TANGGAPAN FREKUENSI
Ì
Analisis Tanggapan Frekuensi
Ì
Penggambaran Bode Plot
Ì
Polar Plot / Nyquist Plot
Ì
Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols
Plot
Ì
Kriteria Kestabilan Nyquist
Ì
Beberapa Contoh Analisis Kestabilan
Ì
Pembahasan Lanjut (Optional)
♦
ANALISIS TANGGAPAN FREKUENSI
−
Tanggapan frekuensi = tanggapan keadaan mantap suatu
sistem terhadap input sinusoida.
−
Metoda konvensional dilakukan dengan mengubah
frekuensi input dalam cakupan yang diinginkan dan
mengamati tanggapannya.
Ada Beberapa Teknik Analisis :
1.
Polar Plot / Nyquist :
•
Dapat diketahui kestabilan mutlak dan relatif sistem
loop tertutup dari karakteristik tanggapan frekuensi
loop terbukanya.
•
Kurva Nyquist menggambarkan karakteristik tanggapan
frekuensi untuk seluruh cakupan frekuensi.
2.
Digram Bode:
•
Kompensasi unjuk kerja sistem lebih mudah melalui
diagram Bode.
•
Penentuan fungsi alih secara eksperimen dapat
dilakukan lebih mudah.
3.
Log Magnitude Vs Phase Plot / Bagan Nichols:
•
Kenaikan /penurunan konstanta penguat G(j
z
) hanya
menggeser kurva keatas / kebawah, tanpa mengubah
bentuknya.
-
Tanggapan Frekuensi vs Tanggapan Waktu
•
Kestabilan tak perlu ditentukan dengan terlebih dulu
mencari akar-akar persamaan karakteristik.
•
Pengujian tanggapan frekuensi umumnya mudah dan
dapat dibuat akurat dengan tersedianya generator sinus
dan peralatan pengukuran yang diteliti.
•
Fungsi alih komponen-komponen yang rumit dapat
ditentukan secara eksperimen melalui pengujian
tanggapan frekuensi.
•
Metoda tanggapan frekuensi dapat diterapkan pada
sistem-sistem yang telah memiliki fungsi-fungsi
rasional, seperti fungsi dengan transport lags.
•
Plant yang tak dapat dikarakterisasi dengan tepat
dapat ditangani melalui metoda tanggapan frekuensi.
•
Suatu sistem dapat dirancang melalui pendekatan
tanggapan frekuensi sehingga derau yang tak
diinginkan dapat dihilangkan.
•
Analisis tanggapan frekuensi dapat dikembangkan
pada sistem kendali non linear tertentu.
-
Tanggapan terhadap Input Sinus
•
Karakteristik tanggapan frekuensi suatu sistem dapat
diperoleh langsung dari fungsi alih sinusoidanya :
( )
( )
(
G s
→
G j
ω
)
•
Pandang sistem linear invarian waktu sebagai berikut :
Output :
( )
( ) ( )
( )
( )
2ω
2ω
+
=
=
s
x
s
q
s
p
s
x
s
G
s
Y
L
Bila Y(s) hanya mengandung pole-pole berbeda, maka
( )
n ns
s
b
s
s
b
s
s
b
j
s
a
j
s
a
s
Y
+
+
+
+
+
+
+
−
+
+
=
L
2 2 1 1 *ω
ω
atau
( )
y t
=
a e
−
j t
ω
+
a e
*
j t
ω
+
b e
1
−
s t
1
+
b e
2
−
s t
2
+ +
L
bne
−
snt t
≥
0
Untuk sistem stabil, pada t = ~, diperoleh
( )
j t j tss
t
a
e
a
e
y
=
− ω+
* ω(hal yang sama diperoleh meskipun ada pole-pole yang
sama) dengan :
( )
(
)
(
)
( )
j
j
xG
a
j
j
xG
j
s
j
s
s
x
s
G
a
2
2
* 2 2ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
−
−
=
−
=
+
+
=
( )
( )
( )
(
)(
( )
) (
)
G s
p s
q s
p s
s
s
s
s
s
sn
=
=
Bentuk kompleks dapat dinyatakan sebagai berikut :
( )
( )
( )
G j
ω
=
G j
ω
e j
φ
=
G j
ω
∠
φ
( )
G j
ω
= magnitude G(j
ω
)
( )
φ
= ∠
G j
ω
=
pergeseran fasa antara input sinus dengan
output sinus =
tan
−
[
[
( )
( )
]
]
1
Im G j
Re G j
ω
ω
ω
= frekuensi yang cakupannya ditentukan dan frekuensi
kerjanya.
Untuk
G
(
j
)
G
(
j
)
e j
G j
( )
e
j
−
ω
=
−
ω
−
φ
=
ω
−
φ
Sehingga :
( )
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
yss t
x
G j
e
j
t
e
j
t
j
x G j
t
Kesimpulan :
1.
Bila sistem stabil linear invarian waktu diberi input sinus,
maka akar memiliki output sinus dengan frekuensi sama
dengan inputnya, meskipun amplitudo dan phasanya mungkin
berbeda.
2.
Fungsi alih sinus sistem dapat diperoleh melalui
( ) ( )
( )
G j
y j
x j
ω
ω
ω
=
sedang fasa alih G(s) dapat diperoleh dengan mengganti j
ω
menjadi s pada G(j
ω
).
( )
( )
( )
G j
y j
x j
ω
ω
ω
=
: magnitude fungsi alih
merupakan perbandingan amplitudo output sinus terhadap input
sinus.
( )
( )
( )
∠
G j
= ∠
y j
x j
ω
ω
ω
; sudut phasa fungsi alih merupakan pergeseran
Tanggapan Frekuensi dari Plot Pole-Zero
Anggap :
( )
(
)
G s
k s
z
s s
p
=
+
+
(
)
dengan tanggapan frekuensi
( )
(
(
)
)
G j
k j
z
j
j
p
ω
ω
ω ω
=
+
+
Magnitude :
( )
( )
1 1tan
90
tan
ω
ω
Untuk sistem dengan akar kompleks sekawan p
1dan p
2:
)
)(
(
)
(
2 1
s
p
p
s
K
s
G
+
+
=
Magnitude :
G j
( )
k
j
p
j
p
k
AP BP
ω
ω
ω
=
+
1
+
2
=
Sudut fasa :
∠
G
( )
j
ω
=
θ
1−
θ
2Untuk pole-pole kompleks sekawan yang dekat dengan sumbu
maya :
( )
G j
ω
=
besar sekali
Dihasilkan tanggapan frekuensi dengan simpangan amplitudo
besar sekali.
♦
PENGGAMBARAN BODE PLOT
•
Diagram Bode terdiri dari
1.
Kurva magnitude fungsi alih sinus 20 log
G j
( )
ω
terhadap frekuensi dengan skala logaritmis
2.
Kurva sudut fasa fungsi alih sinus
∠
G j
( )
ω
terhadap
frekuensi dengan skala logaritmis.
•
Keuntungan menggunakan kurva logaritma :
∗
Perkalian magnitude dikonversi menjadi penjumlahan
∗
Sketsa pendekatan kurva log magnitude dapat
dilakukan dengan mudah melalui penjumlahan
asimtot-asimtot fungsi-fungsi (sederhana) penyusunannya.
∗
Penentuan fungsi alih secara ekperimen dapat
dilakukan lebih mudah bila data tanggapan frekuensi
tersedia seperti pada Diagram Bode.
frekuensi rendah yang merupakan hal penting dalam
sistem-sistem sebenarnya.
•
Bentuk-Bentuk Dasar Fungsi
G j
( ) ( )
ω
H j
ω
1.
Penguatan k
2.
Faktor-faktor Integral dan turunan
( )
j
ω
+
1
3.
Faktor-faktor orde-1
(
1
+
j T
ω
)
+
1
4.
Faktor-faktor kuadratis
1 2
2
1
+
+
+
ζ
j
ω
ω
ω
ω
n
•
Penguatan k
( ) ( )
G j
ω
H j
ω
=
k
Magnitude
G j
( ) ( )
ω
H j
ω
=
20log
k db
Sudut fasa
∠
G j
( )
ω
=
0
0,1
1
10
100
ω
20 log
db
0,1
1
10
100
ω
0
‚
‚
Faktor-faktor Integral dan Turunan
1
j
ω
atau
j
ω
Untuk :
G j
( ) ( )
H j
j
ω
ω
ω
=
1
Magnitude
( ) ( )
db
j
j
H
j
G
ω
ω
ω
ω
=
20
log
1
=
−
20
log
Sudut fasa
∠
G j
( ) ( )
ω
H j
ω
= −
90
o
Untuk :
G j
( ) ( )
ω
H j
ω
=
j
ω
,
diperoleh
Magnitude
: 20 log
ω
db
Sudut fasa
: 90
oCatatan:
Bila
nj
j
H
j
G
)
(
1
)
(
)
(
ω
ω
ω
=
, maka
ƒ
Faktor-faktor orde-1 :
1
1
+
1
+
j T
atau
j T
ω
ω
Untuk
G j
( ) ( )
H j
j T
ω
ω
ω
=
+
1
1
Magnitude :
20
1
1
20
1
2 2
log
log
+
j T
ω
= −
+
ω
T db
Sudut fasa :
φ
= −
tan 1
−
ω
T
•
Pada frekuensi rendah :
ω
〈〈
1
T
, maka
Magnitude
~
−
20
log
1
=
0
db
(asimtot pertama)
Sudut fasa
~0
o
•
Pada frekuensi tinggi :
ω
〉〉
1
T
,
maka
Magnitude
~
−
20
log
ω
2 2
T
= −
20
log
ω
T
(asimtot kedua)
Sudut fasa
~90
o
•
Pada frekuensi sudut
ω
=
1
T
Sudut fasa
φ
= −
tan 1
−
T
= −
45
T
Galat Magnitude Akibat Pendekatan dengan Asimtot
Pada
ω
=
1
T
galat =
−
20
log
1 1
+ +
20
log
1
= −
3 03
,
db
Pada
ω
=
1
2
T
(1 octave dibawah frekuensi sudut)
galat =
−
20
1
+ +
= −
4
1
20
1
0 97
log
log
,
db
Pada
ω
=
2
Untuk
G j
( ) ( )
ω
H j
ω
= +
1
j T
ω
dengan mengingat faktor reciprocal :
20
20
1
1
log
+
= −
log
+
j T
j T
ω
ω
dan
∠ +
=
−
= −∠
+
1
1
1
1
j T
T
j T
ω
ω
ω
tan
Maka kurva Bodenya dapat diperoleh dengan mencerminkan
kurva
1
••
Faktor-Faktor Kuadratik
Untuk
G j
( ) ( )
H j
j
n
j
n
ω
ω
ζ
ω
ω
ω
ω
=
+
+
1
1 2
2
Bila
ζ
〉
1 ,
maka faktor orde-2 tersebut dapat dipecah
menjadi 2 faktor orde-1.
Untuk
0
〈 〈
ζ
1
:
Magnitude :
20
1
1 2
2
20
1
2
2
2
2
2
log
log
+
+
= −
−
+
ζ
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ζ
ω
ω
j
n
j
n
n
n
Sudut fasa :
φ
ζ
ω
ω
ω
ω
= −
−
−
tan
1
2
1
2
n
n
Pada frekuensi rendah :
ω
〈〈
ω
n
:
Magnitude :
−
20
log
1
=
0
db
Sudut fasa :
φ
~
−
tan
−
1 0 0
=
o
(asimtot 1)
Pada frekuensi tinggi :
ω
〉〉
ω
n
Magnitude :
−
20
= −
2
2
40
log
ω
log
ω
ω
ω
n
n
db
(asimtot 2)
Sudut fasa :
φ
~
−
180
o
Pada frekuensi sudut
ω
=
ω
n
:
Sudut fasa :
θ
= −
tan
−
1 2
ζ
= −
0
90
Untuk
G j
( ) ( )
H j
j
n
j
n
ω
ω
ζ
ω
ω
ω
ω
= +
+
1
2
2
,
Frekuensi Resonansi
ω
r
dan Simpangan Puncak
Resonansi M
r
Perhatikan lagi :
( )
G j
n
n
ω
ω
ω
ζ
ω
ω
=
−
+
1
1
2
2
2
2
2
Nilai maksimum terjadi bila :
( )
g
n
n
ω
ω
ω
ζ
ω
ω
=
−
+
1
2
2
2
2
2
minimum
atau
( )
(
)
( )
g
n
n
ω
ω
ω
ζ
ω
ζ
ζ
=
−
−
+
−
2
2
1 2
2
2
2
4 2 1
2
( )
g
ω
=minimum bila
ω
=
ω
n
1 2 2
−
ζ
Sehingga : frekuensi resonansi
(
)
Bandingkan dengan frekuensi natural teredam pada respons
transient :
Simpangan Puncak Resonansi :
( )
(
(
)
Mr G j
ω
G j r
ω
ζ
ζ
max
=
=
−
1
2
1
2
Sudut Fasa pada Frekuensi Resonansi :
φ
ζ
ω
ω
ω
ω
r
r
n
r
n
= −
−
−
tan
1
2
1
2
dengan
ω
r
=
ω
n
1 2 2
−
ζ
, diperoleh
φ
ζ
ζ
ζ
ζ
r
= −
−
o
−
= −
+
−
−
tan
1 1 2
sin
2
90
1
Tahapan Membuat Diagram Bode
1.
Ubah fungsi alih sinus
G j
( ) ( )
ω
H j
ω
menjadi perkalian
faktor-faktor dasar yang telah dibahas sebelumnya.
2.
Tentukan frekuensi-frekuensi sudut setiap faktor-faktor dasar
yang bersangkutan.
3.
Gambar kurva-kurva asimtot masing-masing faktor dasar
dengan memperhatikan kemiringan kurva (0,
±
20 db,
±
40 db,
dst) dibawah dan diatas frekuensi sudut.
4.
Jumlahkan kurva-kurva asimtot pada butir 3 untuk setiap
sedang frekuensi sudut.
5.
Kurva sebenarnya yang terletak dekat dengan kurva asimtot
pada butir 4 dapat diperoleh dengan melakukan
koreksi-koreksi (terutama pada frekuensi-frekuensi sudut).
6.
Kurva sudut fasa
G j
( ) ( )
ω
H j
ω
dapat digambarkan dengan
menjumlahkan kurva-kurva sudut fasa masing-masing faktor
Contoh:
∗
Sistem Phasa Minimum :
Sistem dengan fungsi alih yang tak memiliki pole ataupun
zero pada daerah tak stabil bidang-s.
∗
Sistem Phasa Non Minimum :
◊
Hubungan antara Tipe Sistem dan Kurva
Magnitude
Tipe sistem menentukan kemiringan kurva Magnitude pada
frekuensi rendah.
Tipe-0
→
kemiringan 0 db/dec
Tipe-1
→
kemiringan -20 db/dec
Tipe-2
→
kemiringan -40 db/dec
◊
Penentuan Konstanta Galat Stabil melalui kurva
Magnitude
1)
k p s
= →
lim
0
G s H s
( ) ( )
Dalam domain frekuensi :
( ) ( )
k p
= →
ω
lim
0
G j
ω
H j
ω
Terlihat bahwa untuk
ω
→
0
:
( ) ( )
2)
kv s
= →
lim
0
sG s H s
( ) ( )
Dalam domain frekuensi :
( ) ( )
G j
H j
kv
j
ω
ω
ω
=
untuk
ω
〈〈
1
Sehingga
20
1
20
log
kv
log
j
ω
kv
ω
=
=
atau :
20
( ) ( )
1
20
log
G j
ω
H j
ω
ω
= =
log
kv
Alternatif lain :
Perpotongan kurva -20 db/dec pada sumbu frekuensi terjadi
3)
ka
( ) ( )
s
G s H s
=
→
lim
0
Dalam domain frekuensi :
( ) ( )
( )
G j
H j
kv
j
ω
ω
ω
=
2
untuk
ω
〈〈
1
sehingga :
( )
20
2
1
20
log
kv
log
j
ω
kv
ω
=
=
atau
20
( ) ( )
1
20
log
G j
ω
H j
ω
log
kv
ω
=
=
Perpotongan kurva -40 db/dec pada sumbu frekuensi terjadi pada
0 db, sehingga :
( )
20
2
0
log
ka
,
j a
ω
=
n
POLAR PLOT / NYQUIST PLOT
Kurva magnitude G(j
ω
) terhadap sudut fasa G(j
ω
) pada
koordinat polar dengan
ω
dinaikkan dari 0 sampai ~
Untuk sistem yang dihubungkan seri sebagai berikut :
Maka kurva Nyquist
G j
( )
ω
=
G
1
( ) ( )
j
ω
G
2
j
ω
diperoleh dengan
melakukan perkalian vektor.
Bandingkan dengan Diagram Bode
•
Kurva Nyquist menggambarkan karakteristik tanggapan
frekuensi untuk seluruh cakupan frekuensi.
•
Kurva Nyquist tak menunjukkan secara jelas kontribusi
setiap faktor fungsi alih loop terbuka.
( )
PENGGAMBARAN POLAR PLOT
1.
Faktor-faktor Integral dan turunan
Untuk
G j
( )
j
ω
ω
=
1
( )
G j
ω
ω
=
1
( )
∠
G j
ω
= −
90
o
Untuk
G j
( )
ω
=
j
ω
( )
G j
ω
=
ω
( )
∠
G j
ω
=
90
o
Im
bid G(j
ω
)
Re
ω
→
~
ω
→
0
( )
G j
j
ω
ω
=
1
Im
Re
ω
=
0
ω
→
~
2.
Faktor-Faktor Orde-1
Untuk
G j
j T
(
ω
)
ω
=
+
1
1
( )
G j
T
ω
ω
=
+
1
1
2 2
( )
∠
G j
ω
= −
tan 1
−
ω
T
Pada
ω
=0
( )
G j
ω
= ∠
1 0
o
Pada
ω
=
1
T
( )
G j
ω
=
1
∠ −
o
2
45
pada
ω
→
~
( )
G j
ω
= ∠ −
0
90
o
Bukti :
( )
G j
ω
= +
x
jy
dengan
2 2 2 21
dan
1
1
T
T
y
T
x
ω
ω
ω
+
−
=
+
=
Pers lingkaran :
x
y
r
T
T
T
T
−
+
=
−
+
+
+
−
=
1
2
2
2
2
1
2
1
2 2
1
2 2
2
1
2 2
2
1
2
2
ω
ω
ω
ω
Untuk
G j
( )
ω
= +
1
j T
ω
( )
G j
ω
=
1
+
ω
2 2
T
∠
tan
−
1
ω
T
pada
ω
=
0
G j
( )
ω
= ∠
1 0
o
pada
ω
=
1
( )
ω
=
2 45
∠
T
G j
o
3.
Faktor-Faktor Kuadratik
Untuk
G j
( )
j
n
j
n
ω
ζ
ω
ω
ω
ω
ζ
=
+
+
〉
1
1 2
2
;
0
( )
G j
n
n
n
n
ω
ω
ω
ζ
ω
ω
ζ
ω
ω
ω
ω
=
−
+
∠ −
−
−
1
1
2
2
2
1
2
1
tan
pada
ω
=
0
( )
G j
ω
= ∠
1 0
o
pada
ω
=
ω
n
( )
G j
ω
o
ζ
=
1
∠ −
2
90
pada
ω
→
~
( )
Sedang simpangan resonansi dihitung sebagai berikut :
( )
( )
Mr
G j
r
G j
=
=
=
ω
ω ω
ω
ω
0
Untuk
G j
( )
j
n
j
n
ω
ζ
ω
ω
ω
ω
ζ
= +
+
〉
1 2
2
0
;
( )
G j
n
n
n
n
ω
ω
ω
ζω
ω
ζ
ω
ω
ω
ω
=
−
+
∠
−
−
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
tan
pada
ω
→
0
:
( )
G j
ω
= ∠
1 0
o
pada
ω
=
ω
n
:
( )
G j
ω
=
2
ζ
∠
90
o
pada
ω
→
~
( )
Untuk
( )
1
2
;
0
2
〉
+
+
=
ζ
ω
ω
ω
ω
ζ
ω
n n
j
j
Bentuk Umum Polar Plot
Untuk sistem tipe-0
(
λλ
=0) :
Kurva berawal (
ω
=0), dan sumbu nyata positif dengan
magnitude berhingga dan sudut fasa = -90
opada titik tersebut
kurva berakhir (
ω
=~).
Pada salah satu sumbu (tergantung pada (n-m)
Untuk sistem tipe-1
(
λλ
=1) :
Pada
ω
=0, kurva asimtotis terhadap sumbu maya negatif,
akibat kontribusi suku j
ω
pada penyebut. Kurva berakhir pada
titik asal dan bersudut pada salah satu sumbu.
Untuk sistem tipe-2
(
λλ
=2) :
◊
Log Magnitude vs Phase Plot / Nichols Plot
Merupakan kurva log magnitude vs sudut fasa atau phase
margin untuk cakupan frekuensi kerja.
•
Kenaikan konstanta penguatan G(j
ω
) hanya menggeser
kurva keatas/kebawah, tanpa mengubah bentuknya.
•
Kestabilan relatif sistem loop tertutup dapat dengan mudah
ditentukan, sehingga kompensasi dapat mudah dilakukan.
•
Kurva G(j
ω
) simetris terhadap titik asal dengan
1
G j
(
ω
)
mengingat
20
log
1
20
( )
(
log
G j
ω
G j
ω
= −
( )
( )
∠
1
= −∠
◊
KRITERIA KESTABILAN NYQUIST
( )
( )
( ) ( )
( )
C s
R s
G s
G s H s
=
+
1
•
Sistem stabil bila akar-akar persamaan karakteristik
( ) ( )
1
+
G s H s
=
0
terletak disebelah kiri bidang-s.
•
Sistem tetap stabil bila kondisi diatas dipenuhi meskipun
pole-pole/zero-zero fungsi alih loop terbuka ada yang terletak
disebelah kanan bid-s.
•
Kriteria Nyquist menghubungkan tanggapan frekuensi loop
terbuka
G j
( ) ( )
ω
H j
ω
terhadap jumlah pole dan zero loop tertutup
( ) ( )
1
+
G s H s
yang terletak di daerah tak stabil pada bid-s.
•
Kestabilan dapat ditentukan dari kurva tanggapan frekuensi
loop terbuka (diperoleh secara analisis eksperimen) tanpa
perlu menentukan letak pole-pole loop tertutup.
Beberapa Catatan Penting dari Pemetaan
1.
Bila ada n pole dikelilingi oleh kurva tertutup bidang-s,
maka titik asal akan dikelilingi n kali berlawanan arah
jarum jam pada di bidang F(s).
2.
Bila ada pole dan zero dengan jumlah sama pada kurva
tertutup di bidang -s, maka kurva tertutup di bidang F(s)
tak mengelilingi titik asal.
3.
Bila ada zero yang dilingkupi oleh kurva tertutup
di-bidang-s, maka kurva tertutup pada bidang F(s) nya akan
mengelilingi titik asal searah jarum jam sebanyak jumlah
zero tersebut.
4.
Bila kurva tertutup di bidang-s tak mencakup pole atau
zero, maka kurva pemetaannya di bidang F(s) tak
mengelilingi titik asal pula.
Teori Pemetaan :
Anggap
F s
p s
q s
( )
( )
( )
=
Bila :P = jumlah pole F(s) yang terletak di dalam beberapa
lintasan tertutup dibidang-s.
Z = jumlah zero F(s) yang terletak di dalam beberapa
lintasan tertutup di bidang-s. (lintasan tersebut tidak
melalui pole-pole / zero-zero tersebut).
Lintasan-lintasan tersebut dipetakan pada bidang F(s).
Maka :
Total jumlah N lintasan tertutup di bidang-s yang
Aplikasi Teori Pemetaan pada Analisis Kestabilan
•
Lintasan tertutup pada bid-s mencakup semua bidang sebelah
kanan (lintasan Nyquist).
•
Semua pole dan zero 1 + G(s) H(s) yang memiliki bagian
nyata positip tercakup pada lintasan Nyquist.
Pemetaan Loop Tertutup ke Loop Terbuka
Kriteria Kestabilan Nyquist
[Untuk kasus G(s)H(s) tak memiliki pole/zero pada sumbu maya
j
ω
].
•
Bila fungsi alih loop terbuka G(s)H(s) memiliki k pole di
sebelah kanan bidang-s dan
s
lim
→
~
G(s)H(s) = konstan, maka
sistem stabil bila kurva G(j
ω
)H(j
ω
) mengelilingi titik -1 + j0
sebanyak k kali berlawanan searah jarum jam.
•
Lintasan Nyquist tak boleh melalui pole/zero 1+G(s)H(s).
•
Banyaknya akar F(s)=1+G(s)H(s) yang terletak di daerah tak
stabil sama dengan banyaknya pole G(s)H(s) di daerah tak
stabil ditambah dengan berapa kali kurva F(s) mengelilingi
titik asal searah jarum jam Z = N + P.
Z = N + P
Z = banyaknya akar 1+G(s)H(s) disebelah kanan bidang-s
N = Berapa kali titik -1+j0 dikelilingi searah jarum jam.
P = banyaknya pole loop terbuka G(s)H(s) disebelah kanan
bidang-s.
∗
Sistem stabil bila Z = 0 :
1)
P = 0 dan N = 0
2)
Bila P
≠
0, maka N = -P
∗
Sistem multi loop harus dianalisis kestabilannya secara
hati-hati. Lebih mudah gunakan kriteria Routh.
∗
Bila ada fungsi transendental (misal e
-Ts) pada G(s)H(s),
dekati fungsi tersebut dengan 2 suku pertama deret .
Ts
Ts
Ts
Ts
e
Ts
Ts
Ts
Ts
Ts
Ts
e
Ts Ts+
−
=
+
−
≈
⇒
•
•
•
+
+
+
+
•
•
•
+
−
+
−
=
− −2
2
2
1
2
1
48
)
(
8
)
(
2
1
48
)
(
8
)
(
2
1
3 2 3 2selanjutnya gunakan kriteria Routh.
◊
Kasus Khusus Bila Ada Pole/Zero G(s)H(s)
pada Sumbu j
ω
ω
Ambil
G s H s
( ) ( )
(
k
)
s s
=
+
1
•
Pemetaan
s
=
ε θ
e j
;
ε
→
0
dengan
θ
;
−
90
o
sampai
+
90
o
, maka
( ) ( )
G e j
H e j
k
e
j
k
e j
ε θ
ε θ
ε θ
ε
θ
=
=
−
(setengah lingkaran dengan jari-jari ~ dan bermula dari
+90
0hingga -90
0)
0
0
;
0
=
→
=
=
P
Z
Ambil
G s H s
( ) ( )
(
)
k
s
Ts
=
+
2
1
Pemetaan
s
=
ε
e
jφ;
t
→
0
;
θ
:
−
90
osampai
+
90
o
,
diperoleh :
( ) ( )
s
te
j
G s H s
k
e
j
→
=
−
θ
ε
θ
lim
2
2
(lingkaran dengan jari-jari ~ dan berawal dari 180
ohingga
-180
o).
BEBERAPA CONTOH ANALISIS KESTABILAN
Pembahasan Lanjut (Optional):
1.
Invers Polar untuk Memudahkan Analisis Kestabilan
Nyquist pada Sistem Multiple Loop.
◊
Analisis Kestabilan Relatif/Transient
•
Sistem harus stabil dan tanggapan transientnya memadai.
•
Kurva Nyquist dapat menunjukkan keduanya dan
bagaimana kestabilan diperbaiki bila diperlukan.
•
Asumsi pada analisis.
1.
Sistem Balikan Satuan
2.
Sistem fasa minimum (tak memiliki pole loop terbuka
didaerah tak stabil bidang-s)
•
Analisis melalui
1)
Pemetaan Konformal (optional)
∗
Phase Margin dan Gain Margin
•
Untuk k besar, sistem tak stabil.
•
Untuk k lebih kecil, kurva G(j
ω
) melewati titik -1+j0,
sistem berosilasi (batas kestabilan).
•
Untuk k kecil, sistem menjadi stabil.
•
Makin dekat kurva G(j
ω
) mengelilingi titik -1+j0,
tanggapan sistem makin berosilasi.
•
Kedekatan kurva G(j
ω
) ketitik -1+j0 merupakan ukuran
batas kestabilan : phase margin dan gain margin.
◊
Phase margin :
jumlah phase lag tambahan pada frekuensi
gain crossover
( )
ω
gco
yang diperlukan untuk membuat sistem
tak stabil.
ω
gco
: frekuensi pada saat
G j
( )
ω
=
1
φ
•
Gain margin :
kestabilan magnitude
G j
( )
ω
pada frekuensi
phase crossover
ω
pco
ω
pco
: frekuensi pada saat
∠
G j
( )
ω
= −
180
o
(
)
kg
G j pco
1
ω
Bila
kg
〉
1
: gain margin positip
Untuk sistem phase minimum : gain margin positip (negatip)
menunjukkan berapa besar penguatan masih dapat dinaikkan
(diturunkan) sebelum sistem menjadi tak stabil (stabil)
•
Sistem phase minimum stabil bila gain margin dan phase
margin positip.
•
Untuk sistem stabil kondisional : ada 2 atau lebih frekuensi
phase crossover.
•
Untuk sistem orde tinggi mungkin memiliki 2 atau lebih
frekuensi gain crossover : phase margin dihitung pada
frekuensi gain crossover tertinggi.
•
Tanggapan transient “optimum” bila :
phase margin 30
0sampai 60
0gain margin > 6 db
•
Untuk sitem phase minimum, phase margin 30
0-60
0berarti
kemiringan kurva Bode
G j
( )
ω
pada
ω
gco
harus lebih landai dari
-40db/dec. (yaitu -20db/dec) agar stabil.