Ì Analisis Tanggapan Frekuensi Ì Penggambaran Bode Plot Ì Polar Plot Nyquist Plot Ì Log Magnitude vs Phase Plot Nichols Plot

65  56  Download (0)

Teks penuh

(1)

TANGGAPAN FREKUENSI

Ì

Analisis Tanggapan Frekuensi

Ì

Penggambaran Bode Plot

Ì

Polar Plot / Nyquist Plot

Ì

Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols

Plot

Ì

Kriteria Kestabilan Nyquist

Ì

Beberapa Contoh Analisis Kestabilan

Ì

Pembahasan Lanjut (Optional)

(2)

ANALISIS TANGGAPAN FREKUENSI

Tanggapan frekuensi = tanggapan keadaan mantap suatu

sistem terhadap input sinusoida.

Metoda konvensional dilakukan dengan mengubah

frekuensi input dalam cakupan yang diinginkan dan

mengamati tanggapannya.

Ada Beberapa Teknik Analisis :

1.

Polar Plot / Nyquist :

Dapat diketahui kestabilan mutlak dan relatif sistem

loop tertutup dari karakteristik tanggapan frekuensi

loop terbukanya.

Kurva Nyquist menggambarkan karakteristik tanggapan

frekuensi untuk seluruh cakupan frekuensi.

2.

Digram Bode:

Kompensasi unjuk kerja sistem lebih mudah melalui

diagram Bode.

Penentuan fungsi alih secara eksperimen dapat

dilakukan lebih mudah.

3.

Log Magnitude Vs Phase Plot / Bagan Nichols:

Kenaikan /penurunan konstanta penguat G(j

z

) hanya

menggeser kurva keatas / kebawah, tanpa mengubah

bentuknya.

(3)

-

Tanggapan Frekuensi vs Tanggapan Waktu

Kestabilan tak perlu ditentukan dengan terlebih dulu

mencari akar-akar persamaan karakteristik.

Pengujian tanggapan frekuensi umumnya mudah dan

dapat dibuat akurat dengan tersedianya generator sinus

dan peralatan pengukuran yang diteliti.

Fungsi alih komponen-komponen yang rumit dapat

ditentukan secara eksperimen melalui pengujian

tanggapan frekuensi.

Metoda tanggapan frekuensi dapat diterapkan pada

sistem-sistem yang telah memiliki fungsi-fungsi

rasional, seperti fungsi dengan transport lags.

Plant yang tak dapat dikarakterisasi dengan tepat

dapat ditangani melalui metoda tanggapan frekuensi.

Suatu sistem dapat dirancang melalui pendekatan

tanggapan frekuensi sehingga derau yang tak

diinginkan dapat dihilangkan.

Analisis tanggapan frekuensi dapat dikembangkan

pada sistem kendali non linear tertentu.

(4)

-

Tanggapan terhadap Input Sinus

Karakteristik tanggapan frekuensi suatu sistem dapat

diperoleh langsung dari fungsi alih sinusoidanya :

( )

( )

(

G s

G j

ω

)

Pandang sistem linear invarian waktu sebagai berikut :

Output :

( )

( ) ( )

( )

( )

2

ω

2

Bila Y(s) hanya mengandung pole-pole berbeda, maka

( )

Untuk sistem stabil, pada t = ~, diperoleh

( )

j t j t

ss

t

a

e

a

e

y

=

ω

+

* ω

(hal yang sama diperoleh meskipun ada pole-pole yang

sama) dengan :

(5)

Bentuk kompleks dapat dinyatakan sebagai berikut :

ω

= frekuensi yang cakupannya ditentukan dan frekuensi

kerjanya.

Untuk

G

(

j

)

G

(

j

)

e j

G j

( )

e

j

ω

=

ω

φ

=

ω

φ

Sehingga :

(6)

Kesimpulan :

1.

Bila sistem stabil linear invarian waktu diberi input sinus,

maka akar memiliki output sinus dengan frekuensi sama

dengan inputnya, meskipun amplitudo dan phasanya mungkin

berbeda.

2.

Fungsi alih sinus sistem dapat diperoleh melalui

( ) ( )

( )

G j

y j

x j

ω

ω

ω

=

sedang fasa alih G(s) dapat diperoleh dengan mengganti j

ω

menjadi s pada G(j

ω

).

( )

( )

( )

G j

y j

x j

ω

ω

ω

=

: magnitude fungsi alih

merupakan perbandingan amplitudo output sinus terhadap input

sinus.

( )

( )

( )

G j

= ∠

y j

x j

ω

ω

ω

; sudut phasa fungsi alih merupakan pergeseran

(7)

Tanggapan Frekuensi dari Plot Pole-Zero

Anggap :

( )

(

)

dengan tanggapan frekuensi

( )

(

(

)

)

Magnitude :

(8)

Untuk sistem dengan akar kompleks sekawan p

1

dan p

2

:

Untuk pole-pole kompleks sekawan yang dekat dengan sumbu

maya :

( )

G j

ω

=

besar sekali

Dihasilkan tanggapan frekuensi dengan simpangan amplitudo

besar sekali.

(9)

PENGGAMBARAN BODE PLOT

Diagram Bode terdiri dari

1.

Kurva magnitude fungsi alih sinus 20 log

G j

( )

ω

terhadap frekuensi dengan skala logaritmis

2.

Kurva sudut fasa fungsi alih sinus

G j

( )

ω

terhadap

frekuensi dengan skala logaritmis.

Keuntungan menggunakan kurva logaritma :

Perkalian magnitude dikonversi menjadi penjumlahan

Sketsa pendekatan kurva log magnitude dapat

dilakukan dengan mudah melalui penjumlahan

asimtot-asimtot fungsi-fungsi (sederhana) penyusunannya.

Penentuan fungsi alih secara ekperimen dapat

dilakukan lebih mudah bila data tanggapan frekuensi

tersedia seperti pada Diagram Bode.

(10)

frekuensi rendah yang merupakan hal penting dalam

sistem-sistem sebenarnya.

Bentuk-Bentuk Dasar Fungsi

G j

( ) ( )

ω

H j

ω

1.

Penguatan k

2.

Faktor-faktor Integral dan turunan

( )

j

ω

+

1

3.

Faktor-faktor orde-1

(

1

+

j T

ω

)

+

1

4.

Faktor-faktor kuadratis

1 2

2

1

+ 

 +





+

ζ

j

ω

ω

ω

ω

n

(11)

Penguatan k

( ) ( )

G j

ω

H j

ω

=

k

Magnitude

G j

( ) ( )

ω

H j

ω

=

20log

k db

Sudut fasa

G j

( )

ω

=

0

0,1

1

10

100

ω

20 log

db

0,1

1

10

100

ω

0

(12)

Faktor-faktor Integral dan Turunan

(13)

ƒ

Faktor-faktor orde-1 :

1

log

log

(14)

Galat Magnitude Akibat Pendekatan dengan Asimtot

Pada

ω

=

1

T

galat =

20

log

1 1

+ +

20

log

1

= −

3 03

,

db

Pada

ω

=

1

2

T

(1 octave dibawah frekuensi sudut)

galat =

20

1

+ +

= −

4

1

20

1

0 97

log

log

,

db

Pada

ω

=

2

(15)

Untuk

G j

( ) ( )

ω

H j

ω

= +

1

j T

ω

dengan mengingat faktor reciprocal :

20

20

1

1

log

+

= −

log

+

j T

j T

ω

ω

dan

∠ +

=

= −∠

+

1

1

1

1

j T

T

j T

ω

ω

ω

tan

Maka kurva Bodenya dapat diperoleh dengan mencerminkan

kurva

1

(16)

••

Faktor-Faktor Kuadratik

Bila

ζ

1 ,

maka faktor orde-2 tersebut dapat dipecah

menjadi 2 faktor orde-1.

Untuk

0

〈 〈

ζ

1

:

Magnitude :

20

1

log

log

+

Sudut fasa :

φ

db

(asimtot 2)

Sudut fasa :

φ

~

180

o

Pada frekuensi sudut

ω

=

ω

n

:

(17)

Sudut fasa :

θ

= −

tan

− 

1 2



ζ

 = −

0

90

(18)

Untuk

G j

( ) ( )

H j

j

n

j

n

ω

ω

ζ

ω

ω

ω

ω

= +

 +

1

2

2

,

(19)

Frekuensi Resonansi

ω

r

dan Simpangan Puncak

Resonansi M

r

Perhatikan lagi :

( )

Nilai maksimum terjadi bila :

( )

Sehingga : frekuensi resonansi

(

)

(20)

Bandingkan dengan frekuensi natural teredam pada respons

transient :

(21)

Simpangan Puncak Resonansi :

Sudut Fasa pada Frekuensi Resonansi :

(22)

Tahapan Membuat Diagram Bode

1.

Ubah fungsi alih sinus

G j

( ) ( )

ω

H j

ω

menjadi perkalian

faktor-faktor dasar yang telah dibahas sebelumnya.

2.

Tentukan frekuensi-frekuensi sudut setiap faktor-faktor dasar

yang bersangkutan.

3.

Gambar kurva-kurva asimtot masing-masing faktor dasar

dengan memperhatikan kemiringan kurva (0,

±

20 db,

±

40 db,

dst) dibawah dan diatas frekuensi sudut.

4.

Jumlahkan kurva-kurva asimtot pada butir 3 untuk setiap

sedang frekuensi sudut.

5.

Kurva sebenarnya yang terletak dekat dengan kurva asimtot

pada butir 4 dapat diperoleh dengan melakukan

koreksi-koreksi (terutama pada frekuensi-frekuensi sudut).

6.

Kurva sudut fasa

G j

( ) ( )

ω

H j

ω

dapat digambarkan dengan

menjumlahkan kurva-kurva sudut fasa masing-masing faktor

(23)

Contoh:

(24)
(25)

Sistem Phasa Minimum :

Sistem dengan fungsi alih yang tak memiliki pole ataupun

zero pada daerah tak stabil bidang-s.

Sistem Phasa Non Minimum :

(26)

Hubungan antara Tipe Sistem dan Kurva

Magnitude

Tipe sistem menentukan kemiringan kurva Magnitude pada

frekuensi rendah.

Tipe-0

kemiringan 0 db/dec

Tipe-1

kemiringan -20 db/dec

Tipe-2

kemiringan -40 db/dec

Penentuan Konstanta Galat Stabil melalui kurva

Magnitude

1)

k p s

= →

lim

0

G s H s

( ) ( )

Dalam domain frekuensi :

( ) ( )

k p

= →

ω

lim

0

G j

ω

H j

ω

Terlihat bahwa untuk

ω

0

:

( ) ( )

(27)

2)

kv s

= →

lim

0

sG s H s

( ) ( )

Dalam domain frekuensi :

( ) ( )

G j

H j

kv

j

ω

ω

ω

=

untuk

ω

〈〈

1

Sehingga

20

1

20

log

kv

log

j

ω

kv

ω

=

=

atau :

20

( ) ( )

1

20

log

G j

ω

H j

ω

ω

= =

log

kv

Alternatif lain :

Perpotongan kurva -20 db/dec pada sumbu frekuensi terjadi

(28)

3)

ka

( ) ( )

Dalam domain frekuensi :

( ) ( )

sehingga :

( )

(29)

Perpotongan kurva -40 db/dec pada sumbu frekuensi terjadi pada

0 db, sehingga :

( )

20

2

0

log

ka

,

j a

ω

=

(30)

n

POLAR PLOT / NYQUIST PLOT

Kurva magnitude G(j

ω

) terhadap sudut fasa G(j

ω

) pada

koordinat polar dengan

ω

dinaikkan dari 0 sampai ~

Untuk sistem yang dihubungkan seri sebagai berikut :

Maka kurva Nyquist

G j

( )

ω

=

G

1

( ) ( )

j

ω

G

2

j

ω

diperoleh dengan

melakukan perkalian vektor.

Bandingkan dengan Diagram Bode

Kurva Nyquist menggambarkan karakteristik tanggapan

frekuensi untuk seluruh cakupan frekuensi.

Kurva Nyquist tak menunjukkan secara jelas kontribusi

setiap faktor fungsi alih loop terbuka.

( )

(31)

PENGGAMBARAN POLAR PLOT

1.

Faktor-faktor Integral dan turunan

(32)

2.

Faktor-Faktor Orde-1

(33)

Bukti :

Pers lingkaran :

(34)
(35)
(36)
(37)
(38)

Untuk

( )

1

2

;

0

2





+





+

=

ζ

ω

ω

ω

ω

ζ

ω

n n

j

j

(39)
(40)
(41)

Bentuk Umum Polar Plot

Untuk sistem tipe-0

(

λλ

=0) :

Kurva berawal (

ω

=0), dan sumbu nyata positif dengan

magnitude berhingga dan sudut fasa = -90

o

pada titik tersebut

kurva berakhir (

ω

=~).

Pada salah satu sumbu (tergantung pada (n-m)

Untuk sistem tipe-1

(

λλ

=1) :

Pada

ω

=0, kurva asimtotis terhadap sumbu maya negatif,

akibat kontribusi suku j

ω

pada penyebut. Kurva berakhir pada

titik asal dan bersudut pada salah satu sumbu.

Untuk sistem tipe-2

(

λλ

=2) :

(42)
(43)
(44)

Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols Plot

Merupakan kurva log magnitude vs sudut fasa atau phase

margin untuk cakupan frekuensi kerja.

Kenaikan konstanta penguatan G(j

ω

) hanya menggeser

kurva keatas/kebawah, tanpa mengubah bentuknya.

Kestabilan relatif sistem loop tertutup dapat dengan mudah

ditentukan, sehingga kompensasi dapat mudah dilakukan.

Kurva G(j

ω

) simetris terhadap titik asal dengan

1

G j

(

ω

)

mengingat

20

log

1

20

( )

(

log

G j

ω

G j

ω

 = −

( )

( )

1

= −∠

(45)
(46)

KRITERIA KESTABILAN NYQUIST

( )

( )

( ) ( )

( )

C s

R s

G s

G s H s

=

+

1

Sistem stabil bila akar-akar persamaan karakteristik

( ) ( )

1

+

G s H s

=

0

terletak disebelah kiri bidang-s.

Sistem tetap stabil bila kondisi diatas dipenuhi meskipun

pole-pole/zero-zero fungsi alih loop terbuka ada yang terletak

disebelah kanan bid-s.

Kriteria Nyquist menghubungkan tanggapan frekuensi loop

terbuka

G j

( ) ( )

ω

H j

ω

terhadap jumlah pole dan zero loop tertutup

( ) ( )

1

+

G s H s

yang terletak di daerah tak stabil pada bid-s.

Kestabilan dapat ditentukan dari kurva tanggapan frekuensi

loop terbuka (diperoleh secara analisis eksperimen) tanpa

perlu menentukan letak pole-pole loop tertutup.

(47)
(48)

Beberapa Catatan Penting dari Pemetaan

1.

Bila ada n pole dikelilingi oleh kurva tertutup bidang-s,

maka titik asal akan dikelilingi n kali berlawanan arah

jarum jam pada di bidang F(s).

2.

Bila ada pole dan zero dengan jumlah sama pada kurva

tertutup di bidang -s, maka kurva tertutup di bidang F(s)

tak mengelilingi titik asal.

3.

Bila ada zero yang dilingkupi oleh kurva tertutup

di-bidang-s, maka kurva tertutup pada bidang F(s) nya akan

mengelilingi titik asal searah jarum jam sebanyak jumlah

zero tersebut.

4.

Bila kurva tertutup di bidang-s tak mencakup pole atau

zero, maka kurva pemetaannya di bidang F(s) tak

mengelilingi titik asal pula.

(49)

Teori Pemetaan :

Anggap

F s

p s

q s

( )

( )

( )

=

Bila :P = jumlah pole F(s) yang terletak di dalam beberapa

lintasan tertutup dibidang-s.

Z = jumlah zero F(s) yang terletak di dalam beberapa

lintasan tertutup di bidang-s. (lintasan tersebut tidak

melalui pole-pole / zero-zero tersebut).

Lintasan-lintasan tersebut dipetakan pada bidang F(s).

Maka :

Total jumlah N lintasan tertutup di bidang-s yang

(50)

Aplikasi Teori Pemetaan pada Analisis Kestabilan

Lintasan tertutup pada bid-s mencakup semua bidang sebelah

kanan (lintasan Nyquist).

Semua pole dan zero 1 + G(s) H(s) yang memiliki bagian

nyata positip tercakup pada lintasan Nyquist.

(51)

Pemetaan Loop Tertutup ke Loop Terbuka

(52)

Kriteria Kestabilan Nyquist

[Untuk kasus G(s)H(s) tak memiliki pole/zero pada sumbu maya

j

ω

].

Bila fungsi alih loop terbuka G(s)H(s) memiliki k pole di

sebelah kanan bidang-s dan

s

lim

~

G(s)H(s) = konstan, maka

sistem stabil bila kurva G(j

ω

)H(j

ω

) mengelilingi titik -1 + j0

sebanyak k kali berlawanan searah jarum jam.

Lintasan Nyquist tak boleh melalui pole/zero 1+G(s)H(s).

(53)

Banyaknya akar F(s)=1+G(s)H(s) yang terletak di daerah tak

stabil sama dengan banyaknya pole G(s)H(s) di daerah tak

stabil ditambah dengan berapa kali kurva F(s) mengelilingi

titik asal searah jarum jam Z = N + P.

Z = N + P

Z = banyaknya akar 1+G(s)H(s) disebelah kanan bidang-s

N = Berapa kali titik -1+j0 dikelilingi searah jarum jam.

P = banyaknya pole loop terbuka G(s)H(s) disebelah kanan

bidang-s.

Sistem stabil bila Z = 0 :

1)

P = 0 dan N = 0

2)

Bila P

0, maka N = -P

Sistem multi loop harus dianalisis kestabilannya secara

hati-hati. Lebih mudah gunakan kriteria Routh.

Bila ada fungsi transendental (misal e

-Ts

) pada G(s)H(s),

dekati fungsi tersebut dengan 2 suku pertama deret .

Ts

selanjutnya gunakan kriteria Routh.

(54)

Kasus Khusus Bila Ada Pole/Zero G(s)H(s)

pada Sumbu j

ω

ω

Ambil

G s H s

( ) ( )

(

k

)

s s

=

+

1

Pemetaan

s

=

ε θ

e j

;

ε

0

dengan

θ

;

90

o

sampai

+

90

o

, maka

( ) ( )

G e j

H e j

k

e

j

k

e j

ε θ

ε θ

ε θ

ε

θ

=

=

(setengah lingkaran dengan jari-jari ~ dan bermula dari

+90

0

hingga -90

0

)

0

0

;

0

=

=

=

P

Z

(55)

Ambil

G s H s

( ) ( )

(

)

k

s

Ts

=

+

2

1

Pemetaan

s

=

ε

e

;

t

0

;

θ

:

90

o

sampai

+

90

o

,

diperoleh :

( ) ( )

s

te

j

G s H s

k

e

j

=

θ

ε

θ

lim

2

2

(lingkaran dengan jari-jari ~ dan berawal dari 180

o

hingga

-180

o

).

(56)

BEBERAPA CONTOH ANALISIS KESTABILAN

(57)
(58)
(59)
(60)
(61)

Pembahasan Lanjut (Optional):

1.

Invers Polar untuk Memudahkan Analisis Kestabilan

Nyquist pada Sistem Multiple Loop.

(62)

Analisis Kestabilan Relatif/Transient

Sistem harus stabil dan tanggapan transientnya memadai.

Kurva Nyquist dapat menunjukkan keduanya dan

bagaimana kestabilan diperbaiki bila diperlukan.

Asumsi pada analisis.

1.

Sistem Balikan Satuan

2.

Sistem fasa minimum (tak memiliki pole loop terbuka

didaerah tak stabil bidang-s)

Analisis melalui

1)

Pemetaan Konformal (optional)

(63)

Phase Margin dan Gain Margin

Untuk k besar, sistem tak stabil.

Untuk k lebih kecil, kurva G(j

ω

) melewati titik -1+j0,

sistem berosilasi (batas kestabilan).

Untuk k kecil, sistem menjadi stabil.

Makin dekat kurva G(j

ω

) mengelilingi titik -1+j0,

tanggapan sistem makin berosilasi.

Kedekatan kurva G(j

ω

) ketitik -1+j0 merupakan ukuran

batas kestabilan : phase margin dan gain margin.

Phase margin :

jumlah phase lag tambahan pada frekuensi

gain crossover

( )

ω

gco

yang diperlukan untuk membuat sistem

tak stabil.

ω

gco

: frekuensi pada saat

G j

( )

ω

=

1

φ

(64)
(65)

Gain margin :

kestabilan magnitude

G j

( )

ω

pada frekuensi

phase crossover

ω

pco

ω

pco

: frekuensi pada saat

G j

( )

ω

= −

180

o

(

)

kg

G j pco

1

ω

Bila

kg

1

: gain margin positip

Untuk sistem phase minimum : gain margin positip (negatip)

menunjukkan berapa besar penguatan masih dapat dinaikkan

(diturunkan) sebelum sistem menjadi tak stabil (stabil)

Sistem phase minimum stabil bila gain margin dan phase

margin positip.

Untuk sistem stabil kondisional : ada 2 atau lebih frekuensi

phase crossover.

Untuk sistem orde tinggi mungkin memiliki 2 atau lebih

frekuensi gain crossover : phase margin dihitung pada

frekuensi gain crossover tertinggi.

Tanggapan transient “optimum” bila :

phase margin 30

0

sampai 60

0

gain margin > 6 db

Untuk sitem phase minimum, phase margin 30

0

-60

0

berarti

kemiringan kurva Bode

G j

( )

ω

pada

ω

gco

harus lebih landai dari

-40db/dec. (yaitu -20db/dec) agar stabil.

Figur

Memperbarui...

Referensi

Pindai kode QR dengan aplikasi 1PDF
untuk diunduh sekarang

Instal aplikasi 1PDF di