑖 ≤ min {𝑄, 𝑄 + 𝑞𝑖} ∀𝑖 ∈ 𝑉 (9) 𝐴𝑛+𝑖 ≥ 𝐴𝑖+ 𝑠𝑖+ 𝑡𝑖,𝑖+𝑛 ∀𝑖 ∈ 𝑃 (10) 𝑣𝑛+𝑖= 𝑣𝑖 ∀𝑖 ∈ 𝑃 (11) 𝑣𝑗≥ 𝑗 ∙ 𝑥𝑖𝑗 ∀𝑖 ∈ {0,2𝑛 + 1}, ∀𝑗 ∈ 𝑃 ∪ 𝐷 (12) 𝑣𝑗≤ 𝑗 ∙ 𝑥𝑖𝑗− 𝑛(𝑥𝑖𝑗− 1) ∀𝑖 ∈ {0,2𝑛 + 1}, ∀𝑗 ∈ 𝑃 ∪ 𝐷 (13) 𝑣𝑗≥ 𝑣𝑖− 𝑛(𝑥𝑖𝑗− 1) ∀𝑗 ∈ 𝑃 ∪ 𝐷 (14) 𝑣𝑗≤ 𝑣𝑖− 𝑛(1 − 𝑥𝑖𝑗) ∀𝑗 ∈ 𝑃 ∪ 𝐷 (15) 𝑥𝑖𝑗 ∈ {0,1} ∀𝑖 ∈ 𝑉, ∀𝑗 ∈ 𝑉 (16)
Persamaan (1) adalah fungsi tujuan. Persamaan (2) dan (3) memastikan bahwa setiap lokasi dikunjungi hanya sekali. Persamaan (4), (5), dan (6) memastikan kekonsistenan variabel yang berhubungan dengan waktu dan variabel yang berhubungan dengan muatan dengan M adalah bilangan positif yang sangat besar. Jendela waktu dan durasi maksimum rute tidak boleh dilanggar yang ditunjukkan pada persamaan (7) dan (8). Persamaan (9) memastikan rute yang terbentuk tidak akan melanggar kapasitas kendaraan. Selain itu persamaan (4) dan (7) menjamin tidak terjadi subtur pada solusi. Persamaan (10) memastikan model tidak melanggar batasan precedence. Persamaan (11)-(15) memastikan model tidak melanggar batasan pairing. Pembatas (16) merupakan variabel biner yang bernilai 0 dan 1. Dalam penelitian ini, model matematis telah dimodifikasi dari model matematis Furtado et al. (2015) untuk menyesuaikan kasus dalam penelitian ini, formulasi yang ditambahkan adalah formulasi untuk pembatas (6).
2.2. Algoritma Cross Entropy
Pada awalnya, metode CE merupakan alat untuk mengestimasi probabilitas kejadian langka dalam suatu jaringan stokastik yang kompleks dengan penerapan algoritma adaptif yang meminimasi variansi (Rubinstein, 1997). Dari penelitian Rubinstein (1999) dan Rubinstein (2001) disadari bahwa sebuah modifikasi sederhana terhadap metode CE dapat digunakan pula untuk menyelesaikan permasalahan optimasi kombinatorial. Hal ini dilakukan dengan menerjemahkan masalah optimasi deterministik ke dalam masalah optimasi stokastik dan kemudian menggunakan teknik simulasi kejadian langka seperti pada Rubinstein (1997). Metode CE melibatkan sebuah prosedur iterasi dimana setiap iterasi dapat dibagi ke dalam dua fase. Fase pertama adalah membangkitkan sampel data secara random baik berupa rute dan vektor sesuai dengan mekanisme yang ditentukan. Fase kedua adalah memperbaharui parameter dari mekanisme random berdasarkan data sampel elit untuk menghasilkan sampel yang lebih baik untuk iterasi berikutnya. Sampel elit adalah berapa persen sampel terbaik dari sampel keseluruhan yang kita pilih untuk memperbaiki parameter yang digunakan dalam permasalahan yang diselesaikan (Santosa & Willy, 2011).Signifikansi dari algoritma CE adalah bahwa algoritma ini mendefinisikan kerangka kerja matematika yang tepat untuk memperoleh suatu “learning rules” yang cepat dan optimal, berdasarkan advanced simulation theory.
2.3. Algoritma CE untuk MRKJAJWDM
Pada bagian ini akan dijabarkan langkah-langkah algoritma CE untuk MRKJAJWDM. Notasi yang digunakan untuk algoritma sama dengan notasi yang digunakan pada model matematis dengan penambahan sebagai berikut:
𝑵 = Ukuran sampel. 𝜶 = Parameter smoothing 𝝆 = Proporsi sampel elit. 𝜽 = Kriteria berhenti.
𝑩 = Matriks transisi probabilitas. 𝑻𝒊𝒋 = Peluang transisi dari titik 𝒊 ke titik 𝒋.
Berdasarkan literatur, algoritma CE untuk kasus kombinatorial dalam permasalahan transportasi telah dikembangkan oleh Santosa & Aminuddin (2012) untuk Traveling Repairman
Problem (TRP). Berikut ini adalah langkah-langkah algoritma CE untuk MRKJAJWDM:
L1: Inisialisasi Parameter (𝑁, 𝛼, 𝜌, 𝜃)
L2: Membangkitkan matriks transisi probabilitas (𝐵) sebanyak 𝑛 × 𝑛 menggunakan persamaan (17).
𝐵𝑖𝑗= { 1 𝑛 − 1 ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑉, ∀𝑖 ≠ 𝑗 0 ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝑉, ∀𝑖 = 𝑗 (17) Misal 𝑛 = 5, maka 𝐵 = [ 0 0,25 0,25 0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0 0,25 0,25 0,25 0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0 ] L3: Membangkitkan sampel solusi berdasarkan matriks 𝐵 sebanyak 𝑁.
L3.1: Bentuk rute awal titik 𝑖 dimana 𝑖 ∈ 0, 2𝑛 + 1.
L3.2: Buat semua baris, kolom 𝑖 ∈ 0, 2𝑛 + 1 menjadi 0 karena sudah masuk dalam rute. L3.3: Untuk titik pertama peluang 𝑖 yang dimasukkan hanya 𝑖 ∈ 𝑃. Untuk semua baris,
kolom 𝑖 ∈ 𝐷 pada matriks 𝐵 dibuat jadi 0, karena tidak ada peluang dilayani untuk titik pertama. Lanjut ke L3.5.
L3.4: Masukkan 𝑖 ∈ 𝑃 ∪ 𝐷 secara iteratif ke dalam rute awal.
L3.5: Untuk 𝑖 ∈ 𝑃, periksa kendala kapasitas, jendela waktu, durasi maksimum, untuk 𝑖 ∈ 𝐷, ditambah dengan memeriksa kendala pairing dan precedence, jika semua memenuhi lanjut ke L3.6, jika salah satu tidak memenuhi, kolom 𝑖 semua baris dibuat menjadi 0 pada matriks 𝐵, kemudian kembali ke L3.4. Jika semua titik yang dimasukkan tidak memenuhi, kembali ke L3.1.
L3.6: Normalisasi matriks transisi probabilitas 𝐵. Misal peluang dimasukkan titik 𝑖 = 2 adalah 0, maka hasil normalisasinya,
𝐵 = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,33 0,33 0,33 0,33 0 0,5 0,5 0,5 0 0,5 0,33 0,33 0,5 0,5 0 ]
L3.7: Bangkitkan bilangan random 𝑟 = [0,1], tetapkan titik 𝑖 yang akan dipilih berdasarkan bilangan tersebut. Pemilihan 𝑖 berdasarkan matriks komulatif 𝐵. Misal 𝑟 = 0,7 pada baris kedua matriks 𝐵 dipilih kolom keempat sebagai 𝑖 terpilih.
𝐵 = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,33 0,66 0,33 0,66 0 0,5 0,5 0,5 0 1 1 01 1 1 0 ]
L3.8: Buat semua baris kolom 𝑖 yang terpilih pada matriks 𝐵 menjadi 0 karena sudah masuk ke dalam rute.
L3.9: Lakukan sampai semua 𝑖 ∈ 𝑉 terlayani. Kembali ke L3.4. L4: Hitung fungsi tujuan untuk semua solusi sampel.
L5: Urutkan fungsi tujuan yang telah dihitung.
L6: Ambil sampel elit sebanyak 𝜌 dari jumlah sampel yang dibangkitkan berdasarkan nilai urut fungsi tujuannya.
𝑊 = [Total 𝑇𝑖𝑗
𝜌 × 𝑁 ] (18)
𝐵′ = 𝛼𝑊 + (1 − 𝛼)𝐵 (19)
L8: Periksa kriteria berhenti 𝜃. Jika belum mencapai 𝜃 kembali ke L3. Jika sudah lanjut ke L9. L9: Berhenti.
2.4. Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data yang telah dimodifikasi dari Li & Lim (2001) oleh Benavent et al. (2015). Modifikasi yang dilakukan adalah dengan mengurangi jumlah lokasi menjadi 20, 30, 40, 50 dan 60 lokasi pelanggan. Namun, dalam penelitian ini hanya akan digunakan data random dengan jumlah lokasi 20 dan 40 saja. Tabel 1 menjelaskan karakteristik data yang digunakan dalam penelitian.
Tabel 1. Karakteristik data Lokasi Pelanggan Jendela Waktu Sempit Jendela Waktu Lebar Random LR1 LR2
3. Hasil dan Pembahasan 3.1. Hasil Uji Coba
Model matematis yang telah digunakan akan diimplementasikan ke dalam Lingo 11.0. Lingo 11.0 merupakan perangkat lunak optimisasi yang dapat menyelesaikan permasalahan ILP. Algoritma yang digunakan adalah B-and-B. Untuk algoritma CE yang dikembangkan diimplementasikan ke dalam bahasa pemograman Matlab 2015a. Uji coba dilakukan pada komputer dengan spesifikasi: processor Intel® Core™ i7-3770S CPU @ 3.10GHz (8CPUs), 3.1 GHz, 8GB RAM, dan system type 64 bit. Dalam penelitian ini, hasil algoritma CE akan dibandingkan dengan hasil algoritma B-and-B yang bersifat global optimum. Running time dari perangkat lunak Lingo 11.0 dibatasi selama satu jam. Nilai parameter algoritma CE yang digunakan adalah berdasarkan trial and error, yaitu: 𝑁 = 100, 𝛼 = 0,87, 𝜌 = 25%, 𝜃 = 10. Tabel 2 dan Tabel 3 menunjukkan hasil running tersebut. Tabel terbagi ke dalam empat kolom, kolom pertama merupakan tipe data yang digunakan. Kolom kedua dan kolom ketiga merupakan hasil running algoritma B-and-B dan algoritma CE. Kolom kedua dan kolom ketiga terbagi lagi menjadi tiga sub kolom, yaitu jumlah kendaraan yang dibutuhkan (Veh.), fungsi tujuan yang dihasilkan (Obj.) dan waktu komputasi untuk menyelesaikan data dalam detik (Sec.). Kolom keempat adalah perbandingan hasil algoritma B-and-B dengan algoritma CE yang terbagi menjadi dua sub kolom. Sub kolom pertama adalah perbandingan kualitas solusi (gap) yang didapatkan dengan persamaan (Obj. CE – Obj. and-B)/Obj.
B-and-B. Sedangkan sub kolom kedua adalah perbandingan waktu untuk mendapatkan solusi dengan
algoritma B-and-B dan waktu untuk mendapatkan solusi menggunakan algoritma CE yang dapat dihitung dengan persamaan Sec. B-and-B /Sec. CE. Performa waktu yang dimaksud misalnya dalam kolom time terdapat angka 2, artinya adalah kecepatan algoritma CE dua kali lebih cepat dibandingkan algoritma
B-and-B.
Dari Tabel 2 dan Tabel 3 dapat dilihat bahwa jumlah data dengan solusi global optimum adalah 29 data dari 46 data. Untuk data yang tidak menghasilkan solusi global optimun dikosongkan karena tidak dapat dibandingkan. Selain itu untuk beberapa data, algoritma B-and-B tidak menghasilkan solusi sama sekali selama satu jam. Pada dasarnya untuk mencari solusi menggunakan perangkat lunak Lingo 11.0 membutuhkan waktu yang cukup lama karena penyelesaiannya secara analitik terlebih lagi MRKJAJWDM merupakan permasalahan NP-hard.
Dari hasil Tabel 2 dan Tabel 3 dapat dilihat bahwa secara rata-rata gap yang dihasilkan antara algoritma B-and-B dan CE hanya 0,18% untuk data 20 lokasi pelanggan, dan 0,00% untuk data 40 lokasi pelanggan. Percobaan yang dilakukan untuk mendapatkan solusi pada algoritma CE adalah sebanyak lima
kali. Hasil yang dilaporkan merupakan hasil terbaik dari lima kali percobaan tersebut. Selain gap dapat dilihat juga bahwa algoritma CE memiliki keunggulan waktu komputasi yang lebih singkat dari algoritma B-and-B untuk mendapatkan solusi dari setiap data set. Dengan waktu running satu jam algoritma CE mampu menghasilkan solusi untuk semua data, sedangkan algoritma B-and-B tidak mampu menghasilkan solusi sama sekali untuk beberapa data.
Tabel 2. Perbandingan solusi B-and-B dan CE untuk data 20 lokasi pelanggan
Data B-and-B CE B-and-B vs CE
Veh. Obj. Sec. Veh. Obj. Sec. Gap (%) Time
LR1_20_01 7 434 1 7 434 0,50 0,00 2,00 LR1_20_02 6 427 2 6 427 0,58 0,00 3,45 LR1_20_03 5 311 135 5 311 2,90 0,00 46,55 LR1_20_04 3 325 2600 3 325 3,40 0,00 764,71 LR1_20_05 5 470 1 5 470 0,56 0,00 1,79 LR1_20_06 5 453 40 5 453 0,74 0,00 54,05 LR1_20_07 5 434 19 5 449 1,00 3,46 19,00 LR1_20_08 3 398 2001 3 398 1,80 0,00 1111,67 LR1_20_09 6 510 3 6 510 1,12 0,00 2,68 LR1_20_10 3 272 20 3 272 1,38 0,00 14,49 LR1_20_11 3 335 32 3 335 2,00 0,00 16,00 LR1_20_12 3 373 1743 3 373 2,16 0,00 806,94 LR2_20_01 3 392 1 3 392 2,01 0,00 0,50 LR2_20_02 2 489 10 2 489 7,90 0,00 1,27 LR2_20_03 - - - 1 457 41,00 - - LR2_20_04 - - - 1 373 142,00 - - LR2_20_05 2 481 20 2 481 8,00 0,00 2,50 LR2_20_06 2 381 132 2 381 16,10 0,00 8,20 LR2_20_07 - - - 1 396 40,80 - - LR2_20_08 - - - 1 366 245,70 - - LR2_20_09 2 362 105 2 362 20,00 0,00 5,25 LR2_20_10 2 446 35 2 446 9,14 0,00 3,83 LR2_20_11 1 304 109 1 304 29,37 0,00 3,71 Rata-rata 0,18 150,98
Tabel 3. Perbandingan solusi B-and-B dan CE untuk data 40 lokasi pelanggan
Data B-and-B CE B-and-B vs CE
Veh. Obj. Sec. Veh. Obj. Sec. Gap (%) Time
LR1_40_01 11 868 4,00 11 868 1,03 0,00 3,88 LR1_40_02 - - - 9 703 2,31 - - LR1_40_03 9 744 5,00 9 744 1,98 0,00 2,53 LR1_40_04 - - - 6 547 8,36 - - LR1_40_05 - - - 11 830 1,40 - - LR1_40_06 7 661 40,00 7 661 2,40 0,00 16,67 LR1_40_07 - - - 7 725 3,14 - - LR1_40_08 6 500 231,00 6 500 5,30 0,00 43,58 LR1_40_09 7 671 1056,00 7 671 2,21 0,00 477,83 LR1_40_10 - - - 8 597 4,07 - - LR1_40_11 6 553 390 6 553 5,47 0,00 71,30 LR1_40_12 - - - 5 508 8,30 - - LR2_40_01 4 815 300,00 4 815 5,24 0,00 57,25
Data B-and-B CE B-and-B vs CE
Veh. Obj. Sec. Veh. Obj. Sec. Gap (%) Time
LR2_40_02 - - - 3 731 63,81 - - LR2_40_03 - - - 3 601 146,42 - - LR2_40_04 - - - 2 705 430,81 - - LR2_40_05 2 667 3500 2 667 55,97 0,00 62,53 LR2_40_06 - - - 2 578 64,37 - - LR2_40_07 - - - 2 617 279,10 - - LR2_40_08 - - - 2 559 763,00 - - LR2_40_09 3 608 1004,00 3 608 68,50 0,00 14,66 LR2_40_10 - - - 3 685 48,42 - - LR2_40_11 2 598 3560,00 2 598 100,29 0,00 35,50 Rata-rata 0,00 56,12
4. Kesimpulan dan Saran
Permasalahan dalam penelitian ini dikenal dengan MRKJAJWDM atau penentuan rute kendaraan dengan penjemputan dan pengantaran yang mempertimbangkan jendela waktu, dan durasi maksimum rute. Dalam penelitian ini telah dikembangkan algoritma metaheuristik untuk penyelesaian kasus skala besar dimana tidak mampu diselesaikan secara analitik. Algoritma yang dikembangkan adalah algoritma Cross Entropy yang bekerja berdasarkan matriks transisi probabilitas. Algoritma yang dikembangkan mampu menyelesaikan semua data set dengan waktu kurang dari satu jam. Untuk mengetahui kualitas solusi yang dihasilkan, solusi dari algoritma CE telah dibandingkan dengan solusi algoritma B-and-B. Algoritma B-and-B merupakan metode pemecahan secara analitik sehingga dapat menyelesaikan beberapa data dengan solusi global optimum. Namun, algoritma ini membutuhkan waktu yang relatif cukup lama untuk mendapatkan solusi tersebut, sehingga untuk beberapa data tidak menghasilkan solusi sama sekali selama satu jam. Dari perbandingan yang dilakukan, algoritma CE sangat kompetitif karena menghasilkan rata-rata gap solusi dengan algoritma B-and-B yang tidak terlalu besar, selain itu algoritma CE membutuhkan waktu lebih singkat untuk mendapatkan solusi tersebut. Secara rata-rata, gap kualitas solusi algoritma CE dan B-and-B adalah 0,18% untuk data 20 lokasi pelanggan dengan kecepatan 150,98 kali lebih baik dan 0,00% untuk data 40 lokasi pelanggan dengan kecepatan 56,12 kali lebih baik
Berdasarkan penelitian ini, algoritma CE yang dikembangkan untuk MR KJAJWDM memiliki kekurangan karena sangat bergantung pada jumlah sampel yang dibangkitkan. Semakin banyak jumlah sampel, semakin banyak ruang solusi yang dijelajahi, namun semakin tinggi pula waktu komputasi yang dibutuhkan. Rekomendasi untuk penelitian selanjutnya adalah mengembangkan suatu prosedur untuk mengurangi jumlah sampel yang dibutuhkan namun tidak mengorbankan kualitas solusi. Selain itu, untuk penelitian selanjutnya, hasil algoritma CE ini dapat di bandingkan dengan algoritma metaheuristik yang lain.
Daftar Pustaka
Baldacci, R., Bartolini, E., Mingozzi, A. An exact algorithm for the pickup and delivery problem with time windows , 2011, Operations Research, 59 (2), pp. 414-426.
Battarra, M., Erdoǧan, G., Laporte, G., & Vigo, D., 2010, The Traveling Salesman Problem with Pickups, Deliveries, and Handling Costs. Transportation Science, 44(3), 383–399.
Benavent, E., Landete, M., Mota, E., & Tirado, G., 2015, The Multiple Vehicle Pickup and Delivery Problem with LIFO Constraints. European Journal of Operational Research,
243(3), 752–762.
Bent, R., & Hentenryck, P. Van., 2006, A Two-Stage Hybrid Algorithm for Pickup And Delivery Vehicle Routing Problems with Time Windows. Computers and Operations Research,
Berbeglia, G., Cordeau, J.-F., Gribkovskaia, I., & Laporte, G., 2007, Static Pickup and Delivery Problems: A Classification Scheme and Survey. Top, 15(1), 1–31.
Chepuri, K., Homem-De-Mello, T. Solving the vehicle routing problem with stochastic demands using the cross-entropy method, 2005, Annals of Operations Research, 134 (1), pp. 153-181 the cross-entropy method (2005) Annals of Operations Research, 134 (1), pp. 153-181 Cherkesly, M., Desaulniers, G., & Laporte, G., 2014, Branch-Price-and-Cut Algorithms for The
Pickup and Delivery Problem with Time Windows and Last-in-First-Out Loading.
Transportation Science, Article in Advance, (July), 1–15.
Furtado, M. G. S., Munari, P., & Morabito, R., 2015, Pickup and Delivery Problem with Time Windows : A New Compact Two-Index Formulation. Preprint submitted to Elsevier. Hosny, M., 2011, Comparing Genetic Algorithms and Simulated Annealing for Solving the
Pickup and Delivery Problem with Time Windows. Proceedings of the 2011 International
Conference on Artificial Intelligence, ICAI, 513–519.
Li, H., & Lim, A., 2001, A Metaheuristic for The Pickup And Delivery Problem With Time Windows. Proceedings 13th IEEE International Conference on Tools with Artificial
Intelligence. ICTAI 2001, 160–167.
Lu, Q., & Dessouky, M., 2004, An Exact Algorithm for the Multiple Vehicle Pickup and Delivery Problem. Transportation Science, 38(4), 503–514.
Parragh, S. N., Doerner, K. F., & Hartl, R. F., 2008a, A Survey on Pickup and Delivery Problems. Part I: Transportation Between Customers and Depot. Journal für Betriebswirtschaft, 58(2), 81–117.
Parragh, S. N., Doerner, K. F., & Hartl, R. F., 2008b, A Survey on Pickup And Delivery Problems. Part II: Transportation Between Pickup and Delivery Locations. Journal für
Betriebswirtschaft, 58(2), 81–117.
Ropke, S., & Cordeau, J.-F., 2009, Branch and Cut and Price for the Pickup and Delivery Problem with Time Windows. Transportation Science, 43(3), 267–286.
Rubinstein, R. Y., 1997, Optimization of Computer Simulation Models with Rare Events.
European Journal of Operations Research, 99, 89–112.
Rubinstein, R. Y., 1999, The Cross-Entropy Method for Combinatorial and Continuous Optimization. Methodology and computing in applied probability, 1(2), 127-190.
Rubinstein, R. Y., 2001, Combinatorial Optimization, Cross-Entropy, Ants and Rare Events. In
Stochastic Optimization: Algorithms and Applications (pp. 303-363). Springer US.
Santosa, B., & Aminuddin, M., 2012, A Development of Hybrid Cross Entropy-Tabu Search Algorithm for Travelling Repairman Problem. Proceedings of the 2012 International
Conference on Industrial Engineering and Operations Management, 1444–1450.
Santosa, B., & Willy, P., 2011, Metoda Metaheuristik Konsep dan Implementasi. Guna Widya. Toth, P., & Vigo, D., 2014, Vehicle Routing Problem, Methods, and Application (2nd ed.).
