Buku Strategi Pembelajaran Matematika

 PENDAHULUAN   PENDAHULUAN  Dengan memperhatikan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi yang begitu Dengan memperhatikan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi yang begitu  pesat, maka

 pesat, maka terasa terasa penting peranan penting peranan sumber daya sumber daya manusia yang manusia yang terdidik sebagai terdidik sebagai calon tenagacalon tenaga kerja. Salah satu upaya untuk meningkatkan mutu sumber daya manusia dapat menguasai kerja. Salah satu upaya untuk meningkatkan mutu sumber daya manusia dapat menguasai ilmu pengetahuan dan teknologi adalah melalui jalur pendidikan mulai dari pendidikan dasar  ilmu pengetahuan dan teknologi adalah melalui jalur pendidikan mulai dari pendidikan dasar  hingga pendidikan menengah. Matematika sebagai salah satu mata pelajaran yang diberikan hingga pendidikan menengah. Matematika sebagai salah satu mata pelajaran yang diberikan kepada siswa mempunyai peranan penting untuk menguasai ilmu pengetahuan dan teknologi. kepada siswa mempunyai peranan penting untuk menguasai ilmu pengetahuan dan teknologi. Oleh karena itu, matematika sekolah merupakan bagian-bagian matematika yang dipilih guna Oleh karena itu, matematika sekolah merupakan bagian-bagian matematika yang dipilih guna menum

menumbuhkbuhkankemankembangkbangkan an kemamkemampuan-kpuan-kemampuemampuan an dan dan membemembentuk ntuk keprikepribadian badian siswasiswa serta berpandu kepada perkembangan ilmu

serta berpandu kepada perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi (Dekdikbup, 1!".pengetahuan dan teknologi (Dekdikbup, 1!". #e

#eniningngkatkatan an mumutu tu pependndididikikan an mamatemtematiatika ka diditantandadai i dedengngan an pepeniningngkakatatan n hahasilsil  pembelajaran matematika. Mutu hasil

 pembelajaran matematika. Mutu hasil pembelajaran, matematika ditentukan oleh mutu prosespembelajaran, matematika ditentukan oleh mutu proses  pembelajaran matematika.

 pembelajaran matematika. Mutu hasil Mutu hasil pembelajaran matematika pembelajaran matematika ditentukan oleh ditentukan oleh mutu prosesmutu proses  pembelajaran

 pembelajaran matematika matematika di di kelas kelas atau atau sekolah. sekolah. #eningkatan #eningkatan mutu mutu pendidikan pendidikan matematikamatematika hanya mungkin dicapai melalui peningkatan mutu proses pembelajaran matematika yang hanya mungkin dicapai melalui peningkatan mutu proses pembelajaran matematika yang  bermuara pada peningkatan mutu hasil pembelajaran matematika.

 bermuara pada peningkatan mutu hasil pembelajaran matematika.

$eberhasilan proses dan hasil pembelajaran matematika dipengaruhi oleh berbagai $eberhasilan proses dan hasil pembelajaran matematika dipengaruhi oleh berbagai %ak

%aktortor, , antantara ara lain lain adaadalah lah gurguru u matmatematematika ika dan dan sissiswa. wa. &al &al ini ini disdisebaebabkabkan n karkarena ena gurguruu ma

matemtematiatika ka dadan n sisiswa swa teterlirlibabat t secsecarara a lalangngsusung ng dadalam lam kekegigiataatan n prprososes es pempembelbelajaajararann matematika. 'uru sebagai subjek yang sangat berperan dalam usaha membelajarkan siswa, matematika. 'uru sebagai subjek yang sangat berperan dalam usaha membelajarkan siswa, da

dan n sissiswa wa obobjek jek yayang ng memenjnjadadi i sassasaraaran n pepembmbelaelajarjaran an mamatemtematiatikaka. . OlOleh eh kakarerena na ititu,u,  pelaksanaan kurikulum matematika di depan kelas

 pelaksanaan kurikulum matematika di depan kelas sangat tergantung kepada kemampuan dansangat tergantung kepada kemampuan dan keteram

keterampilan guru pilan guru matematmatematika ika sebagai pengelola proses sebagai pengelola proses pembelpembelajaran matematika. Seorangajaran matematika. Seorang gur

guru u matmatemaematiktika a harharus us menmenguaguasai sai bahbahan an ajar ajar matmatematematika ika dibdibarenarengi gi dendengan gan penpenguaguasaansaan terhad

terhadap ap strategstrategi i pembpembelajaran matematika. #emilihan strategi elajaran matematika. #emilihan strategi pembepembelajaran matematikalajaran matematika yang tepat akan mempermudah proses terbentuknya pengetahuan matematika pada diri siswa. yang tepat akan mempermudah proses terbentuknya pengetahuan matematika pada diri siswa. Secara har%iah, kata strategi dapat diartikan sebagai seni melaksanakan stratatem yaitu Secara har%iah, kata strategi dapat diartikan sebagai seni melaksanakan stratatem yaitu siasat atau rencana (Mcleod, 1". Dalam pres%ekti% psikologi, kata strategi berarti rencana siasat atau rencana (Mcleod, 1". Dalam pres%ekti% psikologi, kata strategi berarti rencana tindakan yang terdiri dan seperangkat langkah untuk memecahkan masalah atau mencapai tindakan yang terdiri dan seperangkat langkah untuk memecahkan masalah atau mencapai tujuan ()eber, 1*". Strategi sebagai prosedur mental yang berbentuk tatanan langkah yang tujuan ()eber, 1*". Strategi sebagai prosedur mental yang berbentuk tatanan langkah yang menggunakan upaya ranah cipta mencapai tujuan tertentu. Dengan mempertimbangkan arti menggunakan upaya ranah cipta mencapai tujuan tertentu. Dengan mempertimbangkan arti

kata strategi tersebut, maka strategi pembelajaran diartikan sebagai sejumlah langkah yang kata strategi tersebut, maka strategi pembelajaran diartikan sebagai sejumlah langkah yang direkayasa sedemikian hingga untuk mencapai tujuan pembelajaran tertentu (Syah, 1!". direkayasa sedemikian hingga untuk mencapai tujuan pembelajaran tertentu (Syah, 1!". Secara umum strategi mempunyai pengertian suatu garis-garis besar haluan untuk bertindak  Secara umum strategi mempunyai pengertian suatu garis-garis besar haluan untuk bertindak  dalam usaha mencapai sasaran yang telah ditentukan (Djamarah dan +ain, ".

dalam usaha mencapai sasaran yang telah ditentukan (Djamarah dan +ain, ". Den

Dengan gan memmemperhperhatikatikan an artarti i kata kata strastrategtegi i di di atas atas dan dan bilbila a dihdihubuubungkngkan an dendengangan  pembelajaran

 pembelajaran matematika, matematika, maka maka strategi strategi pembelajaran pembelajaran matematika matematika dapat dapat diartikan diartikan sebagaisebagai  pola-pola

 pola-pola umum umum kegiatan kegiatan siswa siswa dan dan guru guru dalam dalam kegiatan kegiatan proses proses pembelajaran pembelajaran untuk untuk  men

mencapcapai ai komkompetpetensensi i pempembelbelajarajaran an matmatematematika ika yanyang g telatelah h ditditetapetapkankan. . ntntuk uk menmencapcapaiai kompetensi pembelajaran matematika yang telah ditetapkan, seorang guru matematika perlu kompetensi pembelajaran matematika yang telah ditetapkan, seorang guru matematika perlu memperhatikan beberapa hal dalam melaksanakan kegiatan proses pembelajaran matematika. memperhatikan beberapa hal dalam melaksanakan kegiatan proses pembelajaran matematika. &al-hal yang dimaksud adalah (1" mengkondisikan siswa untuk menemukan kembali rumus, &al-hal yang dimaksud adalah (1" mengkondisikan siswa untuk menemukan kembali rumus, ko

konsnsep ep atatau au prprininsip sip dadalam lam mamatemtematatikika a memelallalui ui bibimbmbiningagan n guguru ru agagar ar sissiswa wa teterbirbiasasaa mel

melakuakukan kan penpenyelyelidiidikan kan dan dan menmenemuemuka ka sesusesuatuatu, , (" (" penpendekdekatan atan pempemecahecahan an masmasalahalah mer

merupaupakan kan %ok%okus us daldalam am pempembelbelajarajaran an matmatemaematiktika, a, yanyang g menmencakcakup up masmasalah alah tertertuttutup,up, mempunyai solusi tunggal, terbuka atau masalah dengan berbagai cara penyelesaian, (/" mempunyai solusi tunggal, terbuka atau masalah dengan berbagai cara penyelesaian, (/" ket

keteramerampilapilan n untuntuk uk menmeningingkatkatkan kan kemkemampampuan uan memmemecahecahkan kan masmasalaalah, h, memmemahamahami i soasoal,l, memilih pendeka

memilih pendekatan tan atau strategi atau strategi pemecpemecahan ahan menymenyelesaikaelesaikan n model dan model dan mena%simena%sirkan solusi,rkan solusi, (0"

(0" daladalam m setisetiap ap pempembelabelajarajaran, n, guguru ru henhendakdaknynya a memmemperhperhatikatikan an penpenguaguasaan saan bahbahan an ajar ajar   prasyarat

 prasyarat yang yang diperlukan, diperlukan, dan dan (!" (!" dalam dalam setiap setiap kesempatan, kesempatan, pembelajaran pembelajaran matematikamatematika hendaknya memulai dengan pengenalan masalah yang sesuai dengan situasi (Depdiknas, hendaknya memulai dengan pengenalan masalah yang sesuai dengan situasi (Depdiknas, /".

/".

Dengan mencermati uraian di atas, maka pembahasan tentang strategi pembelajaran Dengan mencermati uraian di atas, maka pembahasan tentang strategi pembelajaran matematika ini meliputi hakekat matematika, hakekat pembelajaran matematika, teori belajar  matematika ini meliputi hakekat matematika, hakekat pembelajaran matematika, teori belajar  ma

matemtematiatikaka, , memetotode de pempembelbelajaajararan n mamatemtematatikika, a, teteorori i bebelalajar jar mamatemtematatikika, a, dadan n momodedell  pembelajaran mat

 pembelajaran matematika. #ada ematika. #ada hakekat matematika hakekat matematika dibahas tentang dibahas tentang pengertian matematika,pengertian matematika, kar

karaktakteriseristik tik matmatematematikaika, , matmatemaematiktika a sebsebagaagai i suasuatu tu strustruktuktur, r, matmatematematika ika sebsebagaagai i suatsuatuu kumpulan sistem, matematika sebagai suatu kumpulan sistem, matematika sebagai suatu kumpulan sistem, matematika sebagai suatu kumpulan sistem, matematika sebagai suatu sistem dedukti%, dan matematika sebagai ratu ilmu. #ada hakekat pembelajaran matematika sistem dedukti%, dan matematika sebagai ratu ilmu. #ada hakekat pembelajaran matematika dib

dibahaahas s tententantang g penpengergertian tian pempembelbelajarajaran an matmatematematikaika, , matmatemaematiktika a seksekolaolah, h, dan dan proprosesses  pembelajaran

 pembelajaran matematika. matematika. #ada #ada teori teori pembelajaran pembelajaran matematika matematika dibahas dibahas teori teori pembelajaranpembelajaran yang cocok untuk belajar matematika yang meliputi teori belajar tingkah laku, teori belajar  yang cocok untuk belajar matematika yang meliputi teori belajar tingkah laku, teori belajar  kogniti%, dan teori konstrukktiisme. #ada metode pembelajaran matematika dibahas tentang kogniti%, dan teori konstrukktiisme. #ada metode pembelajaran matematika dibahas tentang

dan latihan, metode pemecahan masalah, metode laboratorium, metode kegiatan lapangan, dan latihan, metode pemecahan masalah, metode laboratorium, metode kegiatan lapangan, dan

dan metmetode ode perpermaiamaianannan. . #ad#ada a penpendekdekataatan n pempembelbelajarajaran an matmatematematika ika dibdibahaahas s tenttentangang  pendekatan spiral,

 pendekatan spiral, pendekatan dedukti%, pendekatan dedukti%, pendekatan indukti%, pendekatan indukti%, pendekatan intuiti%, pendekatan intuiti%, pendekatanpendekatan in%ormal, pendekatan analitik, pendekatan sintetik, dan pendekatan pembelajaran matematika in%ormal, pendekatan analitik, pendekatan sintetik, dan pendekatan pembelajaran matematika real

realistiistik. k. #ad#ada a modmodel el pempembelbelajarajaran an matmatematematika ika dibdibahaahas s tententantang g modmodel el pempembelbelajarajaranan langsung dan model pembelajaran kooperati%.

 HAKEKAT MATEMATIKA

2. #engertian Matematika

Dalam mempelajari matematika, wajar bila di antara kita atau mungkin siswa kita ada yang bertanya 32pakah matematika itu455. ntuk menjawab pertanyaan itu memanglah tidak  mudah, sama tidak mudahnya dengan seorang buta 3 menggambarkan bentuk gajah6 bila ia hanya meraba sebagian-sebagian dari tubuh gajah itu. Sewaktu ia meraba kaki gajah mungkin ia mengatakan bahwa gajah itu seperti tiang rumah atau pohon besar. Sewaktu meraba belalai gajah mungkin ia mengatakan bahwa gajah itu seperti ular, demikian seterusnya. Demikian  juga dengan de%inisi matematika. De%inisi dari matematika makin lama makin sulit untuk 

dibuat secara tepat dan singkat. #ara ahli matematika mende%inisikan matematika  berdasarkan sudut pandang mereka. &ingga kini belum ada kesepakatan yang bulat di antara

mereka membuat de%inisi tentang matematika.

Sujono (1" mengemukakan matematika adalah cabang ilmu pengetahuan yang eksak dan terorganisasi secara sistematik, matematika adalah bagian pengetahuan manusia tentang bilangan dan kalkulasi, matematika membantu orang dalam menginterpretasikan secara tepat berbagai ide dan kesimpulan, matematika adalah ilmu pengetahuan tentang  penalaran yang logik dan masalah-masalah yang berhubungan dengan bilangan, matematika  berkenaan dengan %akta-%akta kuantitati% dan masalah tentang ruang dan bentuk, dan matematika adalah ilmu pengetahuan tentang kuantitas dan ruang. Suherman dan 7inataputra (1" mengutip pandangan 8ames dan 8ames (19*", 8onson dan )ising (19", )eys dkk. (10" dan $line (19/" berkenaan dengan istilah matematika. 8ames dan 8ames (19*" mengemukakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunanm  besaran, dan konsep-konsep berhubungan lainnya dengan jumlah yang banyak terbagi ke dalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis, dan geometri. 8onson dan )ising (19" mengatakan bahwa matematika adalah pola berpikir dan pola mengorganisasikan. )eys dkk. (10" mengemukakan bahwa matematika adalah telaahan tentang pola hubungan. $line (19/" mengemukakan bahwa matematika bukanlah pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial, ekonomi dan alam. Soedjadi (" menyajikan beberapa de%inisi atau pengertian tentang matematika, yaitu matematika adalah

 pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi, matematika adalah pengetahuan tentang  penalaran logik dan berhubungan dengan bilangan, matematika adalah pengetahuan tentang %akta-%akta kuantitati% dan masalah tentang ruang dan bentuk, matematika adalah  pengetahuan tentang struktur-struktur ang logik, dan matematika adalah pengetahuan tentang

aturan-aturan yang ketat.

8ika kita mengartikan matematika sebagai ilmu maka matematika adalah salah satu cabang ilmu yang tersusun secara sistematis dan eksak. #engertian eksak tersebut tidak   berarti bahwa matematika eksak secara mutlak, tetapi matematika sebagai ilmu eksak  daripada ilmu-ilmu sosial dan lebih eksak dan lebih eksak daripada ilmu-ilmu %isik. $arena  bersi%at eksak maka matematika seringkali disebut sebagai ilmu pasti. 8ika kita menengok 

sejarah perkembangan dari matematika nampak matematika dikembangkan secara ridak  teratur dalam arti secara berulang dan bahkan boleh dikatakan secara serampangan, secara sebagian-sebagian, dan secara terus-menerus mengalami perubahan baik metode maupun isinya. &al ini dikarenakan adanya bermacam alasan orang dalam mengembangkan matematika, yaitu ada orang yang mengembangkan matematika untuk keperluan penggunaan di luar matematika, ada orang mengembangkan matematika untuk keperluan matematika tanpa menghiraukan kegunaannya di luar matematika, sementara ada orang yang mengembangkan matematika karena menganggap pengembangan sebelumnya kurang sempurna atau terdapat kelemahan. :epas dari alasan orang mengembangkan matematika,  produk akhir dari proses itu menunjukan hal yang sangat mengagumkan.

#engetahuan tentang bilangan dan kalkulasinya memasuki semua cabang matematika  bahkan tidak jarang merupakan titik tolak suatu pengembangan struktur dalam matematika. Dengan demikian tidaklah salah kalau orang mengatakan bahwa 3berhitung6 itu amat penting dan mendasar. Di ;ndonesia setelah penjajahan <elanda dan 8epang, digunakan ostilah 3ilmu  pasti6 untuk matematika. Dalam penyelenggaraan di sekolah digunakan berbagai istilah cabang matematika, seperti ilmu ukur, aljabar, trigonometri, goniometri, stereometri, ilmu ukur lukis, dan sebagainya. ;ni berakibat antara lain matematika seolah-olah terkotak-kotak  yang saling tidak berhubungan sama sekali. #enggunaan kata 3ilmu pasti6 menimbulkan kesan bahwa pelajaran matematika merupakan pelajaran tentang perhitungan-perhitungan yang memberikan hasil yang 3pasti6 dan 3tunggal6. &al tersebut dapat menimbulkan suatu 3miskonpesi6 yang pada waktunya harus dapat ditiadakan. 8ustru pembelajaran matematika yang menekankan kepada mengakti%kan siswa.

2pakah suatu pengukuran misalkan pengukuran panjang, pengukuran luas,  pengukuran kecepatan, dan sebagainya menunjukkan hasil yang tepat4 8awabannya adalah tidak. <ilangan yang diperoleh sebagai hasil pengukuran itu adalah hanya suatu pendekatan. ;ni berarti bahwa sangat mungkin diperoleh hasil pengukuran yang berbeda satu sama lain yang mungkin benar semua sesuai dengan keinginan kecermatan si pengukur. Dewasa ini matematika sudah berkembang sedemikian rupa sehingga tersulit untuk dapat dikuasai seluruhnya oleh seorang ahli. Matematika yang selama ini dipelajari di jenjang pendidikan dasar dan menengah masih hanya bertumpu pada logika yang dikotomik serta himpunan intuiti% yang klasik. Dewasa ini telah berkembang secara luas cabang-cabang matematika yang tidak lagi hanya bertumpu pada logika dikotomik dan himpuana kalsik, tetapi telah  bertumpu pada logika non-dikotomik serta himpunan non-klasik.

B.KarakteristikMatematika

BilakitaperhatikankemballistilahmatematikayangdikemUkakandiatas,ternyata istilah matematika didefinisikan tidak terdapatsatu pengertian matematika yang tunggal dan disepakati oleh semua ahli matematka. Meskipun demikian dan semua istilahmatematika terdapatkarakteristikyangsama.Karakteristikmatematika yang dimaksud adalah matematika memiliki objek kajian yang abstrak, matematika

bertumpu pada kesepakatan,

matematikaberpolapikirdeduktif,matematikamemilikisimbolyangkosongdanarti, matematikamemperhatikan semesta pembicaraan,dan matematikakonsistendalam sistem.

1.MatematikamemilikiObjekAbstark

Dalam matematikaobjekdasaryangdipelalariadalah abstrak,disebutjuga objek mental. Objek matematika itu merupakan objek Pikiran objek matematikaitumeliputifakta,konsep,operasiataurelasi,danprinsip.Dasar matematikaitulahdapatdlsusunsuatupoladanStrukturmatematika.

Fakta berupa konvensi-konvensiyang diungkap dengan simbol tertentu. Simbil bilangan “3” secara umum sudah dipahami sebagai bilangan tiga. Jika disajikan angka “3” orang sudah dengan sendirinya menangkap maksudnya yaitu “tiga”.Sebaliknyabilaseseorangmengucapkankata“tiga”dengansendirinyadapat disimbolkandengan“3”.Faktalaindapatterdiriatasrangkaiansimbol.Misalnya“3+ 4” yang dipahami sebagai tiga tambah empat”. Demikian juga “3 x 5 = 15” adalah faktayangdipahamisebaga,‘tigakalilimaadalahlimabetas”.Faktayangagaklebih kompleks adalah, “3 x 5 = 5+5+5 = 15. Dalam geometri juga terdapat simbol -simboltertentuyangmerupakankonvensi.Misalnya“II”yangbermakna“sejajar”,“a” yang bermakna “lingkaran’dan sebagainya.Dalam aijabardikenal(a,b)sebangat pasanganberurutan.

b. Konsep

Konsep adalah ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengkiasifikasikai sekelompok objek. Apakah objek tertentu merupakan contoh konsep ataukah bukan. “Segitga’ adalah nama suatu konsep abstrak. Dengan konsep itu Sekumpulan objekdapat digolongkan sebagaicontoh segitiga ataukah bukan contoh. ‘Bilangan ash” adalah nama suatu konsep yang lebih kompleks. Dikatakanlebihkomplekskarenabilanganashterdiriatasbanyakkonsepsederhana yaltubilangal“satu’,“dua’,“tiga”,danseterusnyaDalam matematikaterdapatkonSep yangamatPentingyaitu“fungsi”,“variabel”,dan“konstanta”.Konseptersebutseperti halnyadengaribilangan,terdapatdisemuacabangmatematika.Banyakkonseplain dalam matematikayangsifatnyalebihkompleksMisalnya“matriks”“vektor”,“group”, dan“ruangmetrik”.

Konsep berhubungan erat dengari definisi. DefinIsi adalah ungkapan yang membatasi suatu konsep. Dengan adanya definisi orang dapat membuat ilustrasi

atau gambar atau lambang dan konsep yang didefinisikan. Sehingga menjadi semakin jelas apa yang dimaksud dengan konsep tertentu. Konsep trapesium misalnya bila dikemukakan dalam definisi“trapesium adalah segiempat yang tepat sepaSang sisinya sejajar’. Konsep trapesium dapat juqa dikemukakan dengan definisilain,misalnya“trapesium adalahSegiempatyangteiladifikasebuahsegitiga dipotongolehsebuahgarisyangSejajardengansalahsatusisinya”.Kectuadefinisi trapesium diatasmemilikiisikataataumaknakatayangberbedatetapimempunyai  jangkauan yang sama. Kedua definisi Itu dikatakan memiliki “intensi” yang berbeda

tetapimemiliki“ekstensi”yang sama.Kesamaan ekstensiitu dapatdiujidengan pertanyaan Manakah trapesium menurut pertama yang tidak termasuk dalam trapesium menurutdefinisikedua,dan sebaliknya”? Ekstensisuatu definisijuga berarti“‘himpunan yang tertangkap oleh definisiitu”.Definisipertama digolongkan dalam definisianalitis yaitu definisiyang menyebutkan genus proksimum (genus terdekat) dan diferensia spesifika (pembeda khusus). Sedangkan definisikedua digolongkan kepada definisigenetik yaltu definisiyang menyebutkan bagaimana konsepituterbentukatauterjadi.Jenisdefinisiketigaadalahdefinisidenganrumus. Misainiya,n!=n(n-1)!

c.Operasi

Operasi adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar dan pengerjaan matematika yang lain. Sebagaicontoh, “penjumlahan”, perkalian”, “gabungan’, “irisan”.Unsur-unsuryangdioperasikanjugaabstrak.Padadasarnyaoperasidalam matematikaadalahsuatufungsiyalturelasikhuSuS,karenaoperasiadalahaturan untuk memperoleh elemen tunggal dan satu atau lebih elemen yang diketahui. Semesta dan elemen-elemen yang diketahui maupun elemen yang diperoleh dapat sama tetapt dapat Juga berbeda. Elemen tunggal yang diperoleh disebut hasil

dioperaSikan. Dalam matematika dikenal macam-macam operas’ yaitu “operaSi uner’, operasi biner, “operasi temerdan sebagalnva tergantung dan banyaknya elemenyang dioperaSikan. penjumlahanadalahoperaSi biner karena elemenyang dioperasikanada dua.Tetapi“akarlima’adalahoperasiunerkarenaelemenyang dioperasikan hanya satu. dalam himpunan dikenal operasi “gabungan” adalah operasibinertetapi“komPlemen”adalah operasiuner.seringkali operasijuga disebut“skIll”bilayangditekankanadalahketerampilan.

d.Prinsip

PrinsiP adalah objekmatematika yang kompleks.Prinsip dapatterdiriatas beberaPa fakta, beberaPa konseP yang dikaitkan oleh suatu relasi ataupun operasi.Secara sederhana dapatlah dikatakan bahwa prinsip adalah hubungan antaraberbagaiobjekdasarmatematika.Prinsipdapatberupa“aksioma”,“teorema”, “sifat”dansebaganYa.

 2. Matematma BertUmPu pada Kesepakatan

Dalam matematika kesepakatan merupakan tumpuan yang amat penting. Kesepakatan yang sangat mendasar adalah aksloma dan konsep primitif. Aksioma diperlukan untuk menghindarkan berputar-putar dalam, pembuktian. Sedangkan konsep primitifdiperlukan untuk menghinda berputar-PUtardalam pendefinisian. Aksioma juga disebut sebagai postulat ataupun pemyataan pangkal. Sedangkan konsep primitif yang juga disebut sebagai undefined term ataupun pengertian pangkaltidakperludidefinisikan.Beberapaaksiomadapatmembentuksuatusistem aksioma, yang selanjutnja dapat menurunkan berbagai teorema. Dalam aksioma tentu terdapatkonsep primitiftertentu.Dan satu atau lebih konsep primitifdapat dibentukkonsepbarumelalupendefinisian.

3. 3.MMaatteemmaattiikkaaBBeerrpopollaaPPiikkiirrDDeedduukkttiiff D Daallaamm mmaattememaattiikkaassebebaaggaaii““iillmmuu””hhaannyyaaddiitteerriimmaappoollaabbeerrppiikkiirrddeedduukkttiiff..PPoollaa p piikkiirrddeedduukkttiiffsseeccaarraasseeddeerrhahannaaddaappaattddiikkaattaakkaannppeemmiikkiirraann““yyaannggbbeerrppaannggkkaallddaarriihhaall yan

yang g beberrsisiffatat umumumum didittererapapkakann atatauau didiararahahkakann kekepadpada a hahal lyayang ng beberrsisiffatat khukhususus”s”.. P

Poollaappiikkiirrddeedduukkttiiffiinniiddaappaatttteerrwwuujjuuddddaallamam bbeennttuukkyyaannggaammaattsseeddeerrhhaannaatteettaappiijjuuggaa d

daappaatttteerrwwuujjuuddddaallaamm bbeennttuukkyyaannggttiiddaakksseeddeerraannaa..sseebbaaggaaiiccoonnttoohhsseeoorraannggssiisswwaassdd sud

sudahah mmenengegerrtti immakakna nakkoonsensepp peperrsesegigi” ”yayang ng didiajajararkankan gugurrununyaya.. susuatatu uhaharri isisiswswaa t

terersesebutbut melmeliihahat tbeberrbabagagai ibebentntukuk pipigugurra a yayang ng tteerrdadadadapapat tddaallamam susuatatu u papammereranan l

lukukiisasan. n.SSaaaat tiittu uddiia adadapapat tmenmenununjjukukkkaan npipigugurra ayyaang ngbeberrbebentntuukk peperrsseegi gidadan nyayangng bu

bukan kan peperrsegisegi. . IIni ni berberarartti i babahwhwa a sisiswswa a tterersebusebut t ttelelah ah mmenenererapapkan kan pepemmahahamamanan u

ummuumm tteennttaannggppeerrsseeggiikkeeddaallaamm ssiittuuaassiikkhhuussuusstteennttaannggppiigguurraa--ppiigguurraatteerrsseebbuutt..JJaaddii si

sisswwaaiittuuppaaddaawwaakkttuumemennuunnjjuukkpipigguurraasseebbaaggaaiippeerrsseeggiitteellaahhmmeenngggguunnaakkaannppololaappiikkiirr ded

deduktuktiif yf yang ang tterergolgolong ong sedesederrhanhana. Ba. Banyak anyak tteoreoremema a daldalam am mmatatemematatiika ka yangyang di

dittememukan ukan mmelelalalui ui pepengngamamatatanan--pepengngamamatatan an khusukhusus, s, mmiisalsalnya nya TeorTeoremema a PPhythytagagororas.as. B

Biilla a hahasisil l pengpengamamatatan an tterersebusebut t didimasumasukkan kkan dadallam am suatsuatu u ststrruktuktur ur mmatatemematatiikaka t

teerrtteennttuumamakkaatteeoorreemmaayyaannggddiittememuukkaanniittuuhhaarruussddiibbuukkttiikkaannsseeccaarraaddeedduukkttiiffaannttaarraa l

laiain n dedengngan an mmenenggggununakan akan tteoeorremema a dadan n dedefinifinisi si ttererdadahuhullu u yang yang didittereriimma a sebsebagagaiai b

beennaarr..

4.

4. MatMatemematatiika ka MemMemiilliiki ki SSiimmbbool l yanyang g KKoososonng g ddan an AArrttii

D

Daallaamm mmaattememaattiikkaa jjeellaasstteerrlliihhaattbbaannyyaakksseekkaalliissiimmbboollyyaanngg ddiigguunnaakkaann,,bbaaiikk be

berrupupa a huhurruf uf atatauaupupun n bubukan kan huhurrufuf. . RRanangkaigkaian sian simmboboll--sisimmbobol l dadallam am mmatatemematatiikaka dapat m

dapat memembentbentuk uk suatsuatu u mmodel odel mmatatemematatiika. ka. MModel odel mmatatemematatiika ka dapat dapat berberupaupa pe

perrsasamaamaan,n,perperttiidadaksksaammaaaan,n,babangungun n gegeomometetrri itterertteennttu,u,dadan n sesebagbagaiainynya. a. HHururufuf- -hur

huruf uf yang yang didiperpergugunakan nakan daldalam am mmodeodel l peperrsamsamaanaan, , mmiisalsalnya nya x x + + y y z z belbelum um ttententuu b

t

tamambah bah untuntuk uk dua dua bibillangan. Mangan. Makna akna hurhuruf dan tuf dan tanda anda iittu tu terergantgantung ung dandan pe

perrmmasasalalaahhanan yayang ngmmenengagakikibabattkankan ttererbebentntukuknyanya mmododelel iittu.u. JJaadi diseseccaarraa uummumum huhurrufuf da

dan n ttananda da dadallam am mmododel el x x + + y y = = z z mmasiasih h kosokosong ng dadan n aantntii, , ttererserserah ah kepakepada da yang yang akanakan m

mememanfanfaataatkan kan mmodel odel iittu. u. KKosong osong arartti i sisimmbol bol mmaupuaupun n ttanda anda daldalam am mmodelodel--mmodelodel m

matatemematatiika ka iittu ju justustrru u mmememunungkigkinkan nkan iintnterervensi vensi mmatatemematatiika ka ke ke dadallam am beberrbabagagaii pe

pengngetetahahuauan.n.

5.

5.. . MMatatemematatiika ka MMemempeperrhahattiikan kan SSememeSeStta a PPemembibicarcaraanaan

S

Sehehububunungagan n dedengngan an ururaiaian an ttenenttanang g kosonkosong g anantti i sisimmboboll--SSiimmbobol l dadan n ttanandada- -t

tanda anda daldalam am mmatatemematatiika ka di atdi atas, menunjas, menunjukkukkan an dengan dengan jjelelas as bahwbahwa a daldalamam m

meenngggugunnaakkaannmamatteemmaattiikkaaddiippeerrlluukkaannkkeejjeellasasaannddaallaamm lliinnggkkuuppaappaammooddeelliittuuddiippaakkaall.. B

Biillaa lliinnggkkupup ppeemmbbiiccararaaaann bbllaannggaarrll,,mmaakkaa ssiimmbbOOIIssiimbmboollddiiaarrttiikkaann bbiillaannggaann..BBiillaa l

liingngkup kup pepemmbibicarcaraaaan n ttrranansfsforormmasi asi mmaka aka sisimmbobollsisimmbobol l iittu u didiararttiikan kan suatsuatuu t

trransfansforormmaSaSii. . LiLingkuP ngkuP pempembibicarcaraan aan iittululah ah yyang diang disebut sebut dengdengan an semsemestestaa pe

pemmbibicarcaraaaan. n. BBenenar ar atatau au salsalah ah atatauaupupun n adada a ttiidadaknya knya pepenyelnyelesaiesaian an suasuattu u mmododelel m

matatemematatiika ka ssangat angat didittententukan ukan ololeh seh sememestesta a pempembibicarcaraan. aan. DDalalam am semsemestestaa per

pernbinbicarcaraan aan blblanangan gan bulbulatat, , ttererdapdapat at 22x x == 55 AAdakah dakah penyelpenyelesaiesaiamamyya a kalkalauau d

diisseelleessaaiikkaannsseeppeerrttiibbiiaassaattaannppaammeenngghhiirraauukkaannsseemmeessttaannyyaaaakkaannddiippeerroolleehhhhaassiillX X == 2,

2,5.5. TeTettaappi ikakallauau ssuudahdah didittenenttukukan anbabahwhwa asesemesmestta apepemmbibicacarraaaannnnyaya bibillanangagan nbubullatat m

makaka a jjawabawab x  x == 2 2,,55 adaadallah ah salsalah ah atatau au bubukan kan jjawawabaaban n yang yang didikehenkehendakidaki. . JadJad  j

 jaawwaabbaan n yyaanngg sesuaisesuaidengdengan an semsemestestanya anya adaladalah ah ““ttdak dak ada ada jjawawabanabannya nya atatauau p

peennyyeelleessaaiiaannnnyyaattiiddaakkaaddaa..SSeerriinnggjjuuggaaddiikkaattaakkaannbbaahhwwaahhiimmppuunnaannppeennyyelelesesaaiiaannnnyyaa ad

adalalah ah ““hihimmpupunanan n kosonkosong”g”. . DDalalam am semsemestesta pea pemmbibicarcaraaaan n vektvektor or di di bibidadang ng dadattarar,, t

teerrddaappaattmmooddeellxx++ bb == cc..DiDissiinn’’jjeellaassbbaahhwwaahhuurruuff--huhurruuffyyaannggdidigguunnaakkaanniittuuttiiddaakk d

daarrttiikkaann bbiillaannggaann,, tteettaappii h hararuuss ddiiaarrttiikkaa vveekkttoorr.. S Seehhiinnggggaa uunnttuukk mmeenneennttuukkaann pen

penyelyelesaiesaiannannya ya didiperperllukan ukan carcara a yang yang berberbedbeda a dendengan gan bibillangangan. Can. Carara a yangyang di

6.

6. MMatatemematatiika ka KKoonnsisiststen en ddalalam am SSiiststemem

D

Dalalam am mmatatemematatiika ka ttererdapadapat t banyak banyak SSiiststemem. . AAda da sisiststem em yyang ang mmemempunyaipunyai ka kaiittaannssaattuussaammaallaaiin,n,tteettaappiijjuuggaa aaddaassiisstteemm yyaanngg ddaappaattddiippaannddaanngg tteerrlleeppaassssaattuu sa sammaa llaaiinn..MiMissaallddiikkeennaallSSiisstteemm--ssiisstteemm aaiijjaabbaarrssiisstteemm--ssiisstteemm ggeeoommeettrrii..SSiisstteemm a aiijjaabbaarrddaannssiisstteemm ggeeoommeettrriitteerrsseebbuuttddaappaattddiippaannddaannggttererlleeppaassssaattuussaammaallaaiinn,,tteettaappii d diiddaallaamm SSiisstteemm aaiijjaabbaarrsseennddiinn tteerrddaappaattbbeebbeerraappaa ssiisstteemm yyaangng lleebbiihh kkeecciillyyaanngg t teerrkkaaiittssatatuu ssaammaa llaaiinn..DDeemmiikkjjaann jjuuggaa ddalalaamm ssiisstteemm ggeeoommeettrrii,,tteerrddaappaattbbeebbeerraappaa si sisstteemm yyaanngg kkeecciillyyaanngg bbeerrkkaaiittaann ssaattuu ssaammaa llaaiinn..DaDallaamm aalljjaabbarartteerrddaapapattssiisstteemm a akkssiioorrnnaaddadadggrroouupp,,ssiissttemem aakkssiioommaaddaannrriingng,,ddaannssebebaaggaajjnnyyaaMMaassiinngg--mmaassggssiisstteemm a akkssiioommaa iittuu mmeemmiilliikkiikkeetteerrkkaaiittaann tteerrtteennttuu..DeDemmiikkiiaann jjuuggaa ddaallaamm ssiissttemem ggeeoommeettrrii t tererddaappaattssiisstteemm ggeeoommeettrriinneettrraall,,ssiissttemem ggeeoommeerrjjEEuucclliiddeess,,ddaannSSiiSStteemm ggeeoommeettrriinnoonn- -E Euucclliiddeess..SSiisstteemm ggeeoommeettrriiiittuummeemmiilliikkiikkaaiittaanntteerrtteennttuujjuuggaa..DDiikkddaallaamm mmaassiinnggmmaaSSiinngg si sisstteemm ddaann ssttrruukkttuurrnnyyaa iittuu bbeerrllaakkuu ddaann ssttrruukkttuummyyaa tteerrsseebbuuttttiiddaakk bboolleheh tteerrddaappaatt ko konnttrraaddiikkssii..SSuuaattuutteoeorreemmaakketetaaaattaannaattaauukkoonnssiisstteennssiiiinniijjuuggaaddiikkaattaakkaannbbaahhwwaaddaallaamm S Seettiiaapp a attaauuppuunnssuuaattuuddeefifinniissiihhaarruussmmeenngggguunnaakkaanniissttiillaahhaattaauukkoonnsseeppyyaangngtteellaahhddiitteettaappkkaann t

tererllebiebih h dahdahululu. u. KKonsionsiststensi ensi iittu u baibaik k dadallam am mmakna akna mmaupaupun un daldalam am hal nihal nillaiai keb

kebenenararanannynyaa. . KKalalauau ttelelahah didittetetapapkakann atatauau didisesepakpakat atbabahwhwa aa a+ +b b= =x xddanan x x ++ y y == pp m

makaka a a a + + b b + + y y harharus us ssamama a dengan dengan pp

Te

Tettaappiiaannttaarraassiisstteemm aattaauussttrruukkttuurryyaannggssaattuuddeennggaannssiisstteemm aattaauussttrrukukttuurryyaanngg l

laaiinnttiiddaakkmmuussttaahhiilltteerrddaappaattppeerrnnyyaattaaaannyyaannggiinntteennssiinnyyaassaalliinnggkkoonnttrraaddiikkssii..SSeebbaaggaaii aki

akibabat tdadan n adadananyaya sisiststemem gegeomometetrri iEEucuclliidedes s dadan n sisiststemem gegeomometetrrl lnonon-n-EucEuclliidedess di

dijjumumpapai idduua a peperrnnyyatataaaan n yayang ng kokontntrradadiikkttiiff. .TTeeororemema a ““JJuumlmlahah bebesasarr SSududUUtt--susudutdut seb

sebuauah h sesegigittiigaga adadalalahah seserratatuuss dedellapapanan pupulluhuh dederrajajatat” ” ddalalamam sisiststemem gegeomometetrrii E

itu benar dalam masing-masing sistem dan struktumya. mi berartl kalau teorma “jumlah besarsudut-sudutsebuah segitiga adalah seratus delapan puluh derajat” dimasukkan dalam sistem geometri non-Euclides akan menimbulkan kontradiksi. Demikian pula halnya teorema “Jumlah besar sudut-sudutsebuah segitiga adalah seratusdelapanpuluhderajat”dimasukkandalam sistem geometriEudide.Hal-hal semacam itulahyangtidakdibenarkanterdapatdalam matematika.

C. Matematika sebagai suatu Struktur

Matematika dapat pula dipandang sebagai suatu struktur dan hubungan-hubungan yang mengaitkan simbol-simbol. Pandangan inibertolak dan pemikiran dasar tentang bagaimana matematika itu disusun atau dibentuk dan apa yang disusun.Matematkaterbentuksebagaihasil pemikiranmanusia yang berhubungan dengan ide, proses dan penalaran (Ruseffendl, 1980). Simbol atau notasi dalam matematika mempunyali peranan yang sangat penting. Adanya simbol-simbol, komunikasidanide-idedalam matematikadapatdilakukansecaraefektifdanefisien. Namun penlu disadari bahwa adanya simbol-simbol dalam matematika menjadi matematika suatu hal yang abstrak, karena simbol matematika pada hakekatnya merupakan abstraksi dan idealisasi dan ide-ide, benda-benda, dan hubungan-hubungan. Dengan demikian tentunya matematika berkenaan dengan objek yang abstrakyangmerupakanhasilabstraksldanidealisasidanide-ide,benda-bendadan oleh karenanya untuk dapat memahami matematika sangat diperhikan kemampuan berpikir abstrak. Simbol-Simbol dalam matematikasangat membantu memanipulasi aturanlaturan atau rumus-rumusyang berlaku dalam struktur.Aturan-aturan atau rumus-rumusdalam matematikamerupakan wujuddan keterkaltansimbol simbol.

Terbentuknya suatu konsep baru dalam matematika melalui serangkaian prosesberikut,adanyasimbol-Simboldalam matematikadapatdilakukansimbolisasi

danide-ide,adanya simboilsasidapatkan fasilitaskomunikasidandankomunikasi diperoeh informasi-informasi,selanjutnya dariinformasi-informasitersebutdapat dibentuk konsep-konsep baru. Produk akhir dan pembentukan konsep yang dem,kiarl ternyata menghasilka matematika sebuah itmu yang tersusun secara hirarkhis,logis dan sistematis dan konsep yang sederhana sampai pada konsep yang kompleks. Oleh karenanya pemahaman tentang keterkaitan antar simbol -simbol menjadi suatu kemampuan yang mendasar, yang harus dimiliki untuk memahamimatematika.Selainketerkaitanantarsimbol-simbol,tentunyayangIebih penting dan lebih mendasar adalah pemahaman mengenai simbol itu dan apa yang disimbolisasikan oleh simbol itu. Sebenamya disinilah kemampuan abstraksi seseorang pada awalnya berperan dalam memahami matematika. Dalam prosesnya, ide yang termuat dalam suatu simbol harus dicerna atau dipahami lebih ciahulu sebelum ide tersebut disimbolkan sehingga penggunaan simbol tidak mengalami kekeliruian. Kekeliruai penggunaan simbol dalam maternatika sangat membahayakan karena kekeliruan dalam penggunaan simbol akan mengakibatkan kekeliruan dalam memanipulasi simbol-simbol selanjutnya akan mengakibatkan kekeilruarndalam memanipulasiaturan-aturanataurumus-rumuspadatahap-tahap berikutnya. Oleh karenanya kemampuan prasyarat sangat menentukan dalarn memahami konsep-konsep yang Iebih kompleks.

D.Matematika sebagai suatu Kumpulan Sistem

Matematika seningkali dipandang sebagai suatu kumpulan sistem matematika. Pandangan inidilandasi oleh pemikiran bahwa matematika merupakan seketompokdanbagian-bagian,artinyamatematikadapatdibagibagi.OIehkarena itu,kitaseringmendengaristilahsistem matematika,bidangmatematikadanrumpun matematika. Ketigapengertian it mengandung pengertian yang sama.Sistem atau

kumpulansistem,matematikadibagimenjaclilimabidang,yattuaritmetika,geometri, aijabar,analisis,dan dasarmatematika (Tambunan,1987).Dalam pengertian ini aritmetikaadalahteoribilangandandasarmatematikamemuatdasar-dasarlogika danolehparaahlimatematikadasar-dasarlogikainilahyangberperarisebagaitali pengikat bidang yang satu dengan bidang yang lain.Dan setiap bidang tersebut mempunyai struktursistem masing-masing, yang masingnmasing strukturbagian dan suatu bidang yang disebut sebagai cabangmcabang matematika. Sejalan dengan perkembangan matematika muncullah cabang-cabang baru, misainya topologi bidanggeometri. Dengan demikianmatematikadapat digambarkan sebagai pohoh dengan semua cabang cabangnya, dan dasar-dasar logika sebagai akarya. Walaupundalam matematikaterdapatbanyakcabangtetapitetapmemilikisifatyang samayaltubersistem deduktif,bersifatkonsistendalam artibebasdankontradiksidi dalamnya.

E.Matematika sebagai suatu Sistem Deduktif

Sebagai suatu sistem deduktif, matematika memuat sekumpulan unsur atau relasi yang tidak didefinisikan yang disebutpengertian pangkalatau pengertian primitifatau definisi dasar, memuat sekumpulan definisi, memuat sekumpulan asumsi atau aksioma atau postulatserta memuatsekumpulan teorema atau dalil.Dalam geometrimisatnya,“titik” sebagal unsur yang ticiak didefinisikan dan “keantaraan” sebagal relasi yang tidak didefinisikanDalam teorihimpunan“elemen”merupakanunsuryangtidakdidefinslkandan “keantaraan”sebagairelasiyangtidakdidefinisikan.Pengertianpangkaltersebutdigunakan sebagaldasarkomunikasidalam mendefIriS1kanunsurunsuryanglain.Dengandefinisi -definiSi memungklnkan untuk memberikan nama atau penjelasan mengenal unsur-unSur lainsehubungandenganpengertianpangkalyangbertakudalam suatubidangyangsesuai. Mlsalnya,adanyapengertian pangkaldalam geometridapatdidefiniSikanunsur-unsurlain dalam geometri.

Dalam matematika terdapatpernyataan-pernyataan yang menunjukkan relasi-relasidasar antaraunsur-unsurpokokyangdapatditerimakebenarannyatanpabuktiyangselanjutnya disebut asumsi dasar atau aksioma atau postulat. Aksioma aksioma dalam matematika memilikisifatkonsistendalam artitidakterdapatpertentangandidalamnyadanbebassyarat artinya harus hanya ada satu representast dan jika terdapat dua maka keduanya harus isomorfic.

Dengan berlandaskan pengertian pangkal, de%inisi-de%inisi dan aksioma-aksioma diturunkan atau dikembangkan teorema-teorema dengan menggunakan proses penalaran yang logis, sistematis, konsisten, kritis dan disiplin yang diikuti secar ketat. Dengan demikian suatu teorema dan himpunan pengertian pangkal, de%inisi atau aksioma seperti dikemukakan di atas disebut deduksi. =eorema-teorema dalam matematika juga harus bersi%at konsisten dan  bebas syarat. Oleh karena proses penurunan teorema-teoremanya dilakukan secara deduksi dengan landasan dasar pengertian pangkal, de%inisi-de%inisi dan aksioma-aksioma yang  bersi%at konsisten dan bebas syarat seperti di atas maka matematika mempunyai struktur yang kokoh dalam arti tidak mudah diombang-ambingkan oleh pemikiran lain, mempunyai struktur yang sistematis dan konsisten. $arena proses penurunan setiap teoremanya dilakukan secara dedukti% maka, matematika sering disebut sebgai ilmu dedukti%.

F. Matematika sebagai Ratu Ilmu

Matematika sering kali dipandang pula sebagai bahasa atau alat yang akurat untuk  menyelesaikan masalah-masalah social, ekonomi, %isika, kimia, biologis dan teknik. Sebagi  bahasa atau alat, matematika melayani ilmu-ilmu lain, peran inilah yang digunakan sebagai alasan orang menyebut matematika dengan julukan >ueen o% science (ratu ilmu". <agaimana orang memerankan atau menggunakan matematika pada ilmu-ilmu lain sebenarnya sangat tergantung pada kemampuan orang yang menggunakannya.

=erhadap perkembangan matematika sendiri, peran ini memberikan dampak yang cukup baik. Oleh karena perkembangna ilmu-ilmu lain dan tekhnologi mendorong  perkembangan metematika itu sendiri dan sebaliknya adanya matematika beserta  perkembangan mendorong perkembangan ilmu-ilmu lain dan teknologi. &anya saja  perkembangan matematika tidak sepenuhnya tergantung pada perkembangan ilmu lain

Mat

Matematematika ika sebsebagaagai i alat alat untuntuk uk menmenyeyelesalesaikaikan n masmasalah alah di di lualuar r matematematmatika ika atauatau masalah nyata, mula-mula dilakukan dengan menerjemahkan permasalahan itu ke dalam masalah nyata, mula-mula dilakukan dengan menerjemahkan permasalahan itu ke dalam masalah matematika. Masalah matematika hasil terjemahan dari masalah nyata ini disebut masalah matematika. Masalah matematika hasil terjemahan dari masalah nyata ini disebut mod

model el matematematmatikaika. . SetSetelah elah modmodel el terterbenbentuk tuk masmasalah alah itu itu tidtidak ak laglagi i mermerupaupakan kan masmasalaalahh matemat

matematika ika ini ini diselediselesaikan secara saikan secara matemamatematika tika dengdengan an mengmenggunakgunakan an aturanaturan-aturan yang-aturan yang  berlaku

 berlaku dalam dalam matematika. matematika. Setelah Setelah masalah masalah matematika matematika tersebut tersebut diselesaikan, diselesaikan, kemudiankemudian hasil akhir dari penyelesaian tersebut diterjemahkan kembali ke dalam bidang permasalahan hasil akhir dari penyelesaian tersebut diterjemahkan kembali ke dalam bidang permasalahan semula. Dengan demikian dalam menyelesaikan masalah di luar matematika diperlukan tiga semula. Dengan demikian dalam menyelesaikan masalah di luar matematika diperlukan tiga tahapan, yaitu tahap pembentukan model, tahap penanganan model, dan penerjemahan hasil. tahapan, yaitu tahap pembentukan model, tahap penanganan model, dan penerjemahan hasil.

#ad

#ada a tahtahap ap pempembenbentuktukan an modmodel, el, modmodel el dirdirumuumuskan skan melmelalualui i pempembuabuatan tan asumasumsisi dengan melakukan penghampiran dan pengidealan yang didasarkan pada eksperimen dan dengan melakukan penghampiran dan pengidealan yang didasarkan pada eksperimen dan  penganmatan

 penganmatan serta serta hokum-hukum yang hokum-hukum yang berlaku berlaku pada pada bidang permasalabidang permasalahan han semula, semula, rumusanrumusan yang diperoleh disajikan dengan menggunakan istilah dan pengertian dalam matematika yang yang diperoleh disajikan dengan menggunakan istilah dan pengertian dalam matematika yang diwujudkan dengan symbol, mulai yang berbentuk tersebut harus diusahakan berupa model diwujudkan dengan symbol, mulai yang berbentuk tersebut harus diusahakan berupa model yang dapat ditanggulangi. #ada tahap penanganan model, dilakukan penganalisaan terhadap yang dapat ditanggulangi. #ada tahap penanganan model, dilakukan penganalisaan terhadap mo

modedel l yayang ng mumurnrni i memerurupapakakan n pepekekerjrjaan aan mamatemtematatikika a dadalam lam mamatemtematiatikaka. . #a#ada da tahtahapap  penerjemahan

 penerjemahan hasil hasil hanyalah hanyalah merupakan merupakan pekerjaan pekerjaan membahasakan membahasakan kembali kembali symbolsymbol matematika hasil pada tahap kedua ke dalam bahasa permasalahan semula.

matematika hasil pada tahap kedua ke dalam bahasa permasalahan semula. Mat

Matematematika ika sebsebagai agai alat alat lebilebih h banybanyak ak berberperperan an daldalam am tahtahap ap penpenanganganaanan n modmodel.el. #roses tersebut menperhatikan adanya unsur penerjemahan bahasa dari bahasa ilmu dimana #roses tersebut menperhatikan adanya unsur penerjemahan bahasa dari bahasa ilmu dimana  permasalahan

 permasalahan semula semula berada berada ke ke bahasa bahasa matematika matematika dan dan sebaliknya. sebaliknya. Dalam Dalam proses proses iniini melibatkan besaran-besaran dan hokum-hukum yang berlaku dalam bidang permasalahan melibatkan besaran-besaran dan hokum-hukum yang berlaku dalam bidang permasalahan semula. Sebagai contoh, jika permasalahan semua bidang biologi maka besaran-besaran dari semula. Sebagai contoh, jika permasalahan semua bidang biologi maka besaran-besaran dari hukum yang terlibat adalah besa

hukum yang terlibat adalah besaran-besaran darn hukum-hukum biologi, dan sebagainya.ran-besaran darn hukum-hukum biologi, dan sebagainya. <esaran

<esaran-besaran yang -besaran yang muncmuncul ul dapat diklasi%ikdapat diklasi%ikasikan ke asikan ke dalam besaran dalam besaran tetap disebuttetap disebut konst

konstanta anta dan dan besaranbesaran-besaran yang -besaran yang berubberubah-ubah-ubah ah disebudisebut t ariabariabel. el. <esaran yang <esaran yang berubberubah- ah-ubah ini dibed

ubah ini dibedakan menjaakan menjadi besaran yang berudi besaran yang berubah secara bebas disebbah secara bebas disebut ariabel bebas ut ariabel bebas dandan  besaran

 besaran yang yang berubah berubah hanya hanya jika jika ariabel ariabel lain lain berubah berubah yang yang disebut disebut ariabel ariabel tidak tidak bebas.bebas. #enerjemahan dari masalah di luar matematika ke dalam masalah matematika menghasilkan #enerjemahan dari masalah di luar matematika ke dalam masalah matematika menghasilkan ket

keterkerkaitaaitan n antantar ar simsimbolbol-sim-simbol bol yanyang g mewmewakiakili li arariabiabel-el-ariariabelabel. . MasaMasalah lah teraterakhikhir r iniini merupakan masalah matematika dalam matematika.

Dari sudut dapat diman%aatkan atau tidaknya matematika dalam ilmu lain atau Dari sudut dapat diman%aatkan atau tidaknya matematika dalam ilmu lain atau tek

teknolnologi ogi sersering ing oraorang ng menmenggoggolonlongkagkan n matematematmatika ika atas atas dua dua golgolongongan an yaiyaitu tu golgolongonganan matemat

matematika ika terapan dan terapan dan gologolongan matematika murni. Secara ngan matematika murni. Secara sederhsederhana ana matemamatematika terapantika terapan adalah matematika yang tidak dapat digunakan di luar matematika. ?amun sejauh mana adalah matematika yang tidak dapat digunakan di luar matematika. ?amun sejauh mana orang mampu menggunakan matematika atas kedua golongan di atas sangatlah relati%.

orang mampu menggunakan matematika atas kedua golongan di atas sangatlah relati%.

 HAKEKAT

 HAKEKAT PEMBELAJARAN PEMBELAJARAN MATMATEMATEMATIKAIKA

A.

#adanan istilah 3pembelajaran6 adalah istilah @instruction6. ;stilah 3instruction6 merujuk  #adanan istilah 3pembelajaran6 adalah istilah @instruction6. ;stilah 3instruction6 merujuk   pada

 pada proses proses pengajaran pengajaran berpusat berpusat pada pada tujuan tujuan yang yang dalam dalam banyak banyak hal hal dapat dapat direncanakandirencanakan seb

sebelumelumnynya a ()o()omismisAowAowskiski, , 111". 1". OleOleh h sebsebab ab itu itu ististilah ilah @in@instrustructioction6 n6 serisering ng diadiartikrtikanan sebagai pro

sebagai proses pembelajses pembelajaran yaitu prosearan yaitu proses membuat s membuat siswa melakusiswa melakukan proses belajar sesuaikan proses belajar sesuai dengan rancangan. #embelajaran adalah suatu kombinasi yang tersusun meliputi unsur-unsur  dengan rancangan. #embelajaran adalah suatu kombinasi yang tersusun meliputi unsur-unsur  man

manusiausiawi, wi, matmateriaerial, l, %asi%asilitalitas, s, perperlenglengkapkapan an dan dan proprosedusedur r yanyang g salisaling ng memmempenpengargaruhiuhi men

mencapcapai ai tujtujuan uan pempembelbelajarajaran an (&a(&amalmalik, ik, /". /". SecSecara ara umuumum m 'ag'agne ne dan dan <ri<riggs ggs yanyangg dikutip 'redler (11" melukiskan pembelajaran sebagai upaya orang yang bertujuan untuk  dikutip 'redler (11" melukiskan pembelajaran sebagai upaya orang yang bertujuan untuk  me

membmbanantu tu ororanang g bebelalajajarr. . SeSecacara ra lelebibih h rirind nd 'a'agngne e yyanang g didikukutitip p 'r'rededleler r (1(11"1" mende%inisikan pemb

mende%inisikan pembelajaran sebagai seperangkat elajaran sebagai seperangkat acara acara peristiwa eksternal yperistiwa eksternal yang dirancangang dirancang unt

untuk uk menmendukdukung ung terterjadijadinya nya bebbeberaperapa a proproses ses belbelajar ajar yanyang g berbersi%si%at at intinternernal. al. #en#engergertiatiann hamper sama dikemukakan Borey yang dikutip Miarso, dkk (199" bahwa pembelajaran hamper sama dikemukakan Borey yang dikutip Miarso, dkk (199" bahwa pembelajaran ad

adalalah ah susuatatu u prprososes es didimamana na lilingngkukungngan an seseseseororanang g sesecacara ra sesengngajaja a didikekelolola la ununtutuk k  mem

memungungkinkinkan kan ia ia turturut ut sertserta a daldalam am kokondindisi-ksi-kondondisi isi khukhusus sus ataatau u menmenghaghasilksilkan an respresponon terhadap situasi tertentu.

terhadap situasi tertentu.

Dari pengertian pembelajaran di atas menunjukkan bahwa pembelajaran berpusat pada Dari pengertian pembelajaran di atas menunjukkan bahwa pembelajaran berpusat pada kegiatan siswa belajar dan bukan berpusat pada kegiatan guru mengajar. Oleh karena itu pada kegiatan siswa belajar dan bukan berpusat pada kegiatan guru mengajar. Oleh karena itu pada hakekatnya pembelajaran metematika adalah proses yang sengaja dirancanh dengan tujuan hakekatnya pembelajaran metematika adalah proses yang sengaja dirancanh dengan tujuan untuk menciptakan suasana lingkungan memungkinkan siswa melaksanakan kegiatan belajar  untuk menciptakan suasana lingkungan memungkinkan siswa melaksanakan kegiatan belajar  matematika. #embelajaran matematika harus memberikan peluang pada siswa untuk berusaha matematika. #embelajaran matematika harus memberikan peluang pada siswa untuk berusaha dan mencari pengalaman tentang matematika.

dan mencari pengalaman tentang matematika.

#embelajaran matematika dimaksudkan sebagai proses yang sengaja dirancang dengan tujuan #embelajaran matematika dimaksudkan sebagai proses yang sengaja dirancang dengan tujuan untuk menciptakan suasana lingkungan kelas atau sekolah yang memungkinkan kegiatan untuk menciptakan suasana lingkungan kelas atau sekolah yang memungkinkan kegiatan siswa belajar matematika sekolah. n

siswa belajar matematika sekolah. nsur sur pokok dalam pokok dalam pembelajaran matematika adalah gurupembelajaran matematika adalah guru sebagai salah satu perancang proses, proses pembelajaran, siswa sebagai pelaksana kegiatan sebagai salah satu perancang proses, proses pembelajaran, siswa sebagai pelaksana kegiatan  belajar,

 belajar, dan dan matematika matematika sekolah sekolah sebagai sebagai objek objek yang yang dipelajari dipelajari dalam dalam hal hal ini ini sebagai sebagai salahsalah satu mata pelajaran.

satu mata pelajaran.

$onsepsi pembelajaran matematika yang dikemukakan Demunth (19*" dan Maier  $onsepsi pembelajaran matematika yang dikemukakan Demunth (19*" dan Maier  (1!" yang dikutip ;smail (1" dapat dibeda-bedakan tetapi dalam pelaksanaan dapat (1!" yang dikutip ;smail (1" dapat dibeda-bedakan tetapi dalam pelaksanaan dapat di

dikokombmbininasiasikakan n anantatar r anantatar r satsatu u dedengngan an yayang ng lailain. n. $o$onsensepspsi i pepertartamama, , pepembmbelelajaajaranran matematika berorientasi pada dunia sekeliling. $onsepsi ketiga, pembelajaran matematika matematika berorientasi pada dunia sekeliling. $onsepsi ketiga, pembelajaran matematika

sebagai sistem dengan melatih siswa untuk menemukan sesuatu secara mandiri. $onsepsi keempat, pembelajaran matematika berorientasi pada matematika sebagai alat.

'uru dan siswa sebagai suatu unsur manusia yang tentunya memuat begitu banyak  unsur-unsur manusiawi (kemampuan, ketermapilan, %ilsa%at hidup, motiasi, dan lain-lain" yang berbeda antara satu dengan yang lain. Materi matematika sekolah satu dengan yang lain  juga mempunyai ciri-ciri berbeda. 2danya perbedaan tersebut, pembelajaran matematika

memerlukan siasat, pendekatan, metode, dan teknik yang bermacam-macam. Demikian  banyak ariabel yang terlibat dalam pembelajaran matematika sekolah sulit diidenti%ikasi,  berdampak pada proses pembelajaran matematika yang dirancang guru yang dalam  pelaksanaan dikelas melibatkan banyak siswa berbeda untuka suatu topik bahkan untuk setiap  bagian topiknya. Cariabel tersebut juga saling terkait, namun bagaimana keterkaitan antara ariabel tersebut biasanya sangat sulit dijelasakan. Dengan demikian jelaslah bahwa  pembelajaran matematika suatu sekolah merupakan suatu proses yang sangat kompleks.

<. Matematika Sekolah

Matematika sekolah sebagai salah satu unsur dalam pembelajaran matematika diseoklah dipandang sebagai salah satu mata pelajaran. $edudukan mata pelajaran matematika di sekolah demikian penting. Matematika yang diberikan di jenjang pendidikan dasar dan menengah disebut matematika sekolah. Matematika sekolah adalah unsur-unsur  atau bagian-bagian dari matematika yang dipilih berdasarkan atau berorientasi kepada kepentingan pendidikan dan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi. ;ni menunjukkan bahwa matematika sekolah tidak sepenuhnya sama dengan matematiika sebagai ilmu. Dikatakan tidak sepenuhnya sama karena memiliki perbedaan antara lain dalam  penyajian, pola pikir, keterbatasan dan tingkat kebstrakan.

1. #enyajian Matematika Sekolah

<uku matematika yang tidak untuk jenjang persekolahan dan sudah memuat cabang-cabang matematika tertentu, biasanya sudah lansung memuat de%inisa kemudian teorema atau  bahkan diawali dengan aksioma. Matematika sekolah tidak demikian. #enyajian atau  pengungkapan materi matematika yang akan disampaikan disesuaikan dengan perkiraan  perkembangan intelektual siswa. Mungkin dengan mengaitkan bahan ajar matematika itu sendiri. 8adi penyajian matematika sekolah seringkali tidak langsung berupa bahan ajar 

matematika in%ormal yang biasanya diterapkan di jenjang =aman $anak-$anak dengan  bentuk permainan ataupun nyanyian.

. #ola #ikir Matematika Sekolah

#ola pikir matematika sabagai ilmu adalah dedukti%. Si%at atau teorema yang ditemukan secara dedukti% atau empirik harus kemudian dibuktikan kebenarannya dengan langkah-langkah dedukti% sesuai dengan strukturnya. Dalam matematika tidaklah demikian. Meskipun siswa pada akhirnya tetap diharapkan mampu berpikir dedukti%, namun dalam proses  pembelajaran dapat digunakan pola pikir induti%. #ola pikir induti% yang didunakan

dimaksudkan untuk menyesuaikan dengan tahap perkembangan intelektual siswa. /. $eterbatasan Semesta

Sebagai akibat dipilihnya unsur atau elemen matematika untuk matematika sekolah dengan memperhatikan aspek pendidikan, dapat terjadi penyederhanaan dari konsep matematika yang kompleks. #engertian semesta pembicaraan tetap diperlukan, namun mungkin sekali lbih dipersempit. Selanjutnya semakin meningkat usia siswa, yang berarti meningkat juga tahap perkembangannnya maka semesta itu berangsur diperluas lagi.

0. =ingkat $eabstrakan Matematika Sekolah

Objek matematika adalah abstrak. Si%at objek abstrak matematika tersebut tetap ada pada matematika. &al itu merupakan salah satu penyebab sulitnya seorang guru matematika membelajarkan siswa dalam dalalm matematika sekolah. Seorang guru matematika harus  berusaha untuk mengurangi si%at abstrak dari objek matematika itu sehingga memudahkan siswa menangkap mata pelajaran matematika di sekolah. Dengan kata lain seorang guru matematika, sesuai dengan perkembangan penalaran siswa, harus mengusahakan agar %akta, konsep, operasi ataupun prinsip dalam matematika itu terlihat konkret. Di jenjang sekolah dasar, si%at konkret objek matematika itu diusahakan lebih banyak atau lebih besar dari pada di jenjang sekolah yang lebih tinggi. 8adi pembelajaran tetap diarahkan kepada pencapain kemampuan berpikir abstrak pada siswa.

Matematika ber%ungsi untuk mengembangkan kemampuan bernalar melalui kegiatan  peenyelidikan, eksplorasi dan eksperimen, sebagai alat pemecah masalah melalui pola pikir 

dan alat matematika, serta sebagai alat komunikasi melalui simbol, tabel, gra%ik dan diagram dalam menjelaskan gagasan. #embelajaran matematika bertujuan untuk melatih dan menumbuhkan cara berpikir secara sistematis, logis, kritis, kreati% dan konsisten, serta mengembangkan sikap gigih dan percaya diri sesuai dalam menyelesaikan masalah. $ecakapan atau kemahiran matematika yang diharapkan dapat tercapai dalam belajar  matematika di jenjang pendidikan dasar dan menengah adalah (1" menunjukkan pemahaman konsep matematika yang dipelajari, menjelaskan keterkaitan antar konsep

danmengaplikasikan konsep atau algoritma secara luwes, akurat, e%isien dan tepat dalam  pemecahan masalah, (" memiliki kemampuan mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, gra%ik atau diagram untuk memperjelas keadaan atau masalah, (/" menggunakan  penalaran pada pola, si%at atau melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika, (0" menunjukkan kemampuan strategik dalam membuat membuat (merumuskan", mena%sirkan dan menyelesaikan model matematika dalam pemecahan masalah, dan (!" memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan.

$emampuan matematika yang dipilih dalam standar kompetensi mata pelajaran sekolah dasar dan madrasah ibtidaiyah dirancang sesuai dengan kemampuan dan kebutuhan siswa dengan memperhatikan perkembangan pendidikan matematika di dunia sekarang ini. ntuk  mencapai kompetisi tersebut dipilih materi-materi matematika dengan memperhatikan struktur keilmuan, tingkat kedalaman materi, serta si%at esensial bahan ajar dan keterpakaiannya dalam kehidupan sehari-hari. Secar rinci, standar kompetensi mata pelajaran matematika sekolah dasar dan madrasah ibtidaiyah tercantum pada Standar $ompetensi Mata #elajaran Matematika Sekolah Dasar dan Madrasah ;btidaiyah $urikulum 0.

B. #roses #embelajaran Matematika

#roses pembelajaran secara umum dapat dipandang sebagai suatu sistem gambar dibawah ini.

#ada gambar di atas terlihat bahwa proses pembelajaran dipengaruhi tiga komponen utama, yaitu masukan (siswa", lingkungan, dan instrumental (guru, kurikulum, bahan ajar, model pembelajaran, pendekatan pembelajaran, dan sebagainya".

Proses Pembelajaran

INSTRUMENTA

MASU!AN !EUARAN

1. Siswa

S#s$a seba%a# s&bje' (an% menja)# sasaran*embelajaran ma+ema+#'a,

!arena #+& 'eber-as#lan s#s$a men%#'&+# *roses *embelajaran ma+ema+#'a

m&n%'#n )a+an% )ar# )#r# s#s$a #+& sen)#r#, .a-'an s#s$a )#ja)#'an seba%a#

'amb#n% -#+am 'e+#)a'ber-as#lan )alam berba%a# &j#an, /a'+or (an%

mem*en%ar&-# 'eber-as#lan s#s$a mem*elajar# ma+ema+#'a (an% berasa

)ar# )alarn )#r# s#s$a sen)#r# mel#*&+# )&a as*e' (a#+& as*e' s#olo%#s )an

as*e' *s#'olo%#s S(a- 1995,

!on)#s# &m&m jasman# )a*a+ mem*en%ar&-# seman%a+ )an #n+ens#+as

s#s$a )alarn men%#'&+# *embelajaran ma+ema+#'a, M#saln(a 'on)#s# or%an

+&b&- (an% lema- a*a#a%# j#'a )#ser+a# sa'#+ 'e*ala )a*a+ men&r&n'an

'&al#+as rana- #*+a 'o%n#+# se-#n%%a ba-an ajar ma+ema+#'a (an%

)#*elajar# s#s$a #+& *&n '&ran% a+a& +#)a' berbe'as, !on)#s# or%an '-&s&s

s#s$a se*er+# +#n%'a+ 'ese-a+an #n)era *en)en%aran )an #n)era

*en%l#-a+an j&%a san%a+ mem*en%ar&-# 'emam*&an s#s$a )alam

men%#'&+#

*roses

*embelajaran

ma+erna+#'a,

Un+&'

rnen%a+as#

'ern&n%'#nan +#mb&ln(a masala- ma+a )an +el#n%a s#s$a a)ala- )en#%an

menem*a+'an mere'a )# )ere+an ban%'& +er)e*an seara b#j'sana

As*e' *s#'olo%#s s#s$a (an% +&r&+ mem*en%ar&-# *roses *embelajaran

ma+ema+#'a an+ara la#n a)#ala- +#n%'a+ 'eer)asan s#'a* ba'a+ m#r#a+

)an mo+#as# belajar n



_{#a+ema+#'a s#s$a S(a- 1995, Tingkat kecerdasan}

s#s$a san%a+ rnenen+&'an +#n%'a+ 'eber-as#lan belajar s#s$a mem*elajar#

ma+ema+#'a, Sikao s#s$a +er-a)a* ma+ema+#'a )a*a+ ber&*a s#'a* *os#+# 

)an ne%a+#, S#s$a ,(an% mem#l#'# s#'a* *os#+# +er-a)a* ma+ema+#'a

mer&*a'an *er+an)a a$al (an% ba#' ba%# *roses *embelajaran

ma+ema+#'a, Sebal#'n(a s#'a* ne%a+# s#s$a +er-a)a* ma+ema+#'a )a*a+

men#mb&l'n 'es&l#+an belajar s#s$a mem*elajar# ma+ema+#'a, Bakat 

)#ar+#'an seba%a# 'emam*&an s#s$a &n+&' mela'&'an +&%as +er+en+&

+an*a ban(a' ber%an+&n% *a)a &*a(a *en)#)#'an )an la+#-an S(a-

1995). M#saln(a seoran% s#s$a (an% berba'a+ )alam ma+ema+#'a a'an

 ja&- leb#- m&)a- men(era* #normas# *en%e+a-&an )an 'e+eram*#lan

+a#nn(a, Seara se)er-ana m#na+ belajar ma+ema+#'a s#s$a berar+#

'een)er&n%an )an 'e%a#ra-an (an% +#n%%# a+a& 'e#n%#nan (an% besar

+er-a)a* ma+ema+#'a, M#na+ )#*en%ar&-# ole- *em&sa+an *er-a+#an

'e#n%#n+a-&an mo+#as# )an 'eb&+&-an Reber 1988). M#saln(a seoran%

s#s$a (an% menar&- m#na+ besar +er-a)a* ma+ema+#'a a'an mem&sa+'an

*er-a+#ann(a leb#- ban(a' )ar#*a)a S#s$a la#nn(a, !em&)#an 'arena

*em&sa+an *er-a+#an (an% #n+ens# +er-a)a* ba-an ajar ma+ema+#'a

#+&la-(an% mem&n%'jn s#s$a +erseb&+ &n+&' belajar leb#- %#a+ )an a'-#m(a

mena*a *res+as# belajar ma+ema+#'a (an% )##n%#n'an, Motivasi belajar

ma+ema+#'a s#s$a )a*a+ )#be)a'an menjal# )&a maam (a#+& mo+#as#

#ns+r#ns' )an mo+#as e's+rjnsj' Mo+#as# #ns+r#ns#' a)ala- mo+#as# (an%

+#mb&l )an )alam )#r# s#s$a #+& sen)#r#, M#saln(a s#s$a men%erja'an +&%as

ma+ema+#'a 'arena meman% #a berm#na+ &n+&' menlalam# ma+ema+#'a,

Mo+#as# e's+r#ns#' a)ala- mo+#as# (an% +#mb&l 'arena a)a s+#m&l&s )an

l&ar, M#saln(a s#s$a men%erja'an +&%as ma+ema+#'a &n+&' men)a*a+'an

rnla# ba#' )alam ma+ema+#'a

2. Lingkungan

!om*onen la#n (an% +#)a' m&n%'#n le*as sama se'al# *en%ar&-n(a

+er-a)a* *embelajaran ma+ema+#'a a)ala- l#n%'&n%an, !om*onen

l#n%'&n%an m# a)ala- l#n%'&n%ar# s#' ma&*&n nor#s:' (an% bera)a )#

se'#+ar se'ola-, Se'ola- (an% berlo'as# )alam -n%'&n%an *e)esaan

m&n%'#n memerl&'an *enan%ann (an% berbe)a )en%an se'ola- (an%

berlo'as# bera)a )alam I#n%'&n%an *er'o+aan mes'# +#)a' )alam sem&a

-al -ar&s berbe)a, Perbe)aan #+& m&n%'#n )alam ben+&' s#' )alam ar+#

sarana )an *rasarana +e+a*# m&n%'#n j&%a *erbe)aan #+& )alam ben+&'

nons#' )alam ar+# $a$asan a+a&*&n'eb&+&-an mas(ara'a+n(a a+as

'ebera)aan se'ola- +erseb&+,

 T&n+&+an (an% )a+an% )an I#n%'&n%an +erseb&+ a'an

ber*en%ar&-a+a& meman% mala- *er& )#manaa+'an )alam *roses *embelajaran

'e*en+#n%an *embelajaran ma+ema+#'a #+&la- (an% )e$asa n# ban(a'

)#'aj# a+a& )#+el#+# )# bebera*a ne%ara mes'# )#salar# +en+an%

'eabs+ra'an obje' ma+ema+#'a, Pembelajaran ma+ema+#'a (an% )#ban%&n

ber+&m*& a+as ba-an a+a& 'en(a+aan (an% )#an%'a+ )an l#n%'&n%an

#+&la- (an% )e$asa m# )#seb&+ )en%an ma+ema+#'a real#s+#' a+a&

ma+ema+#'a 'on+e's+&al, Usa-a +erseb&+ +#)a' )en%an sen)#r#n(a a'an

men%-a*&S sem&a s&mber 'es&l#+an belajar ma+ema+#'a s#s$a, Nam&n

)em#'#an )a*a+ j&%a )#*an)an% seba%a# &*a(a &n+&' mem*erlanar

*ema-aman s#s$a )alam belajar ma+ema+#'a,

3. Bahan Ajar Matematika

Un+&' ba-an ajar ma+ema+#'a *erl& )#sa)ar# benar ba-$a +er)a*a+

)&a ba%#an *en+#n% (an% -ar&s +erleb#- )a-&l& )#*a-am# benar, .a%#an

*er+ama ma+ema+#'a seba%a# #lm& )an ba%#an 'e)&a

a)ala-ma+ema+#'a se'ola-, Ma+ema+#'a seba%a# #lm& mem#l#'# 'ara'+er#s+#'

a)ala- obje' 'aj#an ma+ema+#'a a)ala- abs+ra' ma+ema+#'a ber+&m*&

*a)a 'ese*a'a+an ma+ema+#'a mem#l#'# *ola *#'#r )e)&'+# ma+ema+#'a

mem#l#'# s#mbol 'oson% ar+# )an ma+ema+#'a )#j#$a# ole- 'ebenaran (an%

'ons#s+en,

Mes'#*&n *a)a )asam(a +#)a' )a*a+ )#le*as'an )ar# 'ara'+er#s+#'

ma+ema+#'a #+& sen)#r# seba%a# #lm& nam& *erl& )#ses&a#'an )en%an

*er'emban%an #n+e#e'+&al s#s$a )# mas#n%



_{mas#n% jenjan% *en)#)#'an #+&,}

S#a+ )e)&'+# +e+a* )#*erl&'an +e+a*# )alam *embelajaran ma+ema+#'a

)#m&n%'#n'an *ola *#'#r #n)&'+# &n+&' mem*erm&)a- s#s$a belajar,

U*a(a mem*erm&)a- s#s$a mener#ma ba-an ajar ma+ema+#'a )a*a+

)#la'&'an

)en%an

berba%a#

ara

nam&n

&m&mn(a

)en%an

men(e)er-ana'an ba-asa (an% )#%&na'an ser+a mem*ersem*#+ semes+a

*emb#araan, ;al #+& an+ara la#n )a*a+ )#l#-a+ )ar# ba+asba+as b#lan%an

(an% )#ber#'an 'elas Se'ola- <asar,

As*e' la#n )ar# ma+ema+#'a se'ola- (an% *erl& j&%a men)a*a+

*er-a+#an a)ala- +&j&an *embelajaran ma+ema+#'a, Sejalan )en%an

'een)er&n%an #n+emas#onal +&j&an *embelajaran ma+ema+#'a )a*a+

)#%olon%'an menja)# )&a ba%a#an, Bagian pertama, +&j&an *embelajaran

ma+ema+#'a bers#a+ ormal )an bagian kedua, +&j&an *embelajara#

ma+ema+#'a bers#a+ ma+er#al, T&j&an *embelajaran ma+ema+#'a bers#a+

ormal men#+#'bera+'an 'e*a)a *ena+aan nalar )an *emben+&'an

'e*r#ba)#an s#s$a, T&j&an *embelajaran ma+ema+#'a bers#a+ ma+er#al

men#+#'bera+'an 'e*a)a 'emam*&an )an 'e+eram*#lan memea-'an

masala- ma+ema+#'a a+a& )en%an ma+ema+#'a, <alam men%ara-'an

*embelajaran ma+ema+#'a se-#n%%a )a*a+ rnena*a# +&j&an+&j&an

+erseb&+ san%a+ m&n%'#a mem&n&l'an 'es&l#+an belajar ma+ema+#'a,

an%'a- (an% *erl& )#amb#l a)ala- memb&a+ ranan%an *embelajaran

seara -a+#-a+#, Se-&b&n%an )en%an -al +erseb&+ ma'a +&j&an

*embelajaran '-&s&s *erl& )#'emban%'an se-#n%%a +#)a' se'e)ar

men%ara- 'e*a)a as*e' 'o%n#+# +e+a*# j&%a *erl& +erara- 'e*a)a as*e'

ae'+# )an *s#'omo+or,

Ma+ema+#'a (an% ber'enaan )en%an #)e#)e abs+ra' (an% )#ber# s#mbol

#+& +ers&s&n seara -#rar'#s )en%an *enalaran )e)&'+# se-#n%%a belajar

ma+ema+#'a #+& mer&*a'an 'e%#a+an men+al (an% +#n%%#, Mem*elajar#

'onse* . (an% men)asar'an 'e*a)a 'onse* A seoran% s#s$a *erl&

mema-am# leb#- )&l& 'onse* A, Tan*a mema-am# 'onse* A +#)a'

m&n%'#n s#s$a #+& mema-am# 'onse* ., In# berar+# ba-$a mem*elajar#

ma+ema+#'a -ar&sla- ber+a-a* )an ber&r&+an ser+a men)asar'an 'e*a)a

*en%alaman belajar (an% lal&,

!arena ma+ema+#'a mer&*a'an #)e#)e abs+ra' (an% )#ber# s#mbol

ma'a 'onse*'onse* ma+ema+#'a -ar&s )#*a-am# leb#- )a-&l& sebel&m

s#mbols#mbol #+&, Seoran% s#s$a leb#- m&)a- mem*elajar# ses&a+& b#la

belajar #+& )#)asar# 'e*a)a a*e (an% +ela- )#'e+a-&# s#s$a #+&, !arena #+&

&n+&' mem*elajar# s&a+& ba-an ajar ma+ema+#'a (an% bare *en%alaman

belajar (an% lal& )ar# seoran% s#s$a #+& a'an mem*en%ar&-# +erja)#n(a

*roses belajar ba-an ajar ma+ema#+'a +erseb&+,

!arena 'e-#rar'#san ma+ema+#'a #+& ma'a belajar ma+ema+#'a (an%

+er*&+&s*&+&s a'an men%%an%%& +erja)#n(a *roses belajar ma+ema+#'a,

In# berar+# *roses belajar ma+ema+#'a a'an +erja)# )en%an lanar b#le

belajar #+& sen)#r# )#la'&'an seara 'on+#n&, <# )alam *roses belajar

ma+ema+#'a +erja)# j&%a *roses ber*#'#r sebab seoran% s#s$a )#'a+a'an

ber*#'#r b#le s#s$a #+& mela'&'an 'e%#a+an men+al )an s#s$a (an% belajar

ma+ema+#'a mes+# mela'&'an 'e%#a+an men+al, <alam ber*#'#r #+& s#s$a

#+& men(&s&n -&b&n%an-&b&n%an an+ara ba%#anba%#an #normas# (an%

+ela- )#re'arn )# )alam *#'#ran s#s$a #+& seba%a# *en%er+#an*en%er+#an,

<ar: *en%er+#an +erseb&+ berben+&'la- *en)a*a+ (an% *a)a a'-#m(a

)#+ar#'la- 'es#m*&lan, !emam*&an ber*#'#r seoran% s#s$a #+& )#*en%ar&-#

ole- #n+ele%ens#n(a, <en%an )em#'#an +erl#-a+ a)an(a 'a#+an an+ara

#n+ele%ens# )en%an *roses belajar ma+ema+#'a,

 4. Guru Matematika

"&r& ma+ema+#'a ber*eran )alam &sa-a membelajar'an s#s$a

se)em#'#an se-#n%%a *roses *embelajaran ma+ema+#'a )a*a+ berlan%s&n%

ee'+#, =le- 'arena #+& leb#- bal' %&r& ma+ema+#'a (an% 'om*e+en

)en%an '&r#'&l&m jele' )ar#*a)a %&r& ma+ema+#'a (an% +#)a' 'om*e+en

)en%an '&r#'&l&m ba#' ;&)ojo 1979, !orn*e+ens# *roes#onal#sme %&r&

(an% -ar&s )#m#l#'# ole- %&r& ma+ema+#'a a)ala- 'om*e+ens# *r#ba)#

'orn*e+ens# 'emas(ara'a+an )an 'om*e+ens# *ro*roes# <e*)#'b&)

1997, !om*e+ens# *r#ba)# mel#*&+# 'emam*&an seoran% %&r& ma+ema+#'a

&n+&' )a*a+ bers#'a* )an ber+#n%'a- la'& ses&a# )en%an n#la#n#la# (an%

a)a )alam mas(ara'a+ (an% )a*a+ )#+ela)an# ole- s#s$a )an an%%o+a

mas(ara'a+ *a)a &rn&mn(a ser+a mam*& &n+&' men#la# )#r# sen)#r#,

!om*e+ens#

'emas(ara'a+an

mer&*a'an

'emam*&an

&n+&'

menem*a+'an

)#r#

seba%a#

an%%o+a

mas(ara'a+

)an

)a*a+

men%emban%'an -&b&n%an (an% ba#' )an -armon#s ser+a mam*&

me$&j&)'an 'enjasama )en%an sem&a *#-a' (an% #'&+ ber+an%%&n%

 ja$ab +er-a)a* *roses *en)#)#'an )alam ran%'a mem*ers#a*'an s#s$a

menja)# an%%o+a mas(ara'a+ (an% ba#' )# masa a'an )a+an%, !om*e+ens#

*roes# mer&*a'an %&r& )#+&n+&+ mern#l#'# 'emam*&an dasar +e'n#'

e)&'a+# )an a)m#n#s+ra+# se-#n%%a )a*a+ mela'sana'an +&%as )en%an

ba#' )an a'-#m(a )#*erole- -as#l *embelajaran s#s$a (an% o*+#mal,