fungsi eksponensial.ppt

(1)

FUNGSI2 EXPONENSIAL &

LOGARITMA

HANDOYO SOEMANTRI HANDOYO SOEMANTRI

(2)

Rumus2 Untuk Logaritma

Kamu mestina ingat kan! "an #arus

ingat $



P

Perka%ian  %og'a()*%og a +

erka%ian  %og'a()*%og a + %og (

%og (



P

Pem(agian  %og'a,() * %og a

em(agian  %og'a,() * %og a - %og

- %og

(



Pangkat %og 'a

((

)* ( %og a



K

Kon.ers

on.ersi

i 

 %og

%og

a

(3)

Rumus2 Untuk Logaritma

Kamu mestina ingat kan! "an #arus

ingat $



P

Perka%ian  %og'a()*%og a +

erka%ian  %og'a()*%og a + %og (

%og (



P

Pem(agian  %og'a,() * %og a

em(agian  %og'a,() * %og a - %og

- %og

(



Pangkat %og 'a

((

)* ( %og a



K

Kon.ers

on.ersi

i 

 %og

%og

a

(4)

FUNGSI EXPONENSIAL &

LOGARITMA



/ari 0e%a1aran matematika SMA! ingat

(a#a 3ungsi eks0onensia% "irumuskan

se(agai *a

44

! "engan a56 "an 4 suatu

(i%angan rea%7



In.ers "ari 3ungsi e40onensia% a"a%a# 3ungsi

%ogaritma7



/ikatakan (a#a  %og

_a_a

'a

44

) * a

%og_%oga_a44

*47



Sam0ai saat ini ang kita kena% %ogaritma

"engan (asis 86! akni 9%og 4: ke0en"ekan

"ari %og

8686

4



Logaritma "engan (asis (i%angan 9e:

"ise(ut

logaritma natural

!

! "itu%is

"itu%is 9%n

9%n 4:

4:

atau %n 4 * %og

(5)

Si3at2 Fungsi E40onensia%

87 87 /ae

/aera#

ra# asa

asa%,"

%,"e;n

e;nisi

isi 



77

27 27 /aera#

/aera# ni%ai

ni%ai 

 '6!

'6! )7

)7

<7

<7 Memotong

Memotong sum(u

sum(u =

= "i

"i '6!

'6! 8)7

8)7

>7

>7 K

Kontinu

ontinu untuk

untuk semua

semua (i%angan

(i%angan

rea%7

?

?77 @@iik

ka

a

bb

_{5 8 naik 0a"a}

1ika

bb

_{ 8 turun 0a"a}

( (

))

(( )

)

x x

0 0,,

1

1 y

y

=

f x

f

x

=

b

>

b

≠

( (

−∞

−∞ ∞

,,

∞

))

( (

−∞

−∞ ∞

,,

∞

))

∞

( (

−∞

−∞ ∞

,,

∞

))

(6)

Gra;k Fungsi Eks0onensia%



Untuk a 5 6 "an a

≠

8! 3ungsi "engan rumus 3'4) *

a

4

"ise(ut 3ungsi eks0onensia%7 Gra;k 3ungsi

eks0onensia% tam0ak 0a"a gam(ar "i atas 

1 , > = a a y x 1 0 , < < = a a y x 8 = X

(7)

Si3at2 Fungsi Logaritma

(

)

( )

log

_b

0,

1 f x

=

x b

>

b

≠

Fungsi %ogaritma "ari

x

_{"engan (asis}

b

"i"e;nisikan se(agai 

Be(era0a si3atna 

1. /aera# asa%,"e;nisi  '6! )

27 /aeraa# ni%ai 

3. Titik potong dengan sumbu X : (1, 0)

4. Kontinu pada selang (0, )

5. Naik pada (0, ) jika b > 1

Turun pada (0, ) jika b < 1

∞

(8)

Gra;k Fungsi Logaritma

 Untuk a 5 6 "an a

≠

8!  * a %og 4

⇔

4 * a ! 3ungsi "engan

rumus  * a %og 4 "ise(ut 3ungsi %ogaritma7 /a%am #a% ini

"aera# "e;nisi 3ungsina a"a%a# /3 * C4

∈

R D 4 5 67

 Se(agai onto#  2 %og  * < karena 2< * 

8,< %og 2H * < karena '8,<)< * J' <)8< * << * 2H7

 Gra;k 3ungsi %ogaritma tam0ak 0a"a gam(ar (erikut 

1 , log

>

=

x a y a 1 0 , log < < = x a y a = X

(9)

Logaritma dinyatakan sebagai

Integral

 Logaritma "a0at

"inatakan

"a%am (entuk integra% "ari 8,47 Integra% ini aa%na "i"e;nisikan se(agai %uas suatu

3ungsi "ari 8 sam0ai t7

 /ari "e;nisi! 1ika 4*8!

maka #arga terse(ut sama "engan 6!

se#ingga %n'8) * 67

 @ika 4 * 6! 3ungsi %n '4)

ti"ak ter"e;nisi! karena 8,6 ti"ak ter"e;nisi7  @ika 648! maka %n'4) (er#arga negati07

∫

=

x

_dt

t

x

1

1 )

ln(

(10)

Logaritma dinyatakan sebagai

Integral

Contoh e 1 ln Compute x dx . x

∫

1 e 1 2 1 0 ₀ ln 1 Hence . 2 2 x t dx tdt x



=

_

=



∫

=

= ⇒ =

The substitution ln is sueste! b" the #unction to be inte$%te!. &e h%'e

1 0 %n! e 1. t x x t x t ln x x 1 e

(11)

TURUNAN FUNGSI EXPONENSIAL /AN

FUNGSI LOGARITMA



Turunan 3ungsi e40onensia% "an

3ungsi %ogaritma ti"ak su%it! asa% ingat

0eri%aku 3ungsi 9e: "an 3ungsi 9%n:7

( )

a

x

dx

d

e

dx

d

x x x x

ln

=

(

)

(

)

a

x

dx

d

x

dx

d

a

ln

1 log

1 ln

=

(12)

INTEGRAL FUNGSI EXPONENSIAL AN

FUNGSI LOGARIT!A



Keua%i untuk 3ungsi 9e:! integra%s "ari 3ungsi

%ogaritma "an 3ungsi e40onensia% ti"ak mu"a#7

Untuk men"a0atkan integra% "ari a

4

! tu%is 3ungsi

itu se(agai e

4M%n a

7 Gunakan su(stitusi u * 4%n a

"an "u,%n a * "4 untuk meng#itung integra%!

kemu"ian gunakan rumus integra% e

4

7 C

a

dx

a

C

e

dx

e

x x x x

+

=

+

=

∫

ln

a

C

x

dx

x

C

x

xdx

a

+

−

=

+

−

=

∫

ln

log

ln

(13)

onto# 8 Fin" t#e "eri.ati.e o3 3'4) * 4

2

_e

4

7 So%usi  ingat turunan #asi% ka%i "ua 3ungsi 

!

e

!

(!)

"

e

!

"(!)

! !  ! 

+

=

′

=

3'4) * g'4) #'4)! maka 

F'4) * g'4) #'4) + g'4) #'4)

(

!



)

!e

(!)

"

′

=

!

+

g(x) = x

2

dan h(x) = e

x

(14)

"onto# $ %

tentukan turunan 3't) *

(

)

 3



+

t

e

So%usi  gunakan aturan rantai7

(

)

(

)

₂ t 1 t 2 3 t

e

2 e

2

3 t

f

2 e

t

f

+

=

′

+

=

)

(

)

(

Aturan rantai 

'turunan "i %uar kurung) 4 'turunan "i "a%am

kurung)

(15)

onto# <  turunan

( )

_. !

!

e

!

"

=

Gunakan rumus turunan "ari #asi% (agi "ua (ua#

3ungsi 3'4) * g'4) , #'4)! akni 3'4) * Cg'4)#'4)

-g'4)#'4),#

2

'4)

( )

4 ! ! 

!

!

e

!

#

"

=

−

( )

4 !  !

!

e

!

!

e

!

#

"

=

−

( )

!_

!

e

!

"

=

(16)

Bagaimana 1ika e ti"ak (er0angkat 4 teta0i

(er0angkat 3'4)

Aturan 2 @ika 3'4) 0una turunan maka

(

e

( )

)

e

( )

f

(

x

)

dx

d

_f _x _f _x

′

⋅

=

/engan kata %ain  turunan e (er0angkat 3'4) a"a%a#

e (er0angkat 3'4) "ika%ikan "engan turunan "ari 3'4)

atau 3'4)7

(17)

Contoh 4 :

_{tentukan turunan 3'4) *}

e

3x 3 e x f e x f x 3 x 3

⋅

=

′

=

)

(

)

(

3'4) itu sen"iri

Turunan 3ungsi 3'4)

Contoh 5 :

_{tentukan turunan}

2x2 1

e x f₍ ₎

=

+

( )

4!

e

(!)

"

e

"(!)

1 ! 1 !   + +

=

′

=

1 !

4!e

(!)

"

′

=

+

atau

(18)

Contoh 5:

_{turunkan fungsi}

t t t e e e t f ₋

+

=

) (

( ) ( )

(

_t _t

)

 t t t t t t e e e e e e e e (t) " − − −

+

−

+

=

′

Solution: Using the quotient rule

( )

(

_t _t

)

 0 t 0 t t e e e e e e (t) " s. # t$e into e %istri&ute −

+

−

+

=

′

_{Ingat e}

6

_{* 87}

(

_t _t

)

 e e  (t) " −

+

=

′

(19)

Tentukan turunan fungsi

"

( )

!

=

e

5! .

Pilih mana a!a"an #ang "enar.

( )

5!  5e ! # " 5!

=

( )

! e x 5x # "

=

5

(20)

$ood !ork%%

&ere is the deri'ati'e in detail.

( )

(

)

( )

( ) ( )

( )

5!  5e ! # " 5!  5 e ! # " 5 5!  1 e ! # " 5! d e ! # " 5! 5!  1 ' 5! 5!

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

dx

(21)

"onto#&

ari%a# turunan

3ungsi

3 5

( )

x

.

f x

=

e

+

3 4 4 4

( )

4

x

4

x

f x

′

=

x e

+

x e

(

)

3 4

4 x e

x

1 x

=

+

ari%a# #arga ekstrim

3ungsi

4 4

( )

x

.

f x

=

x e

(

)

3 5

( )

x

d

3 5

f x

e

x

dx

+

′

=

+

3 5

5 e

+

x

=

'1 0







Minimum re%ati3

f

_{'6) * 6}

Maksimum re%ati3

f

_{'8) *}

1₄ e f

′

x

(22)

Contoh 7: _{tentukan titik "elok fungsi} f₍x₎

=

e−x2

Solusi : harus menggunakan turunan kedua untuk mendaatkan titik "elok.

( ) ( )

[

]

( )

(

)

2 2 2 1 x 2 1 x 1 x 2 ) e 2 1 x 2 e 2 ) e 2 e x * x f 2 e x 2 e x 2 x f xe 2 x f e x f 2 2 x 2 x x x 2 x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2

±

=

±

=

≠

−

=

−

=

′′

−

+

−

=

′′

−

=

′

=

− − − − − − − − ) ( ) ( ) ( ) ( Turunan ertama

Gunakan aturan 0erka%ian untuk men"a0atkan f+(x)

Pe,ahkan f+(x) = - s#arat titik "elok. ungsi eksonensial tidak ernah .

(23)

To sho! that the# are infle,tion oints !e ut them on a num"er line and do a test !ith the 2nd_deri'ati'e:

/ 2 2 . − ≈ − _/ 2 2 . ≈

0nter'als Test Points alue

       ∞        −        ₋ ∞ − , , , 2 2 2 2 2 2 2 2 1  1 f+(1)= *e1_2e1_=2e1_= f+()=2=2 =  f+(1)= *e1_2e1_=2e1_= 2 2 2 x x 2 x e 2 e x * x f e x f − − −

−

=

′′

=

) ( ) (   

Sin,e there is a sign ,hange a,ross the otential infle,tion oints-       − −₂1 e 2 2

, _and _ _{are infle,tion oints.}

     −₂1 e 2 2 ,

(24)

ONTOQ 



Qitung turunan 3ungsi

(erikut ini$



Fungsi ini antik

(entukna karena

ke"ua 4 meru0akan

.aria(e%7



Kita ti"ak (isa

menggunakan

rumus2 ang su"a#

terse"ia7

x

(25)

onto#  %an1utan

 Gunakan %ogaritma

natura%7

 Am(i% %ogaritmana "an

gunakan si3at %ogaritma! se0erti tam0ak 0a"a

0eraga7

 Qitung turunan im0%isit

untuk ke"ua ruas7

 Ka%ikan masing2 ruas

"engan 7

 Natakan ","4 se(agai

turunan ang "iari7

( )

(

)

(

)

( )

x x x x x dy y x dx dy y y x dx dy y x x x dx dy y x x dx d y dx d x x y x y x y ln 1 ln 1 1 ln 1 1 ln 1 1 ln ln ln ln ln ln

+

=

+

=













+

=

+













=

(26)

onto# 

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

x

)

x

(

x x

)

x x x dx dy y x x x x x dx dy y y x x x x x dx dy y x x x dx d y dx d x x x y x x y x x y x x y x x x x sin *ot ln  1 *ot ln  1 1 *ot ln  1 1 1 sin ln ln ln sin ln ln ln sin ln ln ln sin ln ln sin













+













+

=













+













+













=













+













+













=

+

=

+

=

+

=

 ari turunanna  Am(i% %ogaritma natura%na7

 Gunakan si3at2 %ogaritma7  ari turunan im0%isitna

untuk ke"ua ruas7

 Ka%ikan ke"ua ruas "engan

7

 Natakan ni%ai ","4

se(agai turunan ang "iari7

(27)

onto# 86

+ind t$e deriatie o"

f x

( )

=

ln 

(

x



−

1 .

)

1 ( )



f x

x

′

= +

+ind an e-uation o" t$e tangent line to t$e grap$ o"

(

)

( )



ln at 1,  .

f x

= +

x

 



1 ( )



1 d

x

dx

f x

x



₋







′

=

−



4 

1 x

x

=

−

(1)

3 f

′ =



3(

1)

3

1 y

x

y

x

− =

−

= −

lope:

/-uation:

(28)

Use %ogarit#mi "ierentiation to ;n" t#e

"eri.ati.e o3

₍

₎

5

3  

1 y

=

x

+

x

−

(

)

(

5

)

ln

y

=

ln

3 x

+

 

x

−

1 (

)

(

)

5

ln

y

=

ln

3 x

+ +



ln 

x

−

1 (

) ( )

1 ln

ln 3



5ln 

1 

y

=

x

+ +

x

−

(

)

1

3 5()

 3





1 dy

y dx

=

x

+

x

−

(

)

(

)

5

3

45

3  

1  3





1 dy

x

dx

x





=

+

−

_

+

_÷

+

−





ppl2 ln

%i""erentiate

roperties

o" ln

ole

ONTOQ 88

(29)

Contoh 12 dan 13

8<7 Qitung

∫

?,'24+H) "4

So%usi  an"aikan u*24+H! maka "u * 2"4 atau "4 *  "u /engan "emikian

∫

?,'24+H) "4 * ?,2

∫

C8,'24+H) 2 "4 * ?,2

∫

8,u "u * ?,2 %n u +  * ?,2 %n D24+HD +  8>7 Qitung

∫

< 4,'8642) "4 8

an"aikan u * 8642 maka "u * 24 "4! se#ingga

So%usi 

∫

4,'8642) "4 *  

∫

24,'8642) "4 *  

∫

"u,u

(30)

Contoh 13 lanjutan

∫

<

4,'864

2

) "4 * J   %n D864

2

D 

<

I8 I8

(31)

Contoh 14 dan 15

8?7 Tentukan ","4 1ika  * %n C'48),428,< So%usi   * %n C'48),428,< * 8,< %n C'48),42 * 8,<J%n '48) %n 42 * 8,<J%n '48)  2 %n 4 /engan "emikian ","4 * 8,< J8,'48) - 2,4 * '24) , C<4'48) 87 Tentukan turunan  * '842)8,2 , '4+8)2,<

So%usi  am(i% %ogaritmana

%n  * %n C'842)8,2 , '4+8)2,<  *  %n '842) - 2,< %n '4+8)

8, ","4 * 8,C2'842) '24) - 2,C<'4+8)

Se#ingga ","4 *  4,'842) - 2,C<'4+8)

(32)

Contoh 16

 Pa"a 0ermu%aan ta#un 8! 1um%a# 0en"u"uk "unia "i0erkirakan

se(anak ?! mi%iar7 Kemu"ian 1um%a# 0en"u"uk 0a"a ta#un 2666 mena0ai H! mi%iar7 Bagaimana orang merama%kanna 

Kita an"aikan  * 3't) a"a%a# (anakna 0en"u"uk 0a"a saat t! "engan t (anakna ta#un sete%a# 87 An"aikan (a#a

0ertam(a#an 0o0u%asi ∆ "a%am 1angka aktu 0en"ek ∆t

se(an"ing "engan (anakna 0en"u"uk 0a"a aa% 1angka aktu itu "an se(an"ing "engan 0an1angna 1angka aktu itu sen"iri7 Se#ingga ∆ * k ∆t atau "a0at "itu%iskan 

∆ , ∆t * k "a%am (entuk %imit 'ingat "e;nisi turunan) mem(erikan 0ersamaan 

","t * k "ise(ut 0ersamaan "i3erensia% karena mengan"ung turunan

1ika k56! 0o0u%asi (ertam(a#! "an 1ika k6 0o0u%asi (erkurang7 Qarga  ang memenu#i 0ers7 "i3erensia% "i atas "ise(ut so%usi "ari 0ers7 "i3erensia% itu7

(33)

Contoh 16 lanjutan

 Bagaimana ara menari so%usi itu  U(a# (entuk 0ersamaan itu

men1a"i  ", * k "t kemu"ian integra%kan ke"ua ruas 

∫ ", * ∫ k "t

%n  * kt +  "engan sarat  * 6 0a"a saat t * 6

akan meng#asi%kan  * %n 6 se#ingga %n  - %n 6 * kt

atau %n ' ,6 ) * kt kemu"ian u(a# "a%am (entuk eks0onen 

, 6* ekt atau  * 6ekt → meru0akan so%usi 0ers "i3erensia% "i

atas7

1ika k56 → 0ertum(u#an eks0onensia% "an 1ika k6 → 0e%uru#an eks0onensia%7

"ari 0ersoa%an "i atas 6* ?! "an untuk 0o0u%asi "unia k ≈

6!68<2! se#ingga 0ersamaaan 0ertum(u#an 0o0u%asi a"a%a#   * ?! e6!68<2t

/a%am ta#un 2626! "engan t * 22! maka  * ?! e6!68<2'22) ≈ H!

(34)

Lati#an

87 Banakna (akteri "a%am satu ku%tur ang tum(u# seara

e0at "itaksir se(esar 867666 0a"a tenga# #ari "an se(esar >67666 sete%a# "ua 1am7 Bera0aka# (anak (akteri akan

ter"a0at 0a"a 0uku% 8H766 

27 Kar(on 8>! sa%a# satu "ari tiga isoto0 kar(on a"a%a# Vat

ra"ioakti3 "an me%uru# "engan %a1u ang se(an"ing "engan (anakna Vat ang a"a7 Waktu 0aru#na '#a%3 time) a"a%a# ?H<6 ta#un! artina Vat terse(ut memer%ukan aktu ?H<6 ta#un untuk menusut men1a"i setenga#na7 A0a(i%a 0a"a saat aa% a"a 86 gram! (era0aka# sisana sete%a# 2666 ta#un 

(35)

BENTUK TAK TENTU

 Fungsi F "irumuskan s((7 

F'4) * '42 - <4 + 2) , '42 + <4 - 86)

"i"e;nisikan untuk semua (i%angan rea% 4!

keua%i 4 * 2 "an 4 * ? "engan 0ene(ut no%7 Teta0i 0a"a 4 * 2 0em(i%ang 1uga no%! "ikatakan

F'4) mem0unai (entuk tak tentu 6,6 0a"a 4 * 27

 @e%as (a#a F'2) ti"ak "a0at "itentukan! akan

teta0i (o%e# 1a"i F'4) mem0unai %imit "i 4 * 27

 Be(era0a 3ungsi (entuk tak tentu 6,6 0a"a

suatu (i%angan tertentu 0una %imit se"angkan ang %ain ti"ak7

(36)

Aturan L'(os)ital *+,



Aturan 87 An"aikan 3 "an g 3ungsi2 ang

ter"i3erensia% 0a"a suatu se%ang I ang

memuat ! keua%i mungkin "i  sen"iri! "an

an"aikan g'4)

≠

6 untuk semua 4

≠

 "a%am I7

@ika %im 3'4) * %im g'4) * 6 "an

4 →



4 →



1ika %im 3'4),g'4) "4 * L maka %im 3'4),g'4)

* L

(37)

Aturan L'(os)ital *$,



Aturan 27 An"aikan 3 "an g 3ungsi2 ang

ter"i3erensia% 0a"a se%ang I ang memuat titik

! keua%i 0a"a  itu sen"iri! "an an"aikan

g'4)

≠

6 untuk semua 4

≠

 "a%am I7

@ika %im D3'4)D * %im Dg'4)D *

∞

"an 1ika

4 →



4 →



%im 3'4) , g'4) * L maka %im 3'4) ,g'4) *

L

(38)

Perluasan aturan D’Hos!tal



=

→

_##

₍

₎

)

(

##

li

)

(

#

)

(

#

li

)

(

)

(

li

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f

c x c x c x

(39)

onto# 8



/i(erikan masa%a#

k%asik (erikut ini 



%im '4

2

- 2?) * 6 "an

%im '4 - ?) * 6 1ika 4

→

?7



F'4) * '4

2

- 2?)

→

F'4)

* 24! "an G'4) * 4 - ?

→

G'4) * 87



Lim F'4) * 86 "an %im

G'4) * 8 1ika 4

→

?!

gunakan aturan

"Qos0ita% 87

%im '4

2

- 2?) , '4 - ?)

*

4 →

?

%im '24) , %im 8 *

4 →

?

4 →

?

86,8 * 86

(40)

Contoh 2

 /i(erikan 3ungsi rasiona%  %im '4< - 24 + 8) *

∞

4

→∞

"an %im '4< - ?42 + <) *

∞

4

→∞

 Gunakan "Qos0ita% 2!

turunkan 0em(i%ang "an 0ene(ut! %imitna

masing2 1uga masi# (er#arga

∞

7

 Gunakan "Qos0ita% 2!

turunkan 0em(i%ang "an 0ene(ut! turunkan

0em(i%ang "an 0ene(ut! kemu"ian ari %imitna7

1

1 li



li

10

3 

3 li

3

5

1 

li

   3 3

=

−

+

−

+

−

∞

→

∞

→

∞

→

∞

→

x x x x

x

(41)

-entuk$ Tak Tentu Lainnya

 @ika %im 3'4) * 6 "an %im g'4) *

∞

! maka 3ungsi ang

4

→

 4

→



"i"e3enisikan o%e# 3'4)g'4) "ise(ut (entuk tak tentu 67

∞

0a"a 7

 @ika %im 3'4) * %im g'4) *

∞

! maka 3ungsi ang

4

→

 4

→



"i"e3enisikan o%e# 3'4)  g'4) "ise(ut (entuk tak tentu

∞



∞

0a"a 7

 @ika %im 3'4) * %im g'4) * 6! maka 3ungsi ang

4

→

 4

→



"i"e3enisikan o%e# 3'4)g'4) "ise(ut (entuk tak tentu

66_{0a"a 7}

(42)

"onto# .



Hitun limit be$i*ut ini.



1- + 0 /i*% 

→∞

 !%n 1  1- + 1 /i*% 

→∞



sehin% bentu* limit !i %t%s %!%l%h 1

∞

_.



Mis%l*%n " + 1  1-3

.

→

ln " + ln 1  1-3

.

+

 ln 1  1-3 !%n limit be$iut me$up%%n bentu*

∞

.0 /i*% 

→∞

.

x x

x











 +

∞

→

1

1 li

(

)

_ 





















 +

=

∞ → ∞ →

y

x

_x

x

1

1 ln

li

ln

li

(43)

"onto# . lan/utan

 4it% tulis  seb%%i

1-1-3. (et%**%n 1- seb%%i pen"ebut. Sehin% limit !i $u%s *%n%n men/%!i bentu* 0-0 un%*%n %tu$%n !5Hospit%l 1 p%!% $u%s *%n%n.

 A*hi$n"% limit !i $u%s

*%n%n be$h%$% 1.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

ln

)

li1 1 li 6 1 1 1 li ln li 6 1 6 1 6 1 1 1 li ln li 6 1 1 1 ln li ln li 1 1 ln li ln li  

=

+

=

−

+

=











 +

=























 +

=

∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x y x y x x x y x x y x x y

(44)

"onto# . lan/utan

 Den%n !emi*i%n limit

!i $u%s *i$i be$h%$% 1

 6un%*%n si#%t limit  6un%*%n si#%t #unsi

e*sponensi%l !%n lo%$itm%.  A*hi$n"% !ipe$oleh limit "%n !ic%$i.

(

)

(

)

(

)

e

x

e

y

e

y

x x x y x x x x

=











 +

∴

=

∞

→

∞

→











∞

→

∞

→

∞

→

→∞

1

1 li

li

1 li

ln

li

1 ln

li

1 li ln

(45)

"onto# 0

 Tentukan %im '24) , '42)

4

→∞

 So%usi  karena %im 24 * %im 42 *

∞

! tera0kan "Qos0ita%

ke"ua "ua ka%i7

%im 24 * %im 42 * %im '24 %n 2) , 24

4

→∞

4

→∞

4

→∞

* %im '24 '%n 2)2) , 2 *

∞

!

4

→∞

Karenana %im '24) , '42) ti"ak a"a

4

→∞

(46)

"onto# 1

 Tentu*%n lim 7-8 13 9 1-ln :



→

1

 Solusi ; ini me$up%*%n bentu* t%* tentu

∞

8

∞

 !en%n

*ombin%si !u% pec%h%n *emu!i%n s%m%*%n pen"ebutn"%.

lim 7-8 13 9 1-ln : + lim  ln  9   13- 9 13 ln 



→

1 

→

1

!%n ini me$up%*%n bentu* 0-0 p%!%  + 1.

Den%n menun%*%n %tu$%n !5Hospit%l !u% *%li ;

lim  ln  9   13- 9 13 ln  + lim  ln  -  9 13 ln 