PROFIL KONTUR SEDIMENTASI DI PERTEMUAN DUA SUNGAI MODEL SINUSOIDAL

(1)

1 PROFIL KONTUR SEDIMENTASI DI PERTEMUAN DUA SUNGAI MODEL

SINUSOIDAL

Oleh :

Febriyan Eka Priangga 1206 100 703 Dosen Pembimbing : Prof. DR. Basuki Widodo, M.Sc

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Surabaya 2011

Abstrak

Banyak fenomena yang terjadi akibat aliran sungai, beberapa diantaranya adalah sedimentasi dan erosi. Model sedimentasi dikembangkan secara matematis menggunakan pendekatan metode volume hingga. Model sedimentasi yang dibangun terdiri dari dua bagian, yaitu hidrodinamika aliran sungai dan morfologi sungai. Dalam hidrodinamika aliran sungai digambarkan tentang variabel-variabel yang dilibatkan pada persamaan aliran sungai, sedangkan pada morfologi sungai digambarkan tentang proses sedimentasi yang terjadi didasar saluran sebagai akibat dari perilaku aliran.

Dari simulasi yang dilakukan, untuk aliran sinusoidal terjadi penurunan kedalaman ±0.0045, dan penurunan kecepatan ±0.02, pada kecepatan awal v=0.2. Ketika kecepatan awal v diperbesar menjadi v=0.9, ketinggian sedimen semakin turun ±0.0021. Sedangkan untuk pertemuan sungai sinusoidal, terjadi kenaikan ketinggian sedimen ±0.05, penurunan kecepatan ±0.09, pada saat kecepatan awal v=0.1. Ketika kecepatan pada sungai I diperbesar menjadi v1=0.2 dan pada sungai II v2=0.1, tidak berpengaruh secara signifikan terhadap ketinggian sedimen. Besarnya kecepatan awal dan kedalaman pada aliran sinusoidal mempengaruhi ketinggian sedimen pada dasar sungai. Untuk pertemuan sungai, kecepatan sungai I dan sungai II tidak berpengaruh secara signifikan terhadap ketinggian sedimen, namun memberikan pengaruh pada kecepatan awal sungai.

Kata kunci : Sedimentasi, Meshless local Petrov-Galerkin, Moving Least Square (MLS), fungsi

Heavyside.

1. Pendahuluan

Sungai sangat penting peranannya bagi kehidupan manusia. Kenyataan ini dapat dilihat dari pemanfaatan sungai yang makin lama makin kompleks, mulai dari sarana transportasi, sumber air baku, sumber tenaga listrik dan sebagainya. Namun pendangkalan sungai akibat adanya pengendapan sedimen menyebabkan air tidak dapat tertampung ataupun teralirkan secara maksimal sehingga dapat menyebabkan banjir.

Proses terjadinya sedimentasi pada sungai dapat dimodelkan secara matematis dan disimulasikan secara numerik, sehingga proses perubahan morfologi sungai akibat adanya sedimentasi tersebut dapat diketahui. Pemodelan tersebut dapat dijadikan sebagai bahan pertimbangan dalam pengambilan suatu kebijakan, sehingga dampak yang akan ditimbulkan akibat adanya sedimentasi dan pengerusan tersebut dapat dicegah sedini mungkin atau dikurangi.

Model sedimentasi sungai ini dibangun dengan menggunakan pendekatan metode volume hingga dan diselesaikan dengan metode Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG). Metode ini relatif baru, dan masih terus dikembangkan pada permasalahan dinamika fluida. Salah satu keunggulan dari metode ini adalah dalam proses diskritisasi daerah penyelesaian (domain). Pada metode-metode numerik yang telah ada, untuk melakukan interpolasi ataupun penghitungan integral, dibutuhkan mesh (pias) pada domain yang akan diselesaikan. Sehingga untuk domain yang bentuknya kompleks, diskontinu atau mempunyai boundary (batas domain) yang bergerak merupakan permasalahan yang sulit diselesaikan.

Metode numerik yang telah banyak diterapkan dalam menyelesaikan permasalahan dinamika fliuda, seperti Finite Different Method (FDM), Finite Element Method (FEM) dan Finite Volume Method (FVM), telah berhasil digunakan

(2)

2

pada pemodelan aliran fluida (Sosrodarsono dan Tominaga, 1984). Penggabungan FVM dan FEM juga telah digunakan untuk menyelesaikan model aliran fluida multi-fase pada struktur geometri yang rumit (Ottovanger, 2005).

Satu hal mendasar yang menjadi kesamaan dan dasar dari metode-metode diatas adalah penggunaan pias (grid) atau sel dalam penerapannya. Penggunaan grid sangat sangat menentukan tingkat keakuratan dari metode-metode tersebut. Semakin kecil grid yang dibuat, atau dengan kata lain semakin banyak jumlah grid, semakin akurat keluaran (output) yang dihasilkan, tetapi semakin mahal biaya komputasi yang dilakukan. Bahkan pembuatan grid sendiri untuk domain yang kompleks sangat sulit dilakukan.

Metode yang dikembangkan untuk mengatasi masalah tersebut adalah metode meshless (tanpa pias/mesh/grid). Tujuan utama dari metode ini adalah untuk menghilangkan grid atau untuk mengurangi kesulitan dalam membuat grid dengan menggunakan titik sebagai penggantinya. Metode ini sangat fleksibel, akurat dan tidak menggunakan grid sama sekali dalam penerapannya, baik untuk tujuan interpolasi ataupun untuk tujuan perhitungan integral. Bahkan karena kecepatan, keakuratan, dan keandalannya, metode ini diprediksi dapat menggantikan metode FEM dimasa mendatang (Atlury dan Lin, 2000).

2. Aliran Saluran Terbuka

3.1. Aliran Tetap (Steady Flow)

Aliran tetap atau steady flow, yaitu aliran dimana kedalaman air tidak berubah menurut waktu atau dapat dianggap tetap dalam suatu interval waktu. Kecepatan aliran pada aliran tipe ini tidak berubah menurut waktu. Pada aliran tetap berlaku: 𝜕𝑕 𝜕𝑡 = 0, dan 𝜕𝑢 𝜕𝑡= 0 3.2. Aliran Seragam

Aliran seragam adalah aliran yang kedalaman aliran dan kecepatannya tidak berubah menurut tempatnya. Pada aliran seragam berlaku : 𝜕𝑕 𝜕𝑠 = 0, dan 𝜕𝑢 𝜕𝑠= 0 3. Morfologi Sungai

Saburo Komura melakukan studi terhadap fenomena yang terjadi pada aliran sungai dengan menggunakan Persamaan keseimbangan, yang diperoleh dengan menggunakan Persamaan gerak, Persamaan kontinuitas untuk angkutan

sedimen, dan Persamaan kontinuitas dan kecepatan geser untuk ailran air. Morfologi sungai adalah ilmu yang mempelajari tentang geometri (bentuk dan ukuran), jenis, sifat dan perilaku sungai dengan segala aspek dan perubahannya dalam dimensi ruang dan waktu. Dua proses penting dalam sungai adalah erosi dan pengendapan, yang dipengaruhi oleh jenis aliran air dalam sungai.

4. Sedimentasi

Sedimentasi terjadi karena adanya partikel-partikel padat yang ikut terbawa oleh aliran air. Mekanisme pengangkutan sedimen ini dikategorikan menjadi dua, yaitu Bed load dan Suspended load. Proses pergerakkan sedimen jenis Bed load bergerak pada dasar sungai dengan cara menggelinding, meluncur dan melompat-lompat. Sedangkan pada Suspended load terdiri dari butiran-butiran halus yang melayang-layang di dalam air (Sosrodarsono da Tominaga, 1984). Ottevanger (2005) mengemukakan bahwa proses terjadinya terdiri dari dua bagian, yaitu hidrodinamika dan morfologi. Hidrodinamika menjelaskan tentang aliran sungai, sedangkan morfologi menjelaskan tentang proses pengangkutan sedimen. Hubungan antara kedua bagian ini adalah arah dan besanya kecepatan aliran pada hidrodinamika menjadi input pada proses pembentukan sedimen pada morfologi. Proses terjadinya perubahan morfologi sungai adalah sebagai akibat dari dinamika aliran sungai di dalamnya.

Zou Liu (2001) mengusulkan tiga macam transportasi sedimen, yaitu wesh load, bed-load, dan suspended load. Wash load adalah partikel atau sedimen yang terbawa oleh air, akan tetapi partikel ini tidak berasal dari ataupun mengendap ke dasar aliran, sehingga perilaku atau komposisi dari jenis angkutan ini tidak dapat diprediksi. Salah satu rumus yang popular untuk menghitung banyaknya sedimen pada transpormasi sedimen adalah rumus Mayer-Pater dan Muller (Yang,1996).

Rumus Mayer-Puter&Muller (Liu, 2001):

𝑞𝑏 = 𝐶𝑚 𝑠 − 1 𝑔 0.5𝑑501.5(𝜇𝜃 − 𝜃𝑐)1.5 𝑞𝑏 ∶ Banyaknya sedimen bed load 𝑠 ∶ 𝜌𝑠

𝜌 𝜃𝑐: 0.47 , 𝐶𝑚 : 8.0, 𝜇 ∶ 1.0 𝜌𝑠 : massa jenis sedimen 𝜌 ∶ massa jenis air 𝑔 ∶ kecepatan gravitasi 𝑑50: rata2 diameter sedimen 𝜃 ∶ 𝜏𝑏

(3)

3

𝜏𝑏: 𝜌 2 0.06 log⁡(_2.5𝑑12𝑕 50) 2 𝑣2 v : kecepatan aliran sungai, h : kedalaman

Perubahan morfologi sungai diasumsikan hanya terjadi pada dasar sungai yang diakibatkan adanya proses gerusan dan pengendapan. Perubahan dasar ini dapat dihitung dengan menggunakan persamaan kekekalan massa untuk transportasi sedimen yaitu :

𝑑𝑦 𝑑𝑡 + 1 (1 − 𝑝) 𝜕𝑞𝑏 𝜕𝑥 = 0 Dengan:

𝑦 = ketinggian dasar sungai 𝑝 = porositas

𝑞𝑏 = bed load

5. Metode Volume Hingga

Banyak permasalahan di bidang mekanika fluida yang harus dianalisis dengan mengamati suatu daerah berhingga (volume hingga) dari suatu domain yang besar. Dasar dasar yang digunakan oleh metode ini untuk dapat diterapkan adalah hukum-hukum dasar fisika, yaitu hukum kekekalan massa, momentum dan hukum pertama dan kedua termodinamika (Munson, 2003). Hukum kekekalan massa untuk suatu volume kendali:

𝑑

𝑑𝑡 𝜌∀ + 𝜌𝑢𝐴 = 0 𝑓𝑎𝑐𝑒

Dengan

𝜌∀ ∶ massa ; 𝜌 ∶ massa jenis dan ∀ ∶ volume

𝜌𝑢𝐴 ∶ massa flux yang keluar 𝐴 ∶ luas permukaan

𝑢 ∶ kecepatan dan

Sedangkan untuk hukum kekekalan momentum dapat dinyatakan dengan:

𝑑

𝑑𝑡 𝜌∀𝑢 + 𝜌𝑢𝐴𝑢 = 𝐹 𝑓𝑎𝑐𝑒

Dengan momentum = massa x kecepatan = 𝜌𝑢𝐴𝑢

Force atau gaya pada aliran fluida terdiri dari dua tipe yaitu surface force, body forces. Gaya pokok yang termasuk dalam kategori surface force adalah gaya tekan hidrostatis dan viskositas, sedangkan yang termasuk body faces adalah gaya gravitasi, gaya berat, dan gaya gesek.

6. Metode Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG)

Tujuan utama dari metode meshless ini adalah menghindari penggunaan pias (mesh/grid), metode ini sangat bermanfaat pada masalah dengan boundary domain yang tidak koninu atau yang bergerak. Beberapa metode meshless yang telah dikembangkan antara lain Elemen Free Galerkin (EFG), Reproducing Kernel Particle Method (RKPM), the Partition of Unity Finite Elemen Method (PUFEM), Natural Elemen Method (NEM), Meshless Galerkin yang menggunakan Radial Basis Function (RBF), dan lain lain. Metode metode ini tidak memerlukan mesh dalam melakukan interpolasi terhadap fungsi trial dan fungsi test untuk mencari suatu penyelesaian, namun masih harus menggunakan shadow element dalam proses pengintegralannya.

Penelitian tentang metode MLPG dan penerapannya telah banyak dilakukan dan masih terus dikembangkan. Atluri dan Lin (2000) menerapkan metode MLPG untuk menyelesaikan masalah konveksi-divusi. Dari hasil penelitian yang dilakukan bahwa MLPG memberikan hasil yang sangat akurat pada kasus tersebut, bahkan untuk bilangan peelet yang sangat besar. Selanjutnya Atluri dan Lin (2001) juga telah menerapkan metode MLPG untuk menyelesaikan persamaan incompressible Navier-stokes. Kajian tentang MLPG dilakukan dengan membandingkan efisiensi dan keakuratan berbagai variasi fungsi trial dan fungsi test.

Atluri dan Shen (2002) menguraikan 3 formula global weak yaitu global unsymmetric weak formulation (GUSWFI) dan global symmetric weak formulation (GSWF) dan global unsymmetric weak formulation (GUSWFII). Ketiga formula ini termasuk dalam kategori global weak karena domain yang diselesaikan adalah keseluruhan domain dalam satu bentuk integral.

Penjelasan dari subdomain tersebut dapat dilihat dari gambar berikut:

Perbedaan lain dari local weak ini dengan global weak pada umumnya adalah pada space domain yang digunakan. Pada global weak, space dari fungsi trial dan test adalah sama, sedangkan pada local weak space dari fungsi trial dan fungsi

(4)

4

test dapat berbeda. MLS merupakan salah satu metode interpolasi yang mempunyai tingkat keakuratan yang tinggi (Atlury dan Lin, 2000).

Misalkan sebuah fungsi taksiran 𝑢𝑕_(𝑥) pada domain Ω dengan titik sebaran {𝑥𝑖}, 𝑖 = 1,2,3 … 𝑛,,

Penaksir MLS 𝑢𝑕_(𝑥)_{dari 𝑢(𝑥), ∀𝑥 ∈ Ω dapat} didefinisikan sebagai :

𝒖𝒉_{𝒙 = 𝑷}𝑻_{𝒙 𝒂 𝒙 , ∀𝒙 ∈ 𝜴} _dengan 𝑷𝑻_{(𝒙) = [ 𝒑𝟏(𝒙), 𝒑𝟐(𝒙), … , 𝒑𝒎(𝒙) ]} adalah basis monomial lengkap order m.sebagai contoh 𝑃𝑇_{(𝑥) untuk 2 dimensi, bentuk linier:}

𝑷𝑻(𝒙) = [ 𝟏, 𝒙, 𝒚 ], 𝒎 = 𝟑 dan dalam bentuk kuadrat

𝑷𝑻_{(𝒙) = [ 𝟏, 𝒙, 𝒚, 𝒙}𝟐_{, 𝒙𝒚, 𝒚}𝟐_{], 𝒎 = 𝟔} 𝑎(𝑥) adalah vector yang memuat koefisien-koefisien fungsi 𝑎𝑗 𝑥 , 𝑗 = 1,2, . . 𝑚 merupakan fungsi fungsi dari variabel x yang diperoleh dengan meminimumkan norm diskrit berbobot L2, dan didefinisikan sebagai berikut:

𝑱 𝒙 = 𝒘𝒊 𝒙 𝒏 𝒊=𝟏 𝐏𝐓_𝐱 𝐢 𝐚 𝐱 𝐮𝐢 𝟐 = 𝐩𝐚 𝐱 − û 𝐓_{٠𝐖٠ 𝐩𝐚 𝐱 − û} Dengan 𝑤𝑖 𝑥 adalah fungsi bobot dari titik I, dengan 𝑤𝑖 𝑥 > 0 untuk semua x yang berada didalam support dari 𝑤𝑖 𝑥 , n adalah banyaknya titik yang berada didalam domain Ω dimana wi 𝑥 > 0.

Matrik P dam W didefinisikan sebagai berikut: 𝑷 = 𝑷𝑻_(𝒙 𝒊) … . 𝑷𝑻 𝒙_𝒏 𝒏𝒙𝒎 𝑾 = 𝒘𝟏(𝒙) ⋯ 𝟎 ⋮ ⋱ ⋮ 𝟎 ⋯ 𝒘𝒏(𝒙) Dan 𝑢̂𝑇

= [ 𝑢̂1, 𝑢̂2, … . . 𝑢̂𝑛 ] , 𝑢̂𝑖 nilai fiktif dan bukan nilai yang sebenarnya dari fungsi uh_(x) secara umum. Dengan meminimkan 𝐽(𝑥) pada Persamaan (2.10) akan diperoleh nilai dari a(x), hubungan a(x) dan u

̂

sebagai berikut:

𝑨 𝒙 𝐚(𝐱) = 𝑩(𝒙)𝐮̂

Dengan A dan B adalah matrik yang didefinisikan sebagai berikut :

𝑨 𝒙 = 𝑷𝑻_𝑾𝑷 = 𝒘𝒊 𝒙 𝒑 𝒙𝒊 𝒑𝑻(𝒙𝒊) 𝒏 𝒊=𝟏 𝑩 𝒙 = 𝑷𝑻𝑾 = [𝒘𝟏(𝒙)𝒑(𝒙𝟏), 𝒘𝟐(𝒙)𝒑(𝒙𝟐), … . 𝒘𝒏(𝒙)𝒑(𝒙𝒏)] Dengan menyelesaikan Persamaan terhadap a(x), maka diperoleh :

uh_{(x) = P}T_{(x) A}-1_{(x) B(x) u}

_̂

= ФT(x) u

̂

,

dimana

ФT_{(x) = P}T_{(x) A}-1_{(x) B(x)}

adalah fungsi nodal dari x 𝒖𝒉(𝒙) = 𝝓𝒊 𝒙 𝒏 𝒊=𝟏 𝒖̂𝒊 𝒖𝒉_{(𝒙) ≡ 𝒖} 𝒊 ≠ 𝒖̂ , 𝒙 ∈ 𝜴

Pemilihan bobot w yang akan digunakan adalah bebas selama fungsi tersebut positif dan kontinu. Fungsi bobot yang sering digunakan adalah Fungsi bobot Gaussian yaitu:

𝑾𝒊 𝒙 = 𝐞𝐱𝐩 − 𝒅𝒊 𝒓𝒊 𝟐𝒌 −𝐞𝐱𝐩 − 𝒓𝒊 𝒄𝒊 𝟐𝒌 𝟏−𝐞𝐱𝐩 − 𝒓𝒊 𝒄𝒊 𝟐𝒌 𝟎 ≤ 𝒅 ≤ 𝒓𝒊 𝟎 , 𝒅𝒊 ≥ 𝒓𝒊 ,

dengan di= 𝑥 − 𝑥𝑖 yang merupakan jarak antara x dan xi , ci adalah konstanta, dan ri adalah ukuran dari support untuk fungsi bobot wi.

Fungsi bobot spline yuitu: 𝑾𝒊 𝒙 = 𝟏 − 𝒅𝒊 𝒓𝒊 𝟐 + 𝟖 𝒅𝒊 𝒓𝒊 𝟑 − 𝟑 𝒅𝒊 𝒓𝒊 𝟒 , 𝟎 ≤ 𝒅𝒊 ≤ 𝒓𝒊 𝟎 , 𝒅𝒊 ≥ 𝒓𝒊 Salah satu fungsi test yang dikemukakan oleh Atlury da Shen (2002) adalah fungsi heavyside. Fungsi test ini merupakan fungsi test yang paling sederhana, karena menggunakan fungsi konstan. Fungsi test heavyside dapat ditulis sebagai berikut:

𝒒(𝒙) = _{𝟎, 𝒙 ∉ 𝜴}𝒄, 𝒙 ∈ 𝜴 dengan c adalah konstan.

Untuk mendiskritisasi bentuk local weak seperti telah dibahas sebelumnya, persamaan aproksimasi MLS disubstitusikan ke persamaan bentuk local weak tersebut.

Hasil substitusi tersebut kemudian dibentuk menjadi system persamaan linear berikut :

𝑲. 𝒖 = 𝒇,

𝑲. 𝒖′+ 𝐂٠𝒖 = 𝒇,

7. Analisa dan Pembahasan

Pada bagian analisa dan pembahasan ini dilakukan beberapa simulasi, yaitu dengan memberikan kecepatan awal aliran yang berbeda-beda. Hal ini dilakukan untuk mengetahui pengaruh kecepatan terhadap kedalaman serta ketinggian sedimen pada dasar sungai. Governing equation untuk aliran sinusoidal diperoleh Persamaan sebagai berikut:

Kekekalan massa: 𝜕𝑕 𝜕𝑡+ 𝜕𝑕𝑢 𝜕𝑥 + 𝜕𝑕𝑣 𝜕𝑥 cos 𝑦 = 0

(5)

5

Kekekalan momentum: 𝜕 𝑕𝑣 𝜕𝑡 + 𝜕 𝑕𝑢𝑣 𝜕𝑥 + 𝜕 𝑕𝑣2 𝜕𝑥 cos 𝑦 = − 𝜕 𝑔𝑕 2 2 𝜕𝑥 + 𝜕 𝑔𝑕 2 2 𝜕𝑥 cos 𝑦 + 𝑔𝑕(𝑆𝑥 + 𝑆𝑦)

Governing equation untuk aliran pertemuan sunga sinusoidal adalah:

Kekekalan massa: 𝜕𝑕 𝜕𝑡+ 𝜕𝑕𝑢 𝜕𝑦 cos 𝑥 + 𝜕𝑕𝑣 𝜕𝑦 = 𝑄1+ 𝑄2 Kekekalan momentum: 𝑕𝜕 𝑕𝑣 𝜕𝑡 + 𝜕 𝑕𝑢𝑣 𝜕𝑦 cos 𝑥 + 𝜕 𝑕𝑣2 𝜕𝑦 = − 𝜕 𝑔𝑕₂2 𝜕𝑦 cos 𝑥 + 𝜕 𝑔𝑕₂2 𝜕𝑦 + 𝑔𝑆𝑥 𝑕 + 𝐿𝑖 −𝑕𝐶𝑓 𝑢2_{− 𝑣}2 2𝐴 𝐿𝑖+ 𝑉1𝑄1+ 𝑉2𝑄2

Sedangkan untuk boundary condition (Γ) diasumsikan sebagai berikut:

Rumus yang digunakan untuk menghitung perubahan dasar sungai akibat adanya transportasi sedimen dan untuk menghitung banyaknya transportasi sedimen adalah sebagai berikut:

Kekekalan massa sedimen: Aliran utama: 𝜕𝑧𝑏 𝑑𝑡 + 1 1 − 𝑝 𝜕𝑞𝑏 𝜕𝑥 1 + cos 𝑦 = 0 Pertemuan sungai: 𝜕𝑧𝑏 𝑑𝑡 + 1 1 − 𝑝 𝜕𝑞𝑏 𝜕𝑦 1 + cos 𝑥 = 0 Transportasi sedimen: 𝑞𝑏 = 𝐶𝑚 𝑠 − 1 𝑔 0.5𝑑501.5 𝜇𝜃 − 𝜃𝑐 1.5 8.1 Penerapan Metode MLPG

Governing equation disusun dalam bentuk matriks diperoleh sistem persamaan:

𝜕 𝜕𝑡 𝑕 𝑕𝑣 𝑧𝑏 + 𝜕 𝜕𝑥 𝑕𝑣. cos 𝑦 𝑕𝑣2_{. cos 𝑦 +}𝑔𝑕 2 2 + 𝑔𝑕2 2 1 + cos 𝑦 𝑞𝑏 1 − 𝑝 1 + cos 𝑦 + 𝜕 𝜕𝑦 0 0 0 = 0 𝑔𝑕𝑆𝑦 0 Dimisalkan: 𝑉 = 𝑕 𝑕𝑣 𝑧𝑏 , 𝐹 𝑉 = 𝑕𝑣. cos 𝑦 𝑕𝑣2_{. cos 𝑦 +}𝑔𝑕 2 2 + 𝑔𝑕2 2 1 + cos 𝑦 𝑞𝑏 1 − 𝑝 1 + cos 𝑦 , 𝐺 𝑉 = 0 0 0 , 𝐻 = 0 𝑔𝑕𝑆𝑦 0

Maka sistem Persamaan diatas dapat ditulis menjadi: 𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝜕𝐹 𝑉 𝜕𝑥 + 𝜕𝐺 𝑉 𝜕𝑦 = 𝐻 Sedangkan untuk Governing equation aliran pertemuan sungai dapat ditulis menjadi:

𝜕𝑉 𝜕𝑡 + 𝜕𝐹 𝑉 𝜕𝑥 + 𝜕𝐺 𝑉 𝜕𝑦 = 𝐻𝑙

Untuk menyelesaikan model sedimentasi diatas didekati dengan menggunakan pendekatan MLS sebagai berikut: 𝑉𝑕_{𝑥, 𝑦, 𝑡 = 𝜙} 𝑗 𝑥, 𝑦 𝐼𝑠𝑟 𝑗 =𝐼𝑠𝑙 𝑉 𝑗(𝑡)

Dengan 𝐼𝑠𝑙 adalah indeks terkecil dan 𝐼𝑠𝑟 adalah indeks terbesar dari titik-titik diskrit yang berada dalam sub-domain [𝑥𝑦𝑠𝑙 𝑥𝑦𝑠𝑟],

dan

𝜙𝑗 𝑥, 𝑦 = 𝑚𝑖=1𝑝𝑖 𝑥, 𝑦 (𝐴−1(𝑥, 𝑦)𝐵(𝑥, 𝑦))𝑖𝑗 Turunan terhadap waktu dari fungsi MLS ini adalah

𝑉𝑡𝑕 𝑥, 𝑦, 𝑡 = 𝜙𝑗 𝑥, 𝑦 𝐼𝑠𝑙

𝑗 =𝐼𝑠𝑙

𝑉 _𝑗′(𝑡)

Dengan mengimplementasikan MLS pada model sedimentasi yang ada, maka diperoleh Persamaan :

(6)

6

𝑉 _𝑗′ 𝑡 𝐾𝑖𝑗 𝐼𝑠𝑙 𝑗 =𝐼𝑠𝑙 + 𝑉 𝑗 𝑡 𝐶𝑖𝑗 𝐼𝑠𝑟 𝑗 =𝐼𝑠𝑙 – 𝑓𝑖 = 0, 𝑖 = 1,2,3, … 𝑛

Dalam bentuk matrik Persamaan dapat ditulis menjadi:

𝐾 𝑉 ′+ 𝐶𝑉 − 𝑓 = 0 Dengan cara yang sama untuk pertemuan sungai Persamaan dapat ditulis menjadi:

𝐾 𝑉

′

_{+ 𝐶𝑉 − 𝑓}

𝑙

= 0

8.2 Diskritisasi Persamaan Terhadap Waktu.

Persamaan didiskritisasi dengan menggunakan Deret Taylor, diperoleh:

𝐾 𝑉 (𝑡+𝛥𝑡)+ 𝛥𝑡𝐶 − 𝐾 𝑉 𝑡− 𝛥𝑡𝑓 = 0 Dengan mengumpulkan setiap komponen dalam waktu t keruas kanan, diperoleh Persamaan linier yang terdiskritisasi terhadap waktu, yaitu:

𝑉 (𝑡+𝛥𝑡)= 𝐾−1 𝐾 − 𝛥𝑡𝐶 𝑉 𝑡+ 𝛥𝑡𝑓

8.3 Stabilitas Numerik

Skema numerik untuk metode MLPG yang digunakan adalah skema eksplisit, oleh karena itu perhitungannya dengan setiap waktu tertentu (𝛥𝑡). Perhitungan ini dibuat untuk setiap waktu tertentu dengan menggunakan kriteria dibawah ini (Alcrudo dan Garcia-Navaro, 1993):

𝛥𝑡 ≤ min⁡[𝑑𝑟(𝑖, 𝑗)] 2 max⁡[( 𝑔𝑕 + 𝑢2_{+ 𝑣}2₎

𝑖,𝑗] dimana dr(i,j) adalah jarak antara stipa titik tengah dari masing-masing subdomain. Simulasi numerik untuk beberapa inputan seperti kedalaman, kecepatan, dan delta t yang diberikan harus memenuhi kriteria kestabilan diatas.

8.4 Simulasi

Kondisi awal yang diberikan terhadap keadaan kedalaman adalah sama pada semua posisi, h(y,0) = h’, dimana h’ adalah adalah sebuah konstanta.

Demikian juga untuk keadaan kecepatan dan ketinggian awal, v(y,0) = v’ dan zb(y,0) = zb’ adalah sebuah konstanta. Berikut ini disajikan beberapa hasil output program dengan menggunakan beberapa inputan sebagai berikut:

8.4.1 Aliran Lurus

Simulasi I Aliran Sinusoidal

Kedalaman awal h, h = 0.6 Kecepatan awal v, v = 0.3 Ketinggian awal sedimen zb, zb = 0.1

Waktu T, T = 5

Gambar 8.4.1.1 Plot kedalaman sungai untuk simulasi I

Dari Gambar 8.4.1.1 terlihat bahwa kedalaman h mengalami perubahan. Pada semua posisi (y), setelah waktu T terjadi perubahan kedalaman yaitu turun sekitar 0.0045.

Gambar 8.4.1.2 Plot kecepatan aliran sungai untuk simulasi I

Dari Gambar 8.4.1.2 terlihat bahwa kecepatan v mengalami perubahan. Pada semua posisi (y), setelah waktu T terjadi perubahan kecepatan yaitu turun sekitar 0.02.

Gambar 8.4.1.3 Plot ketinggian sedimen untuk simulasi I

Dari Gambar 8.4.1.3 terlihat bahwa ketinggian sedimen pada dasar sungai mengalami perubahan, kecuali pada posisi (y)=5,(y)=6 dan setelah waktu T tidak terjadi perubahan ketinggian sedimen.

Simulasi II Aliran Sinusoidal

Kedalaman awal h, h = 0.6 Kecepatan awal v, v = 0.9 Ketinggian awal sedimen zb, zb = 0.1

(7)

7

Waktu T, T = 5

Gambar 8.4.1.4 Plot kedalaman sungai untuk simulasi II

Dari Gambar 8.4.1.4 terlihat bahwa kedalaman h mengalami perubahan. Pada semua posisi (y), setelah waktu T terjadi perubahan kedalaman yaitu turun sekitar 0.014.

Gambar 8.4.1.5 Plot kecepatan aliran sungai untuk simulasi II

Dari Gambar 8.4.1.5 terlihat bahwa kecepatan v mengalami perubahan. Pada semua posisi (y), setelah waktu T terjadi perubahan kecepatan yaitu turun sekitar 0.06.

Gambar 8.4.1.6 Plot ketinggian sedimen untuk simulasi II

Dari Gambar 8.4.1.6 terlihat bahwa ketinggian sedimen pada dasar sungai mengalami perubahan, kecuali pada posisi (y)=5,(y)=6 dan setelah waktu T tidak terjadi perubahan ketinggian sedimen.

Dari simulasi I dan simulasi II terlihat bahwa perubahan kecepatan awal sungai mempunyai pengaruh yang signifikan pada ketinggian sedimen

.

Simulasi III Pertemuan Sungai Sinusoidal

Kedalaman awal h, h = 0.8 Kecepatan v, v = 0.1 Ketinggian awal sedimen zb, zb = 0.2

Waktu T, T = 5

Kecepatan sungai 1, v1 = 0.05 Kecepatan sungai 2, v2 = 0.05

Gambar 8.4.1.7 Plot kedalaman pertemuan sungai untuk simulasi III

Dari Gambar 8.4.1.7 terlihat bahwa kedalaman h mengalami perubahan. Pada semua posisi (x), setelah waktu T terjadi perubahan kedalaman yaitu turun sekitar 0.005.

Gambar 8.4.1.8 Plot kecepatan pertemuan sungai untuk simulasi III

Dari Gambar 8.4.1.8 terlihat bahwa kecepatan v mengalami perubahan. Pada semua posisi (x), setelah waktu T terjadi perubahan kecepatan yaitu turun sekitar 0.09.

(8)

8

Gambar 8.4.1.9 Plot ketinggian sedimen untuk simulasi III

Dari Gambar 8.4.1.9 terlihat bahwa ketinggian sedimen pada dasar sungai mengalami perubahan. Pada semua posisi (x), setelah waktu T terjadi perubahan ketinggian sedimen yaitu naik sekitar 0.005.

Simulasi IV Pertemuan Sungai Sinusoidal

Kedalaman awal h, h = 0.8 Kecepatan v, v = 0.1 Ketinggian awal sedimen zb, zb = 0.2

Waktu T, T = 5

Kecepatan sungai 1, v1 = 0.2 Kecepatan sungai 2, v2 = 0.1

Gambar 8.4.1.10 Plot kedalaman pertemuan sungai untuk simulasi IV

Dari Gambar 8.4.1.10 terlihat bahwa kedalaman h mengalami perubahan. Pada semua posisi (x), setelah waktu T terjadi perubahan kedalaman yaitu turun sekitar 0.005.

Gambar 8.4.1.11 Plot kecepatan pertemuan sungai untuk simulasi IV

Dari Gambar 8.4.1.11 terlihat bahwa kecepatan v mengalami perubahan. Pada semua posisi (x), setelah waktu T terjadi perubahan kecepatan yaitu turun sekitar 0.08.

Gambar 8.4.1.12 Plot ketinggian sedimen untuk simulasi IV

Dari Gambar 8.4.1.12 terlihat bahwa ketinggian sedimen pada dasar sungai mengalami perubahan. Pada semua posisi (x), setelah waktu T terjadi perubahan ketinggian sedimen yaitu naik sekitar 0.005.

Dari Simulasi III dan Simulasi IV, terlihat bahwa perubahan kecepatan pada sungai 1 dan 2 tidak memberikan pengaruh pada ketinggian sedimen, namun memberikan pengaruh pada kecepatan awal sungai.

Visualisasi visualisasi I

kecepatan sungai I, v1 = 0.05 kecepatan sungai II, v2 = 0.05 kecepatan sungai III, v3 = 0.1

Gambar 8.4.1.13 Kontur kecepatan

(9)

9

Pada visualisasi I: saat kecepatan sungai I dan II diberi kecepatan yang sama, maka terlihat terjadi kenaikan kecepatan pada titik awal pertemuan.

Visualisasi II

kecepatan sungai I, v1 = 0.2 kecepatan sungai II, v2 = 0.1 kecepatan sungai III, v3 = 0.1

Gambar 8.4.1.15 Kontur kecepatan

Gambar 8.4.1.16 Vektor kecepatan

Pada visualisasi II: saat kecepatan sungai I diberi kecepatan lebih besar dari sungai II yaitu v1=0.2 dan v2=0.1, maka terlihat kecepatan pada pertemuan sungai didominasi oleh kecepatan dari v1.

8. Kesimpulan dan Saran

Pada bab ini akan diberikan kesimpulan dari analisis dan pembahasan yang telah dilakukan.

9.1 Kesimpulan

Dari analisis dan pembahasan yang telah dilakukan diperoleh kesimpulan bahwa :

1. Untuk aliran sinusoidal pada simulasi I terjadi penurunan kedalaman ±0.0045, dan penurunan kecepatan ±0.02, pada kecepatan awal v=0.2. Pada simulasi II ketika kecepatan awal v diperbesar menjadi v=0.9, ketinggian sedimen semakin turun ±0.0021. Besarnya kecepatan awal dan kedalaman mempengaruhi ketinggian sedimen pada dasar sungai.

2. Untuk pertemuan sungai pada simulasi III dan IV, adanya

perubahan kecepatan pada

sungai satu dan dua tidak memberikan

pengaruh yang signifikan pada ketinggian

sedimen, namun memberikan pengaruh

pada kecepatan awal sungai.

3. Pola distribusi sedimen di sepanjang aliran dipengaruhi oleh bentuk morfologinya. Pada aliran sungai sinusoidal mengalami perbedaan perubahan disetiap posisi titik, baik perubahan kedalaman, kecepatan, serta perubahan ketinggian sedimen setelah selang waktu tertentu.

9.2 Saran

Adapun saran dari Tugas Akhir ini adalah 1. Pada Tugas Akhir ini aliran sungai

diasumsikan seragam, akan lebih baik apabila model yang dibangun dengan mengasumsikan aliran tak seragam agar mendekati sesuai dengan kondisi aliran sungai yang sebenarnya.

2. Penelitian ini kondisi awal dari ketinggian sedimen diasumsikan sama disetiap titik ujinya. Untuk penelitian lebih lanjut dapat dkembangkan untuk ketinggian awal sedimen berbeda disetiap titik ujinya.

3.

Dikembangkan penelitian untuk jenis

sedimen wash load dan suspended load. 4. Dikembangkan penelitian sedimentasi untuk

morfologi sungai yang lebih kompleks.

9. Daftar Pustaka

Alcrudo, F. and Garcia-Navarro, P. (1993) “A

high resolution Godunov-type scheme in finite volumes for the 2D shallow water equations”, Inter. J. Numerical Methods

Fluids, Vol. 16, pp.489-505

Apsley, D. (2005). “Computational Fluid

Dynamic”. Springer, New York.

Atlury dan Lin. (2000). ”The Meshless

Local Petrov-Galerkin (MLPG) Method

for Solving Incompressible

Navier-Stokes

Equation”.

MnES

vol.1.no.2,pp.42-60.

Atlury dan Lin. (2000). “Meshless Local

Petrov-Galerkin (MLPG)Method for Convection-Diffusion Problems”. CMES,

vol.1, no.2, pp.45-60, 2000.

Altury dan Shen. (2001). ”The Meshless

Lokal Petrov-Galerkin Method for

solving incompressible Navier-stoke

equation”. CMES

vol.2.no.1,pp.117-142.

Altury dan Shen. (2002). ”The Meshless

Lokal Petrov-Galerkin Method”. CMES

vol.3.no.1,pp.11-51.

(10)

10 Liu, Z. (2001). ”Sedimen Transport”.

Laboratoriet

for

hydrolic

og

Havnebygning Instituet for Van manual.

Komura S dan Shen HW. ”Alternate Scours

In Straight Alluvial Channels”.

Kagamigahara, Gifu, Japan.

Munson. (2003). ”Mekanika Fluida”,

Jakarta : Erlangga

Ottevanger, W. (2005). ”Diacontinues Finite

Elemen Modeling of River Hydroolics

and Morphology With Application”.

Univercity of Twente.

Pudjisuryadi, Pamuda. (2002). “Introductio to

Meshless Lcal Petrov-Galerkin Method”.

Lecturer, Department of Civil Engineering, Faculty of Civil Engineering and Planning Petra Christian University, Surabaya

PROFIL KONTUR SEDIMENTASI DI PERTEMUAN DUA SUNGAI MODEL SINUSOIDAL

1