KAJIAN
PERBANDINGAN
ARAH
RATA-RATA
DATA
SIRKULAR
(STUDI
KASUS:
DATA
WAKTU
KEDATANGAN
PASIEN
IGD)
EKA
PUTRI
NUR
UTAMI
DEPARTEMEN
STATISTIKA
FAKULTAS
MATEMATIKA
DAN
ILMU
PENGETAHUAN
ALAM
INSTITUT
PERTANIAN
BOGOR
BOGOR
RINGKASAN
EKA PUTRI NUR UTAMI. Kajian Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular (Studi Kasus:
Data Waktu Kedatangan Pasien IGD). Pembimbing: I MADE SUMERTAJAYA dan AHMAD
ANSORI MATTJIK.
Perkembangan analisis data saat ini masih bertumpu pada analisis untuk data linear. Disisi lain, untuk kasus-kasus tertentu pengukuran dilakukan secara sirkular. Data sirkular adalah data hasil pengukuran yang nilai-nilainya berulang secara periodik. Beberapa contoh data sirkular yaitu, hari, tanggal, bulan, jam, arah mata angin, letak geografis dan lain-lain.
Dalam penelitian ini akan dikaji waktu kedatangan pasien Instalasi Gawat Darurat (IGD). Pelayanan IGD seharusnya dikelola secara baik dan teratur, hal ini karena kedatangan pasien tidak dapat diperkirakan sehingga memungkinkan terjadi penumpukan pasien. Oleh karena itu untuk memaksimalkan pelayanan perlu diketahui waktu sibuk kedatangan pasien. Penelitian ini betujuan untuk menerapkan penggunaan prosedur statistika sirkular pada data waktu kedatangan pasien IGD di empat rumah sakit yaitu rumah sakit AZRA, Karya Bakti, PMI dan rumah sakit Salak. Metode yang diterapkan untuk membandingkan arah rata-rata sirkular adalah dengan pendekatan ANOVA dan metode nonparametrik.
Hasil deskripsi statistik menunjukkan masing-masing rumah sakit memiliki arah rata-rata yang beragam. Arah rata-rata untuk rumah sakit AZRA adalah pukul 19:33 atau berada pada 293o, sedangkan untuk Karya Bakti, PMI dan Salak berturut-turut pada pukul 15:20, 16:49, dan 15:47 atau arah rata-rata berada pada 230o, 252o dan 237o. Nilai konsentrasi yang dihasilkan kecil yaitu berkisar antara 0.38 – 0.64. Pengujian kecocokan sebaran von Mises dengan QQ-plot dan uji Rayleigh menunjukkan keempat data rumah sakit menyebar von Mises dan pengujian kesamaan konsentrasi menunjukkan tidak terdapat perbedaan nilai konsentrasi pada keempat rumah sakit.
Sebelum melakukan perbandingan arah rata-rata, tabel kontingensi digunakan untuk menguji hubungan antara kategori rumah sakit dengan frekuensi kedatangan. Hasil pengujian tabel kontingensi menunjukkan terdapat hubungan antara jenis rumah sakit dengan frekuensi kedatangan pasien. Nilai konsentrasi keempat rumah sakit kurang dari 1 sehingga untuk perbandingan arah rata-rata digunakan uji rasio likelihood.
Hasil uji rasio likelihood dan metode non parametrik menunjukkan terdapat perbedaan arah rata-rata waktu kedatangan pasien. Uji parsial menunjukkan terdapat kesamaan arah rata-rata waktu kedatangan antara rumah sakit AZRA dengan PMI dan antara rumah sakit Karya Bakti dengan rumah sakit Salak.
KAJIAN
PERBANDINGAN
ARAH
RATA-RATA
DATA
SIRKULAR
(STUDI
KASUS:
DATA
WAKTU
KEDATANGAN
PASIEN
IGD)
EKA
PUTRI
NUR
UTAMI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN
STATISTIKA
FAKULTAS
MATEMATIKA
DAN
ILMU
PENGETAHUAN
ALAM
INSTITUT
PERTANIAN
BOGOR
BOGOR
Judul Skripsi : Kajian Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular
(Studi Kasus: Data Waktu Kedatangan Pasien IGD)
Nama
: Eka Putri Nur Utami
NIM
: G14070060
Menyetujui:
Mengetahui :
Ketua Departemen Statistika,
Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.S
NIP. 19650421 199002 1 001
Tanggal Lulus:
Pembimbing II
Prof. Dr.Ir Ahmad Ansori Mattjik, M.Sc
NIP. 19460626 197008 1 002
Pembimbing I
Dr.Ir. I Made Sumertajaya, M.Si
NIP. 19680702 199402 1 001
KATA PENGANTAR
Puji syukur saya panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa karena berkat limpahan rahmat dan karunia Tuhan saya dapat menyelesaikan karya tulis ini yang berjudul ”Kajian Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular (Studi Kasus: Data Waktu Kedatangan Pasien IGD)”. Sesungguhnya penyelesaian tugas akhir ini semuanya adalah berkat kemudahan dan pertolongan dari-NYA. Karya tulis ini merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana statistika pada fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam.
Tidak lupa saya ucapkan terima kasih kepada semua pihak-pihak yang telah membantu dan membimbing saya untuk menyelesaikan laporan ini, yaitu :
1. Bapak Dr. Ir. I Made Sumertajaya, M.Si dan Bapak Prof. Dr. Ir. A.A Mattjik, M.Sc selaku dosen pembimbing skripsi yang telah banyak membantu dalam penyelesaian skirpsi ini. 2. Bapak Dr.Ir. Aji Hamim Wigena, M.Si yang telah bersedia menjadi dosen penguji.
3. Pihak Dinas Kesehatan, RS AZRA, RS Karya Bakti, RS PMI, dan RS Salak yang telah membantu perolehan data dan informasi guna mendukung penelitian ini.
4. Keluarga yang selalu memberikan dukungan disetiap saat, serta adik-adik tersayang.
5. Semua pihak yang belum disebutkan namun telah memberikan masukan dan membantu hingga tersusunnya laporan skripsi ini.
Penulis sadar karya tulis ini masih jauh dari kesempurnaan untuk itu mohon saran dan kritik. Demikian laporan ini dibuat agar dapat memberikan manfaat bagi semua pihak.
Bogor, Agustus 2011
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 21 Januari 1989 sebagai anak sulung dari tiga bersaudara dari pasangan Isman dan Nuryah. Penulis menyelesaikan sekolah dasar pada tahun 2001 di SDN Bhayangkari Bogor, dan menyelesaikan sekolah menengah pertama pada tahun 2004 di SLTP Negeri 1 Bogor. Pada tahun 2007 penulis menyelesaikan sekolah menengah atasnya di SMA Negeri 1 Bogor.
Tahun 2007 penulis memasuki perguruan tinggi di Institut Pertanian Bogor dengan memilih Mayor Statistika di Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama menjadi mahasiswa penulis aktif dalam himpunan keprofesian Gamma Sigma Beta sebagai Kepala Departement of Science pada periode kepengurusan 2010. Selain itu penulis juga aktif mengikuti kegiatan Lingkung Seni Sunda Gentra Kaheman sebagai anggota.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI ... v DAFTAR TABEL ... vi DAFTAR GAMBAR ... vi DAFTAR LAMPIRAN ... vi PENDAHULUAN LATAR BELAKANG ... 1 TUJUAN ... 1 TINJAUAN PUSTAKA Data Sirkular ... 1
Deskripsi Statistik Data Sirkular. ... 2
Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular. ... 4
METODOLOGI Bahan ... 6
Metode ... 6
HASIL DAN PEMBAHASAN Statistika Deskriptif Sirkular ... 6
Uji Kecocokan Sebaran Von Mises ... 9
Uji Kesamaan Parameter Konsentrasi ... 10
Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular. ... 10
KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan ... 10
Saran ... 11
DAFTAR PUSTAKA ... 11
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Tabel Kontingensi ... 3
2 Tabel Pendekatan ANOVA ... 4
3 Statistika Deskriptif Waktu Kedatangan Pasien... 7
4 Uji Kecocokan Rayleigh. ... 9
5 Tabel Pendekatan ANOVA Sirkular. ... 10
6 Hasil Uji Parsial. ... 10
DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Contoh Sebaran Data Sirkular ... 1
2 Hubungan antara koordinat polar dengan koordinat kartesius ... 2
3 Contoh Jarak antara Dua Titik pada Data Sirkular. ... 3
4 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien AZRA. ... 8
5 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien Karya Bakti. ... 8
6 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien PMI. ... 8
7 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien Salak. ... 8
8 Diagram Lingkaran Asal Pasien IGD. ... 9
DAFTAR LAMPIRAN 1 Diagram Pencar untuk Waktu Kedatangan Pasien. ... 13
2 Histogram Sirkular ... 14
3 Pengujian Sebaran Von Mises. ... 15
4 Tabel Frekuensi Kedatangan Masing-Masing Rumah Sakit ... 16
1
PENDAHULUAN Latar Belakang
Perkembangan analisis data saat ini masih bertumpu pada analisis untuk data linear. Disisi lain, untuk kasus-kasus tertentu pengukuran dilakukan secara sirkular. Beberapa ilustrasi data sirkular yaitu arah migrasi hewan, arah angin, waktu kedatangan pasien, waktu terjadinya kecelakaan dan lain-lain. Data yang diukur dalam statistika sirkular berupa sudut sehingga analisis yang dilakukan sedikit berbeda dengan data linear. Hal ini menunjukkan pentingnya kajian analisis data sirkular.
Analisis data sirkular awalnya dimulai pada pertengahan abad ke-18. Pada tahun 1767, seorang pendeta John Mitchell FRS mengamati posisi antar bintang. Mitchell ingin membuktikan bahwa arah bintang-bintang tersebut menyebar seragam. Menggunakan konsep statistika sirkular Mitchell menemukan bahwa jumlah pasangan bintang yang berdekatan terlalu banyak. Berdasarkan hal ini Mitchell menyimpulkan bahwa pasangan bintang-bintang secara fisik tertata gaya tarik gravitasi (Fisher 1993).
Salah satu kesalahan yang dapat terjadi jika data sirkular dianalisis menggunakan metode linear yaitu pada arah rata-rata. Gambar 1 menunjukkan contoh dari kesalahan tersebut. Garis putus-putus menunjukkan rata-rata dengan metode linear, sedangkan garis penuh adalah arah rata-rata sirkular. Pada Gambar 1 rata-rata linear berada di sekitar 180o sedangkan data pengamatan berada di sekitar 0o.
Dalam penelitian ini akan dikaji waktu kedatangan pasien Instalasi Gawat Darurat (IGD). Pelayanan IGD seharusnya dikelola secara baik dan teratur, hal ini karena kedatangan pasien tidak dapat diperkirakan sehingga memungkinkan terjadi penumpukan pasien. Oleh karena itu, perlu dilakukan penelitian untuk mengetahui waktu sibuk kedatangan pasien. Setelah itu pihak rumah sakit dapat melakukan perencanaan sumber daya manusia dengan baik.
Berdasarkan situs Dinas Kesehatan Kota Bogor, dalam lingkungan kota Bogor terdapat 9 rumah sakit yang diakui oleh pemerintah kota Bogor termasuk rumah sakit bersalin. Rumah sakit AZRA, Karya Bakti, Palang Merah Indonesia (PMI) dan Salak merupakan beberapa rumah sakit umum yang banyak mendapatkan perhatian dan kunjungan dari masyarakat. Berdasarkan hal ini rumah sakit tersebut dipilih sebagai objek penelitian.
Gambar 1 Contoh sebaran data sirkular.
Tujuan
Tujuan dari penelitian ini adalah : 1. Menerapkan penggunaan konsep
statistika sirkular untuk mengetahui deskripsi statistik data sirkular setiap rumah sakit.
2. Melakukan perbandingan arah rata-rata antar rumah sakit.
TINJAUAN PUSTAKA Data Sirkular
Data sirkular adalah data hasil pengukuran yang nilai-nilainya berulang secara periodik. Suatu nilai akan kembali ditemukan setelah menemui satu periode/putaran penuh. Definisi karakteristik peubah sirkular sendiri adalah data pada awal dan akhir skala pengukuran saling bertemu (Martin 2008).
Data sirkular dapat direpresentasikan ke dalam bentuk sudut dalam lingkaran. Pengukuran ini dapat digambarkan melalui pengukuran sudut atau posisi titik pada keliling lingkaran, dengan memilih arah nol sebagai titik acuan.
Setiap titik pengamatan dapat dinyatakan sebagai koordinat kartesius (X, Y) atau dalam koordinat polar (r, θ), dimana r merupakan jarak titik pusat ke titik pengamatan dan θ merupakan arah perpindahan dalam satuan sudut (Jammalamadaka & SenGupta 2001). Titik dalam koordinat polar dapat diubah ke dalam koordinat kartesius, begitupun sebaliknya, dengan
x= r cos θ, y = r sin θ.
Hubungan antara koordinat polar dengan koordinat kartesius tersebut dapat dilihat pada Gambar 2.
0o
90o
180o 270o
2
Gambar 2 Hubungan antara koordinat polar dengan koordinat kartesius. Menurut Mardia (2000), jenis data sirkular dibedakan menjadi dua yaitu :
1. Data sirkular jenis arah
Merupakan data terjadinya sesuatu hal yang diukur dalam arah atau derajat. Contohnya adalah arah angin, arah migrasi burung dan arah navigasi.
2. Data sirkular jenis waktu
Data yang merupakan data terjadinya sesuatu hal yang diukur dalam satuan waktu, dapat berupa jam dalam satu hari, hari dalam satu bulan, atau bulan dalam satu tahun. Dalam perhitungannya data sirkular jenis waktu harus diubah ke dalam sudut.
Penggambaran Data Sirkular
Sebuah data akan mudah dianalisis apabila dapat digambarkan dalam sebuah grafik. Menurut Fisher (1993), representasi data sirkular dalam bentuk grafis sangat penting. Bentuk grafis yang biasa digunakan untuk data sirkular adalah:
1. Diagram pencar
Diagram yang menggambarkan titik-titik secara sederhana dalam suatu lingkaran. 2. Histogram, dalam data sirkular histogram
dapat dibuat seperti pada data linear dengan respon sudut sebagai koordinat X. Histogram yang dibuat dapat berupa histogram sirkular dan Rose Diagram. a. Histogram sirkular
Histogram seperti pada data linear dengan menyatukaan koordinat X menjadi lingkaran.
b. Rose diagram/Diagram mawar Histogram dimana masing-masing kelompok digambarkan sebagai sektor. Area setiap sektor menunjukkan frekuensi kelompok.
Deskripsi Statistik Data Sirkular Arah Rata-Rata
Perhitungan untuk mencari rata-rata data sirkular berbeda dengan prosedur perhitungan rata-rata pada data linear. Rata-rata data sirkular diperoleh dengan memperlakukan data sebagai vektor satuan. Oleh karena itu dalam statistika sirkular dikenal adanya nilai vektor resultan R. Rumus dari R adalah:
R= ( 𝑛𝑖=1cos 𝜃𝑖 , 𝑛𝑖=1sin 𝜃𝑖 )= (C, S)
dimana θ1, θ2,..., θn merupakan satu set
observasi sikular yang diukur berdasarkan sudut, dan menghasilkan
R = ||R|| = 𝐶2+ 𝑆2
memperlihatkan panjang dari vektor resultan
R. Vektor resultan adalah jumlah dari dua
vektor atau lebih. Dalam statistika sirkular juga dikenal adanya panjang vektor rata-rata (𝑅 ) yang diperoleh dari :
𝑅 = R
𝑛
Arah dari vektor resultan R yang menjelaskan arah rata-rata sirkular dilambangkan dengan 𝜃 0 , dimana:
𝜃 0 = arctan*(S/C) , akan bernilai:
1. arctan (S/C) jika C>0, S≥0 2. π/2, jika C=0, S>0
3. arctan (S/C) + π jika C<0 4. arctan (S/C) + 2π jika C≥0, S<0 5. tidak terdefinisi jika C=0 dan S=0 Definisi inverse kuadran spesifik dari tangen diperlukan karena tan(θ) = tan(θ+π), dan arctan didefinisikan berada pada (−𝜋
2, +𝜋
2 ).
Sembarang θ memiliki dua inverse. Untuk mengatasi masalah ini definisi arah rata-rata sebelumnya dapat memberikan inverse yang bernilai unik dan tepat pada {0,2π} yang akan dihitung berdasarkan nilai C dan S (Jammalamadaka & SenGupta 2001).
Selang Kepercayaan Arah Rata-Rata
Metode yang digunakan untuk menentukan standar eror dari arah rata-rata sirkular yang mengikuti ditribusi normal sirkular adalah dengan mencari
𝜍 = 𝜇 1 𝑛 𝑟 к
sehingga selang kepercayaan 100%(1-α) untuk arah rata-rata data sirkular adalah [𝜃 0− arcsin zα/2𝜍 , 𝜃 𝜇 0+ arcsin zα/2𝜍 ]. 𝜇 Y X P r O θ r sin θ r cos θ
3
Ragam Sirkular
Salah satu ukuran yang juga berguna dalam deskripsi statistik data sirkular adalah ukuran sebaran atau keragaman. Nilai keragaman sirkular diukur berdasarkan ukuran jarak sirkular antara sembarang dua titik data pada keliling lingkaran. Ukuran jarak ini didefinisikan sebagai panjang busur terkecil dari dua panjang busur yang menghubungkan titik-titik tersebut.
Misalkan terdapat dua titik sembarang A dengan sudut α dan titik B dengan sudut β, maka jarak antar kedua titik merupakan busur terpendek dalam lingkaran. Gambar 3 menunjukkan busur ANB lebih pendek daripada busur ASB maka jarak antara A dan B adalah panjang busur ANB. Dengan demikian jarak dari dua titik pada keliling lingkaran tidak akan melebihi dari π.
Gambar 3 Contoh jarak antara dua titik pada data sirkular
Berdasarkan ilustrasi ini maka jarak sirkular untuk kedua titik A dan B adalah:
d (α,β) = ( 1- cos (α-β))
Definisi ini dapat digunakan untuk mencari ukuran sebaran data sirkular. Dengan pendekatan pengukuran jarak dalam lingkaran, maka nilai dari ragam contoh adalah
V= n – R = 1 - 𝑅
Nilai V adalah ukuran penyebaran contoh, dan pada statistika linear sama dengan s2. Standar deviasi pada data sirkular adalah: v = {-2 log (1-V)}1/2 = [2(1-𝑅 )]1/2
Titik sudut dalam arah yang sama mengindikasikan pemusatan yang besar, nilai R dapat sebesar n. Sebaliknya data yang menyebar merata pada sekeliling lingkaran mengindikasikan tidak adanya pemusatan, R dapat mendekati nilai 0 (Jammalamadaka dan
SenGupta 2001). Artinya semakin besar nilai keragaman sirkular maka semakin besar pula sebaran data dan semakin kecil konsentrasi data terhadap arah rata-ratanya.
Konsentrasi
Nilai konsentrasi menunjukkan seberapa besar data menuju suatu arah tertentu. Nilai konsentrasi dilambangkan dengan к yang ditentukan dengan formula sebagai berikut (Fisher 1993): 2𝑅 + 𝑅 3+ 5 𝑅 6 (1) −0.4 + 1.39𝑅 + 0.43 (1 − 𝑅 ) (2) 1 𝑅 3− 4𝑅 2+ 3𝑅 (3)
di mana persamaan (1) digunakan jika 𝑅 <0.53, persamaan (2) jika 0.53 ≤ 𝑅 <0.85 sedangkan persamaan (3) digunakan jika 𝑅 ≥ 0.85.
Uji Khi Kuadrat
Tujuan dilakukannya pengujian ini adalah untuk mengetahui hubungan antara rumah sakit dengan frekuensi kedatangan pasien. Pengujian dapat dilakukan dengan mengelompokkan waktu-waktu kedatangan dan menghitung frekuensinya. Setelah itu frekuensi dari masing-masing rumah sakit dibuat tabel kontingensi 4xc yang dapat dilihat pada Tabel 1.
Hipotesis:
H0 : tidak terdapat hubungan antara antara rumah sakit dengan frekuensi kedatangan pasien.
H1 : terdapat hubungan antara antara rumah sakit dengan frekuensi kedatangan pasien.
Tabel 1 Tabel Kontingensi
Total sampel 1 n11 .... .... n1c M1 sampel 2 .... .... .... .... M2 sampel 3 .... .... .... .... M3 sampel 4 n41 .... .... n4c M4 Total N1 N2 N3 N4 N dengan: eij = 𝑀𝑖𝑁𝑗 𝑁 ( i= 1,..4; j=1,2,,c) к = β α 0
4 χ2 = 𝑛𝑖𝑗 − 𝑒𝑖𝑗 2 𝑒𝑖𝑗 𝑖,𝑗 dimana:
eij= nilai harapan setiap sel
hipotesis nol akan ditolak jika nilai χ2 lebih besar dari χ2α, artinya terdapat hubungan
antara baris dan kolom.
Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular
Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk membandingkan arah rata-rata data sirkular yaitu dengan pendekatan ANOVA sirkular dan metode nonparametrik. Metode nonparametrik yang dapat dilakukan salah satunya metode menurut Fisher (1993).
ANOVA Sirkular
Pendekatan Analysis of Variance (ANOVA) sirkular adalah suatu metode statistika sirkular yang digunakan untuk menguji kesamaan dari dua atau lebih arah rata-rata. Hipotesis yang ingin diuji adalah:
H0 : µ1=...=µp
dimana µi adalah arah rata-rata untuk
masing-masing sampel. Pendekatan tabel ANOVA untuk analisis berdasarkan arah rata-rata (Watson dan Williams 1956) dalam Jammalamadaka dan SenGupta (2001) dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2 Pendekatan ANOVA Sumber Keragaman Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah Antar Sampel p-1 𝑅𝑖 𝑝 𝑖=1 − 𝑅 JKantar sampel/db Dalam Sampel N-p 𝑝𝑖=1(𝑛𝑖− 𝑅𝑖) JKdalam sampel/db Total N-1 (N - R ) dimana N=n1+...+np menunjukkan ukuran
sampel gabungan.
Asumsi yang harus dipenuhi adalah sebaran data mengikuti sebaran von Mises dan parameter konsentrasi memiliki nilai yang sama untuk masing-masing populasi. Pendekatan ANOVA pada Tabel 2 memiliki :
Fhitung = KTantar sampel/KTdalam sampel
Hipotesis nol akan ditolak jika Fhitung > F (p-1,
N-p, α/2) untuk к>2. Bila 1 < к < 2 maka dapat dilakukan pendekatan menggunakan
F’ = F (1 + 3
8к )
dengan pendekatan sebaran F yang sama.
Nilai к adalah dugaan parameter konsentrasi keseluruhan. Simulasi menunjukkan pendekatan ini dapat dipenuhi untuk к ≥ 1. Sedangkan untuk nilai к < 1 dapat dilakukan pengujian dengan rasio likelihood (Mardia 2000), dimana
U = 2 𝑁 𝑅𝑖 𝑝 𝑖=1 2 − 𝑅2 1 𝑐 = 1 - 1 8 к 2 + 𝑝 2𝑛к2
sehingga hipotesis nol akan ditolak jika nilai cU lebih besar dari 𝜒2
p-1,α
Sebaran von Mises/ Normal Sirkular
Pendekatan ANOVA berlaku untuk data normal sirkular. Sebaran ini adalah sebaran yang paling sering digunakan dalam statistika sirkular dan menjadi dasar parametrik statistika inferensia data sirkular. Sebaran ini dikenal sebagai sebaran von Mises yang ditemukan oleh von Mises pada tahun 1918.
Fungsi kepekatan peluang sebaran von Mises adalah
f ( θ;µ,к ) = 1
2𝜋 𝐼0 к e
к cos ( θ-µ ), 0 < θ < 2π
I0 adalah fungsi termodifikasi Bessel yaitu :
I0(к) = 1 2𝜋 𝑒 2𝜋 0 k cos θ dθ
µ adalah arah rata-rata di mana 0 ≤ µ< 2π, sedangkan к adalah parameter konsentrasi dimana к ≥ 0.
Uji Formal untuk Sebaran von Mises
Lemma Neyman-Pearson dalam Mardia (2000) menyatakan uji Rayleigh paling kuat jika menggunakan hipotesis alternatif data menyebar normal sirkular.
Hipotesis:
H0: Sebaran data mengikuti sebaran seragam sirkular.
H1: Sebaran data mengikuti sebaran von Mises atau normal sirkular
Statistik uji yang digunakan adalah: Z = n𝑅 2
Jika nilai statistik uji lebih besar dari Zα,n,
maka hipotesis nol ditolak yang artinya sebaran data mengikuti sebaran normal.
5
Grafik Kecocokan Sebaran von Mises
Metode yang digunakan untuk mengevaluasi sebaran von Mises adalah QQ-plot), dengan mencari
zi = sin
1
2 (θi - µ ) i= 1,...,n
lalu nilai zi disusun berdasarkan nilai terkecil
sampai terbesar sehingga z(1) ≤....≤ z(n).
Setelah itu membuat plot (sin(1
2 q1), z(1)),....,
(sin(1
2 qn), z(n)). Jika data mengikuti sebaran
von Mises, plot mengikuti garis lurus (0,0) dengan kemiringan 45o (Fisher 1993.
Pengujian Untuk Parameter Konsentrasi
Pengujian kesamaan dua atau lebih rata-rata populasi memerlukan asumsi parameter konsentrasi к bernilai sama. Pengujian dilakukan dengan hipotesis:
H0 : к1 = к2 =....= кp
H1: paling sedikit 1 dari кi berbeda dari yang
lain ( i= 1,..,p). Statistik uji: 𝐹𝑝= 𝑁−𝑝 𝑝𝑖=1𝑛𝑖 𝑑 𝑖− 𝑑 2 𝑝−1 𝑝𝑖=1 𝑛 𝑖𝑗 =1 𝑑 𝑖𝑗− 𝑑 2 dan 𝑑 𝑖𝑗= sin(𝜃𝑖𝑗− 𝜃 ) 𝑖 j=1,..,ni 𝑑 𝑖= 𝑑𝑖𝑗 𝑛𝑖 𝑛𝑖 𝑗 =1 𝑑 = 𝑛𝑖 𝑑𝑖 𝑁 𝑝 𝑖=1
Maka H0 ditolak jika 𝐹𝑝> F(p-1, N-p,α/2)
dimana:
p = menyatakan banyaknya kelompok ni = menyatakan ukuran sampel yang
ke-i (i= 1,...,p)
N = total keseluruhan data
𝜃 𝑖 = menyatakan rata-rata sirkular untuk
kelompok ke-i.
Metode Nonparametrik
Dalam keadaan tertentu dimungkinkan cukup alasan untuk menduga bahwa sebaran yang mendasari data identik. Selain itu model parametrik yang didasari sebaran von Mises mungkin tidak dapat memberikan deskripsi yang memadai mengenai data atau distribusi yang tidak tepat.
Secara nonparametrik untuk menguji arah rata-rata dua atau lebih sampel dapat dilakukan dengan beberapa metode. Untuk
sampel yang besar terdapat beberapa metode diantaranya adalah metode P dan M.
1. Metode P : dilakukan jika 𝛿𝑚𝑎𝑘𝑠
𝛿𝑚𝑖𝑛 ≤ 4.
Dengan statistik uji: Yp = 2(N-RP)/𝛿 0 dimana: 𝛿0 = 𝑝1=1𝑛𝑖𝛿𝑖 𝑁 𝛿 = (1-ρ𝑖 2 )/2𝑅 2 𝜌2= 1 𝑛 cos 2 (𝜃𝑖 𝑛 𝑖=1 − 𝜃 ) Rp = 𝐶𝑝 2 + 𝑆𝑝 2 𝐶𝑝 = 𝑛𝑖 𝑝 𝑖=1 cos 𝜇 𝑖 𝑆𝑝 = 𝑛𝑖 𝑝 𝑖=1 sin 𝜇 𝑖
2. Metode M : dilakukan jika 𝛿𝛿𝑚𝑎𝑘𝑠
𝑚𝑖𝑛 > 4.
Dengan statistik uji: Yp = 2( 1 𝜍2𝑖 𝑝 𝑖=1 - RM ) dimana 𝐶 = 𝑀 cos 𝜇𝑖 𝜍2 𝑖 𝑝 𝑖=1 𝑆 = 𝑀 sin 𝜇𝑖 𝜍2 𝑖 𝑝 𝑖=1 RM = 𝐶𝑀 2 + 𝑆𝑀 2
Hipotesis nol akan ditolak jika nilai Yp> 𝜒𝑝−12 (
𝛼
2 ) atau Yp < 𝜒𝑝−1 2 (1 −𝛼
2 ). Jika
hipotesis nol ditolak artinya paling sedikit terdapat satu dari µi berbeda dari yang lain.
Uji Arah Rata-Rata Dua Sampel
Pengujian lanjut setelah uji ANOVA belum ditemukan dalam konsep statistika sirkular. Oleh karena itu untuk mengetahui arah rata-rata 2 kelompok yang berbeda dilakukan uji parsial 2 kelompok berdasarkan arah rata-rata yang berdekatan.
Hipotesis: H0: µ1=µ2 H1: µ1≠µ2 Statistik uji: F = к 𝑁−2 (𝑅1+ 𝑅2− 𝑅) 𝑁−𝑅1−𝑅2
Metode di atas digunakan jika sebaran data menyebar von Mises dengan nilai к>2 dan memiliki nilai yang sama untuk kedua sampel.
6
Untuk nilai 1< к <2 maka dapat dilakukan pendekatan menggunakan
F’ = F (1 + 3
8к )
dengan pendekatan sebaran F yang sama. Sedangkan jika nilai к yang didapat kurang dari 1 maka dilakukan perhitungan dengan menggunakan pendekatan uji rasio likelihood seperti yang telah dijelaskan sebelumnya.
METODOLOGI Bahan
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder yang didapat dari 4 rumah sakit di kota Bogor pada bulan Maret 2011. Rumah sakit tersebut adalah:
1. Rumah Sakit Azra
2. Rumah Sakit Palang Merah Indonesia
3. Rumah Sakit Karya Bakti 4. Rumah Sakit Salak
Data yang didapat berupa waktu kedatangan pasien Instalasi Gawat Darurat, dan asal tempat tinggal (kecamatan).
Metode
Perangkat lunak yang digunakan untuk data sirkular ini adalah Oriana trial version. Langkah - langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah :
1. Mentransformasi data waktu kedatangan pasien dalam satuan jam ke dalam satuan sudut atau derajat dengan persamaan
θ = 360𝑜𝑥 𝑡
𝑇
Untuk mengubah jam (t dalam jam) dalam siklus 1 hari maka T=24 jam. Begitu pula sebaliknya untuk mentransfromasi satuan sudut menjadi waktu dengan mengkonversi balik persamaan;
2. Membuat analisis deskripsi statistik sirkular masing-masing rumah sakit; 3. Melihat hubungan antara rumah sakit
dengan frekuensi kedatangan pasien dengan menggunakan table kontingensi; 4. Menghitung ANOVA dengan prosedur
statistika sirkular yang meliputi
Pengujian kecocokan sebaran Von Misses, jika data mengikuti sebaran Von Misses, analisis dapat dilanjutkan. Pengujian kesamaan parameter
konsentrasi keempat rumah sakit;
Menghitung tabel ANOVA;
Jika nilai konsentrasi yang dihasilkan kecil akan dilakukan konversi nilai F
untuk nilai 1< к <2. Sedangkan jika nilai к <1 pengujian dilakukan dengan uji rasio likelihood.
5. Menghitung perbandingan arah rata-rata waktu kedatangan dengan metode nonparametrik jika 𝛿𝑚𝑎𝑘𝑠
𝛿𝑚𝑖𝑛 ≤ 4 , digunakan
metode P sedangkan jika 𝛿𝑚𝑎𝑘𝑠
𝛿𝑚𝑖𝑛 > 4,
digunakan metode M; dan
6. Pengujian parsial arah rata-rata waktu kedatangan pasien di rumah sakit berdasarkan arah rata-rata rumah sakit yang berdekatan.
HASIL DAN PEMBAHASAN Statistika Deskripsi Sirkular
Hasil transformasi data waktu kedatangan ke dalam bentuk sudut menghasilkan 1o yang mewakili 4 menit. Penggambaran data sirkular dilakukan dengan diagram pencar dan histogram sirkular. Hasil ini dapat dilihat pada Lampiran 1 dan 2. Selain itu deskripsi statistik untuk waktu kedatangan pasien IGD di rumah sakit dapat dilihat pada Tabel 3.
Pada Tabel 3, waktu kedatangan pasien IGD empat rumah sakit kota Bogor memiliki rata-rata sirkular dan selang kepercayaan yang berbeda-beda. Rata-rata sirkular menunjukkan arah rata-rata dari data yang ada atau arah tempat berkumpulnya data.
Rata-rata sirkular waktu kedatangan untuk rumah sakit AZRA pada pukul 19:33 atau berada pada 293o, sedangkan untuk Karya Bakti, PMI dan Salak berturut-turut pada pukul 15:20, 16:49, dan 15:47 atau arah rata-rata berada pada 230o, 252o dan 237o. Selain itu dapat dilihat median yang dihasilkan masing-masing rumah sakit tidak berbeda jauh dengan arah rata-ratanya.
Nilai panjang dari vektor rata-rata (𝑅 ) dapat dilihat pada Tabel 3. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya nilai 𝑅 ini menjelaskan ukuran pemusatan dari data sirkular. Nilai 𝑅 yang kecil dan mendekati nol mengindikasikan nilai pemusatan data yang kecil.
Nilai 𝑅 pada data waktu kedatangan pasien di 4 rumah sakit kurang dari 1. Hal ini menjelaskan nilai pemusatan data yang kecil. Panjang vektor rata-rata yang bernilai positif dapat diartikan arah rata-ratanya merupakan arah rata-rata sirkularnya.
Pada Tabel 3 nilai ragam sirkular masing-masing rumah sakit beragam. Nilai ragam berkisar antara 0.694 – 0.812. Nilai ragam
7
untuk rumah sakit AZRA adalah 0.694 dan untuk rumah sakit Karya bakti, PMI dan Salak berturut-turut adalah 0.748, 0.812 dan 0.745. Besarnya nilai keragaman menunjukkan terjadinya penyebaran yang cukup besar untuk data waktu kedatangan pasien IGD.
Nilai konsentrasi yang dihasilkan kecil padahal semakin besar konsentrasi data akan semakin terkonsentrasi di sekitar arah rata-ratanya. Pada Tabel 3 nilai konsentrasi berkisar antara 0.38 – 0.64. Rumah sakit AZRA, Karya Bakti, PMI dan Salak memiliki konsentrasi berturut-turut sebesar 0.643, 0.52, 0.382 dan 0.528. Nilai konsentrasi data keempat rumah sakit kurang dari satu padahal untuk melakukan uji F pada uji pendekatan ANOVA diperlukan konsentrasi lebih dari 2. Hal ini berarti hanya terdapat sedikit data yang berada di sekitar arah rata-rata.
Selang kepercayaan untuk arah rata-rata digunakan selang kepercayaan 95 %. Selang kepercayaan terlebar adalah pada rumah sakit AZRA yaitu berada pada pukul 16:53 sampai dengan pukul 22:13 atau 253o sampai dengan 333o. Selang kepercayaan seharusnya menunjukkan selang waktu sibuk untuk masing-masing rumah sakit. Namun karena nilai konsentrasi yang dihasilkan kecil, selang
kepercayaan ini menjadi kurang kuat untuk menentukan waktu sibuk kedatangan pasien.
Pada Tabel 3 juga dapat dilihat nilai median, standar deviasi dan standar eror. Arti dari nilai-nilai ini tidak berbeda dengan statistika linear pada umumnya.
Rose diagram atau diagram mawar setiap rumah sakit dapat dilihat pada Gambar 4, 5, 6, dan 7. Skala yang digunakan pada diagram ini adalah frekuensi relatif terhadap frekuensi maksimum. Frekuensi terbesar akan memiliki nilai 1 pada diagram mawar. Berdasarkan diagram mawar terlihat bahwa banyaknya pasien datang terjadi sore hari menjelang malam hari. Hal ini mungkin disebabkan oleh pelayanan poliklinik yang tutup sore hari.
Diagram mawar pada Gambar 4, 5, 6, dan 7 menunjukkan frekuensi dan arah rata-rata dengan selang kepercayaan dalam statistika sirkular. Garis penuh menunjukkan arah rata-rata dan selang kepercayaan data berdasarkan konsep statistika sirkular, sedangkan garis panah putus-putus adalah arah rata-rata dengan prosedur statistika linear. Berdasarkan gambar dapat dilihat bahwa terdapat perbedaan arah rata-rata antara prosedur statistika sirkular dengan statistika linear.
Tabel 3 Statistika Deskriptif Waktu Kedatangan Pasien
Rumah Sakit
Azra Karya Bakti PMI Salak Jumlah pengamatan 40 1261 1632 1025
Arah rata-rata (𝜃 0) 19:33 (293o) 15:20 (230o) 16:49 (252o) 15:47 (237o)
Panjang vektor rata-rata (𝑅 ) 0.306 0.252 0.188 0.255 Median 20:15(303o) 15:20 (230o) 17:00 (255o) 15:50 (237o) Konsentrasi 0.643 0.52 0.382 0.528 Ragam Sirkular 0.694 0.748 0.812 0.745 Standar Deviasi Sirkular 05:52 (88o) 06:20 (95o) 06:59 (105o) 06:18 (95o) Standard Error arah rata-rata 01:21(20o) 00:17 (4o) 00:21 (5o) 00:19 (5o)
95% Selang Kepercayaan
(-/+) 16:53 (253
o
) 14:45 (221o) 16:08 (242o) 15:09 (227o) Untuk (𝜃 0) 22:13 (333o) 15:55 (239o) 17:31 (263o) 16:25 (246o)
8
Gambar 4 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien AZRA
Gambar 5 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien Karya Bakti
Gambar 6 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien PMI
Gambar 7 Diagram Mawar Waktu Kedatangan Pasien Salak
9
Gambar 8. Diagram Lingkaran Asal Pasien IGD Deskripsi asal tempat tinggal pasien-pasien IGD dapat dilihat pada Gambar 8. Asal tempat tinggal pasien dikelompokkan berdasarkan kecamatan-kecamatan di kota Bogor dan untuk kecamatan di kabupaten Bogor digolongkan ke dalam kabupaten Bogor. Berdasarkan Gambar 8 dapat dilihat mayoritas pasien IGD berasal dari kabupaten Bogor untuk rumah sakit Salak, PMI dan Karya Bakti. Sedangkan untuk rumah sakit AZRA mayoritas berasal dari kecamatan Bogor Utara. Banyaknya pasien yang berasal dari Kabupaten Bogor dapat disebabkan oleh pengelompokkan asal pasien kabupaten Bogor yang tidak dibagi ke dalam beberapa kecamatan.
Terlepas dari pasien asal kabupaten Bogor, terlihat bahwa mayoritas pasien IGD berasal dari daerah di sekitar rumah sakit. Misalnya untuk rumah sakit Karya Bakti yang berada di Bogor Barat, sebanyak 21.7% pasien berasal dari kecamatan Bogor Barat.
Uji Khi-Kuadrat
Pengelompokkan yang dilakukan adalah dengan selang 20o sehingga didapatkan 18 kelompok. Tetapi ketika diuji didapatkan 25% sel dengan nilai harapan kurang dari 5. Untuk mengatasi hal ini maka dilakukan pengelompokkan ulang dengan selang masing-masing kategori 40o dan didapatkan 9 kategori. Selanjutnya uji khi-kuadrat sudah memenuhi syarat dengan 13.9% sel yang nilai harapannya kurang dari 5.
Pada pengujian dihasilkan nilai statistik uji 53.624. Karena nilai statistik uji lebih besar dari χ2
0.05,24 = 35.415 maka hipotesis
nol dapat ditolak. Hal ini berarti terdapat hubungan antara jenis rumah sakit dengan frekuensi waktu kedatangan pasien.
Uji Kecocokan Sebaran von Mises
Hasil uji kecocokan sebaran von Mises dilakukan dengan von Mises Q-Q plot dan uji Rayleigh. Hasil uji kecocokan sebaran von Mises dengan Q-Q plot masing-masing rumah sakit dapat dilihat pada Lampiran 3. Pada Q-Q plot untuk ke-4 rumah sakit menunjukkan sebaran data mengikuti garis lurus (0,0) dengan kemiringan 45o maka dapat dikatakan waktu kedatangan pasien di 4 rumah sakit mengikuti sebaran normal sirkular atau von Mises.
Pengujian formal sebaran von Mises menggunakan uji Rayleigh. Hasil uji Rayleigh dapat dilihat pada Tabel 4. Untuk ke-4 rumah sakit uji Rayleigh menghasilkan nilai-p yang kurang dari alpha 5% artinya hipotesis nol dapat ditolak dan menerima hipotesis alternatif yaitu data mengikuti sebaran von Mises.
Tabel 4 Uji Kecocokan Rayleigh. Rumah Sakit Statistik Uji Nilai-P Azra 3.744 0.023 Karya Bakti 79.827 < 0.000 PMI 57.527 <0.000 Salak 66.822 <0.000
AZRA Karya Bakti
PMI Salak Bogor Barat Bogor Selatan Bogor Tengah Bogor Timur Bogor Utara Kab Bogor Tanah Sareal Kategori 10,3% 23,1% 43,6% 5,1% 5,1% 12,8% 16,4% 46,4% 6,1% 2,7% 5,1% 1,6% 21,7% 10,7% 40,4% 17,4% 9,5% 8,4% 6,7% 7,1% 23,9% 30,4% 12,5% 4,9% 12,2% 8,0% 8,2%
Pie Chart of kecamatan
10
Uji Kesamaan Parameter Konsentrasi
Uji kesamaan konsentrasi menghasilkan nilai F hitung = 0.8654, karena nilai F hitung ini
lebih kecil dari F(3, 3954, 0.05) = 3.129 maka tidak tolak H0, artinya tidak ada perbedaan parameter konsentrasi untuk rumah sakit AZRA, Karya Bakti, PMI dan salak. Berdasarkan hasil ini maka analisis perbandingan arah rata-rata waktu kedatangan pasien dengan menggunakan pendekatan ANOVA dapat dilakukan.
Perbandingan Arah Rata-Rata Data Sirkular
ANOVA Sirkular
Hasil perhitungan pendekatan ANOVA sirkular untuk waktu kedatangan pasien dapat dilihat pada Tabel 5.
Tabel 5 Tabel Pendekatan ANOVA Sirkular. Sumber Keragaman Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Kuadrat Tengah Rumah Sakit 3 17.705 5.9 Galat 3954 3053.06 0.77 Total 3957 3070.77
Berdasarkan Tabel 5 Fhitung yang
dihasilkan adalah 7.643. Karena nilai к yang dihasilkan kecil tidak dapat dilakukan keputusan berdasarkan nilai F. Oleh karena itu dilakukan pendekatan keputusan untuk к <1 dengan uji rasio likelihood.
Berdasarkan uji rasio likelihood didapatkan nilai cU sebesar 16.4199. Nilai ini lebih besar dari 𝑋2
3,0.05 = 7.615. maka
hipotesis nol dapat ditolak. Dapat disimpulkan bahwa minimal terdapat 1 rumah sakit yang memiliki arah rata-rata waktu kedatangan yang berbeda.
Metode Nonparametrik
Metode ini tetap dilakukan sebagai perbandingan walaupun berdasarkan Q-Q plot diketahui data menyebar von Mises,. Berdasarkan hasil 𝛿 𝑚𝑎𝑘𝑠/𝛿 𝑚𝑖𝑛diperoleh nilai
sebesar 3.099 sehingga digunakan metode P. Hasil perhitungan dengan metode P menghasilkan nilai Yp sebesar 12.252. Nilai
Yp lebih besar dari χ23, 0.025 = 7.9.348 maka
hipotesis nol dapat ditolak yang artinya minimal terdapat satu rumah sakit yang memiliki arah rata-rata waktu kedatangan yang berbeda. Keputusan uji nonparametrik ini sebanding dengan keputusan yang
diperoleh pada uji rasio likelihood sebelumnya.
Uji Arah Rata-Rata Berpasangan
Uji berpasangan arah rata-rata dilakukan untuk mengetahui perbedaan arah rata-rata setiap rumah sakit. Tabel 6 dihasilkan berdasarkan uji rasio likelihood karena к<1. Pada Tabel 6 didapatkan hasil bahwa rumah sakit Karya Bakti dan rumah sakit Salak memiliki arah rata-rata yang sama serta rumah sakit PMI memiliki arah rata-rata yang sama dengan rumah sakit AZRA.
Tabel 6 Hasil Uji Parsial.
Rumah Sakit Arah Rata-rata Karya Bakti 15:20 ( 230) A Salak 15:47 ( 237) A PMI 16:49 ( 252) B AZRA 19:33 ( 293) B
KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan
Arah rata-rata yang menunjukkan pusat waktu sibuk kedatangan pasien untuk rumah sakit AZRA, Karya Bakti, PMI dan Salak berturut-turut terjadi pada pukul 19:33, 15:20, 16:49 dan pukul 15:47. Sedangkan berdasarkan diagram mawar dapat dilihat secara umum waktu kedatangan pasien IGD banyak terjadi pada sore hari menjelang malam.
Nilai ragam dan konsentrasi masing-masing rumah sakit berturut-turut adalah sebagai berikut: rumah sakit AZRA (0.694; 0.643), rumah sakit Karya Bakti (0.748; 0.52), rumah sakit PMI (0.812; 0.382) dan rumah sakit Salak (0.745; 0.528). Hasil arah rata-rata dengan prosedur linear berbeda dengan prosedur sirkular. Rata-rata linear berada diantara nilai maksimum dengan minimum sedangkan dalam konsep sirkular tidak ada titik maksimum dan titik minimum.
Terdapat hubungan yang signifikan antara frekuensi waktu kedatangan pasien dengan jenis rumah sakit. Rumah sakit AZRA dan PMI memiliki kesamaan arah rata-rata waktu kedatangan. Demikian juga rumah sakit Karya Bakti dan Salak memiliki kesamaan arah rata-rata waktu kedatangan.
11
Saran
Berdasarkan penelitian ini maka untuk penelitian selanjutnya disarankan agar menambahkan peubah-peubah lain yang berkaitan dengan waktu kedatangan pasien IGD. Contohnya peubah jenis keluhan atau jenis penyakit.
DAFTAR PUSTAKA
Fisher NI. 1993. Statistical Analysis of Circular Data. Cambridge: Cambridge University Press.
Jammalamadaka SR, SenGupta A. 2001. Topics in Circular Statistics. Singapore: World Scientific.
Mardia KV, Jupp PE. 2000. Directional Statistics. West Sussex : John Wiley & Sons.
Martin GK. 2008. Circular Statistics. Article
Alley. http://www.articlealley.com/
circular-statistics-657388.html [17 Januari 2011]
12
13
Lampiran 1. Diagram Pencar Waktu Kedatangan Pasien
Row Data Plot Rumah Sakit AZRA Row Data Plot Rumah Sakit Karya Bakti
14
Lampiran 2. Histogram Sirkular
Rumah Sakit AZRA Rumah Sakit Karya Bhakti
Rumah Sakit PMI Rumah Sakit Salak
Angles - azra
0 90 180 270 20% 20% 20% 20% 15% 15% 15% 15% 10% 10% 10% 10% 5% 5% 5% 5%Angles - karya bakti
0 90 180 270 10% 10% 10% 10% 8% 8% 8% 8% 6% 6% 6% 6% 4% 4% 4% 4% 2% 2% 2% 2%
Angles - PMI
0 90 180 270 10% 10% 10% 10% 8% 8% 8% 8% 6% 6% 6% 6% 4% 4% 4% 4% 2% 2% 2% 2%Angles - salak
0 90 180 270 10% 10% 10% 10% 8% 8% 8% 8% 6% 6% 6% 6% 4% 4% 4% 4% 2% 2% 2% 2%15
Lampiran 3. Pengujian Sebaran Von Mises
waktu kedatangan - azra
S am pl e Q ua nt ile s
Von Mises Quantiles
1 0,5 0 -0,5 -1 1 0,5 0 -0,5 -1
waktu kedatangan - karya bhakti
S am pl e Q ua nt ile s
Von Mises Quantiles
1 0,5 0 -0,5 -1 1 0,5 0 -0,5 -1
waktu kedatangan - PMI
S am pl e Q ua nt ile s
Von Mises Quantiles
1 0,5 0 -0,5 -1 1 0,5 0 -0,5 -1
waktu kedatangan - salak
S am pl e Q ua nt ile s
Von Mises Quantiles
1 0,5 0 -0,5 -1 1 0,5 0 -0,5 -1
16
Lampiran 4 Tabel Frekuensi Kedatangan Masing-Masing Rumah Sakit
Azra Karya Bakti PMI Salak Frequency Frek % Frek % Frek % Frek %
1 00:00 - <01:20 2 5 30 2.379 75 4.596 36 3.512 2 01:20 - <02:40 0 0 25 1.983 57 3.493 27 2.634 3 02:40 - <04:00 2 5 15 1.19 49 3.002 14 1.366 4 04:00 - <05:20 1 2.5 27 2.141 17 1.042 18 1.756 5 05:20 - <06:40 1 2.5 47 3.727 46 2.819 22 2.146 6 06:40 - <08:00 2 5 55 4.362 69 4.228 36 3.512 7 08:00 - <09:20 0 0 83 6.582 99 6.066 64 6.244 8 09:20 - <10:40 2 5 108 8.565 108 6.618 92 8.976 9 10:40 - <12:00 0 0 82 6.503 129 7.904 78 7.61 10 12:00 - <13:20 4 10 81 6.423 101 6.189 66 6.439 11 13:20 - <14:40 1 2.5 98 7.772 98 6.005 70 6.829 12 14:40 - <16:00 4 10 68 5.393 82 5.025 69 6.732 13 16:00 - <17:20 3 7.5 107 8.485 99 6.066 75 7.317 14 17:20 - <18:40 1 2.5 95 7.534 125 7.659 71 6.927 15 18:40 - <20:00 3 7.5 88 6.979 119 7.292 86 8.39 16 20:00 - <21:20 4 10 125 9.913 135 8.272 82 8 17 21:20 - <22:40 7 17.5 79 6.265 137 8.395 76 7.415 18 22:40 - <00:00 3 7.5 48 3.807 87 5.331 43 4.195 Total 40 1261 1632 1025
17
Lampiran 5. Tabel – Tabel Hasil Perhitungan a. Uji Persamaan Konsentrasi
Rumah sakit ni di AZRA 40 0.624119 Karya Bhakti 1261 0.693774 PMI 1632 0.695027 Salak 1025 0.699431 keseluruhan 3958 𝑑 =0.695052
b. Metode Nonparametrik perbandingan arah rata-rata untuk 2 sampel atau lebih dengan metode P: Rumah sakit ni r 𝛿 𝑖 𝜇 𝑖 C S AZRA 40 0.306 5.161 293.362 15.86157 -36.7207 Karya Bhakti 1261 0.252 8.985 230.24 -806.502 -969.369 PMI 1632 0.188 15.992 252.383 -493.929 -1555.46 Salak 1025 0.255 8.862 236.834 -560.743 -858.016 keseluruhan 3958 𝛿 =11.80639 0 -1845.31 -3419.57
c. Uji Parsial Menggunakan Rasio Likelihood
Rumah sakit/statistika uji Karya Bakti Salak PMI AZRA Karya Bakti 1.21 10.87 7.047123
Salak 4.48 5.587495
PMI 2.253
