II. LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan diuraikan beberapa definisi dan teori penunjang yang akan digunakan di dalam pembahasan.
2.1 Istilah Ekonomi dan Keuangan Definisi 1 (Investasi)
Dalam keuangan, investasi dapat diartikan sebagai pengeluaran untuk membeli surat- surat berharga seperti saham dan sekuritas lainnya. Investasi tersebut dikenal juga dengan sebutan investasi keuangan. Dalam analisis ekonomi, istilah investasi sering dihubungkan dengan investasi fisik atau investasi pada aset nyata. Investasi fisik menghasilkan aset baru yang akan menambah kapasitas produksi suatu perusahaan, sementara investasi keuangan hanya memindahkan kepemilikan dari aset yang sudah ada dari seseorang atau lembaga kepada pihak yang lainnya.
(Pass et al. 1988) Definisi 2 (Contingent Claim)
Contingent Claim adalah sekuritas yang memberikan imbal hasil yang tergantung pada nilai aset lain seperti harga komoditas, harga saham dan obligasi, atau nilai indeks pasar.
(Bodie et al. 2002) Definisi 3 (Primitive Security)
Sekuritas primitif (Primitive Security) adalah instrumen seperti saham atau obligasi yang pembayarannya hanya tergantung pada status keuangan pihak penerbit.
(Bodie et al. 2002) Definisi 4 (Derivative security)
Sekuritas derivatif (derivative security) dibentuk dari perangkat sekuritas primitif yang menghasilkan imbal hasil yang tergantung pada faktor-faktor di luar karakteristik pihak penerbit dan mungkin dikaitkan dengan harga aset lain.
(Bodie et al. 2002) Teori Tentang Opsi
Opsi pada suatu aset adalah suatu kontrak antara dua pihak, yang memberikan hak,
tetapi bukan kewajiban, untuk melakukan jual atau beli aset pada harga tertentu yang disebut strike price atau exercise price dan dalam jangka waktu tertentu (jatuh tempo).
Definisi 5 (Opsi Call)
Opsi call memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu aset pada harga tertentu yang disebut harga eksekusi (exercise/strike price) pada saat atau sebelum tanggal jatuh tempo (maturity) yang ditentukan.
Definisi 6 (Opsi Put)
Opsi put memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual suatu aset dengan harga eksekusi tertentu pada saat atau sebelum tanggal jatuh temponya.
Berdasarkan waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi Eropa (European option) dan opsi Amerika (American option). Opsi Eropa hanya dapat dieksekusi pada saat kontrak jatuh tempo, sedangkan opsi Amerika dapat dieksekusi sebelum atau pada saat kontrak jatuh tempo.
(Bodie et al. 2002) Definisi 7 (Volatilitas)
Volatilitas menyatakan tingkat risiko suatu aset yang ditunjukkan oleh keacakan harga saham. Semakin besar nilai volatilitas, semakin tak terduga pergerakan harga saham.
Sebaliknya, semakin kecil volatilitas, semakin mudah untuk menduga harga saham tersebut.
(Morgenson dan Harvey 2002) Teori Tentang Obligasi
Karakteristik obligasi meliputi nilai obligasi, jangka waktu obligasi, tingkat suku bunga dan penjadwalan pembayaran.
Nilai Pari
Nilai pari adalah nilai yang ditetapkan atas obligasi. Nilai tersebut menunjukkan jumlah uang yang dipinjam dan dibayar kembali oleh perusahaan pada tanggal jatuh tempo.
Misalkan, bila perusahaan membutuhkan dana
sebesar 500 miliar rupiah maka akan diterbitkan obligasi bernilai 500 miliar rupiah.
Jangka waktu Obligasi
Jangka waktu obligasi adalah masa jatuh tempo atau berakhirnya masa pinjaman. Masa jatuh tempo obligasi di Indonesia 1 sampai 10 tahun, rata-rata masa jatuh tempo obligasi di Indonesia adalah 5 tahun. Semakin pendek jangka waktu obligasi maka akan semakin diminati investor, karena risikonya kecil.
Pada saat jatuh tempo, pihak penerbit obligasi berkewajiban untuk melunasi pokok investasi di dalam obligasi tersebut. Sebagai contoh, perusahaan mengeluarkan obligasi dengan nilai 500 miliar rupiah untuk jangka waktu 5 tahun maka saat memasuki masa jatuh tempo, perusahaan wajib membayar pinjaman atau sebesar 500 miliar rupiah kepada investor beserta bunganya.
Tingkat Suku Bunga
Untuk menarik minat para investor, maka perusahaan harus memberikan insentif yang menarik berupa bunga yang relatif lebih besar dari pada tingkat suku bunga perbankan.
Istilah tingkat suku bunga dalam instrumen obligasi dikenal dengan nama kupon obligasi.
Penentuan besarnya kupon obligasi sangat penting, untuk dapat menarik minat investor tentunya juga harus mempertimbangkan kemampuan perusahaan untuk membayar kupon tersebut sampai jatuh tempo.
Ukuran tingkat suku bunga sangat dipengaruhi oleh tingkat risikonya. Obligasi dengan tingkat risiko yang lebih tinggi, tentunya akan menawarkan tingkat suku bunga yang lebih tinggi dibandingkan dengan obligasi yang memiliki risiko lebih rendah.
Jadwal Pembayaran
Jadwal pembayaran adalah periode waktu yang mewajibkan perusahaan penerbit membayar kupon obligasi. Pembayaran dilakukan secara berkala dengan kesepakatan sebelumnya, bisa dilakukan triwulan, semesteran atau tahunan. Ketepatan pembayaran kupon obligasi kepada investor merupakan aspek penting dalam menjaga reputasi perusahaan.
Definisi 8 (Yield to Maturity)
Yield to maturity adalah suku bunga selama T periode yang membuat nilai kini dari pembayaran obligasi sama dengan harganya.
Suku bunga yang dimaksud dapat digambarkan sebagai rata-rata dari suku bunga yang akan dihasilkan oleh suatu obligasi yang dibeli sekarang dipertahankan sampai waktu jatuh tempo.
(Bodie et al. 2002) Definisi 9 (Zero-Coupon Bond)
Zero-coupon bond adalah salah satu jenis obligasi yang tidak memberikan kupon pada pemegang obligasi. Obligasi jenis ini hanya memberikan satu kali cash flow (pembayaran) pada pemiliknya yaitu pada saat waktu jatuh tempo obligasi sebesar nilai pari.
(Rolski et al. 1999) Definisi 10 (Short Rate)
Short rate adalah suku bunga yang berlaku pada interval waktu tertentu.
(Bodie et al. 2002) Definisi 11 (Forward Rate)
Forward rate adalah short rate yang berlaku pada tahun ke-n sedemikian sehingga return dari 2 strategi investasi selama n tahun dan investasi n-1 tahun kemudian diinvestasikan kembali pada tahun ke-n akan sama.
Jika forward rate untuk periode n adalah , maka didefinisikan oleh persamaan
1 1
1 ,
atau dituliskan
1 1 1
n adalah periode waktu, adalah yield to maturity dan jatuh tempo setelah n-periode.
Jadi, total return pada 2 strategi investasi selama n tahun akan sama jika short rate pada tahun ke-n sama dengan .
Definisi 12 (Sktruktur Waktu Suku Bunga) Struktur waktu suku bunga (term structure of interest rates) menyatakan hubungan antara yield to maturity dengan waktu jatuh temponya.
(Fabozzi dan Modigliani 2003)
Teori-teori dari struktur waktu, yaitu 1. Hipotesis Harapan
Hipotesis harapan adalah hipotesis sederhana dari struktur waktu yang menyatakan bahwa nilai forward rate periode n sama dengan nilai harapan dari short rate pada waktu mendatang pada periode n, dituliskan
,
Bahwa liquidity premium sama dengan nol. Sebagai ilustrasi
1 1 1
1 1 1
Maka, yield to maturity selama n periode dapat ditentukan oleh yield to maturity yang berlaku selama n-1 periode dan harapan suku bunga yang berlaku pada periode n.
2. Liquidity Preference
Liquidity Preference menyatakan bahwa investor jangka pendek tidak ingin memiliki obligasi jangka panjang jika
, dan investor jangka panjang tidak ingin memiliki obligasi jangka pendek jika , . Teori liquidity preference menyimpulkan bahwa investor jangka pendek mendominasi pasar maka forward rate lebih besar dari nilai harapan short rate.
Selisih antara dengan disebut liquidity premium pada waktu n, yang nilainya diharapkan positif.
3. Segmentasi Pasar
Teori segmentasi pasar menyatakan bahwa obligasi jangka pendek dan obligasi jangka panjang memiliki pasar masing-masing yang berbeda, karena setiap obligasi mempunyai keseimbangan masing-masing yang saling bebas. Suku bunga jangka pendek ditentukan oleh penawaran dan permintaan pada pasar obligasi jangka pendek, begitu pun suku bunga jangka panjang. Struktur waktu suku bunga ditentukan oleh keseimbangan suku bunga pada berbagai waktu jatuh tempo pasar obligasi.
(Bodie et al. 2002)
Definisi 13 (Teori Portfolio)
Jika 2 aset dengan ragam masing-masing adalah dan dikombinasikan dalam satu portfolio dengan proporsi masing-masing dan , maka ragam portofolio diberikan oleh persamaan berikut
2 cov ,
Dengan
cov , dan cor , .
cor , adalah korelasi antara return aset 1 dan return aset 2, dengan nilai 1 1.
1 artinya kedua aset mempunyai korelasi negatif sempurna, sedangkan 1 artinya kedua aset mempunyai korelasi positif sempurna.
(Bodie et al. 2002) 2.2 Proses Stokastik
Proses stokastik digunakan sebagai model matematika untuk mewakili suatu peubah yang nilainya berubah secara acak menurut waktu.
Untuk memahami proses stokastik diperlukan definisi berikut
Definisi 14 (Percobaan Acak)
Dalam suatu percobaan sering kali dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan pasti.
Percobaan yang semacam ini disebut percobaan acak.
(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 15 (Ruang Contoh)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh (ruang sampel), dinotasikan dengan Ω.
(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 16 (Kejadian)
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω.
(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 17 (Medan- )
Medan- adalah himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian dari
ruang contoh Ω yang memenuhi syarat-syarat berikut:
1. .
2. Jika , , , … . , maka ∞ . 3. Jika maka , dengan menyatakan komplemen dari himpunan .
(Hogg et al. 2005) Definisi 18 (Ukuran Peluang)
Suatu ukuran peluang P pada ruang ukuran Ω, adalah fungsi : 0,1 yang memenuhi:
1. Untuk setiap kejadian berlaku 1.
2. Ω 1.
3. Jika , , , … . adalah barisan kejadian-kejadian yang saling lepas yaitu
, untuk setiap pasangan , dengan maka:
∞ ∞
Pasangan (Ω, , disebut dengan ruang peluang (probability space).
(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 19 (Peubah Acak)
Misalkan adalah medan- dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak adalah suatu fungsi Ω: dengan sifat
Ω: untuk setiap .
(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 20 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang tercacah , , , … dari .
Catatan:
Suatu himpunan bilangan C disebut bilangan tercacah jika C terdiri atas bilangan berhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.
(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 21 (Fungsi Masa Peluang)
Fungsi masa peluang (probability mass function) dari suatu peubah acak diskret X
adalah fungsi : 0,1 yang diberikan
oleh .
(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 22 (Peubah Acak Kontinu)
Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat diekspresikan sebagai:
∞
untuk suatu fungsi : 0, ∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Selanjutnya fungsi
disebut fungsi kepekatan peluang bagi .
(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 23 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret)
Jika adalah peubah acak diskret dengan himpunan semua kemungkinan nilai X adalah A dan dengan fungsi massa peluang , maka nilai harapan dari adalah
jika jumlah diatas konvergen mutlak. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai harapan dari X tidak ada.
(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 24 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu)
Jika adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang , maka nilai harapan dari adalah
∞
∞
jika jumlah diatas konvergen mutlak. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai harapan dari X tidak ada.
(Grimmett dan Stirzaker 1992) Lema 1 (Sifat Nilai Harapan)
Beberapa sifat dari nilai harapan diantaranya:
1. Jika adalah suatu konstanta, maka .
2. Jika adalah suatu konstanta dan adalah peubah acak, maka
.
3. Jika , adalah konstanta dan , adalah suatu peubah acak, maka
, ,
.
(Bukti : Lihat Hogg et al. 2005)
(Hogg et al. 2005) Definisi 25 (Ragam dan Simpangan Baku)
Misalkan adalah peubah acak (diskret atau kontinu). Ragam atau
dinotasikan dengan , didefinisikan
Standar deviasi dinotasikn dengan , didefinisikan
(Ghahramani 2005) Definisi 26 (Proses Stokastik)
Proses stokastik , adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state .
2.3 Gerak Brown
Proses stokastik , disebut gerak Brown jika:
1. 0 0
2. Untuk 0 , peubah
acak , 1, 2, … . ,
saling bebas.
3. Untuk 0, berdistribusi normal dengan rataan 0 dan ragam .
(Hull 2003) 2.4 Proses Wiener
Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan ragam 1. Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak dapat dinyatakan sebagai berikut:
(1) disebut sebagai komponen deterministik dan menyatakan komponen stokastik, serta adalah proses Wiener, sedangkan dan masing-masing menyatakan drift rate dan variance rate dari .
Untuk proses stokastik yang didefinisikan pada ruang probabilitas (Ω, , berlaku hal berikut:
Misalkan adalah proses Wiener pada (Ω, , . Integral stokastik adalah proses stokastik dengan bentuk:
0 ,
, 2
(Hull 2003)
2.5 Proses Itô
Proses Itô adalah proses Wiener umum dengan dan menyatakan suatu fungsi dari peubah acak dan waktu . Proses Itô dapat dinyatakan sebagai berikut:
, , . (3)
(Hull 2003)
Lema 2 (Lema Itô)
Misalkan proses memenuhi
persamaan (3) dan fungsi , adalah kontinu serta turunan-turunan
, , , kontinu, maka
, memenuhi persamaan berikut:
, ,
1
2 , 4
dengan
, ,
dan
0
(Hull 2003) Bukti: Lihat Lampiran 1
