RUMUS CEPAT MENYELESAIKAN SOAL UJIAN NASIONAL MATEMATIKA PERSAMAAN KUADRAT Persamaan Kuadrat

(1)

2. 2. 2. 2. 2. 2.

2. 2. Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akarMenggunakan rumus jumlah dan hasil kali akarMenggunakan rumus jumlah dan hasil kali akarMenggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar----akar persamaan kuadrat.akar persamaan kuadrat.akar persamaan kuadrat.akar persamaan kuadrat.

Persamaan Kuad

Persamaan Kuadrat (PK)

rat (PK)

01

2

3 41 3 5 6 7

Akar-Akar PK

896:;<=;_B@>:?@A atau 8B 6:;:=;_B@>:?@A

Jumlah Akar-Akar PK

Hasil Kali Akar-Akar PK

893 8B 6 C;_@ 898B6_@A

Selisih Akar-Akar PK

D89C 8BD 6=;>:?@A_@ 6=E_@

Bentuk Simetri Akar-Akar PK

89BF 8BB6 (89F 8B)BG 2898B

89BC 8BB6 (893 8B)(89C 8B)

89HF 8BH6 (89F 8B)HG 3(898B)(89F 8B)

89?F 8B?6 (89BF 8BB)BG 2(898B)B

1 89F

1 8B6

89F 8B

898B

1 89B3

1 8BB6

89B3 8BB

(898B)B

89

8BF

8B

896

89BF 8BB

898B

(2)

Menyusun Menyusun Menyusun

Menyusun bentuk simetri akarbentuk simetri akarbentuk simetri akar----akar PKbentuk simetri akarakar PKakar PKakar PK

Ubah bentuk operasi aljabar dari akar-akar persamaan kuadrat sedemikian sehingga memuat rumus jumlah dan hasil kali akar-akar PK (dan rumus selisih akar-akar PK, kalau diperlukan).

Berikut ini contoh bentuk simetri akar-akar PK yang sering muncul dalam soal: Jumlah Kuadrat Akar

Jumlah Kuadrat Akar Jumlah Kuadrat Akar

Jumlah Kuadrat Akar----Akar PK:Akar PK:Akar PK: Akar PK: 89B3 8BB6 K.

Penyelesaian: Penyelesaian: Penyelesaian: Penyelesaian:

Ingat bentuk (893 8B)B6 89B3 2898B3 8BB, maka diperoleh:

89B3 8BB6 (1L3 12)BC 21L12

Selisih Kuadrat Akar Selisih Kuadrat Akar Selisih Kuadrat Akar

Selisih Kuadrat Akar----Akar PKAkar PKAkar PKAkar PK 89BC 8BB6 K.

Ingat bentuk (89C 8B)B6 89BC 2898B3 8BB, maka diperoleh:

89BC 8BB6 (1LC 12)B3 21L12

Atau ingat bentuk (893 8B)(89C 8B) 6 89BC 89B, maka diperoleh:

89BC 8BB6 (1L3 12)(1LC 12)

Jumlah Pangkat Tiga Akar Jumlah Pangkat Tiga Akar Jumlah Pangkat Tiga Akar

Jumlah Pangkat Tiga Akar----Akar PKAkar PKAkar PK Akar PK 89H3 8BH6 K.

Ingat bentuk (893 8B)H6 89H3 389B8B3 3898BB3 8BH

6 89H3 3(898B)(893 8B) 3 8BH

maka diperoleh:

89H3 8BH6 (1L3 12)HC 3(1L12)(1L3 12)

Jumlah Pangkat Empat Akar Jumlah Pangkat Empat Akar Jumlah Pangkat Empat Akar

Jumlah Pangkat Empat Akar----Akar PK: Akar PK: Akar PK: Akar PK: 89?3 8B?6 K.

Penyelesaian: Penyelesaian: Penyelesaian: Penyelesaian: Ingat bentuk (8B_{3 8}

BB)B6 89?3 28B8B3 8B?, maka diperoleh:

89?3 8B?6 M1L23 122NBC 2(1L12)B

6 O(1L3 12)BC 21L12PBC 2(1L12)B

Dan Dan Dan

Dan lainlainlainlain----lain K. lain K. lain K. lain K.

Contoh: Contoh: Contoh: Contoh:

Persamaan kuadrat C28B_{3 38 C 2 6 0 memiliki akar-akar 8}₉_{dan 8}_B_{, maka nilai 8}₉B_{3 8}_BB_{6 ....}

Pertama, cari jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat tersebut:

1L3 126 CR_{S 6 C}_{C2 6}3 3₂

1L126_{S 6}T C2_{C2 6 1}

Kedua, cari bentuk identik dari 89B3 8BB yang memuat bentuk 893 8B dan 89B3 8BB.

89B3 8BB6 (1L3 12)BC 21L12

6 UHBVBC 2(1) 6W?C 2 69?

(3)

Menyusun PK B

Menyusun PK Baru

aru

Diketahui:

012_{3 41 3 5 6 7}_{adalah PK Lama}

1L dan 12adalah akar-akar PK Lama

X dan Y adalah akar-akar PK Baru

Cek dan perhatikan!

Apakah X dan Y identik atau tidak?

Jika \ dan

] identik

Jika \ dan ] tidak identik

Cari invers akar PK Baru, Cari jumlah dan hasil kali akar PK Lama

Y:L ₁_L_{3 1}₂_dan₁_L₁₂

Substitusi Y:L_{ke PK Lama} cari jumlah dan hasil kali akar PK Baru _{X 3 Y}_dan_XY

menggunakan nilai 1L3 12 dan 1L12

Rumus PK Baru adalah

SMY:LNB3 RMY:LN 3 T 6 0 8BC (X 3 Y)8 3 (XY) 6 0

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS: TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:

Ditambah Ditambah Ditambah

Ditambah artinya substitusi pengurangan. Dikurangi

Dikurangi Dikurangi

Dikurangi artinya substitusi penjumlahan. Dik

Dik Dik

Dikalikanalikanalikanalikan artinya pangkat naik. Otomatis kalau dibagi maka pangkat turun. Di

Di Di

Dibalikbalikbalikbalik artinya juga dibalik. Dinegatifkan

Dinegatifkan Dinegatifkan

Dinegatifkan artinya koefisien R juga dinegatifkan. Misal PK Lama adalah S8B_{3 R8 3 T 6 0, maka:}

1. PK Baru yang akar-akarnya (\3 b) dan (]3 b) S(8C b)B_{3 R(8}_{C b}_{) 3 T 6 0}

2. PK Baru yang akar-akarnya (\C b) dan (]C b) S(83 b)B_{3 R(8}_{3 b}_{) 3 T 6 0}

3. PK Baru yang akar-akarnya (b\) dan (b]) S8B₃_b_{R8 3}_b2_{T 6 0}

4. PK Baru yang akar-akarnya U_XLV dan UL_YV

58B_{3 R8 3}₀_{6 0}

5. PK Baru yang akar-akarnya (C\) dan (C]) S8B_C_{R8 3 T 6 0}

(4)

Contoh Contoh Contoh Contoh 1111::::

Akar-akar persamaan kuadrat 38B_{C 128 3 2 6 0 adalah \ dan ].}

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (\ 3 2) dan (] 3 2) adalah K. Penyelesaian:

Penyelesaian: Penyelesaian: Penyelesaian:

Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?

Akar-akar PK Baru (\ 3 2) dan (] 3 2), ternyata simetris. Memiliki pola yang sama, yaitu (8 3 2). Kedua, cari invers dari akar-akar PK Baru, (8 3 2).

Invers dari (8 3 2) adalah (1 C 2).

Ketiga, Substitusikan (1 C 2) menggantikan variabel 8 pada PK Lama: 3(1 C 2)B_{C 12(}_{1 C 2}_{) 3 2 6 0}

e 3(8B_{C 48 3 4) C 128 3 24 3 2 6 0}

e 38B_{C 128 3 12 C 128 3 24 3 2 6 0}

e 38B_{C 248 3 3f 6 0}

Jadi, PK Baru yang akar-akarnya (\ 3 2) dan (] 3 2) adalah 38B_{C 248 3 3f 6 0.}

Contoh Contoh Contoh Contoh 2222::::

Akar-akar persamaan kuadrat 28B_{C 48 3 f 6 0 adalah \ dan ].}

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya g_h dan h_g adalah K.

Pertama, cek dan perhatikan apakah akar-akar PK Baru simetris atau tidak?

Akar-akar PK Baru g_h dan h_g, ternyata tidak simetris. Tidak memiliki pola yang sama.

Kedua, cari jumlah dan hasil kali akar-akar PK Lama.

X 3 Y6 CC4_{2 6 2}

XY6f_{2 6 4}

Ketiga, cari jumlah dan hasil kali akarjumlah dan hasil kali akarjumlah dan hasil kali akarjumlah dan hasil kali akar----akar PK Baruakar PK Baruakar PK Baruakar PK Baru menggunakan nilai X 3 Y dan XY . \

] 3]\ 6\

B_{3 ]}B

\]

6(X 3 Y_XY)BC 2XY

62BC 2 i_j j 64 C f₄ 6 C4₄ 6 C1 \

]]\ 6 1

Keempat, rumus PK Baru adalah:

8B_{C (}_{jumlah akar}_{jumlah akar}_{jumlah akar}_{jumlah akar----akar PK baru}_{akar PK baru}_{akar PK baru}_{akar PK baru}_{)8 3}_{hasil kali akar}_{hasil kali akar----akar PK baru}_{hasil kali akar}_{hasil kali akar}_{akar PK baru}_{akar PK baru}_{akar PK baru}_{6 0}

8B_{C (C1)8 3 1 6 0}

8B_{3 8 3 1 6 0}

Jadi, PK Baru yang akar-akarnya g_h dan h_g adalah 8B_{3 8 3 1 6 0.}

(5)

Contoh Contoh Contoh Contoh 3333

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (\ 3 3) dan (] 3 3) adalah K. Penyelesaian

Penyelesaian Penyelesaian

Penyelesaian TRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILAT::::

Akar-akar PK Baru adalah penjumlahanpenjumlahanpenjumlahanpenjumlahan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (8 C 3). Jadi, PK Baru adalah:

2(8 C 3)B_{C 5(8 C 3) 3 3 6 0}

Jabarkan sendiri yaK! Contoh

Contoh Contoh Contoh 4444

Akar-akar persamaan kuadrat 38B_{3 128 C 1 6 0 adalah \ dan ].}

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (\ C 2) dan (] C 2) adalah K. Penyelesaian

Akar-akar PK Baru adalah penpenpenpengurangangurangangurangangurangan dengan dua, maka PK Baru adalah substitusi dengan (8 3 2). Jadi, PK Baru adalah:

3(8 3 2)B_{3 12(8 3 2) C 1 6 0}

Akar-akar persamaan kuadrat C48B_{3 28 C k 6 0 adalah \ dan ].}

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2\ dan 2] adalah K. Penyelesaian

Akar-akar PK Baru adalah pepepeperkalianrkalianrkalianrkalian dengan dua, maka setiap suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK?

Jadi, PK Baru adalah:

C48B₍₂l_{) 3 28(2}9_{) C k(2}B_{) 6 0}

Akar-akar persamaan kuadrat k8B_{C 58 3 13 6 0 adalah \ dan ].}

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya g_n dan h_n adalah K.

Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian

Akar-akar PK Baru adalah pembagianpembagianpembagianpembagian dengan lima, maka setiap suku dikalikan dengan lima berpangkat turun, sampai pangkat nol. Pangkat nol nggak usah ditulis, karena jelas sama dengan 1. OK?

Jadi, PK Baru adalah:

k8B₍₅n_{) C 58(5}9_{) 3 13(5}l_{) 6 0}

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya _g9 dan _h9 adalah K.

Penyelesaian Penyelesaian Penyelesaian

Akar-akar PK Baru adalah kebalikankebalikankebalikankebalikan dari akar-akar PK Lama, maka Tukar posisi koefisien 8B_dengan

konstanta.

(6)

Contoh Contoh Contoh Contoh kkkk

Akar-akar persamaan kuadrat C8B_{3 28 3 4 6 0 adalah \ dan ].}

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya C\ dan C] adalah K. Penyelesaian

Penyelesaian TRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILATTRIK SUPERKILAT:::: TRIK SUPERKILAT

Akar-akar PK Baru adalah negatifnegatifnegatifnegatif dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah koefisien 8 dikalikan (C1). Jadi, PK Baru adalah:

C8B_{3 28(C1) 3 4 6 0}

C8B_{C 28 3 4 6 0}

Contoh Contoh Contoh Contoh kkkk

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (2\ C 3) dan (2] C 3) adalah K. Penyelesaian

Akar-akar PK Baru adalah perkalian perkalian perkalian perkalian dengan dua, dilanjutkan pengurangan pengurangan pengurangan pengurangan dengan tiga dari akar-akar PK Lama, maka PK Baru adalah suku dikalikan dengan dua berpangkat naik, mulai dari pangkat nol,

dilanjutkan dengan substitusi (8 3 3). Jadi, PK Baru adalah:

28B₍₂l_{) C 58(2}9_{) 3 3(2}B_{) 6 0}

28B_{C 108 3 12 6 0}

Dilanjutkan dengan substitusi (8 3 3). 2(8 3 3)B_{C 10(8 3 3) 3 12 6 0}

Jabarkan sendiri yaK!

(7)

Berlawanan

Berkebalikan

R 6 0 S 6 T

Sifat

Sifat----Sifat

Sifat

Akar

Akar----Akar PK

Akar PK

Perbandingan

Selisih

pRB_{6 (p 3 1)}B_ST _{q 6 (pS)}B

Keterangan: Keterangan: Keterangan: Keterangan:

Me Me Me

Menggunakan sifatnggunakan sifatnggunakan sifatnggunakan sifat----sifat akarsifat akarsifat akarsifat akar----akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui.akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui.akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui. akar PK untuk menentukan bagian dari PK yang tidak diketahui. Inti dari permasalahan ini adalah melengkapkan variabel yang tidak diketahui pada PK dengan menggunakan sifat tertentu dari akar-akarnya.

TRIK SUPERKILAT TRIK SUPERKILAT TRIK SUPERKILAT TRIK SUPERKILAT

Sifat akar-akar persamaan kuadrat S8B_{3 R8 3 T 6 0 yang mungkin keluar di soal:}

1. Jika akar yang satu kelipatan p dari akar yang lain (896 p8B), maka pRB6 (p 3 1)BST

2. Jika selisih akar-akarnya adalah p (D89C 8BD 6 p), maka q 6 (pS)B

3. Jika akar-akarnya berlawanan (896 C8B atau 893 8B6 0), maka R 6 0

4. Jika akar-akarnya berkebalikan U896_r9_> atau 898B6 1V, maka S 6 T

Contoh: Contoh: Contoh: Contoh:

Akar-akar persamaan kuadrat 28B_{3 s8 3 16 6 0 adalah \ dan ].}

Jika \ 6 2] dan \, ] positif maka nilai s 6 K.

Pertama, lihat ternyata akar-akar PK tersebut adalah memiliki kelipatan tertentu. Karena \ 6 2], maka jelas nilai p 6 2.

Kedua, gunakan sifat perbandingan akar-akar PK. pRB_{6 (p 3 1)}B_ST

e 2sB_{6 (2 3 1)}B_{i 2 i 16}

e sB_{6 3}B_{i 4}B

e s 6 F12

Ketiga, karena akar-akarnya positif maka jumlah kedua akar tersebut juga positif, sehingga: 893 8Bt 0 u C_{S t 0}R

(8)

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin: Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:

1.

Akar-akar persamaan kuadrat

x2 ₊ax₋4₌0

adalah

p

dan

q.

Jika

p

2

−

2

pq

+

q

2

=

8

a

,

maka nilai

a

=

....

A.

−8

B.

−4

C.

4

D.

6

E.

8

2.

Persamaan

kuadrat

x

2

+

(

m

−

1

)

x

−

5

=

0

mempunyai

akar-akar

x₁

dan

x₂.

Jika

,

8 2 ₁ ₂ 2

2 2

1 x x x m

x ₊ ₋ ₌

maka nilai

m

=

....

A.

−3 atau −7

B.

3 atau 7

C.

3 atau −7

D.

6 atau 14

E.

−6 atau −14

89B3 8BBC 2898B6 fs

u (893 8B)BC 4898B6 fs

e (Cs 3 1)B_{3 20 6 fs}

e sB_{C 10s 3 21 6 0}

e (S C 3)(S C k) 6 0

e S C 3 6 0 atau S C k 6 0

u S 6 3 xxS 6 k

893 8B6 Cs 3 1

89. 8B6 C5

y 3 z 6 CS y. z 6 C4

yB_{C 2yz 3 z}B_{6 fS}

u (y 3 z)B_{C 4yz 6 fS}

e SB_{3 16 6 fS}

e SB_{C fS 3 16 6 0}

e (S C 4)(S C 4) 6 0